Bài 8. Tiếp tuyến
71
BÀI 8. TIẾP TUYẾN
§8.1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN
A. TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG PHẲNG
Cho đồ thị (C): y = f (x). Gọi M0, M là 2 điểm phân
biệt và cùng thuộc đồ thị (C). Khi đó nếu cố định
điểm M0 và cho điểm M chuyển động trên (C) đều
gần điểm M0 thì vị trí giới hạn của cát tuyến
(M0M) là tiếp tuyến (M0T) tại điểm M0.
( )0
0 0M Mlim M M (M T)→
= TiÕp tuyÕn
B. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN
I. BÀI TOÁN 1: Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị
1. Bài toán: Cho đồ thị (C): y = f (x) và điểm 0 0 0M ( , )x y ∈(C). Viết PTTT của
(C) tại điểm 0 0 0M ( , )x y
2. Phương pháp:
� Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm suy ra
phương trình tiếp tuyến tại 0 0 0M ( , )x y của (C) là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0y y f x x x y f x x x f x′ ′− = − ⇔ = − +
II. BÀI TOÁN 2: Viết PTTT theo hệ số góc cho trước
1. Bài toán: Cho (C): y = f (x) và số k ∈� . Viết PTTT của (C) có hệ số góc k.
2. Phương pháp:
2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm
� Giả sử tiếp tuyến có hệ
số góc k tiếp xúc với
(C): y = f (x) tại điểm có hoành độ xi
⇒ ( )if x k′ = ⇒ ix là nghiệm của ( )f x k′ =
� Giải phương trình ( )f x k′ = ⇒ nghiệm x∈{x0, x1,… xi,… xn}
PTTT tại x = xi là: ( ) ( )i iy k x x f x= − +
0M
M
1M
M2
T
T
0M0f(x )
0xO x
y(C): y=f(x)
xx0
1x ix nx...
...
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
72
2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng trong khi thi)
Xét đường thẳng với hệ số góc k có phương trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc
(C): y = f (x) ⇔ phương trình ( )kx m f x+ = có nghiệm bội (nghiệm kép)
⇔ … ⇔ nói chung: ( ) ( )2 0ux v m x w m+ + = có nghiệm kép
⇔ ( ) ( ) ( )2 4 . 0g m v m u w m∆ = = − = .
Giải phương trình ( ) 0g m = ⇒ các giá trị của m ⇒ PTTT.
c) Chú ý: Vì điều kiện ( ) ( )1 :C y f x= và ( ) ( )
2 :C y g x= tiếp xúc nhau là hệ điều
kiện ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=
′ ′= có nghiệm chứ không phải là điều kiện ( ) ( )f x g x= có
nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số
f (x) mà phương trình tương giao ( )kx m f x+ = có thể biến đổi tương đương
với 1 phương trình bậc 2.
3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc k
a) Dạng trực tiếp: 1 11, 2,... , , ... 2, 3,...2 3
k = ± ± ± ± ± ±
b) Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α ⇒ k = tgα với
{ }15 ,30 , 45 ,60 ,75 ,105 ,120 ,135 ,150 ,165α = ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° (*)
c) Tiếp tuyến � với đường thẳng ( ) : y ax b∆ = + ⇒ k = a
d) Tiếp tuyến ⊥với đường thẳng ( ) : y ax b∆ = + ⇒ 1ka−= với a ≠ 0
e) Tiếp tuyến tạo với ( ) : y ax b∆ = + góc α ⇒ tg1k a
ka− = α
+ với (*)α∈
III. BÀI TOÁN 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm cho trước
1. Bài toán:
Cho đồ thị (C): y = f (x) và điểm A(a, b) cho trước.
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(a, b) đến đồ thị ( ) ( ):C y f x=
2. Phương pháp:
Bài 8. Tiếp tuyến
73
2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm:
• Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a, b)
tiếp xúc (C): y = f (x) tại tiếp điểm có
hoành độ xi suy ra PTTT có dạng:
( ) ( ) ( ) ( ): i i it y f x x x f x′= − +
Do ( ) ( ),A a b t∈ nên ( ) ( ) ( )i i ib f x a x f x′= − + ⇒ ix x= là nghiệm của
phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0b f x a x f x f x x a b f x′ ′= − + ⇔ − + − = (*)
Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x∈{x0, x1,… xi,… xn}.
Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là: ( ) ( )i iy k x x f x= − +
• Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a, b) với hệ số góc k có PT ( )y k x a b= − +
tiếp xúc với đồ thị (C): y = f (x)
⇔ Hệ phương trình ( ) ( )
( )
f x k x a b
f x k
= − +
′ = có nghiệm
⇒ ( ) ( ) ( )f x f x x a b′= − +
⇔ ( ) ( ) ( ) 0f x x a b f x′ − + − = (*)
Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x∈{x0, x1,… xi,… xn}
Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là: ( ) ( ) ( )i i iy f x x x f x′= − +
2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng khi đi thi)
• Cách 3: Đường thẳng đi qua A(a, b) với hệ số góc k có phương trình
( )y k x a b= − + tiếp xúc (C): y = f (x) ⇔ phương trình ( ) ( )k x a b f x− + = có
nghiệm bội (nghiệm kép) ⇔ … ⇔ nói chung: ( ) ( ) ( )2 0u k x v k x w k+ + = có
nghiệm kép ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 và 4 . 0u k g k v k u k w k≠ ∆ = = − =
⇔ ( )
( ) 2
0
. . 0
u k
g k k k
≠
= α + β + γ = (**) Hệ sinh ra hệ số góc
Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra các giá trị của k hoặc số lượng của k.
Từ đó suy ra PTTT hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A(a, b).
A(a,b)
(C): y=f(x)
(C): y=f(x)
A(a,b)
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
74
§8.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ TIẾP TUYẾN
I. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI 1 ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ
Bài 1. Cho hàm số ( ) ( )3( ) : 1 1mC y f x x m x= = + − + . Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp
tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8.
Giải: ( ) 23y x x m′ = − . Gọi ( ) OmC y A≡∩ ⇒ 0Ax = ; ( )1 ; 0Ay m y m′= − = −
Tiếp tuyến của (Cm) tại A là: ( ) ( ) ( ) ( ): 0 0 0 1t y y x y mx m′= − + = − + − .
Xét tương giao: ( ) ( ) ( ) ( )1O 0,1 ; O ,0mt y A m t x Bm
−≡ − ≡∩ ∩
21 1. 8 1 162 2OAB A BS OAOB y x m m∆⇒ = = = ⇔ − =
2 2
2 2
2 1 16 18 1 0 9 4 5
2 1 16 14 1 0 7 4 3
m m m m m m
m m m m m m
− + = − + = = ± ⇔ ⇔ ⇔
− + = − + + = = − ±
Bài 2. Cho ( ) ( ) 3 2: 3 1mC y f x x x mx= = + + + .
a. Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b. Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Giải: Đạo hàm: ( ) 23 6y x x x m′ = + +
a. ( ) ( )1mC y =∩ : ( )( )
( )3 2 2
2
0 C 0,13 1 1 3 0
3 0
xx x mx x x x m
g x x x m
= ⇒+ + + = ⇔ + + = ⇔
= + + =
§iÓm
Yêu cầu bài toán ⇔ xD, xE là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của g(x) = 0
⇔ ( )
99 4 090440 0 0
m mm
g m m
∆ = − > < ⇔ ⇔ ≠ <
= ≠ ≠
(*) ⇒ D E D E; 3x x m x x+ = = −
b. Với điều kiện 904
m≠ < thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2D E D D E E1 3 6 3 6y x y x x x m x x m′ ′− = = + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )D D E E D E3 3 2 3 3 2 3 2 3 2g x x m g x x m x m x m = − + − + = + +
( ) ( )2 2 2D E D E9 6 4 9 6 . 3 4 4 9x x m x x m m m m m m= + + + = + − + = −
⇔ 2 9 654 9 1 0
8m m m
±− + = ⇔ = (thoả mãn điều kiện (*) )
Bài 8. Tiếp tuyến
75
Bài 3. Cho hàm số ( ) 3 2( ) : 3 2C y f x x x= = − +
a) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua ( )23 , 29
A − đến (C)
b) Tìm trên đường thẳng y = −2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến ⊥ nhau
Giải: Đạo hàm: ( )23 6 3 2y x x x x′ = − = −
Đường thẳng đi qua ( )23 , 29
A − với hệ số góc k có phương trình ( )23 29
y k x= − −
tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x= ⇔ Hệ ( ) ( )( )
23 29
f x k x
f x k
= − − ′ =
có nghiệm
⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 223 232 3 2 3 2 29 9
f x f x x x x x x x′= − − ⇔ − + = − − −
⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 223 22 2 3 2 2 3 10 3 09 3
x x x x x x x x x− − − = − − ⇔ − − + =
⇔
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1
2 2
3 3
232 : 2 2 29
233 : 3 2 9 259
23 5 611 1 : 23 3 9 3 27
x x t y y x y
x x t y y x y x
x x t y y x y x
′= = ⇒ = − − ⇔ = −
′= = ⇒ = − − ⇔ = −
− ′= = ⇒ = − − ⇔ = +
TiÕp tuyÕn
TiÕp tuyÕn
TiÕp tuyÕn
b) Lấy bất kì M(m, −2) ∈ đường thẳng y = −2
Đường thẳng đi qua M(m, −2) với hệ số góc k có phương trình ( ) 2y k x m= − −
tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x= ⇔ Hệ ( ) ( )
( )
2f x k x m
f x k
= − −
′ = có nghiệm
⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 22 3 2 3 2 2f x f x x m x x x x x m′= − − ⇔ − + = − − −
⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2 22 2 3 2 2 2 3 1 2 0x x x x x x m x x m x− − − = − − ⇔ − − − + =
⇔ ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2
2 : 2 2 2
2 3 1 2 0
x t y y x m y
g x x m x
′ = ⇒ = − − ⇔ = −
= − − + =
TiÕp tuyÕn
Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến 2 // Oy x= − nên để từ
M( , 2)m − kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (C) thì g(x) = 0 phải có 2
nghiệm phân biệt x1, x2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x1, x2 vuông
góc với nhau ⇒ ( ) ( )( )2 53 1 16 3 5 3 3 0 13g m m m m m∆ = − − = − + > ⇔ > ∨ < − (*)
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
76
Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1 2 23 1; 1 3 2 .3 2 1
2
mx x x x f x f x x x x x− ′ ′+ = = ⇒ = − − = −
⇔ ( ) ( )[ ]1 2 1 2 1 29 2 4 1 9 1 3 1 4 1 54 27 1x x x x x x m m − + + = − ⇔ − − + = − ⇔ − = −
5527
m⇔ = (thoả mãn (*) ). Vậy ( ) ( )55M , 2 227
y− ∈ = − thoả mãn yêu cầu.
Bài 4. Cho hàm số ( ) 3( ) : 12 12C y f x x x= = − +
Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Giải: Đạo hàm: 23 12y x′ = −
Lấy bất kì M(m, −4) trên đường thẳng y = −4. Đường thẳng đi qua M(m, −4)
với hệ số góc k có phương trình ( ) 4y k x m= − − tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x=
⇔ Hệ ( ) ( )
( )
4f x k x m
f x k
= − −
′ = có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) 4f x f x x m′= − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 212 12 3 12 4 2 2 8 3 2 2x x x x m x x x x x x m⇔ − + = − − − ⇔ − + − = − + −
( ) ( ) ( ) ( )[ ]2 22 2 8 2 3 6 3 6x x x x x m x m⇔ − + − = − + − −
( ) ( ) ( )[ ]22 2 3 4 2 3 4 0x x m x m⇔ − − − − − = . Để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì
( ) ( ) ( )22 3 4 2 3 4 0g x x m x m= − − − − = phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2
⇔ ( ) ( )
( ) ( )
23 4 16 3 4 0
2 8 4 3 4 0
m m
g m
∆ = − + − >
= − − ≠ ⇔
( ) ( )
( )
43 3 4 4 04 212 2 03
mm m
mm
< − − + > ⇔< ≠− ≠
Bài 5. Tìm trên đồ thị ( ) ( )3 2( ) : 0C y f x ax bx cx d a= = + + + ≠ các điểm kẻ
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
Giải: Đạo hàm: ( ) 23 2y f x ax bx c′ ′= = + +
Lấy bất kì M(m, f (m)) ∈ (C): y = f (x). Đường thẳng đi qua M(m, f (m) với hệ
số góc k có phương trình: ( ) ( )y k x m f m= − + tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x=
⇔ Hệ ( ) ( ) ( )
( )
f x k x m f m
f x k
= − +
′ = có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )f x f x x m f m′= − +
( ) ( )3 2 2 3 23 2ax bx cx d ax bx c x m am bm cm d⇔ + + + = + + − + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 23 2a x m b x m c x m ax bx c x m⇔ − + − + − = + + −
Bài 8. Tiếp tuyến
77
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )222 0 2 0x m ax am b x m am b x m ax am b⇔ − − − − − + = ⇔ − + + =
⇔ 2
am bx m xa+= ∨ = − . Từ điểm M(m, f (m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến
đến (C) ⇔ 32 3
am b bm am b ma a+ −− = ⇔ = − ⇔ =
Vậy ( )M ,3 3
b bfa a
− −
∈(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Bình luận: ( ) 6 2 03
bf x ax b xa
−′′ = + = ⇔ = ⇒ Điểm uốn ( ),3 3
b bU fa a
− −
Bài 6. Cho đồ thị (C): ( )2 2x mx my f x
x m− += =
+.
1) Chứng minh rằng: Nếu (Cm) cắt Ox tại x0 thì tiếp tuyến của (Cm) tại điểm
đó có hệ số góc là 00
0
2 2x mk
x m
−=
+
2) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (Cm) tại 2 điểm
đó vuông góc với nhau.
Giải:
1) Giả sử ( ) ( )220 00 0
0 00 0
2 02O ,0 0
x mx mx mx mC x x y
x m x m
− + =− + ≡ ⇒ = = ⇔
+ ≠ −∩ (*)
Tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Ox có hệ số góc là:
( )( ) ( ) ( )
( )
20 0 0 0 0
0 0 20
0
do (*) 2 2 2 2 2x m x m x mx m x mk y x
x mx m
− + − − + −′= = =
++ (đpcm)
2) Giả sử (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt ⇒ ( ) 2 2 0g x x mx m= − + = có 2
nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 1 2 1 2 1 22 ; ; ,x x m x x m x x m+ = = ≠ − . Tiếp
tuyến tại x1, x2 vuông góc nhau ⇔ 1 21 2
1 2
2 2 2 21
x m x mk k
x m x m
− −= ⋅ = −
+ +
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 24 0x m x m x m x m⇔ − − + + + = ⇔ ( ) 21 2 1 25 3 5 0x x m x x m− + + =
( ) ( )25 3 2 5 0 5 0m m m m m m⇔ − + = ⇔ − = ⇔ { }0;5m∈ .
Với m = 0 thì ( ) 21 20 0g x x x x= = ⇔ = = (loại)
Với m = 5 thì ( ) 21,210 5 0 5 2 5g x x x x m= − + = ⇔ = ± ≠ − (thoả mãn)
Vậy để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (Cm) tại 2 điểm đó
vuông góc với nhau thì m = 5.
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
78
Bài 7. Cho đồ thị ( )2 22 2 1
( ) :m
mx m x mC y
x m
+ − − −=
−. Tìm m để hàm số có cực
trị. Chứng minh rằng: Với m tìm được, trên đồ thị hàm số luôn tìm được
2 điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
Giải: � Đạo hàm: 12y mxx m
= + −−
⇒ ( )2
1y mx m
′ = +−
Hàm số có cực trị ⇔ 0y′ = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m < 0
� Với m < 0, chọn 2mk = . Xét PT: ( )y x k′ = ⇔
( )2
12mm
x m+ =
−
( )( )2
2
1 2 2 22m x m x m x m
m m mx m
− − − −⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±−
.
Xét PT: ( ) 1y xk−′ = ⇔
( )2
1 2mmx m
−+ =−
( )
( )2
2
21 m
mx m
− +⇔ =
−
( )2
2 22 2
m mx m x mm m
− −⇔ − = ⇔ − = ±+ +
2 2
mx mm
−⇔ = ±+
.
Vậy với m < 0 và 2mk = thì các PT ( )y x k′ = có nghiệm x1 và ( ) 1y x
k−′ = có
nghiệm x2 nên ( ) ( )1 2. 1y x y x′ ′ = − , tức là luôn tìm được 2 điểm thuộc đồ thị mà
tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 8. Cho 2 2( ) :
1x xC y
x
+ +=−
. Tìm A∈(C) sao cho tiếp tuyến tại A vuông góc
với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của (C)
Giải: � ( )2 2 42
1 1x xy f x x
x x
+ += = = + +− −
⇒ TCÐ: 1
TCX : 2
x
y x
=
= + ⇒ TĐX: I(1, 3)
� Đạo hàm: ( )2
411
yx
′ = −−
⇒ ( )( )2
411
y aa
′ = −−
. Gọi ( )4, 21
A a aa
+ +−
∈(C)
⇒ Đường thẳng (AI) có hệ số góc là: ( )2
411
A I
A I
y yk
x x a
−= = +
− −
Do tiếp tuyến tại A vuông góc với đường thẳng (AI) nên ( ) . 1y a k′ = −
⇔ ( )
( )( )
( )
44 4 44
444 4 4
1 8 1 8,3 2 2 8161 1 1 81 1 8 1 8,3 2 2 8
a Aa
a a A
= − ⇒ − − −− = − ⇔ − = ⇔− = + ⇒ + + +
Bài 8. Tiếp tuyến
79
Bài 9. Tiếp tuyến của 1( ) :C y xx
= + cắt Ox, Oy tại A(α, 0) và B(0, β).
Viết phương trình tiếp tuyến khi αβ = 8
Giải: � Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 là:
( ) ( ) ( ) ( )20
0 0 0 2 20 00 0
11 2 2: 1x
t y y x x x y x y x y xx xx x
− ′= − + ⇔ = − + ⇔ = ⋅ +
( ) ( ) 0
20
2O ,0 ;
1
xt x A
x= α ⇔ α =
−∩ ( ) ( )
0
2O 0,t y Bx
= β ⇔ β =∩
αβ = 8 ⇔ 0
2 200 0
2 2 48 81 1
x
xx x⋅ = ⇔ =
− − 2 2
0 0 01 1 112 2 2
x x x⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy PTTT là: 2 2y x= − ±
Bài 10. Cho đồ thị ( )2 3 4:2 2
x xC yx
− +=−
và điểm M bất kì ∈ (C). Gọi I là giao
của 2 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
a) Chứng minh rằng: M là trung điểm của AB.
b) Chứng minh rằng: Tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là không đổi
c) Chứng minh rằng: IABS const∆ = .
d) Tìm M để chu vi ∆IAB nhỏ nhất.
Giải
• 2 3 4 112 2 2 1
x x xyx x
− += = − +− −
( )1TCÐ: 1; TCX : 1 1,2 2xx y I −⇒ = = − ⇒
( )( )2
1 12 1
y xx
′ = −−
⇒ ( )( )2
1 12 1
y mm
′ = −−
với ( )1M , 12 1mm
m− +
−∈(C). Tiếp tuyến tại M là (t):
( ) ( ) ( )( )
( )2
1 1 112 2 11
my y m x m y m y x mmm
′= − + ⇔ = − − + − + −−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 1TCÐ: 1 1, ; TCX : 1 2 1,1 2 2 2
xt x A t y B m mm
= ≡ − = − ≡ − −−
∩ ∩
M
xB 2
B
A
x
y
O
yA
I −1
H
α
ϕ
1
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
80
a) Do M2A Bx x
m x+
= = và A, M, B thẳng hàng ⇒ M là trung điểm của AB.
b) 1 22 2. 1
5. 1 5d d m
m= − ⋅ =
−
c) BH ⊥ AI ⇒ 1 1 1 2 1. . . 2 2 4 22 2 2 1 2IAB A I B HS IA BH y y x x m
m∆ = = − − = − = ⋅ =−
d) Gọi góc giữa 2 tiệm cận là α, góc giữa tiệm cận xiên với chiều dương Ox là
ϕ ⇒ α + ϕ = 2π . Do TCX: 1
2xy = − có hệ số góc là 1
2 nên 1tg
2ϕ =
2
2
sin sin1 1cos 2 4cos
ϕ ϕ⇔ = ⇒ =
ϕ ϕ
2
2 2
sin 1 1 2sin ;cos1 4sin cos 5 5
ϕ⇔ = ⇒ ϕ = ϕ =
+ϕ + ϕ
Ta có chu vi ∆IAB là: 2 2 2 . cosP IA IB AB IA IB IA IB IA IB= + + = + + + − α
( )2 . 2 . 2 . sin 2 . 2 1 sinIA IB IA IB IA IB IA IB≥ + − ϕ = + − ϕ
( )2 . 2 1 sinsinIA BH= + − ϕ
α( )8 2 1 sin
cos= + − ϕ
ϕ 42 20 2 5 1= ⋅ + −
⇒ 4Min 2 20 2 5 1P = ⋅ + − . Dấu bằng xảy ra ⇔
4 20. .cos 4
IA IBIA IB
IA IB
=⇔ = =
α = ⇔ 4 4 42 4 420 1 1
5 51m m
m= ⇔ − = ⇔ = ±
−
Bài 11. Cho đồ thị: ( )2 3:
2x xC y
x− +=−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tạo với đường thẳng ( ) : 1y x∆ = − + góc 60°.
Giải
� Do tiếp tuyến của (C) tạo với ( ) : 1y x∆ = − + góc 60° nên hệ số góc k của tiếp
tuyến thoả mãn ( )
( )
( )
( )
1 3 1 2 31tg 60 3
1 . 1 1 3 1 2 3
k k kk
k k k k
+ = − = −− −= ° = ⇔ ⇔
+ − + = − = +
� 2 3 51
2 2x xy x
x x− += = + +− −
⇒ ( )( )2
512
y xx
′ = −−
- Xét 2 3k = + , khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
( )2
51 2 32x
− = +−
⇔ ( )( )2 5 1 3
2 02
x−
− = < (Vô nghiệm)
Bài 8. Tiếp tuyến
81
- Xét 2 3k = − ⇒ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
( )2
51 2 32x
− = −−
⇔ ( )( )2 5 1 3
22
x+
− = ⇔ ( )
1,2
5 1 32
2x x
+= = ±
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
: 2 3 2 3 2 3 1 2 5 3 1
: 2 3 2 3 2 3 1 2 5 3 1
t y x x y x y x
t y x x y x y x
= − − + ⇔ = − + − − −
= − − + ⇔ = − + − + −
Bài 12. Chứng minh rằng: Từ điểm A(1, −1) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc
nhau đến đồ thị (C): ( )2 1
1x xy f x
x
+ += =+
• Cách 1: Đường thẳng đi qua A(1, −1) với hệ số góc k có phương trình
( )1 1y k x= − − tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( ) ( )
( )
1 1f x k x
f x k
= − −
′ = có nghiệm
⇒ ( ) ( ) ( ). 1 1f x f x x′= − − ⇔ … ⇔ ( ) 2 3 1 0g x x x= + + = 1,2
3 5
2x x
− ±⇔ = =
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
2 21 1 2 21 1 2 2
1 2 2 2 2 21 21 2 1 2
1 12 2 1 11 11 1 1 1
g x x g x xx x x xf x f x
x xx x x x
− + − ++ +′ ′ = ⋅ = ⋅ = = −
+ ++ + + + •
Cách 2: Đường thẳng đi qua A(1, −1) với hệ số góc k có phương trình
( )1 1y k x= − − tiếp xúc với (C) ⇔ ( )2 11 1
1x xk x
x
+ +− − =+
có nghiệm kép ⇔
( )[ ]( ) ( )21 1 1 1k x x x x− − + = + + hay ( ) ( )21 2 2 0k x x k− − − + = có nghiệm kép
( ) 21 và 1 0k g k k k′⇔ ≠ ∆ = = + − = . Ta có: 1 4 5 0g∆ = + = > nên ( ) 0g k = có 2
nghiệm phân biệt k1, k2 thoả mãn 1 2 1k k = − . Từ đó suy ra từ A(1, −1) luôn kẻ
được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C).
Bài 13. Viết PT tiếp tuyến đi qua A(6, 4) đến (C): ( )2 2 1
2x xy f x
x
− += =−
Giải: Đường thẳng đi qua A(6, 4) với hệ số góc k có phương trình
( )6 4y k x= − + tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( ) ( )
( )
6 4f x k x
f x k
= − +
′ = có nghiệm
⇒ ( ) ( ) ( ). 6 4f x f x x′= − + ⇔ ( ) ( )
( )( )
2
2
1 32 1 6 42 2
x xx x xx x
− −− + = ⋅ − +− −
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
82
⇔ … ⇔ 2 3 0x x− = ⇔ x = 0 ∨ x = 3. Từ đó suy ra có 2 tiếp tuyến.
( ) ( ) ( ) ( )1
3 3 1: 0 6 4 6 44 4 2
t y f x x y x′= − + = − + ⇔ = − và
( ) ( ) ( ) ( )2 : 3 6 4 0 6 4 4t y f x x y′= − + = ⋅ − + ⇔ =
Bài 14. Cho họ ( )22( ) :
1mx mx mC y f x
x
+ += =+
và điểm A(0, 1). Tìm m để:
1) Từ A không kẻ được tiếp tuyến nào đến (Cm)
2) Từ A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (Cm)
3) Từ A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (Cm)
4) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến (Cm)
5) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến ⊥ với nhau đến (Cm)
6) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến ⊥ TCX của (Cm)
7) Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (Cm)
Giải: • Đường thẳng đi qua A(0, 1) với hệ số góc k có phương trình 1y kx= +
tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( )
( )
1f x kx
f x k
= +
′ = có nghiệm
⇒ ( ) ( ) . 1f x f x x′= + ⇔ ( )
( )
22
2
2 22 11 1
x x xx mx m
x x
++ + = ++ +
( ) ( ) ( ) ( )22 22 1 2 2 1x mx m x x x x⇔ + + + = + + +
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )23 2 1 1 0h x m x m x m= − + − + − =
Với m = 3 thì ( ) 4 2h x x= + ⇒ h(x) = 0 có đúng 1 nghiệm 12
x −=
1) Qua A(0, 1) không kẻ được tiếp tuyến nào đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 vô nghiệm
⇔ ( )3 và 2 1 0hm m′≠ ∆ = − < ⇔ m < 1
2) Qua A(0, 1) kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 có nghiệm
⇔ ( )
31
3 và 2 1 0
mm
m m
=⇔ ≥
′≠ ∆ = − ≥
3) Qua A(0, 1) kẻ được đúng 1 TT đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 có đúng 1 nghiệm ⇔
( )
3 3
13 và 2 1 0
m m
mm m
= = ⇔
′ =≠ ∆ = − =
Bài 8. Tiếp tuyến
83
4) Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị (Cm)
⇔ ( ) 0h x = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ( )3 và 2 1 0 1 3m m m′≠ ∆ = − > ⇔ < ≠
5) Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến ⊥ đến đồ thị (Cm)
⇔ ( ) 0h x = có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn ( ) ( )1 2. 1f x f x′ ′ = −
⇔ 1 3m< ≠ và ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 24 2 2 1 1x x x x x x+ + = − + +
⇔ 1 3m< ≠ và ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 2 4 1 0x x x x x x x x x x + + + + + + + =
⇔ 1 3m< ≠ và ( )
( )
2
2
4 10 100
3
m m
m
− +=
− ⇔ 5 15m = ±
6) 22 2( ) : 2 2
1 1mx mx mC y x m
x x
+ += = + − ++ +
⇒ TCX: y = 2x + m − 2
( ) 12
f x −′ = ⇔ ( )
( )
2
2
2 2 1 20 5 10 1 0 12 51
x xx x x
x
++ = ⇔ + + = ⇔ = − ±
+
Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến ⊥ TCX của (Cm)
⇔ ( ) 0h x = có 2 nghiệm phân biệt với 1 nghiệm là nghiệm của: ( ) 12
f x −′ =
⇔ 1 3m< ≠ và 2 21 1 05 5
h h − − − + =
⇔ 1 3m< ≠ và
( ) ( )2 11 4 5 2 11 4 5 0m m− − − + = ⇔ 11 4 5
2m
±=
7) Do ( ) 0h x = là phương trình bậc 2 nên không thể có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy từ A(0, 1) không thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (Cm) ∀m.
Bài 15. Tìm trên Oy các điểm có thể kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị
(C): ( )2 1
1x xy f x
x
− += =−
Giải: • ( ) ( )( )
2
2
1 1 111 1 1
x xf x x f xx x x
− + ′= = + ⇒ = −− − −
.
Lấy bất kì điểm A(0, a)∈Oy. Đường thẳng đi qua A(0, a) với hệ số góc k có
PT y kx a= + tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( )
( )
f x kx a
f x k
= +
′ =
có nghiệm
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
84
⇒ ( ) ( ) .f x f x x a′= + ⇔ ( )2
1 111 1
x x ax x
+ = − + − −
⇔ ( )2
11 1
x ax x
+ =− −
⇔ ( )2
2 1
1
x ax
− =−
⇔ ( )2 2 1 1 0ax a x a− + + + = (1)
Qua A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm
⇔ 0 và 1 0
10 và 1 0
a aa
a a
= + ≠⇔ ≥ −
′≠ ∆ = + ≥
Bài 16. Tìm trên Ox các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến 2 3( ) :
2x xC y
x
+ −=+
Giải: • 2 3 11
2 2x xy x
x x
+ −= = − −+ +
⇒ ( )2
112
yx
′ = ++
.
Lấy bất kì điểm A(a, 0)∈Ox. Đường thẳng đi qua A(a, 0) với hệ số góc k có
phương trình ( )y k x a= − tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( ) ( )
( )
f x k x a
f x k
= −
′ =
có nghiệm
⇒ ( ) ( ) ( )f x f x x a′= − ⇔ ( )
( )2
1 11 1 02 2
x x ax x
− − − + − = + +
⇔ ( )2
2 2 1 02
x a ax
− + + − =+
(1). Nếu a = −2 thì (1) ⇔ 82 3 02 3
xx
+ = ⇔ = −+
Xét a ≠ −2, khi đó (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )21 2 3 2 6 5 0g x a x a x a= − + − + − = (2)
Qua A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ g(x) = 0 có đúng 1 nghiệm
⇔ ( )2
1 0 và 3 2 0
1 0; 3 0g
a a
a a a
− = − ≠
′− ≠ ∆ = − + − =
1
1 13
2
a
a
=⇔ − ± =
.
Vậy từ 4 điểm ( ) ( )1 2 3 4
1 13 1 132,0 ; 1,0 ; , 0 ; , 0
2 2A A A A
− − − +−
∈ Ox kẻ
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Bài 17. Cho đồ thị 22 1( ) :
1x xC y
x
− +=−
. Chứng minh rằng: Trên đường thẳng
(∆): y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp
tuyến lập với nhau góc 45° .
Recommended