Sumario
NUMEROS PRIMOS
Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br
PROFMAT - Colegio Pedro II
04 de novembro de 2016
Teorema Fundamental da Aritmetica Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascimento da Aritmetica
Sumario
1 Teorema Fundamental da Aritmetica
2 Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos
3 Pequeno Teorema de Fermat
4 O Renascimento da Aritmetica
Teorema Fundamental da Aritmetica Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascimento da Aritmetica
Outline
1 Teorema Fundamental da Aritmetica
2 Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos
3 Pequeno Teorema de Fermat
4 O Renascimento da Aritmetica
Teorema Fundamental da Aritmetica Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascimento da Aritmetica
Teorema Fundamental da Aritmetica
Definicao: Um numero natural maior do que 1 que so possuicomo divisores positivos 1 e ele proprio e chamado de numeroprimo
Dados dois numeros primos p e q e um inteiro a qualquer,decorrem da definicao os seguintes fatos:I) Se p | q, entao p = qII) Se p - a, entao (p,a) = 1
Definicao: Um numero natural maior do que 1 e que nao eprimo sera dito composto.Nesse caso existem naturais n1 e n2, com 1 < n1 < n e1 < n2 < n, tais que n = n1n2
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Teorema Fundamental da Aritmetica
Lema de EuclidesProposicao 7.1: Sejam a,b,p ∈ Z, com p primo. Se p | ab, entaop | a ou p | b
A propriedade dos numeros primos descrita na proposicao acima oscaracteriza totalmente
Exercıcio 7.1.9: Seja p > 1 um numero natural com a seguintepropriedade:Se p divide o produto de dois numeros naturais quaisquer, entao pdivide um dos fatoresMostre que p e necessariamente primo
Corolario 7.2: Se p,p1, ...,pn sao numeros primos e se p | p1...pn,entao p = pi para algum i = 1, ...,n
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Teorema Fundamental da Aritmetica
Do ponto de vista da estrutura multiplicativa dos naturais, osnumeros primos sao os mais simples e ao mesmo tempo saosuficientes para gerar todos os numeros naturais, logo, todosos numeros inteiros nao nulos.
Teorema Fundamental da AritmeticaTeorema 7.3: Todo numero natural maior do que 1 ou e primoou se escreve de modo unico (a menos da ordem dos fatores)como um produto de numeros primos
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Teorema Fundamental da Aritmetica
Agrupando no Teorema 7.3 os fatores primos repetidos, senecessario, e ordenando os primos em ordem crescente,temos o seguinte resultado
Teorema 7.4: Dado um numero inteiro n 6= 0,1,−1, existemprimos p1 < ... < pr e α1, ..., αr ∈ N, univocamentedeterminados, tais que
n = ±pα11 ...pαr
r
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Teorema Fundamental da Aritmetica
Quando estivermos lidando com a decomposicao em fatoresprimos de dois, ou mais, numeros naturais usaremos o recursode acrescentar fatores da forma p0(= 1), onde p e um numeroprimo qualquer. Assim, dados n,m ∈ N com n > 1 e m > 1quaisquer, podemos escrever
n = pα11 ...pαr
r e m = pβ11 ...p
βrr
usando o mesmo conjunto de primos p1, ...,pr , desde quepermitamos que os expoentes α1, ..., αr , β1, ..., βr variem emN ∪ {0} e nao apenas em N
Observe que um numero natural n > 1, escrito na forman = pα1
1 ...pαrr , como no teoreme acima, e um quadrado perfeito
se, e somente se, cada expoente αi e par
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Teorema Fundamental da Aritmetica
Proposicao 7.5: Seja n = pα11 ...pαr
r um numero natural escritona forma acima. Se n′ e um divisor positivo de n, entao
n′ = pβ11 ...p
βrr
onde 0 ≤ βi ≤ αi , para i = 1, ..., r
Resultado: Se d(n) e o numero de divisores positivos donumero natural n, segue que se n = pα1
1 ...pαrr , onde p1, ...,pr
sao numeros primos e α1, ..., αr ∈ N, entao
d(n) = (α1 + 1)(α2 + 1)...(αr + 1)
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Exemplo 7.6: A formula acima nos mostra que um numero naturaln = pα1
1 ...pαrr possui uma quantidade ımpar de divisores positivos se,
e somente se, cada αi e par, ou seja, se, e somente se, n e umquadrado perfeito
Exemplo: No vestiario de uma escola com n alunos, numerados de 1a n, ha n armarios enfileirados em um corredor, tambem numeradosde 1 a n. Um dia, os alunos resolvem fazer a seguinte brincadeira:O primeiro aluno abre todos os armarios. Em seguida, o alunonumero 2 fecha todos os armarios de numero par. O aluno denumero 3 inverte as posicoes das portas dos armarios de numeromultiplo de 3. O aluno numero 4 inverte as posicoes dos armarios denumero multiplo de 4, e assim sucessivamente. Pergunta-se, qualsera a situacao de cada um dos armarios apos todos os alunosterem completado a brincadeira?
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Teorema Fundamental da Aritmetica
Teorema 7.7: Sejam a = ±pα11 ...pαn
n e b = pβ11 ...p
βnn . Pondo
γi = min{αi , βi} , δi = max{αi , βi} , i = 1, ...,n
tem-se que
(a,b) = pγ11 ...p
γnn e [a,b] = pδ1
1 ...pδnn
Exemplo 7.8: Vamos determinar para quais pares de numeros a e btemos que [a,b] = (a,b)2
Observacao: Em geral, a equacao [a,b] = (a,b)r tem por solucoespositivas pares de numeros a = pα1
1 ...pαnn e b = pβ1
1 ...pβnn tais que,
∀i = 1, ...,n, tem-se que αi = rβi ou βi = rαi
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Teorema Fundamental da Aritmetica
Exemplo 7.9: Dados dois numeros naturais d e m, vamosresolver em X , Y , nos naturais, o sistema de equacoes
(X ,Y ) = d , [X ,Y ] = m
Exemplo 7.10: Se n > 4 e um numero natural, vamos provarque n e composto se, e somente se, n | (n − 2)!
Resultado: Se n > 4 e composto e p e o menor numero primoque divide n, entao, n | (n − p)!
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Teorema Fundamental da Aritmetica
Relacionado com o Teorema Fundamental da Aritmetica,temos a seguinte importante notacao
Notacao: Se n ∈ Z\{0} e p e um numero primo, denotaremospor Ep(n) o expoente da maior potencia de p que divide n
Proposicao 7.11: Se m e n sao dois numeros naturais, entao
m = n⇔ Ep(m) = Ep(n) , ∀ numero primo p
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Teorema Fundamental da Aritmetica
Resultado: Temos portanto, para todo primo p, que
Ep((m,n)) = min{Ep(m),Ep(n)}
Ep([m,n]) = max{Ep(m),Ep(n)}
Exemplo 7.12: Se a,b, c ∈ N, vamos mostrar que
[a,b, c]2(a,b)(a, c)(b, c) = (a,b, c)2[a,b][a, c][b, c]
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Teorema Fundamental da Aritmetica
Reinterpretacao dos Corolarios 6.21 e 6.22
Dados dois numeros naturais m e n, temos os seguintes fatos:
a) A condicao mn(m,n)2 e par, e equivalente a condicao
E2(m) 6= E2(n)
b) A condicao m(m,n) e par, e equivalente a condicao
E2(m) > E2(n)
Consequentemente m(m,n) e ımpar se, e somente se,
E2(m) ≤ E2(n)
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1 Teorema Fundamental da Aritmetica
2 Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos
3 Pequeno Teorema de Fermat
4 O Renascimento da Aritmetica
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Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos
Euclides - livro IX dos Elementos: “Quantos serao os numerosprimos?” (primeiro registro do uso de uma demonstracao porabsurdo)
Teorema 7.13: Existem infinitos numeros primos
. Como podemos obter uma lista contendo numeros primos ateuma dada ordem?
. O Crivo de Eratostenes (230 a.C.)
Teste de primalidadeLema 7.14: Se um numero natural n > 1 nao e divisıvel pornenhum numero primo p tal que p2 ≤ n, entao ele e primo
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Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos
Questoes:
1 Como os numeros primos se distribuem dentro dos numeros naturais?Em particular, qual pode ser a distancia entre dois primosconsecutivos?
. Pares de numeros primos que diferem de duas unidades saochamados de primos gemeos. Ate o presente momento, ainda nao sesabe se existem infinitos pares de numeros primos gemeos
. Yitang Zhang: existem infinitos pares de primos que distam entre simenos de 70 milhoes de unidades
. Em contraste com esses pares de primos consecutivos muitoproximos, existem pares de primos consecutivos arbitrariamenteafastados
Portanto, a resposta a primeira pergunta e que nao ha nenhum padraoque descreva o quanto dois primos consecutivos estao longe um dooutro.
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Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos
2 Qual e a frequencia dos numeros primos?
Para responder a essa pergunta e necessario formalizar o conceito defrequencia de primos, que e a mesma coisa que probabilidade
Denotemos por π(x) a quantidade de numeros primos menores pu iguais a x .Portanto a probabilidade de que um elemento do conjunto {1, ..., x} seja primo edada por
π(x)x
Como esse quociente e uma funcao bastante complexa, o que se gostaria defazer e achar uma funcao de comportamento bem conhecido que se aproximado quociente acima para x suficientemente grande
. Legendre e Gauss: esse quociente tem a ver com 1ln x
. J. Hadamard e Ch. de la Vallee-Poussin (independentemente, por volta de1900): Teorema dos Numeros Primos
limx→∞
π(x)x
( 1ln x
)−1= 1
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Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos
Alguns problemas em aberto acerca da distribuicao dos numeros primos:
Sempre existe um numero primo entre n2 e (n + 1)2 para qualquer n ∈ N?
Para n = 0, 1, ..., 40, tem-se que n2 − n + 41 e primo. Existem infinitos numerosprimos dessa forma?
A sequencia de Fibonacci contem infinitos numeros primos?
A Conjectura de Goldbach (formulada por Goldbach a Euler em 1742): Todonumero natural par maior do que 3 pode ser escrito como a soma de doisnumeros primos
Ivan Vinogradov (1937): Todo numero natural ımpar, suficientemente grande, podeser escrito como soma de, no maximo, tres numeros primos
Harald Helfgott (2013): Todo numero natural ımpar maior do que 5 pode ser escritocomo soma de, no maximo, tres numeros primos
O mais importante problema em aberto em Teoria dos Numeros: A Hipotese de
Riemann
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A Hipotese de Riemann
Por razoes mais profundas, o problema esta relacionado com varias questoes sutisenvolvendo os numeros primos.Por exemplo: se pk denota o k-esimo numero primo (de modo que p1 = 2, p2 = 3,p3 = 5, p4 = 7, e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919estabelece que a diferenca entre dois numeros primos consecutivos, pk+1 − pk ,cresce “na mesma velocidade” que
√pk log pk .
Mais especificamente, existe uma constante real positiva M > 0 de maneira que vale adesigualdade
pk+1 − pk > M(√
pk log(pk ))
para todo k suficientemente grande.
Para provar este resultado, a demonstracao de Cramer utilizou crucialmente a
Hipotese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princıpio ser falso,
caso a Hipotese tambem seja.
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1 Teorema Fundamental da Aritmetica
2 Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos
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4 O Renascimento da Aritmetica
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Pequeno Teorema de Fermat
Resultado: (Sabido pelos chineses pelo menos 500 a. C.) Sep e um numero primo, entao p | 2p − 2
Lema 7.15: Seja p um numero primo. Os numeros(
pi
),
onde 0 < i < p, sao todos divisıveis por p
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Pequeno Teorema de Fermat
Pequeno Teorema de Fermat (sec XVII)Teorema 7.16: Dado um numero primo p, tem-se que p divideo numero ap − a, ∀a ∈ Z
Exemplo 7.17: Dado um numero inteiro qualquer n ∈ N,tem-se que n9 e n, quando escritos na base 10, tem o mesmoalgarismo da unidade
Teste de nao primalidade (Pequeno Teorema de Fermat)Corolario 7.18: Se p e um numero primo, e se a e um numeronatural nao divisıvel por p, entao p divide ap−1 − 1
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Pequeno Teorema de Fermat
. Chineses: Se m e composto, entao m - 2m − 2 (uma recıprocado Teorema de Fermat nol caso a = 2) FALSO!!!
. Saurus (1819): 341(= 31.11) divide 2341 − 2
. Uma recıproca mais restritiva: Dado um inteiro m > 1, acondicao m | am−1 − 1, ∀a ∈ N tal que (a,m) = 1, acarreta,necessariamente, que m e primo?
Exemplo 7.19: Seja a ∈ N tal que (a,3) = (a,11) = (a,17) = 1
Exemplo 7.20: 47 divide um, e apenas um, dos numeros223 − 1 ou 223 + 1
. Como determinar qual dessas duas opcoes acima everificada?
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