Analýza koeficientu citlivosti v ESO

• Ing. Katarína Tvrdá

• Assoc.Prof. Ing. Jozef Dický, PhD.

Úvod• V konštrukčnej optimalizácii je konštruktér často čelí veľkej škále problémov.• Niektoré konštrukcie, ktoré majú byť optimalizované sú často komplikované, pre získanie dobrých výsledkov sa musia rozdeliť na množstvo malých elementov.• Naviac z návrhu premenných vyplýva niekoľko obmedzujúcich funkcií.• V takýchto podmienkach cena matematických optimalizačných metód sa stáva neprístupná, rastie s množstvom návrhových parametrov.• Vypracované menej drahšie techniky sa preto používajú dlhší čas.• Technická optimalizácia – nie je čistá optimalizácia v matematickom chápaní, postup aj napriek tomu dáva dobré výsledky.• Začiatok tejto metódy v 70-tich rokoch 20. storočia, spolu s inými metódami konštrukčnej optimalizácie.• Namiesto optima funkcie hľadáme optimum hodnôt množstva parametrov použitím novej numerickej metódy.

E S O - Evolučná konštrukčná optimalizácia

• Predstavili ju v roku 1992 Z. M. Xie a G. P. Steven.

• Ponúka novú metódu konštrukčnej optimalizácie.

• Dáva odpoveď, ako jednotlivé predmety získavajú daný tvar či rozmer.

• Prekonáva množstvo problémov spojených s klasickými technikami.

• Jednoduchý princíp postupného vytvárania optimálneho tvaru a rozmerov konštrukcie postupným odstránením alebo presúvaním neúčinného materiálu z konštrukcie.

Minimalizovanie hmotnosti dosky redukovaním hrúbky

• odstraňovanie elementov

• redukciou hrúbky menej účinných elementov

• definovanie koeficientu citlivosti na určenie elementov

s redukovanou hrúbkou

Mnohonásobné obmedzenie priehybu

• MKP – pre statickú analýzu v modernom inžinierskom procese

KuP (1)

• Ak hrúbka i-tého elementu je redukovaná zo starej hrúbky h na nasledujúcu menšiu hrúbku (h - h). Zmeny v matici tuhosti konštrukcie 

• KK iK ih-h- K ih )(2)

kde K ih ) – matica tuhosti prvku pôvodnej hrúbkyK ih-h - matica tuhosti toho istého prvku pri

redukovanej hrúbke

• Pre niektoré konštrukcie sa vyžaduje, že premiestnenie v niekoľkých bodoch bude do predpísaného limitu 

• uj uj* (j = 1, m) (3)

kde m- celkové množstvo predpísaných priehybov

• Veľmi jednoduchý spôsob je použitie váhového priemeru očakávaných zmien priehybov s obmedzením v dôsledku redukcie hrúbky elementov

(4)

• Koeficient citlivosti ij |-u i jT K i u i (5)

• Koeficient je pomer aktuálneho priehybu k obmedzujúcemu priehybu v danom bode

(6)

m

jijji

1

*/ jjj uu

Optimalizačný postup

1. Rozdelenie konštrukcie na konečný počet elementov2. Riešenie statických rovníc rovnováhy (1) pre zadané zaťaženie

P a virtuálne jednotkové zaťaženie odpovedajúce všetkým obmedzeniam premiestnení,

3. Výpočet koeficientu citlivosti (6) a váhového priemeru (4) pre každý element

4. Redukcia hrúbok elementov, ktoré majú najnižšiu hodnotu váhového priemeru

5. Opakovanie krokov 2-4, kým nie je porušená platnosť nerovnosti uj uj

*

Množstvo elementov prislúchajúcich redukcii hrúbky je určené dĺžkou kroku zmeny hrúbky h a predpísaným stupňom redukcie (PSR), ktorý definuje množstvo (objemu alebo hmotnosti) materiálu, ktoré môže byť odstránené v každej iterácií k celkovému počiatočnému množstvu materiálu. Typická hodnota pre PSR je 1%.

• P = 20 kN

Príklad

P PP

AB C

Rozmery: 4 x 2 m

Singulárna sila: P = 20 k N

Youngov modul pružnosti: E = 30 GPa

Poissonovo číslo: = 0,2

h0 : 0,2 m

hmin: 0,1 m

w0 : 2,22 mm

wmax : 3,00 mm

Polovica dosky – v dôsledku symetrie

1. Rozdelenie konštrukcie na konečný počet elementov

Body optimalizačného postupu

w2max =3,00 mm

w1max =3,00 mm

2. A. Riešenie statických rovníc rovnováhy KuP pre zadané zaťaženie P

P = 20 kN P = 10 kN

u i i =1, 800 prvkov

u1

u2

max111 /wu

P = 20 kN

max222 /wu

2. B. Riešenie rovníc rovnováhy KujP pre virtuálne 1 zaťaženie odpovedajúce všetkým obmedzeniam premiestnení (priehybu)

1 1u i2u i1

i1 |-u i1T K i u i  i2 |-u i2T K i u i 

Výpočet koeficientu citlivosti pre každý element i

3. Výpočet váhového priemeru koeficientu citlivosti očakávaných zmien priehybov v dôsledku redukcie hrúbky elementov.

i1 |-u i1T K i u i 

i2 |-u i2T K i u i 

m

jijji

1

i = 1 - 800 prvkov

m = 2 počet obmedzujúcich podmienok

K iK ih-h - K ih )

• koeficient citlivosti indukuje vplyv redukcie hrúbky elementu na u i

4. Redukcia hrúbky elementu s najnižším číslom váhového priemeru koeficientu citlivosti.

Množstvo elementov prislúchajúcich redukcii hrúbky je určené:• dĺžkou kroku zmeny hrúbky h • predpísaným stupňom redukcie (PSR), ktorý definuje množstvo objemu materiálu, ktoré môže byť

odstránené v každej iterácii k celkovému počiatočnému h = 0,05 množstvu materiálu.

• Typická hodnota pre PSR je 1%.

Ak h = 0,1m → 16 elementov znižuje hrúbku1. Iteračný krok h = 0,1

152,154,156,158,160112,114,116,118,120, 74, 76, 78

34, 36, 38,

kým nie je porušená platnosť nerovnosti

u j u j*

• w j* = wjmax j = 2 - počet obmedz.

podmienok

5. Opakovanie krokov 2-4

Objem: 81 % 19-iter.

Objem: 79 % 21-iter.

Typológia 2 hrúbok

h = 0,1 m w1

21 =2,96 mm

w121 = 2,965 mm< w1

max=3,00mm

1

h = 0,1m h1 =

0,2m h2 =

0,1m

V = 79 % V0

Typológia 3 výsledných hrúbok

w119 < w1

max

w1max=3,00mm

h = 0,1 m w1

21 =2,96 mm

h = 0,05m w1

19 =2,9415 mm

h0 = 0,20m

h1 = 0,15m

h2 = 0,10m

V = 81% V0

1

Typológia 5 a 6 výsledných hrúbok

w1 < w1max w1

max=3,00mm

h = 0,02 m 83% V0

w117 =2,9244

mm

h = 0,025m 82 % V0

w118 =2,975 mm

Typológia 11 hrúbok

w116 < w1

max

w1max=3,00mm

h0 = 0,2 m

h min = 0,1m

V = 84% V0

h = 0,01m w1

16 =2,9306 mm

1

PSR = 1%,

w0 : 2,22 mm

wmax : 3,00 mm

2,20E-032,30E-032,40E-032,50E-032,60E-032,70E-032,80E-032,90E-033,00E-03

0 3 6 9 12 15 18 21

Iteration

w (

m)

2 thickness

3

5

6

11

História zmeny priehybu v bode 1

Záver

• Z prezentovaných obrázkov je vidieť, že od zvolených hodnôt Δh závisí, koľko hrúbok dostaneme.

• Ak Δh malé, priebeh hrúbok je už skoro spojitý (11 hrúbok).

• V prípade voľby hrubého kroku Δh = 10 cm je potrebných 21 iterácii na dosiahnutie konečného obmedzenia (16 prvkov).

• Pre jemnejší krok Δh = 1 cm je potrebných už iba 16 iteračných krokov (160 prvkov).

• Je to ovplyvnené tým, že pri malom kroku väčší počet prvkov mení hrúbku, hoci pri každej úlohe, iba 1% z pôvodného objemu môže byť zredukované. Pri Δh = 2 cm 80 prvkov redukuje hrúbku v jednom iteračnom kroku.