Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 1
BAB I
PENDAHULUAN
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat
memahami turunan, antiturunan fungsi dan dapat mengaplikasikannya untuk
menentukan selesaian umum atau selesaian khusus persamaan diferensial yang
diberikan.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi ekpslisit dengan menggunakan
sifat-sifat turunan fungsi.
2. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi implisit dengan menggunakan
kaidah diferensial dan sifat-sifatnya.
3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan/integral suatu fungsi
4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial
5. Mahasiswa dapat menentukan persamaan diferensial suatu primitif atau
persamaan keluarga suatu fumgsi ekspilisit atau implicit.
6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian khusus persamaan diferensial yang
diberi syarat awal.
Bab Pendahuluan membahas lima hal pokok, yaitu: (1) fungsi, (2) turunan
dan antiturunan, (3) persamaan diferensial, (4) primitif suatu persamaan
diferensial, (5) masalah nilai awal dan syarat batas.
1.1 Fungsi
Pengetahuan awal dan konsep dasar dalam matematika yang perlu
dipahami untuk mempelajari persamaan diferensial adalah fungsi dan turunan
fungsi. Berdasarkan tata cara penulisannya, fungsi dapat ditulis dalam bentuk
eksplisit dan implisit. Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi yang antara peubah
bebas dan peubah tak bebas dapat dibedakan dengan jelas. Secara umum fungsi
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 2
eksplisit ditulis berbentuk )(xfy , sedangkan fungsi implisit adalah suatu
fungsi yang antara peubah bebas dengan peubah tak bebas tidak dapat dibedakan
secara jelas. Secara umum fungsi implisit ditulis berbentuk 0),( yxf .
Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi yang dinyatakan dalam bentuk
eksplisit dan implisit.
1. 452 xxy
2. 3 2 13
1
xxy
3. )5cos( xy
4.
22
xxxx eeeey
5.
3
1arcsinx
xy
6. 1ln1ln1
1ln
xxx
xy
7. xxxy
8. 2522 yx
9. 0222 xyyx
10. 01222 yxyx
11. 43)cos( 22 xxyy
12. 0)sin( yxy
Contoh 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi ekplisit dan fungsi tersebut
dapat diubah menjadi fungsi implisit. Bagaimana bentuk implisitnya
ditinggalkan dalam penjelasan ini sebagai latihan bagi pembaca. Sedangkan
contoh 8, 9, 10, 11 dan 12 adalah fungsi implisit. Berbeda dengan fungsi
eksplisit yang secara langsung dapat diubah menjadi fungsi impilisit, Fungsi
implisit tidak semuanya dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa setiap fungsi eksplisit dapat diubah menjadi bentuk fungsi
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 3
implisit, akan tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi
eksplisit. Fungsi pada contoh 9 di atas adalah fungsi implisit yang tidak dapat
dinyatakan dalam fungsi eksplisit.
Pengembangan dan analisis lebih lanjut, pembaca dapat membuat
beberapa contoh fungsi dan mengelompokkan fungsi-fungsi tersebut dalam
bentuk eksplisit atau implisit. Selain itu pembaca dapat membuat contoh lain
fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit
yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsipnya dalam fungsi
eksplisit )(xfy , x disebut peubah bebas (independent), sedangkan y disebut
peubah tak bebas (dependent). Bentuk 0),( yxf jika dapat diubah dalam
bentuk ekplisit x , dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak
bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak ada
peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.
1.2 Turunan dan Antiturunan
Andaikan )(xfy adalah fungsi eksplisit yang kontinu dan terdefinisi
pada interval tertentu, turunan (derevative) fungsi )(xfy dinotasikan
)('' xfy Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan fungsi
)(xfy adalah )(xfDx atau dxdy atau
dxxdf )( .
Turunan fungsi )(xfy didefinisikan sebagai
xxfxxf
dxdy
x
)()(lim0
asalkan limitnya ada.
Berdasarkan bentuk di definisi turunan di atas,
Misal txx maka diperoleh xtx
Karena 0x maka xt
Sehingga definisi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk
xtxftf
dxdy
xt
)()(lim
asalkan bentuk di atas mempunyai limit
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 4
Contoh Soal
1. Tentukan turunan dari fungsi
a. 1 xy
Jawab
xxfxxf
dxdy
x
)()(lim0
xxxx
x
11)(lim
0
11)(11)(11)(
lim0
xxx
xxxx
xxxx
11)(
11)(lim0
xxxxxxx
x
11)(lim
0
xxxx
xx
11)(1lim
0
xxxx
111
xx
121
x
b. x
y
32
Jawab
xxfxxf
dxdy
x
)()(lim0
xxxx
x
32
)(32
lim0
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 5
x
xxxxxx
x
3)(3)(3232
lim0
)(3232)(3232
)3)((3)(3232
lim0 xxx
xxxxxxxxxx
x
xxxxxxxxxx
x
(3332)3)((3
)226()26(lim0
xxxxxxxxx
(3332)3)((3(3
2lim0
Turunan suatu fungsi sangat diperlukan dalam mempelajari persamaan
diferensial. Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar tentang turunan fungsi.
Jika vu, dan w adalah fungsi-fungsi dalam x yang masing-masing dapat
diturunkan dan c sebarang bilangan real maka:
1. 0)( cdxd
2. 1)( xdxd
3. 1)( nn nxxdxd
4. dxdunuu
dxd nn 1)(
5. dxdv
dxduvu
dxd
)(
6. dxdv
dxduvu
dxd
)(
7. dxdw
dxdv
dxduwvu
dxd
)(
8. dxdw
dxdv
dxduwvu
dxd
)(
9. dxduccu
dxd
)(
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 6
10. dxdvu
dxduv
dxduv
dxdvuuv
dxd
)(
11. dxdwvw
dxdvuw
dxdwuvuvw
dxd
)(
12. 2vdxdvu
dxduv
vu
dxd
Selain rumus umum turunan fungsi tersebut di atas, terdapat beberapa
aturan turunan suatu fungsi, antara lain:
1. xxdxd cos)(sin
2. xxdxd sin)(cos
3. xxdxd 2sec)(tan
4. xxdxd 2csc)(cot
5. xxxdxd tansec)(sec
6. xxxdxd cotcsc)(csc
7. 21
1)(arcsinx
xdxd
8. 21
1)(arccosx
xdxd
9. 211)(arctanx
xdxd
10. 211)cot(x
xarcdxd
11. 1
1)sec(2
xx
xarcdxd
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 7
12. 1
1)csc(2
xx
xarcdxd
13. xxdxd cosh)(sinh
14. xxdxd sinh)(cosh
15. xhxdxd 2sec)(tanh
16. xhxdxd 2csc)(coth
17. xhxhxdxd tanhsec)(sec
18. 2
1
1
1)(sinhx
xdxd
19. 1,1
1)(cosh2
1
xx
xdxd
20. 1,1
1)(tanh 22
1
xx
xdxd
21. 1,1
1)(coth 22
1
xx
xdxd
22. 10,1
1)(sec2
1
xxx
xhdxd
23. 0,11)(csc
2
1
xxxx
xhdxd
24. xx eedxd
)(
25. x
xdxd 1)(ln
26. ax
xdxd a ln1)log(
Rumus-rumus di atas berlaku untuk fungsi eksplisit, sedangkan fungsi
implisit dapat ditentukan turunannya dengan menggunakan kaidah diferensial,
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 8
yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut.
Setelah diperoleh diferensial masing-masing bagian, selanjutnya variabel yang
sejenis dikelompokkan dan akhirnya dengan menggunakan operasi aljabar
diperoleh turunan fungsi yang diberikan.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
1. Tentukan
dxdy dari 0422 yx
Jawab
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh
)0()4()()( 22 ddydxd
0022 dyydxx
022 dyydxx
dyydxx
yx
dxdy
24 yx
dxdy
2. Tentukan
dxdy dari 0222 xyyx
Jawab
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh
)0()2()()( 22 ddxydyxd
00)2()2( 22 dxydyxydxxydyx
0)2()2( 22 dyxyxdxyxy
0)2()2( 22 dyxyxdxyxy
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 9
xyxyxy
dxdy
22
2
2
3. Tentukan
dxdy dari xxxy
Jawab
Untuk menentukan dxdy dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah
terlebih dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:
xxxy
078 xy
Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh
)0()()( 78 dxdyd
078 67 dxxdyy
dxxdyy 67 78
Sehingga 7
6
87
yx
dxdy
Latihan soal
Tentukan dxdy fungsi-fungsi berikut ini.
1. 21
4
xxy
2. 03232 2 xyyxy
3. x
ysin
21
4. 0)12(cos2 xy
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 10
5. 21
21x
y
6. 23
)1sec( xy
7. 032)cos( 2 yxxy
8. 0132 yxyx
9. 032)cos( 2 yxxyy
10. 4 1sin xy
Selain turunan fungsi sebagaimana dijelaskan di atas, hal lain yang
mendasar untuk memahami dan mendalami persamaan diferensial adalah tentang
antiturunan. Istilah lain untuk antiturunan adalah integral.
Misal )(xfy menyatakan turunan suatu fungsi, antiturunan dari
)(xfy dinotasikan dengan )(xfAx . Bentuk lain notasi antiturunan fungsi
secara sederhana dilambangkan dengan dxxf )( . Misal antiturunan )(xfy
adalah cxF )( , secara singkat dapat ditulis dengan menggunakan lambang
,,)()( realccxFdxxf dan )(xf disebut integran.
Jika )(xfy suatu fungsi yang mempunyai antiturunan maka fungsi
tersebut dikatakan terintegralkan (integrable).
Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar antiturunan suatu fungsi.
1. realccnuduu
nn
.1
1
dan n bilangan rasional dengan 1n
Akibatnya
untuk n = -1 berlaku cuduu
duuduu n ln11
2. 1,)()(')(1
njikacnxudxxuxu
nn
3. realccxfdxxfxf
,)(ln)()('
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 11
4. realccedue uu ,
5. realccu
aduau
u ,ln
6. duvuvdvu
7. realccuduu .cossin
8. realccuduu .sincos
9. realccuduu .tansec 2
10. realccuduu .cotcsc 2
11. realccuduuu .sectansec
12. realccuduuu .csccotcsc
13. realccucuduu .coslnseclntan
14. realccucuduu .sinlnsinlncot
15. realccuuduu .tanseclnsec
16. realccuuduu .cotcsclncsc
17.
realcac
au
uadu ,.arcsin
22
18.
realcac
au
aaudu
uadu ,.arctan1
2222
19.
realcacauau
auadu ,.ln
21
22
20.
realcacauau
aaudu ,.ln
21
22
21.
realcacuuuau
du ,.ln 22
22
22.
realcacauuau
du ,.ln 22
22
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 12
23.
realcac
auaauuduua ,.arcsin
22
22222
24.
realcac
auarc
aauudu ,.sec1
22
25. realcacauuaauuduau ,.ln22
222
2222
26. realcacauuaauuduau ,.ln22
222
2222
27. realccuuduu .42sin
2sin 2
28. realccuuduu .42sin
2cos 2
29. realccuuduu .tantan 2
30. realccuuduu .cotcot2
31. realccuuduu .cos)sin2(31sin 23
32. realccuuduu .sin)cos2(31cos 23
33. realccuuduu .coslntan21tan 23
34. realccuuduu .sinlncot21cot 23
35. realccuuuuduu .cotcscln21cotcsc
21csc3
36. realcbabajikacba
ubaba
ubadubuau
,,.,)(2)sin(
)(2)sin(coscos 22
37. 22,)(2)sin(
)(2)sin(sinsin bajikac
bauba
baubadubuau
38. 22,)(2)cos(
)(2)cos(cossin bajikac
bauba
baubadubuau
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 13
39.
duun
nn
uuduu nn
n 21
cos1sincoscos
40.
duun
nn
uuduu nn
n 21
sin1cossinsin
41. 1,tantan1
1tan 21
njikaduuun
duu nnn
42. 1,cotcot1
1cot 21
njikaduuun
duu nnn
43. 1,sec12tansec
11sec 22
njikaduunnuu
nduu nnn
44. 1,csc12cotcsc
11csc 22
njikaduunnuu
nduu nnn ,
45. mnduuumn
nmn
uuduuu mnmn
mn
,cossin1cossincossin 211
46. realccuuuduuu .cossinsin
47. realccuuuduuu .sincoscos
48. duuunuuduuu nnn coscossin 1
49. duuunuuduuu nnn sinsincos 1
50. realccuudu .sin21)(sinsin 2
51. realccuudu .cos21)(coscos 2
52. realccuudu .tan21)(tantan 2
53. realccuudu .cot21)(cotcot 2
54. realccuudu .sec21)(secsec 2
55. realccuudu .csc21)(csccsc 2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 14
56. realcacauuaauuduau ,.ln22
222
2222
57.
realcac
uauaaaudu
uau ,.ln
2222
22
58.
realcacauuduau
du ,.ln 22
22
59.
realcacauarcaaudu
uau ,.sec22
22
60. realcacuauauauauduuau ,.ln8
28
224
2222222
61.
realcacua
auauu
du ,.2
22
222
62.
realcacuauauauduau
u ,.ln22
222
22
22
2
63. realcacauuaudu
uau ,.ln 2222
2
22
64.
realcac
auau
audu ,.
2222/322
65.
realcacuaua
duu ,.22
22
66. realcacauuaauauuduau ,,ln8
3)52(8
224
22222/322
67.
realcac
au
uauaa
uaduu ,.arcsin
2
222
22
2
68.
realcac
uuaaauadu
uua ,.ln
2222
22
69.
realcac
auauaauuduuau ,.arcsin
82
8
42222222
70.
realcacua
uauau
du ,.2
22
222
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 15
71.
realacacau
uaudu
uau ,.arcsin
22
2
22
72.
realcacu
uaaauau
du ,.ln1 22
22
73. realccuu
uudu
.
1111ln
1
74. realccuuduu
u
.arctan22)1(
75. realccuuu
du
.1ln2)1(
76.
realccuaa
u
ua
du .)(
22223
22
77. realcacauauauauduua
,.arcsin
8325
8)(
422222
322
78. dueunuudueu ununun 1
79. realccuduue uu .)1(
80. realccuuuduu .lnln
81. realccnuu
nuduuu
nnn
.)1(
ln1
ln 2
11
82. realccbubbuaba
edubueau
au
.)cossin(sin 22
83. realccbubbuaba
edubueau
au
.)sincos(cos 22
84. realccuuuduu .1arcsinarcsin 2
85. realccuuuduu .1ln21arctanarctan 2
86. realccuuuarcuduuarc .1lnsecsec 2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 16
87. realccuuuuduuu .14
arcsin)12(41arcsin 22
88. realccuuuduuu .2
arctan)1(21arctan 2
89. realccuuarcuduuarcu .121sec
2sec 2
2
90.
1,11
1arcsin1
arcsin2
11
njikacduu
un
unuduuu
nn
91.
1,11
1arctan1
arctan2
11
njikacduu
un
unuduuu
nnn
92.
1,11
1sec1
sec2
11
njikacduu
un
uarcnuduuarcu
nnn
93. realccuduu .coshsinh
94. realccuduu .sinhcosh
95. realccuduu .coshlntanh
96. realccuduu .sinhlncoth
97. realccuduu
.sinharctancosh
1
98. realccuduu
.
2tanhln
sinh1
99. realccuuduu .24
sinhsinh 2
100. realccuuduu .24
sinhcosh 2
101. realccuuduu .tanhtanh 2
102. realcuuduu .cothcoth2
103. realccuduu
.tanhcosh
12
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 17
104. realccuduu
.cothsinh
12
105. realcchuduuhu .sectanhsec
106. realcchuduuhu .csccothcsc
107. realccbauab
audu
bauu
.ln
)( 2
108. realccbau
bbaua
dubau
u
.ln1)( 22
109.
2,1,12
)()( 2
1
njikacn
bn
baua
baudubauun
n
110.
1)(22
32))(22(
1)( 122122222 njika
uadu
nn
uanu
adu
uadu
nnn
111.
21)(
122
12)()( 122
22222 njikaua
nna
nuauduua n
nn
112.
1)(22
32))(22(
1)( 122122222 njika
audu
nn
aunu
adu
audu
nnn
113.
21)(
122
12)()( 122
22222 njikaau
nna
nauuduau n
nn
114. dueuameu
adueu aunaunaun 11
115. realcbacbaubaua
dubauu ,,.))(23(15
2 23
2
116. realccbauunbbauuna
dubauu nnn
.)()32(
2 12/3
117.
realcbacbaubaua
dubau
u ,,.)2(3
22
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 18
118. realccdubau
unbbauuna
dubau
u nn
n
.)12(
2 1
119. realccbbaubbau
bbauudu
.ln1
120.
1,
)22()32(
)1( 11 njikacbauu
dubnan
unbbau
bauudu
nnn
121. realcca
aun
auauauduuau
.arcsin22
22
22
122. realcca
auuau
du
.arcsin2 2
123.
duuauun
ann
uauuduuauu nn
n 212/321
2 2212
2)2(2
124.
duuau
un
anuaun
uduuau
duu nnn
2
12
1
2 2)12(2
2
125. realcca
auauauduu
uau
.arcsin22 22
126.
du
uuau
ann
aunuaudu
uuau
nnn 1
223
22 2)32(
3)23(
)2(2
127.
21
2
2 2)12(1
)21(2
2 uauudu
ann
unauau
uauudu
nnn
128. realccuaunnaduuau n
.)2(1
2 122
2
129.
2/32
2
22
242 2)2(
32)2(2 uau
duan
nuaun
au
uau
du n
130. realccu
u
duu
u
.
2232
tan
2232
tanln2
41
sin1sin
2
2
2
131. realccuuduuuu
.cos1lncos
cos1cossin
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 19
132. realccuuuduu .cos2sin2sin
133. realccu
u
udu
.
322
tan
322
tanln3
31
sin21
134. realcc
u
udu
.
3
12
tan2arctan3
32
sin2
135. realccu
u
udu
.
32
tan
12
tan3ln
41
sin53
136. realcc
u
udu
.
5
32
tanarctan
21
sin35
137. realccu
u
uudu
.
2tan1
2tan
lncossin1
138. realccuu
du
.2
arctan332
cos2
139. realcc
u
udu
.3
42
tan5arctan
32
sin45
140. realccuu
du
.2
tan33arctan
332
cos2
141. realccuu
du
.2
tan5arctan5
5223
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 20
142. realccu
uduuu
u
.cos
cos1ln)cos1(cos
sin 2
2
143. realccuuduu
uu
.3
1tan2arctan3
2tan1lntan1
sec)tan2(2
22
144. realccuuu
du
.2
sec2
tan2
2sin1
145. realccuu
udu
.
3sin33cos1
3cos1
146. realccuduu
u
.222sinarctan
82
82sin2cos
2
147. realccuduu
u
.tan2arcsin
21
tan41sec
2
2
148. realccuduu
u
.3
4sinarctan121
4sin98sin 2
2
149. realccauaua
uau
du
.csccot1sec1
150. realccauadu
au
au
.tan
21tansec 22
1.3 Persamaan Diferensial (PD)
Mencermati kembali definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan pada
pembahasan sebelumnya, jika )(xfy maka turunan fungsi dalam bentuk
).(' xfdxdy
Hasil turunan fungsi yang diketahui tersebut merupakan suatu
persamaan yang memuat turunan (derevative).
Contoh
1) Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk )(xfy maka turunannya memuat
tanda .dxdy
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 21
Misal xy 2sin 2 diperoleh xxdxdy 2cos2sin4
Atau
.0)2cos2sin4( dydxxx
2) Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk 0),( yxf maka dihasilkan turunan
fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial, yaitu dy dan dx .
Misal 0cos xyy diperoleh 0)(cos)( xydyd atau
.022
sin
xyydx
xyxdyxydy
Berdasarkan contoh 1 dan 2 di atas, tampak bahwa turunan fungsi membentuk
persamaan yang memuat turunan (derevative) atau diferensial.
Perhatikan beberapa persamaan-persamaan di bawah ini.
1. 032 dydxx
2. xdxdy 23
3. xxydxdy 42
4. 022
2
ydxdy
dxyd
5. 042
2
3
3
ydx
yddx
yd
6. 232 3)'('' xyyy
7. '''' 3 yyy
8. 0
yzxz
xz
9. yxy
zx
z
2
2
2
2
2
10. zyzy
xzx
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 22
Setiap persamaan 1-10 pada contoh di atas, memuat tanda turunan yaitu
yz
xz
dxdy
,,
dan memuat tanda diferensial dy atau .dx Sehingga persamaan
yang memuat turunan atau diferensial dinamakan persamaan diferensial.
Definisi
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat paling
sedikit satu turunan atau diferensial dari suatu FUNGSI YANG BELUM
DIKETAHUI.
Jika dalam suatu persamaan diferensial, turunan yang muncul adalah
turunan biasa, misalnya dxdy maka persamaannya dinamakan persamaan
diferensial biasa, sebaliknya jika turunan yang muncul adalah turunan parsial,
misalnya xz dan
yz , maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial
parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan persamaan diferensial
biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10 di atas dinamakan persamaan
diferensial parsial.
Selain jenis persamaan diferensial biasa dan parsial, dalam persamaan
diferensial dikenal pula istilah tingkat (order) dan derajat (degree). Tingkat
suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul
dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat persamaan diferensial ditentukan
oleh pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan diferensial yang diberikan.
Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini.
1. 032 dyxdx adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu,
karena turunan tertinggi dalam persamaan adalah turunan tingkat satu dan
derajat satu.
Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat dan derajat fungsi dibawah
ini.
2. xdxdy 23 , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 23
3. xxydxdy 42 , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
4. 022
2
ydxdy
dxyd , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
5. 3
3
dxyd
2
2
dxyd - 4
dxdy + 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 (3-1)
6. 232 3)'()"( xyyy , persamaan tingkat dua derajat dua (2-2)
7. ')'('' 3 yyy , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
8. 0
yzxz
xz , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
9. yxy
zx
z
2
2
2
2
2
, persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
10. zyzy
xzx
, persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
1.4 Primitif suatu Persamaan Diferensial
Sebagaimana telah disebutkan dalam definisi persamaan diferensial,
bahwa suatu persamaan diferensial memuat turunan dari suatu fungsi yang
belum diketahui. Dengan demikian jika diketahui suatu persamaan diferensial
maka dapat ditentukan fungsi yang belum diketahui tersebut. Untuk menentukan
fungsi yang belum diketahui suatu persamaan diferensial terdapat beberapa cara,
tergantung jenis persamaan, tingkat, dan derajatnya.
Sebelum dirincikan secara mendetail tentang cara menentukan fungsi
yang belum diketahui suatu persamaan diferensial, maka yang perlu diperhatikan
adalah koefisien dari masing-masing diferensial apakah sudah sejenis.
Perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini.
1. Tentukan primitif persamaan diferensial
xdxdy
2
Jawab
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 24
0)2( dydxx
0)2( dydxx
Rccyxx ,212 2
Rccyxx ,24 2
Berdasarkan uraian di atas, maka fungsi yang belum diketahui dari
persamaan diferensial xdxdy
2 , adalah 4 cyxx 22
Selanjutnya 4 cyxx 22 dinamakan selesaian umum. Selesaian
umum persamaan diferensial juga disebut sebagai persamaan keluarga
kurva.
2. Tentukan primitif persamaan
0)()( dyyxydxxxy
Jawab
Persamaan di atas diubah menjadi
0)1()1( dyxydxyx
011
dyy
ydxx
x
cdyy
ydxx
x11
dy
ydx
x 111
111 =
dy
ydydx
xdx
111
111 = c
cyyxx 1ln1ln
cxyyx 1ln1ln)(
cxyyx
11ln)(
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 25
)(
11 yxce
xy
Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan diferensial
0)()( dyyxydxxxy adalah
)(
11 yxce
xy
atau )()1()1( yxexcy
3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial
yxyyy ')1(
Jawab
Persamaan di atas diubah menjadi
)1(')1( xyyy
dxxydyy )1()1(
01)1(
dy
yydxx
01)1( dydyy
dxx
0ln21 2 yyxx
yxxy 2
21ln
cey yxs 222 2
Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan diferensial
yang diberikan adalah
cey yxs 222 2
Hal lain yang sering muncul dalam persamanaan diferensial adalah
menentukan persamaan diferensial suatu primitif. Jika hal ini yang terjadi maka
kita harus melihat angka penting dalam suatu primitif. Primitif selalu memuat
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 26
konstanta sebarang sebanyak n . Konstanta tersebut dikatakan penting (esensial)
dan sangat menentukan bentuk persamaan diferensialnya.
Contoh
1. cyx 22 adalah primitif dengan satu angka penting
2. xx ececy 321 adalah primitif dengan dua angka penting
3. bxBaxAy cossin adalah primitif dengan dua angka penting
4. 222)( rycx adalah primitif dengan dua angka penting.
Jika ditentukan primitif maka untuk menentukan persamaan diferensialnya
mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:
1. Tentukan banyaknya konstanta sebarang atau angka penting primitif yang
diketahui.
2. Misal angka pentingnya sebanyak n , maka turunkan primitif tersebut sampai
turunan nke . Hasil akhirnya adalah persamaan yang diminta jika dalam
persamaan tersebut tidak terdapat konstanta sebarang yang lain. Jika
fungsinya dinyatakan dalam bentuk implisit, maka dapat digunakan kaidah
diferensial pada masing-masing variabelnya.
3. Pada langkah kedua, jika masih terdapat konstanta sebarang, eliminir semua
konstanta sebarang tersebut. Jika banyaknya konstanta sebarang n, maka
untuk mengeliminirnya diperlukan )1( n persamaan dan diperoleh setelah
primitif diturunkan sampai turunan nke .
4. Banyaknya konstanta sebarang menunjukkan order tertinggi turunan dalam
persamaan diferensial yang dicari.
5. Yang perlu diingat bahwa dalam primitif selalu terdapat konstanta sebarang
yang disebut angka penting, sedangkan dalam persamaan diferensial tidak
terdapat konstanta sebarang.
Perhatikan beberapa contoh berikut:
1. Tentukan persamaan diferensial dari primitif cyx 22 2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 27
Jawab
Primitif mempunyai 1 angka penting, sehingga
)()2()( 22 cdydxd
042 dyydx
yx
dxdy
2
Persamaan diferensial dari primitif cyx 22 2 adalah y
xdxdy
2
2. Tentukan persamaan diferensial dari primitif axBaxAy sincos
Jawab
Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, maka
axBaaxAadxdy cossin
axBaaxAadx
yd sincos 222
2
)sincos(2 axBaxAa
ya 2
Sehingga persamaan diferensial dari primitif axBaxAy sincos adalah
022
2
yadx
yd
3.
Tentukan persamaan diferensial dari primitif 22 ccxy
Jawab
Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, sehingga
02' cxy
cy 2''
2'yc
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 28
selanjutnya 2'yc substitusikan ke persamaan 22 ccxy
Didapat 2
2
2"
2"
yxyy
4. Tentukan persamaan diferensial dari primitif
Jawab xx ececy 2
21
Primitif mempunyai 2 angka penting, sehingga xx ececy 2
212'
xx ececy 22
14''
Karena sampai pada turunan kedua masih terdapat konstanta c, maka
dengan cara substitusi diperoleh persamaan 02'3'' yyy
5. Tentukan persamaan diferensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari r
satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x.
Jawab
Persamaan keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap dan
berpusat pada sumbu x adalah 222)( rycx
Dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x, didapat
02)(2 dxdyycx
Selanjutnya persamaan di atas diturunkan lagi terhadap variabel x sehingga
diperoleh persamaan baru
02)1(2
dxdyy
dxdx
dxd
022 2
2
dxdy
dxydy
Persamaan dibagi 2 diperoleh persamaan
012
2
dxdy
dxydy yang merupakan persamaan diferensial yang
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 29
diminta.
6. Tentukan persamaan diferensial keluarga kurva parabola yang fokusnya di
titik asal dan sumbu simetrinya sepanjang sumbu x.
Jawab
Persamaan bola yang diminta adalah )(42 xccy
Dengan menurukan masing-masing peubah, diperoleh
04'2 cyy
cyy 2'
2'yyc
Substitusikan ke persamaan semula
xyyyyy
2'
2'4
0)'('22 2 xyyyyy
0)'('222 xyyyy
1.5 Masalah Nilai awal dan Syarat Batas
Setiap persamaan diferensial yang diberikan akan menimbulkan
pertanyaan, apakah persamaan diferesial tersebut mempunyai selesaian?. Jika
mempunyai selesaian umum apakah selesaian tersebut tunggal?. Untuk
menjawab pertanyaan tersebut perlu dijelaskan terlebih dahulu tentang
pengertian masalah nilai awal.
Setiap selesaian persamaan diferensial terdapat persoalan-persoalan yang
dapat dicantumkan apabila diketahui n nilai-nilai
).(),.....(''),('),( )1(o
nooo xyxyxyxy
Contoh
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 30
Persamaan diferensial xdxdy 2 mempunyai selesaian realccxy ,2
Karena realc maka:
1. 32 xy memenuhi selesaian persamaan xdxdy 2
2. 312 xy memenuhi selesaian persamaan x
dxdy 2
3. 1002 xy juga memenuhi selesaian xdxdy 2 , dan seterusnya.
Bentuk cxy 2 dinamakan selesaian umum persamaan
diferensial xdxdy 2 sedangkan 32 xy ,
312 xy dan 1002 xy
dinamakan selesaian khusus (particular solution). Nilai c sebagai konstanta real
dapat ditentukan, jika dalam persamaan diferensial yang diketahui diberikan
syarat awalnya. Persamaaan diferensial yang mempunyai syarat awal dinamakan
masalah nilai awal (initial value problems).
Definisi
Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial tingkat n bersama dengan n
syarat awal pada suatu nilai yang dimungkinkan mempunyai nilai pada variabel
bebas yang sama.
Bentuk lain dari definisi di atas dapat dinyatakan dengan pernyataan sebagai
berikut:
Masalah nilai awal suatu persamaan diferensial tingkat-n yang ditulis dalam
bentuk 0),.....,''','',',,( )( nyyyyyxf yaitu menentukan selesaian persamaan
diferensial pada interval I dan memenuhi n syarat awal di Ix o subset dari
bilangan real.
Bentuk umum masalah nilai awal dinyatakan dengan:
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 31
0),.....,''','',',,( )( nyyyyyxf dengan
non
non
oooo yxyyxyyxyyxyyxy )(,)(,...,)('',)(',)( 1
)1(21
Atau
non
o
oo
n
yxy
yxyyxy
denganyyyyxf
)(..................
)(')(
0),...",',,(
)(
1
)(
dimana 1321 ,.....,,,, no yyyyy adalah kontanta
Berdasarkan definisi di atas, selesaian umum persamaan diferensial
memuat konstanta c , sedangkan pada persamaan diferensial dengan n syarat
awal konstanta c tersebut diganti dengan bilangan real )(R yang memenuhi
syarat awal.
Perhatikan contoh berikut ini.
1. Tentukan selesaian masalah nilai awal
,1)0(
'
ydengan
ey x
Jawab
ceydxeyey xxx ' (selesaian umum)
Karena 1)0( y maka ce 01 dan didapat 2c
Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah
2 xey
2.
1)1(
1
ydengan
xdxdy
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 32
Jawab
1 xdxdy maka cxxdxxy 2
21)1(
Karena 1)1( y maka c 1)1(211 2 dan diperoleh
21
c
sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah
21
21 2 xxy atau 01222 yxx
3. 1 ydxdyx dengan 1)1( y
Jawab
1 ydxdyx
0)1(
x
dxy
dy
0)1( x
dxy
dy
cxy ln1ln
cxy )1(ln
cxy )1(
Karena 1)1( y maka c 1)11( atau 0c
Sehingga selesaian khususnya adalah 0)1( xy
1.6 Latihan soal-soal
1. Tentukan 'y dari uvy jika diketahui
a. 32 11
2 xxvdanx
xu
b. xvdanxu cos1sin 2
c. xxvdanxu cossin1 2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 33
d. x
xvdanx
u31ln
1
e. 3211
xvdanx
u
2. Misal )(xf dan )(xg fungsi-fungsi yang terintegralkan dan realk
Buktikan bahwa:
a. dxxfkdxxkf )()(
b. dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
c. dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
3. Klasifikasikan tingkat dan derajat persamaan diferensial di bawah ini
a) 0)cos( dxxxydy
b) 0)'(2''''' 2 xyyyxyy
c) 3)'(' yxyxy
d) 03
2
22
3
3
vw
dvwd
dvwd
e) 4
2
2
2
1
dxdy
dxyd
f) xyy sin'
g) 22
2
xdxdye
dxyd xy
h) xdx
yddx
yd 2
2
4
4
3
i) xydxdyx
dxyd 313
2
2
2
j) 1)"sin( ' yey
k) xydxdy
dxydx costan)(sin 2
2
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 34
l) xxydxdyx
dxyd
dxyd tan)(sin4 2
2
3
3
4. Tentukan antiturunan dari
a) xxxf cossin)(
b) xexf x cos)( 2
c) xxf 4sin2)(
d) xxxf tansec)(
e) xxxf 42 cossin)(
f) 213
)( xxxf
g) xxxf ln2)(
h) xxxf 1)(
i) xxxf sin)( 2
j) 22)( xexf x
5. Tentukan persamaan diferensial dari primitif yang diketahui banyaknya
angka penting berikut ini:
a) xAy sin
b) )sin( Axy
c) BAey x
d) cyxyyx 22 2
e) cxcy 2)(
f) cyx 222
g) Pada setiap titik (x,y) koefisien arah garis singgungnya sama dengan
kuadrat absis titik tersebut.
h) Pada setiap titik, panjang sub tangen sama dengan jumlah koordinat titik
itu.
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 35
6. Tunjukkan bahwa bahwa persamaan diferensialxy
dxdy
mempunyai selesaian
umum cxy
7. Diberikan persamaaan diferensial xy 2'
a) Tunjukkan bahwa cxy 2 adalah selesaian umumnya.
b) Pilih c , sedemikian sehingga selesaiannya melalui (1,4)
c) Pilih c , sedemikian sehingga selesaiannya adalah gradien dari persamaan
32 xy .
d) Pilih c, sedemikian selesaiannya memenuhi syarat 21
0
dxy
8. Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut dengan syarat awal yang
diberikan.
a) 2)1(,ln yxdxdy
b) 0)0(, yyx
dxdy
c) 1)0(',2)0(,cos2
2
yyxdx
yd
d) 4)0('',1)0(',1)0(,63
3
yyyxdx
yd
e) 0)1(,1)0(,2
2
yyedx
yd x
f) 0)()1(),ln23(22
2
eyyxdx
yd
Persamaan Diferensial: Dwi Purnomo 36