Sumario

NUMEROS PRIMOS

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br

lulismartino@gmail.com

PROFMAT - Colegio Pedro II

04 de novembro de 2016

Teorema Fundamental da Aritmetica Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascimento da Aritmetica

Sumario

1 Teorema Fundamental da Aritmetica

2 Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos

3 Pequeno Teorema de Fermat

4 O Renascimento da Aritmetica

Teorema Fundamental da Aritmetica Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascimento da Aritmetica

Outline

1 Teorema Fundamental da Aritmetica

2 Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos

3 Pequeno Teorema de Fermat

4 O Renascimento da Aritmetica

Teorema Fundamental da Aritmetica Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos Pequeno Teorema de Fermat O Renascimento da Aritmetica

Teorema Fundamental da Aritmetica

Definicao: Um numero natural maior do que 1 que so possuicomo divisores positivos 1 e ele proprio e chamado de numeroprimo

Dados dois numeros primos p e q e um inteiro a qualquer,decorrem da definicao os seguintes fatos:I) Se p | q, entao p = qII) Se p - a, entao (p,a) = 1

Definicao: Um numero natural maior do que 1 e que nao eprimo sera dito composto.Nesse caso existem naturais n1 e n2, com 1 < n1 < n e1 < n2 < n, tais que n = n1n2

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Lema de EuclidesProposicao 7.1: Sejam a,b,p ∈ Z, com p primo. Se p | ab, entaop | a ou p | b

A propriedade dos numeros primos descrita na proposicao acima oscaracteriza totalmente

Exercıcio 7.1.9: Seja p > 1 um numero natural com a seguintepropriedade:Se p divide o produto de dois numeros naturais quaisquer, entao pdivide um dos fatoresMostre que p e necessariamente primo

Corolario 7.2: Se p,p1, ...,pn sao numeros primos e se p | p1...pn,entao p = pi para algum i = 1, ...,n

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Do ponto de vista da estrutura multiplicativa dos naturais, osnumeros primos sao os mais simples e ao mesmo tempo saosuficientes para gerar todos os numeros naturais, logo, todosos numeros inteiros nao nulos.

Teorema Fundamental da AritmeticaTeorema 7.3: Todo numero natural maior do que 1 ou e primoou se escreve de modo unico (a menos da ordem dos fatores)como um produto de numeros primos

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Agrupando no Teorema 7.3 os fatores primos repetidos, senecessario, e ordenando os primos em ordem crescente,temos o seguinte resultado

Teorema 7.4: Dado um numero inteiro n 6= 0,1,−1, existemprimos p1 < ... < pr e α1, ..., αr ∈ N, univocamentedeterminados, tais que

n = ±pα11 ...pαr

r

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Quando estivermos lidando com a decomposicao em fatoresprimos de dois, ou mais, numeros naturais usaremos o recursode acrescentar fatores da forma p0(= 1), onde p e um numeroprimo qualquer. Assim, dados n,m ∈ N com n > 1 e m > 1quaisquer, podemos escrever

n = pα11 ...pαr

r e m = pβ11 ...p

βrr

usando o mesmo conjunto de primos p1, ...,pr , desde quepermitamos que os expoentes α1, ..., αr , β1, ..., βr variem emN ∪ {0} e nao apenas em N

Observe que um numero natural n > 1, escrito na forman = pα1

1 ...pαrr , como no teoreme acima, e um quadrado perfeito

se, e somente se, cada expoente αi e par

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Proposicao 7.5: Seja n = pα11 ...pαr

r um numero natural escritona forma acima. Se n′ e um divisor positivo de n, entao

n′ = pβ11 ...p

βrr

onde 0 ≤ βi ≤ αi , para i = 1, ..., r

Resultado: Se d(n) e o numero de divisores positivos donumero natural n, segue que se n = pα1

1 ...pαrr , onde p1, ...,pr

sao numeros primos e α1, ..., αr ∈ N, entao

d(n) = (α1 + 1)(α2 + 1)...(αr + 1)

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Exemplo 7.6: A formula acima nos mostra que um numero naturaln = pα1

1 ...pαrr possui uma quantidade ımpar de divisores positivos se,

e somente se, cada αi e par, ou seja, se, e somente se, n e umquadrado perfeito

Exemplo: No vestiario de uma escola com n alunos, numerados de 1a n, ha n armarios enfileirados em um corredor, tambem numeradosde 1 a n. Um dia, os alunos resolvem fazer a seguinte brincadeira:O primeiro aluno abre todos os armarios. Em seguida, o alunonumero 2 fecha todos os armarios de numero par. O aluno denumero 3 inverte as posicoes das portas dos armarios de numeromultiplo de 3. O aluno numero 4 inverte as posicoes dos armarios denumero multiplo de 4, e assim sucessivamente. Pergunta-se, qualsera a situacao de cada um dos armarios apos todos os alunosterem completado a brincadeira?

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Teorema 7.7: Sejam a = ±pα11 ...pαn

n e b = pβ11 ...p

βnn . Pondo

γi = min{αi , βi} , δi = max{αi , βi} , i = 1, ...,n

tem-se que

(a,b) = pγ11 ...p

γnn e [a,b] = pδ1

1 ...pδnn

Exemplo 7.8: Vamos determinar para quais pares de numeros a e btemos que [a,b] = (a,b)2

Observacao: Em geral, a equacao [a,b] = (a,b)r tem por solucoespositivas pares de numeros a = pα1

1 ...pαnn e b = pβ1

1 ...pβnn tais que,

∀i = 1, ...,n, tem-se que αi = rβi ou βi = rαi

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Exemplo 7.9: Dados dois numeros naturais d e m, vamosresolver em X , Y , nos naturais, o sistema de equacoes

(X ,Y ) = d , [X ,Y ] = m

Exemplo 7.10: Se n > 4 e um numero natural, vamos provarque n e composto se, e somente se, n | (n − 2)!

Resultado: Se n > 4 e composto e p e o menor numero primoque divide n, entao, n | (n − p)!

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Relacionado com o Teorema Fundamental da Aritmetica,temos a seguinte importante notacao

Notacao: Se n ∈ Z\{0} e p e um numero primo, denotaremospor Ep(n) o expoente da maior potencia de p que divide n

Proposicao 7.11: Se m e n sao dois numeros naturais, entao

m = n⇔ Ep(m) = Ep(n) , ∀ numero primo p

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Resultado: Temos portanto, para todo primo p, que

Ep((m,n)) = min{Ep(m),Ep(n)}

Ep([m,n]) = max{Ep(m),Ep(n)}

Exemplo 7.12: Se a,b, c ∈ N, vamos mostrar que

[a,b, c]2(a,b)(a, c)(b, c) = (a,b, c)2[a,b][a, c][b, c]

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Teorema Fundamental da Aritmetica

Reinterpretacao dos Corolarios 6.21 e 6.22

Dados dois numeros naturais m e n, temos os seguintes fatos:

a) A condicao mn(m,n)2 e par, e equivalente a condicao

E2(m) 6= E2(n)

b) A condicao m(m,n) e par, e equivalente a condicao

E2(m) > E2(n)

Consequentemente m(m,n) e ımpar se, e somente se,

E2(m) ≤ E2(n)

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1 Teorema Fundamental da Aritmetica

2 Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos

3 Pequeno Teorema de Fermat

4 O Renascimento da Aritmetica

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Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos

Euclides - livro IX dos Elementos: “Quantos serao os numerosprimos?” (primeiro registro do uso de uma demonstracao porabsurdo)

Teorema 7.13: Existem infinitos numeros primos

. Como podemos obter uma lista contendo numeros primos ateuma dada ordem?

. O Crivo de Eratostenes (230 a.C.)

Teste de primalidadeLema 7.14: Se um numero natural n > 1 nao e divisıvel pornenhum numero primo p tal que p2 ≤ n, entao ele e primo

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Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos

Questoes:

1 Como os numeros primos se distribuem dentro dos numeros naturais?Em particular, qual pode ser a distancia entre dois primosconsecutivos?

. Pares de numeros primos que diferem de duas unidades saochamados de primos gemeos. Ate o presente momento, ainda nao sesabe se existem infinitos pares de numeros primos gemeos

. Yitang Zhang: existem infinitos pares de primos que distam entre simenos de 70 milhoes de unidades

. Em contraste com esses pares de primos consecutivos muitoproximos, existem pares de primos consecutivos arbitrariamenteafastados

Portanto, a resposta a primeira pergunta e que nao ha nenhum padraoque descreva o quanto dois primos consecutivos estao longe um dooutro.

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Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos

2 Qual e a frequencia dos numeros primos?

Para responder a essa pergunta e necessario formalizar o conceito defrequencia de primos, que e a mesma coisa que probabilidade

Denotemos por π(x) a quantidade de numeros primos menores pu iguais a x .Portanto a probabilidade de que um elemento do conjunto {1, ..., x} seja primo edada por

π(x)x

Como esse quociente e uma funcao bastante complexa, o que se gostaria defazer e achar uma funcao de comportamento bem conhecido que se aproximado quociente acima para x suficientemente grande

. Legendre e Gauss: esse quociente tem a ver com 1ln x

. J. Hadamard e Ch. de la Vallee-Poussin (independentemente, por volta de1900): Teorema dos Numeros Primos

limx→∞

π(x)x

( 1ln x

)−1= 1

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Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos

Alguns problemas em aberto acerca da distribuicao dos numeros primos:

Sempre existe um numero primo entre n2 e (n + 1)2 para qualquer n ∈ N?

Para n = 0, 1, ..., 40, tem-se que n2 − n + 41 e primo. Existem infinitos numerosprimos dessa forma?

A sequencia de Fibonacci contem infinitos numeros primos?

A Conjectura de Goldbach (formulada por Goldbach a Euler em 1742): Todonumero natural par maior do que 3 pode ser escrito como a soma de doisnumeros primos

Ivan Vinogradov (1937): Todo numero natural ımpar, suficientemente grande, podeser escrito como soma de, no maximo, tres numeros primos

Harald Helfgott (2013): Todo numero natural ımpar maior do que 5 pode ser escritocomo soma de, no maximo, tres numeros primos

O mais importante problema em aberto em Teoria dos Numeros: A Hipotese de

Riemann

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A Hipotese de Riemann

Por razoes mais profundas, o problema esta relacionado com varias questoes sutisenvolvendo os numeros primos.Por exemplo: se pk denota o k-esimo numero primo (de modo que p1 = 2, p2 = 3,p3 = 5, p4 = 7, e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919estabelece que a diferenca entre dois numeros primos consecutivos, pk+1 − pk ,cresce “na mesma velocidade” que

√pk log pk .

Mais especificamente, existe uma constante real positiva M > 0 de maneira que vale adesigualdade

pk+1 − pk > M(√

pk log(pk ))

para todo k suficientemente grande.

Para provar este resultado, a demonstracao de Cramer utilizou crucialmente a

Hipotese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princıpio ser falso,

caso a Hipotese tambem seja.

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1 Teorema Fundamental da Aritmetica

2 Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos

3 Pequeno Teorema de Fermat

4 O Renascimento da Aritmetica

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Pequeno Teorema de Fermat

Resultado: (Sabido pelos chineses pelo menos 500 a. C.) Sep e um numero primo, entao p | 2p − 2

Lema 7.15: Seja p um numero primo. Os numeros(

pi

),

onde 0 < i < p, sao todos divisıveis por p

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Pequeno Teorema de Fermat

Pequeno Teorema de Fermat (sec XVII)Teorema 7.16: Dado um numero primo p, tem-se que p divideo numero ap − a, ∀a ∈ Z

Exemplo 7.17: Dado um numero inteiro qualquer n ∈ N,tem-se que n9 e n, quando escritos na base 10, tem o mesmoalgarismo da unidade

Teste de nao primalidade (Pequeno Teorema de Fermat)Corolario 7.18: Se p e um numero primo, e se a e um numeronatural nao divisıvel por p, entao p divide ap−1 − 1

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Pequeno Teorema de Fermat

. Chineses: Se m e composto, entao m - 2m − 2 (uma recıprocado Teorema de Fermat nol caso a = 2) FALSO!!!

. Saurus (1819): 341(= 31.11) divide 2341 − 2

. Uma recıproca mais restritiva: Dado um inteiro m > 1, acondicao m | am−1 − 1, ∀a ∈ N tal que (a,m) = 1, acarreta,necessariamente, que m e primo?

Exemplo 7.19: Seja a ∈ N tal que (a,3) = (a,11) = (a,17) = 1

Exemplo 7.20: 47 divide um, e apenas um, dos numeros223 − 1 ou 223 + 1

. Como determinar qual dessas duas opcoes acima everificada?

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1 Teorema Fundamental da Aritmetica

2 Sobre a Distribuicao dos Numeros Primos

3 Pequeno Teorema de Fermat

4 O Renascimento da Aritmetica