Bai giang 8_tiep_tuyen

Bài 8. Tiếp tuyến

71

BÀI 8. TIẾP TUYẾN

§8.1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN

A. TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG PHẲNG

Cho đồ thị (C): y = f (x). Gọi M0, M là 2 điểm phân

biệt và cùng thuộc đồ thị (C). Khi đó nếu cố định

điểm M0 và cho điểm M chuyển động trên (C) đều

gần điểm M0 thì vị trí giới hạn của cát tuyến

(M0M) là tiếp tuyến (M0T) tại điểm M0.

( )0

0 0M Mlim M M (M T)→

= TiÕp tuyÕn

B. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN

I. BÀI TOÁN 1: Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị

1. Bài toán: Cho đồ thị (C): y = f (x) và điểm 0 0 0M ( , )x y ∈(C). Viết PTTT của

(C) tại điểm 0 0 0M ( , )x y

2. Phương pháp:

� Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm suy ra

phương trình tiếp tuyến tại 0 0 0M ( , )x y của (C) là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0y y f x x x y f x x x f x′ ′− = − ⇔ = − +

II. BÀI TOÁN 2: Viết PTTT theo hệ số góc cho trước

1. Bài toán: Cho (C): y = f (x) và số k ∈� . Viết PTTT của (C) có hệ số góc k.

2. Phương pháp:

2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm

� Giả sử tiếp tuyến có hệ

số góc k tiếp xúc với

(C): y = f (x) tại điểm có hoành độ xi

⇒ ( )if x k′ = ⇒ ix là nghiệm của ( )f x k′ =

� Giải phương trình ( )f x k′ = ⇒ nghiệm x∈{x0, x1,… xi,… xn}

PTTT tại x = xi là: ( ) ( )i iy k x x f x= − +

0M

M

1M

M2

T

T

0M0f(x )

0xO x

y(C): y=f(x)

xx0

1x ix nx...

...

Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương

72

2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng trong khi thi)

Xét đường thẳng với hệ số góc k có phương trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc

(C): y = f (x) ⇔ phương trình ( )kx m f x+ = có nghiệm bội (nghiệm kép)

⇔ … ⇔ nói chung: ( ) ( )2 0ux v m x w m+ + = có nghiệm kép

⇔ ( ) ( ) ( )2 4 . 0g m v m u w m∆ = = − = .

Giải phương trình ( ) 0g m = ⇒ các giá trị của m ⇒ PTTT.

c) Chú ý: Vì điều kiện ( ) ( )1 :C y f x= và ( ) ( )

2 :C y g x= tiếp xúc nhau là hệ điều

kiện ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

=

′ ′= có nghiệm chứ không phải là điều kiện ( ) ( )f x g x= có

nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số

f (x) mà phương trình tương giao ( )kx m f x+ = có thể biến đổi tương đương

với 1 phương trình bậc 2.

3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc k

a) Dạng trực tiếp: 1 11, 2,... , , ... 2, 3,...2 3

k = ± ± ± ± ± ±

b) Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α ⇒ k = tgα với

{ }15 ,30 , 45 ,60 ,75 ,105 ,120 ,135 ,150 ,165α = ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° (*)

c) Tiếp tuyến � với đường thẳng ( ) : y ax b∆ = + ⇒ k = a

d) Tiếp tuyến ⊥với đường thẳng ( ) : y ax b∆ = + ⇒ 1ka−= với a ≠ 0

e) Tiếp tuyến tạo với ( ) : y ax b∆ = + góc α ⇒ tg1k a

ka− = α

+ với (*)α∈

III. BÀI TOÁN 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm cho trước

1. Bài toán:

Cho đồ thị (C): y = f (x) và điểm A(a, b) cho trước.

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(a, b) đến đồ thị ( ) ( ):C y f x=

2. Phương pháp:


73

2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm:

• Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a, b)

tiếp xúc (C): y = f (x) tại tiếp điểm có

hoành độ xi suy ra PTTT có dạng:

( ) ( ) ( ) ( ): i i it y f x x x f x′= − +

Do ( ) ( ),A a b t∈ nên ( ) ( ) ( )i i ib f x a x f x′= − + ⇒ ix x= là nghiệm của

phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0b f x a x f x f x x a b f x′ ′= − + ⇔ − + − = (*)

Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x∈{x0, x1,… xi,… xn}.

Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là: ( ) ( )i iy k x x f x= − +

• Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a, b) với hệ số góc k có PT ( )y k x a b= − +

tiếp xúc với đồ thị (C): y = f (x)

⇔ Hệ phương trình ( ) ( )

( )

f x k x a b

f x k

= − +

′ = có nghiệm

⇒ ( ) ( ) ( )f x f x x a b′= − +

⇔ ( ) ( ) ( ) 0f x x a b f x′ − + − = (*)

Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x∈{x0, x1,… xi,… xn}

Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là: ( ) ( ) ( )i i iy f x x x f x′= − +

2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng khi đi thi)

• Cách 3: Đường thẳng đi qua A(a, b) với hệ số góc k có phương trình

( )y k x a b= − + tiếp xúc (C): y = f (x) ⇔ phương trình ( ) ( )k x a b f x− + = có

nghiệm bội (nghiệm kép) ⇔ … ⇔ nói chung: ( ) ( ) ( )2 0u k x v k x w k+ + = có

nghiệm kép ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 và 4 . 0u k g k v k u k w k≠ ∆ = = − =

⇔ ( )

( ) 2

0

. . 0

u k

g k k k

≠

= α + β + γ = (**) Hệ sinh ra hệ số góc

Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra các giá trị của k hoặc số lượng của k.

Từ đó suy ra PTTT hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A(a, b).

A(a,b)

(C): y=f(x)

(C): y=f(x)

A(a,b)


74

§8.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ TIẾP TUYẾN

I. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI 1 ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ

Bài 1. Cho hàm số ( ) ( )3( ) : 1 1mC y f x x m x= = + − + . Viết phương trình tiếp

tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp

tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8.

Giải: ( ) 23y x x m′ = − . Gọi ( ) OmC y A≡∩ ⇒ 0Ax = ; ( )1 ; 0Ay m y m′= − = −

Tiếp tuyến của (Cm) tại A là: ( ) ( ) ( ) ( ): 0 0 0 1t y y x y mx m′= − + = − + − .

Xét tương giao: ( ) ( ) ( ) ( )1O 0,1 ; O ,0mt y A m t x Bm

−≡ − ≡∩ ∩

21 1. 8 1 162 2OAB A BS OAOB y x m m∆⇒ = = = ⇔ − =

2 2

2 2

2 1 16 18 1 0 9 4 5

2 1 16 14 1 0 7 4 3

m m m m m m

m m m m m m

− + = − + = = ± ⇔ ⇔ ⇔

− + = − + + = = − ±

Bài 2. Cho ( ) ( ) 3 2: 3 1mC y f x x x mx= = + + + .

a. Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.

b. Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

Giải: Đạo hàm: ( ) 23 6y x x x m′ = + +

a. ( ) ( )1mC y =∩ : ( )( )

( )3 2 2

2

0 C 0,13 1 1 3 0

3 0

xx x mx x x x m

g x x x m

= ⇒+ + + = ⇔ + + = ⇔

= + + =

§iÓm

Yêu cầu bài toán ⇔ xD, xE là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của g(x) = 0

⇔ ( )

99 4 090440 0 0

m mm

g m m

∆ = − > < ⇔ ⇔ ≠ <

= ≠ ≠

(*) ⇒ D E D E; 3x x m x x+ = = −

b. Với điều kiện 904

m≠ < thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau

⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2D E D D E E1 3 6 3 6y x y x x x m x x m′ ′− = = + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )D D E E D E3 3 2 3 3 2 3 2 3 2g x x m g x x m x m x m = − + − + = + +

( ) ( )2 2 2D E D E9 6 4 9 6 . 3 4 4 9x x m x x m m m m m m= + + + = + − + = −

⇔ 2 9 654 9 1 0

8m m m

±− + = ⇔ = (thoả mãn điều kiện (*) )


75

Bài 3. Cho hàm số ( ) 3 2( ) : 3 2C y f x x x= = − +

a) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua ( )23 , 29

A − đến (C)

b) Tìm trên đường thẳng y = −2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến ⊥ nhau

Giải: Đạo hàm: ( )23 6 3 2y x x x x′ = − = −

Đường thẳng đi qua ( )23 , 29

A − với hệ số góc k có phương trình ( )23 29

y k x= − −

tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x= ⇔ Hệ ( ) ( )( )

23 29

f x k x

f x k

= − − ′ =

có nghiệm

⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 223 232 3 2 3 2 29 9

f x f x x x x x x x′= − − ⇔ − + = − − −

⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 223 22 2 3 2 2 3 10 3 09 3

x x x x x x x x x− − − = − − ⇔ − − + =

⇔

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 1

2 2

3 3

232 : 2 2 29

233 : 3 2 9 259

23 5 611 1 : 23 3 9 3 27

x x t y y x y

x x t y y x y x

x x t y y x y x

′= = ⇒ = − − ⇔ = −

′= = ⇒ = − − ⇔ = −

− ′= = ⇒ = − − ⇔ = +

TiÕp tuyÕn

TiÕp tuyÕn

TiÕp tuyÕn

b) Lấy bất kì M(m, −2) ∈ đường thẳng y = −2

Đường thẳng đi qua M(m, −2) với hệ số góc k có phương trình ( ) 2y k x m= − −

tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x= ⇔ Hệ ( ) ( )

( )

2f x k x m

f x k

= − −

′ = có nghiệm

⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 22 3 2 3 2 2f x f x x m x x x x x m′= − − ⇔ − + = − − −

⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2 22 2 3 2 2 2 3 1 2 0x x x x x x m x x m x− − − = − − ⇔ − − − + =

⇔ ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

2

2 : 2 2 2

2 3 1 2 0

x t y y x m y

g x x m x

′ = ⇒ = − − ⇔ = −

= − − + =

TiÕp tuyÕn

Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến 2 // Oy x= − nên để từ

M( , 2)m − kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (C) thì g(x) = 0 phải có 2

nghiệm phân biệt x1, x2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x1, x2 vuông

góc với nhau ⇒ ( ) ( )( )2 53 1 16 3 5 3 3 0 13g m m m m m∆ = − − = − + > ⇔ > ∨ < − (*)


76

Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1 2 23 1; 1 3 2 .3 2 1

2

mx x x x f x f x x x x x− ′ ′+ = = ⇒ = − − = −

⇔ ( ) ( )[ ]1 2 1 2 1 29 2 4 1 9 1 3 1 4 1 54 27 1x x x x x x m m − + + = − ⇔ − − + = − ⇔ − = −

5527

m⇔ = (thoả mãn (*) ). Vậy ( ) ( )55M , 2 227

y− ∈ = − thoả mãn yêu cầu.

Bài 4. Cho hàm số ( ) 3( ) : 12 12C y f x x x= = − +

Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Giải: Đạo hàm: 23 12y x′ = −

Lấy bất kì M(m, −4) trên đường thẳng y = −4. Đường thẳng đi qua M(m, −4)

với hệ số góc k có phương trình ( ) 4y k x m= − − tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x=

⇔ Hệ ( ) ( )

( )

4f x k x m

f x k

= − −

′ = có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) 4f x f x x m′= − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 212 12 3 12 4 2 2 8 3 2 2x x x x m x x x x x x m⇔ − + = − − − ⇔ − + − = − + −

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2 22 2 8 2 3 6 3 6x x x x x m x m⇔ − + − = − + − −

( ) ( ) ( )[ ]22 2 3 4 2 3 4 0x x m x m⇔ − − − − − = . Để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì

( ) ( ) ( )22 3 4 2 3 4 0g x x m x m= − − − − = phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2

⇔ ( ) ( )

( ) ( )

23 4 16 3 4 0

2 8 4 3 4 0

m m

g m

∆ = − + − >

= − − ≠ ⇔

( ) ( )

( )

43 3 4 4 04 212 2 03

mm m

mm

< − − + > ⇔< ≠− ≠

Bài 5. Tìm trên đồ thị ( ) ( )3 2( ) : 0C y f x ax bx cx d a= = + + + ≠ các điểm kẻ

được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Giải: Đạo hàm: ( ) 23 2y f x ax bx c′ ′= = + +

Lấy bất kì M(m, f (m)) ∈ (C): y = f (x). Đường thẳng đi qua M(m, f (m) với hệ

số góc k có phương trình: ( ) ( )y k x m f m= − + tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x=

⇔ Hệ ( ) ( ) ( )

( )

f x k x m f m

f x k

= − +

′ = có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )f x f x x m f m′= − +

( ) ( )3 2 2 3 23 2ax bx cx d ax bx c x m am bm cm d⇔ + + + = + + − + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 23 2a x m b x m c x m ax bx c x m⇔ − + − + − = + + −


77

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )222 0 2 0x m ax am b x m am b x m ax am b⇔ − − − − − + = ⇔ − + + =

⇔ 2

am bx m xa+= ∨ = − . Từ điểm M(m, f (m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến

đến (C) ⇔ 32 3

am b bm am b ma a+ −− = ⇔ = − ⇔ =

Vậy ( )M ,3 3

b bfa a

− −

∈(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).

Bình luận: ( ) 6 2 03

bf x ax b xa

−′′ = + = ⇔ = ⇒ Điểm uốn ( ),3 3

b bU fa a

− −

Bài 6. Cho đồ thị (C): ( )2 2x mx my f x

x m− += =

+.

1) Chứng minh rằng: Nếu (Cm) cắt Ox tại x0 thì tiếp tuyến của (Cm) tại điểm

đó có hệ số góc là 00

0

2 2x mk

x m

−=

+

2) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (Cm) tại 2 điểm

đó vuông góc với nhau.

Giải:

1) Giả sử ( ) ( )220 00 0

0 00 0

2 02O ,0 0

x mx mx mx mC x x y

x m x m

− + =− + ≡ ⇒ = = ⇔

+ ≠ −∩ (*)

Tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Ox có hệ số góc là:

( )( ) ( ) ( )

( )

20 0 0 0 0

0 0 20

0

do (*) 2 2 2 2 2x m x m x mx m x mk y x

x mx m

− + − − + −′= = =

++ (đpcm)

2) Giả sử (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt ⇒ ( ) 2 2 0g x x mx m= − + = có 2

nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 1 2 1 2 1 22 ; ; ,x x m x x m x x m+ = = ≠ − . Tiếp

tuyến tại x1, x2 vuông góc nhau ⇔ 1 21 2

1 2

2 2 2 21

x m x mk k

x m x m

− −= ⋅ = −

+ +

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 24 0x m x m x m x m⇔ − − + + + = ⇔ ( ) 21 2 1 25 3 5 0x x m x x m− + + =

( ) ( )25 3 2 5 0 5 0m m m m m m⇔ − + = ⇔ − = ⇔ { }0;5m∈ .

Với m = 0 thì ( ) 21 20 0g x x x x= = ⇔ = = (loại)

Với m = 5 thì ( ) 21,210 5 0 5 2 5g x x x x m= − + = ⇔ = ± ≠ − (thoả mãn)

Vậy để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (Cm) tại 2 điểm đó

vuông góc với nhau thì m = 5.


78

Bài 7. Cho đồ thị ( )2 22 2 1

( ) :m

mx m x mC y

x m

+ − − −=

−. Tìm m để hàm số có cực

trị. Chứng minh rằng: Với m tìm được, trên đồ thị hàm số luôn tìm được

2 điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.

Giải: � Đạo hàm: 12y mxx m

= + −−

⇒ ( )2

1y mx m

′ = +−

Hàm số có cực trị ⇔ 0y′ = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m < 0

� Với m < 0, chọn 2mk = . Xét PT: ( )y x k′ = ⇔

( )2

12mm

x m+ =

−

( )( )2

2

1 2 2 22m x m x m x m

m m mx m

− − − −⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±−

.

Xét PT: ( ) 1y xk−′ = ⇔

( )2

1 2mmx m

−+ =−

( )

( )2

2

21 m

mx m

− +⇔ =

−

( )2

2 22 2

m mx m x mm m

− −⇔ − = ⇔ − = ±+ +

2 2

mx mm

−⇔ = ±+

.

Vậy với m < 0 và 2mk = thì các PT ( )y x k′ = có nghiệm x1 và ( ) 1y x

k−′ = có

nghiệm x2 nên ( ) ( )1 2. 1y x y x′ ′ = − , tức là luôn tìm được 2 điểm thuộc đồ thị mà

tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.

Bài 8. Cho 2 2( ) :

1x xC y

x

+ +=−

. Tìm A∈(C) sao cho tiếp tuyến tại A vuông góc

với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của (C)

Giải: � ( )2 2 42

1 1x xy f x x

x x

+ += = = + +− −

⇒ TCÐ: 1

TCX : 2

x

y x

=

= + ⇒ TĐX: I(1, 3)

� Đạo hàm: ( )2

411

yx

′ = −−

⇒ ( )( )2

411

y aa

′ = −−

. Gọi ( )4, 21

A a aa

+ +−

∈(C)

⇒ Đường thẳng (AI) có hệ số góc là: ( )2

411

A I

A I

y yk

x x a

−= = +

− −

Do tiếp tuyến tại A vuông góc với đường thẳng (AI) nên ( ) . 1y a k′ = −

⇔ ( )

( )( )

( )

44 4 44

444 4 4

1 8 1 8,3 2 2 8161 1 1 81 1 8 1 8,3 2 2 8

a Aa

a a A

= − ⇒ − − −− = − ⇔ − = ⇔− = + ⇒ + + +


79

Bài 9. Tiếp tuyến của 1( ) :C y xx

= + cắt Ox, Oy tại A(α, 0) và B(0, β).

Viết phương trình tiếp tuyến khi αβ = 8

Giải: � Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 là:

( ) ( ) ( ) ( )20

0 0 0 2 20 00 0

11 2 2: 1x

t y y x x x y x y x y xx xx x

− ′= − + ⇔ = − + ⇔ = ⋅ +

( ) ( ) 0

20

2O ,0 ;

1

xt x A

x= α ⇔ α =

−∩ ( ) ( )

0

2O 0,t y Bx

= β ⇔ β =∩

αβ = 8 ⇔ 0

2 200 0

2 2 48 81 1

x

xx x⋅ = ⇔ =

− − 2 2

0 0 01 1 112 2 2

x x x⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±

Vậy PTTT là: 2 2y x= − ±

Bài 10. Cho đồ thị ( )2 3 4:2 2

x xC yx

− +=−

và điểm M bất kì ∈ (C). Gọi I là giao

của 2 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.

a) Chứng minh rằng: M là trung điểm của AB.

b) Chứng minh rằng: Tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là không đổi

c) Chứng minh rằng: IABS const∆ = .

d) Tìm M để chu vi ∆IAB nhỏ nhất.

Giải

• 2 3 4 112 2 2 1

x x xyx x

− += = − +− −

( )1TCÐ: 1; TCX : 1 1,2 2xx y I −⇒ = = − ⇒

( )( )2

1 12 1

y xx

′ = −−

⇒ ( )( )2

1 12 1

y mm

′ = −−

với ( )1M , 12 1mm

m− +

−∈(C). Tiếp tuyến tại M là (t):

( ) ( ) ( )( )

( )2

1 1 112 2 11

my y m x m y m y x mmm

′= − + ⇔ = − − + − + −−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 1TCÐ: 1 1, ; TCX : 1 2 1,1 2 2 2

xt x A t y B m mm

= ≡ − = − ≡ − −−

∩ ∩

M

xB 2

B

A

x

y

O

yA

I −1

H

α

ϕ

1


80

a) Do M2A Bx x

m x+

= = và A, M, B thẳng hàng ⇒ M là trung điểm của AB.

b) 1 22 2. 1

5. 1 5d d m

m= − ⋅ =

−

c) BH ⊥ AI ⇒ 1 1 1 2 1. . . 2 2 4 22 2 2 1 2IAB A I B HS IA BH y y x x m

m∆ = = − − = − = ⋅ =−

d) Gọi góc giữa 2 tiệm cận là α, góc giữa tiệm cận xiên với chiều dương Ox là

ϕ ⇒ α + ϕ = 2π . Do TCX: 1

2xy = − có hệ số góc là 1

2 nên 1tg

2ϕ =

2

2

sin sin1 1cos 2 4cos

ϕ ϕ⇔ = ⇒ =

ϕ ϕ

2

2 2

sin 1 1 2sin ;cos1 4sin cos 5 5

ϕ⇔ = ⇒ ϕ = ϕ =

+ϕ + ϕ

Ta có chu vi ∆IAB là: 2 2 2 . cosP IA IB AB IA IB IA IB IA IB= + + = + + + − α

( )2 . 2 . 2 . sin 2 . 2 1 sinIA IB IA IB IA IB IA IB≥ + − ϕ = + − ϕ

( )2 . 2 1 sinsinIA BH= + − ϕ

α( )8 2 1 sin

cos= + − ϕ

ϕ 42 20 2 5 1= ⋅ + −

⇒ 4Min 2 20 2 5 1P = ⋅ + − . Dấu bằng xảy ra ⇔

4 20. .cos 4

IA IBIA IB

IA IB

=⇔ = =

α = ⇔ 4 4 42 4 420 1 1

5 51m m

m= ⇔ − = ⇔ = ±

−

Bài 11. Cho đồ thị: ( )2 3:

2x xC y

x− +=−

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

(C) tạo với đường thẳng ( ) : 1y x∆ = − + góc 60°.

Giải

� Do tiếp tuyến của (C) tạo với ( ) : 1y x∆ = − + góc 60° nên hệ số góc k của tiếp

tuyến thoả mãn ( )

( )

( )

( )

1 3 1 2 31tg 60 3

1 . 1 1 3 1 2 3

k k kk

k k k k

+ = − = −− −= ° = ⇔ ⇔

+ − + = − = +

� 2 3 51

2 2x xy x

x x− += = + +− −

⇒ ( )( )2

512

y xx

′ = −−

- Xét 2 3k = + , khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

( )2

51 2 32x

− = +−

⇔ ( )( )2 5 1 3

2 02

x−

− = < (Vô nghiệm)


81

- Xét 2 3k = − ⇒ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

( )2

51 2 32x

− = −−

⇔ ( )( )2 5 1 3

22

x+

− = ⇔ ( )

1,2

5 1 32

2x x

+= = ±

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

2 2 2

: 2 3 2 3 2 3 1 2 5 3 1

: 2 3 2 3 2 3 1 2 5 3 1

t y x x y x y x

t y x x y x y x

= − − + ⇔ = − + − − −

= − − + ⇔ = − + − + −

Bài 12. Chứng minh rằng: Từ điểm A(1, −1) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc

nhau đến đồ thị (C): ( )2 1

1x xy f x

x

+ += =+

• Cách 1: Đường thẳng đi qua A(1, −1) với hệ số góc k có phương trình

( )1 1y k x= − − tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( ) ( )

( )

1 1f x k x

f x k

= − −

′ = có nghiệm

⇒ ( ) ( ) ( ). 1 1f x f x x′= − − ⇔ … ⇔ ( ) 2 3 1 0g x x x= + + = 1,2

3 5

2x x

− ±⇔ = =

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

2 21 1 2 21 1 2 2

1 2 2 2 2 21 21 2 1 2

1 12 2 1 11 11 1 1 1

g x x g x xx x x xf x f x

x xx x x x

− + − ++ +′ ′ = ⋅ = ⋅ = = −

+ ++ + + + •

Cách 2: Đường thẳng đi qua A(1, −1) với hệ số góc k có phương trình

( )1 1y k x= − − tiếp xúc với (C) ⇔ ( )2 11 1

1x xk x

x

+ +− − =+

có nghiệm kép ⇔

( )[ ]( ) ( )21 1 1 1k x x x x− − + = + + hay ( ) ( )21 2 2 0k x x k− − − + = có nghiệm kép

( ) 21 và 1 0k g k k k′⇔ ≠ ∆ = = + − = . Ta có: 1 4 5 0g∆ = + = > nên ( ) 0g k = có 2

nghiệm phân biệt k1, k2 thoả mãn 1 2 1k k = − . Từ đó suy ra từ A(1, −1) luôn kẻ

được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C).

Bài 13. Viết PT tiếp tuyến đi qua A(6, 4) đến (C): ( )2 2 1

2x xy f x

x

− += =−

Giải: Đường thẳng đi qua A(6, 4) với hệ số góc k có phương trình

( )6 4y k x= − + tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( ) ( )

( )

6 4f x k x

f x k

= − +

′ = có nghiệm

⇒ ( ) ( ) ( ). 6 4f x f x x′= − + ⇔ ( ) ( )

( )( )

2

2

1 32 1 6 42 2

x xx x xx x

− −− + = ⋅ − +− −


82

⇔ … ⇔ 2 3 0x x− = ⇔ x = 0 ∨ x = 3. Từ đó suy ra có 2 tiếp tuyến.

( ) ( ) ( ) ( )1

3 3 1: 0 6 4 6 44 4 2

t y f x x y x′= − + = − + ⇔ = − và

( ) ( ) ( ) ( )2 : 3 6 4 0 6 4 4t y f x x y′= − + = ⋅ − + ⇔ =

Bài 14. Cho họ ( )22( ) :

1mx mx mC y f x

x

+ += =+

và điểm A(0, 1). Tìm m để:

1) Từ A không kẻ được tiếp tuyến nào đến (Cm)

2) Từ A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (Cm)

3) Từ A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (Cm)

4) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến (Cm)

5) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến ⊥ với nhau đến (Cm)

6) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến ⊥ TCX của (Cm)

7) Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (Cm)

Giải: • Đường thẳng đi qua A(0, 1) với hệ số góc k có phương trình 1y kx= +

tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( )

( )

1f x kx

f x k

= +

′ = có nghiệm

⇒ ( ) ( ) . 1f x f x x′= + ⇔ ( )

( )

22

2

2 22 11 1

x x xx mx m

x x

++ + = ++ +

( ) ( ) ( ) ( )22 22 1 2 2 1x mx m x x x x⇔ + + + = + + +

⇔ ( ) ( ) ( ) ( )23 2 1 1 0h x m x m x m= − + − + − =

Với m = 3 thì ( ) 4 2h x x= + ⇒ h(x) = 0 có đúng 1 nghiệm 12

x −=

1) Qua A(0, 1) không kẻ được tiếp tuyến nào đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 vô nghiệm

⇔ ( )3 và 2 1 0hm m′≠ ∆ = − < ⇔ m < 1

2) Qua A(0, 1) kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 có nghiệm

⇔ ( )

31

3 và 2 1 0

mm

m m

=⇔ ≥

′≠ ∆ = − ≥

3) Qua A(0, 1) kẻ được đúng 1 TT đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 có đúng 1 nghiệm ⇔

( )

3 3

13 và 2 1 0

m m

mm m

= = ⇔

′ =≠ ∆ = − =


83

4) Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị (Cm)

⇔ ( ) 0h x = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ( )3 và 2 1 0 1 3m m m′≠ ∆ = − > ⇔ < ≠

5) Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến ⊥ đến đồ thị (Cm)

⇔ ( ) 0h x = có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn ( ) ( )1 2. 1f x f x′ ′ = −

⇔ 1 3m< ≠ và ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 2 1 24 2 2 1 1x x x x x x+ + = − + +

⇔ 1 3m< ≠ và ( ) ( )2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 2 4 1 0x x x x x x x x x x + + + + + + + =

⇔ 1 3m< ≠ và ( )

( )

2

2

4 10 100

3

m m

m

− +=

− ⇔ 5 15m = ±

6) 22 2( ) : 2 2

1 1mx mx mC y x m

x x

+ += = + − ++ +

⇒ TCX: y = 2x + m − 2

( ) 12

f x −′ = ⇔ ( )

( )

2

2

2 2 1 20 5 10 1 0 12 51

x xx x x

x

++ = ⇔ + + = ⇔ = − ±

+

Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến ⊥ TCX của (Cm)

⇔ ( ) 0h x = có 2 nghiệm phân biệt với 1 nghiệm là nghiệm của: ( ) 12

f x −′ =

⇔ 1 3m< ≠ và 2 21 1 05 5

h h − − − + =

⇔ 1 3m< ≠ và

( ) ( )2 11 4 5 2 11 4 5 0m m− − − + = ⇔ 11 4 5

2m

±=

7) Do ( ) 0h x = là phương trình bậc 2 nên không thể có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy từ A(0, 1) không thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (Cm) ∀m.

Bài 15. Tìm trên Oy các điểm có thể kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị

(C): ( )2 1

1x xy f x

x

− += =−

Giải: • ( ) ( )( )

2

2

1 1 111 1 1

x xf x x f xx x x

− + ′= = + ⇒ = −− − −

.

Lấy bất kì điểm A(0, a)∈Oy. Đường thẳng đi qua A(0, a) với hệ số góc k có

PT y kx a= + tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( )

( )

f x kx a

f x k

= +

′ =

có nghiệm


84

⇒ ( ) ( ) .f x f x x a′= + ⇔ ( )2

1 111 1

x x ax x

+ = − + − −

⇔ ( )2

11 1

x ax x

+ =− −

⇔ ( )2

2 1

1

x ax

− =−

⇔ ( )2 2 1 1 0ax a x a− + + + = (1)

Qua A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm

⇔ 0 và 1 0

10 và 1 0

a aa

a a

= + ≠⇔ ≥ −

′≠ ∆ = + ≥

Bài 16. Tìm trên Ox các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến 2 3( ) :

2x xC y

x

+ −=+

Giải: • 2 3 11

2 2x xy x

x x

+ −= = − −+ +

⇒ ( )2

112

yx

′ = ++

.

Lấy bất kì điểm A(a, 0)∈Ox. Đường thẳng đi qua A(a, 0) với hệ số góc k có

phương trình ( )y k x a= − tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( ) ( )

( )

f x k x a

f x k

= −

′ =

có nghiệm

⇒ ( ) ( ) ( )f x f x x a′= − ⇔ ( )

( )2

1 11 1 02 2

x x ax x

− − − + − = + +

⇔ ( )2

2 2 1 02

x a ax

− + + − =+

(1). Nếu a = −2 thì (1) ⇔ 82 3 02 3

xx

+ = ⇔ = −+

Xét a ≠ −2, khi đó (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )21 2 3 2 6 5 0g x a x a x a= − + − + − = (2)

Qua A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ g(x) = 0 có đúng 1 nghiệm

⇔ ( )2

1 0 và 3 2 0

1 0; 3 0g

a a

a a a

− = − ≠

′− ≠ ∆ = − + − =

1

1 13

2

a

a

=⇔ − ± =

.

Vậy từ 4 điểm ( ) ( )1 2 3 4

1 13 1 132,0 ; 1,0 ; , 0 ; , 0

2 2A A A A

− − − +−

∈ Ox kẻ

được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).

Bài 17. Cho đồ thị 22 1( ) :

1x xC y

x

− +=−

. Chứng minh rằng: Trên đường thẳng

(∆): y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp

tuyến lập với nhau góc 45° .

Documents

Bai giang 8_tiep_tuyen