CAPITULO 5
ELASTICIDAD PLANA
Supongamos el sólido de la figura, que posee forma cilíndrica con sus generatrices paralelas al eje z, y que se encuentra sometido a la acción de las cargas indicadas.El valor de dichas cargas es independiente de la coordenada z, así como sus componentes en dicha dirección (fuerzas distribuidas y de superficie paralelas al plano x-y).
Las ecuaciones de la Elasticidad, y la correspondiente solución del problema, se pueden plantear utilizando, solamente, las coordenadas (x,y).
z
x
y
σx
σy
σx
σy
τxy
τxy
τxy
τxy
dx
dyx
y
Tensiones en el plano x-y
xv
yuγ
yvε
xuε
xy
y
x
∂∂
+∂∂
=
∂∂
=
∂∂
=
Deformaciones en el plano x-y
¿Y qué tensiones y deformaciones aparecen en un plano perpendicular al eje z?Muchos problemas de elasticidad bidimensional se resuelvenhaciendo una de estas dos hipótesis:
00
0
z
zx
yz
=ε
=γ
=γ
DEFORMACIÓN PLANA
00
0
z
zx
yz
=σ=τ
=τ
TENSIÓN PLANA
TENSIÓN PLANA: Sólo son distintas de cero las componentes, en elPlano, del tensor de tensiones.
Componentes tensionales no nulas: xyyx τσσ ,,
Hipótesis:- h<<L- Las dos caras del sólido se encuentran libres de fuerzas- Las fuerzas interiores por unidad de volumen y las aplicadas en el contorno perimetral del sólido no dependen de la coordenada z
dAh
Ly
xz
yσ
xσ
xyτxyτ
yσ
xσxyτ
xyτdA
DEFORMACIÓN PLANA: Sólo son distintas de ceros las componentesen el plano, del tensor de deformaciones.
Hipótesis:- w=0-Las dos caras del sólido no sufren desplazamientos según z- Las fuerzas interiores por unidad de volumen y las aplicadas en el contorno perimetral del sólido no dependen de la coordenada z- u,v son funciones de sólo x e y
Componentes deformacionales no nulas: xyyx γεε ,,
dA
x
y
z
yσ
xσ
xyτxyτ
yσ
xσxyτ
xyτ
zσ
zσ
dA
1) Un estado tensional en el que la tensión normal y las tensionestangenciales actuantes sobre las caras de la pieza son nulas.
2) Si x-y es el plano del sólido bidimensional, las únicas componentes deltensor de tensiones no nulas son: σx,σy ,τxy
3)Las componentes: σz ,τxz ,τyz serían nulas
TENSIÓN PLANA
u = u(x,y)v = v(x,y)w ≠ 0
D[ ]=
εxγ xy
2 0γ xy
2 εy 00 0 εz
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥
T[ ]=σx τxy 0τxy σy 00 0 0
⎡
⎣
⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥
Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones
DEFORMACIÓN PLANA1) Un estado deformacional en el que la deformación longitudinal y las deformaciones angulares correspondientes a un plano paralelo a la sección transversal de la pieza son nulas.
2) Si x-y es el plano de la sección transversal de la pieza las únicas componentes del tensor de deformaciones no nulas son: εx , ε y , γxy
3) Las componentes : εz , γxz , γyz serían nulas.
u= u (x,y)v= v (x,y)w=0
T[ ]=σx τxy 0τxy σy 00 0 σz
⎡
⎣
⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥
Desplazamientos Tensor de deformaciones Tensor de tensiones
D[ ]=
εxγ xy 2 0
γ xy2 εy 0
0 0 0
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
DEFORMACIÓN PLANA:
Ecuaciones de equilibrio interno:
Ecuaciones de equilibrio en el contorno:
Ecuaciones de compatibilidad:
Ecuaciones constitutivas:
0=++yx
X xyx∂
∂τ
∂∂σ
0=++yx
Y yxy
∂
∂σ
∂
∂τ
X = l σx + m τxy
Y = l τxy + m σy
⎫ ⎬ ⎭
∂ 2εx
∂y2 +∂2εy
∂x2 =∂2γ xy
∂x∂y
( )
( )
( )yxzz
zxyy
zyxx
EE
EE
EE
σσνσε
σσνσε
σσνσε
+−==
+−=
+−=
10
1
1
( )yxz σσνσ +=
εx = 1E
1 − ν2( )σx − ν 1+ ν( )σy[ ]εy =
1E
1 − ν2( )σy − ν 1+ ν( )σx[ ]γ xy =
τxyG
∆ σx + σy( )= −1
1 − ν∂X∂x
+∂Y∂y
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
TENSIÓN PLANA:
Las Ecuaciones de equilibrio interno y de equilibrio en el contorno son las mismasque en el caso de deformación plana. Las Ecuaciones de compatibilidad son:
Ecuaciones constitutivas:
∂ 2εx
∂y2 +∂2εy
∂x2 =∂2γ xy
∂x∂y∂ 2εz
∂y2 = 0
∂ 2εz∂x2 = 0
∂ 2εz∂x∂y = 0
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
εx =σx − νσy
E
εy =σy − νσx
E
γ xy =τxy
G
Estas tres ecuacionesno se han utilizado.La ecuación deducidaes sólo aproximada.
∆ σx + σy( )= − 1 + ν( ) ∂X∂x
+∂Y∂y
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
∆ σx + σy( )= −1
1 − ν∂X∂x
+∂Y∂y
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
∆ σx + σy( )= − 1 + ν( ) ∂X∂x
+∂Y∂y
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
TENSIÓN PLANA:
DEFORMACIÓN PLANA:
Aspectos de interés:- Sólo una propiedad del material interviene en estas ecuaciones (el coeficientede Poisson, ν)- Si la fuerza por unidad de volumen que actúa sobre el sólido fuese constante(por ejemplo, la de la gravedad), las dos ecuaciones anteriores se convertiríanen la siguiente:
∆ σx + σy( )= 0
Sir George Biddell Airy(1801-1892)
FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY
La función de tensión de Airy permite una fácil resolución de los problemaselásticos bidimensionales. Una vez conocida esta función, que la representaremospor φ(x,y) por ser función de estas dos coordenadas, pueden obtenerse las tensiones mediante un proceso de derivación de la misma.
FUNCION DE TENSIÓN O DE AIRY
∂τ∂σ+ + =
∂ ∂xyxX 0
x y∂τ ∂σ
+ + =∂ ∂xy yY 0x y
Ecuaciones de equilibrio interno (X e Y son valores constantes):
22
42
2
2
2
2
yxyxyxxyyx
∂∂
∂=
∂⋅∂
∂−=
∂
∂=
∂
∂ φτσσDerivando respecto de x
Derivando respecto de y
σx =
∂ 2φ∂y 2 σy =
∂ 2φ∂x2 τxy = - ∂2φ
∂x∂y - Xy - Yx
Si definimos una función φ (función de tensión o de Airy) de la que se pudiese obtenerlas tensiones actuantes en el sólido, de tal manera que:
∆ σx + σy( )= 0 ⇒ ∂ 2
∂x2 +∂2
∂y 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
∂2φ∂y2 +
∂2φ∂x2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = 0
∂4φ∂x4 + 2 ∂4φ
∂x2∂y 2 +∂4φ∂y 4 = 0 ó ∆2φ = 0
para que estas tensiones fuesen la solución de un problema plano, se tendría que cumplir:
¡La función φ debe ser biarmónica!
Baise Pascal(1623-1662)
FORMAS POLINÓMICAS DE LA FUNCIÓN DE AIRY
1 No interesan: x y no dan lugar a tensiones
x2 xy y2 Funciones
x3 x2y xy2 y3 biarmónicas
x4 x3y x2 y2 xy3 y4 Funciones
x5 x4y x3y2 x2 y3 xy4 y5 biarmónicas con soluciones condiciones
1 No interesan: x y no dan lugar a tensiones
x2 xy y2 Funciones
x3 x2y xy2 y3 biarmónicas
x4 x3y x2 y2 xy3 y4 Funciones
x5 x4y x3y2 x2 y3 xy4 y5 biarmónicas con soluciones condicionesbiarmónicas con condiciones
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 11 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1
φ = ax2 + bxy + cy2
σy
y
x
2c 2c
c ≠ 0 a=b=0
y
x
2a
2a
y
x
b
b
a ≠ 0 b=c=0 b ≠ 0 a=c=0
POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO
c2x =σ
b
a2c2
x
y
x
−=
==
τ
σσ
POLINOMIO DE TERCER GRADO
x
y
x
y
x
y
+ x
y
00 ===≠ cbad 00 ===≠ dcba
00 ===≠ dcab
x
y
x
y
x
y
+ x
y
00 ===≠ cbad 00 ===≠ dcba
00 ===≠ dcab
φ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3
σx = 6dy + 2cx σy = 6ax + 2by τxy = −2bx − 2cy
⎫
⎬ ⎪
⎭ ⎪
POLINOMIO DE CUARTO GRADO
φ = ax4 + bx3y + cx2y 2 + dxy3 + ey4
∆2φ =
∂ 4φ∂x4 + 2 ∂ 4φ
∂x2∂y 2 +∂4φ∂y4 = 24a + 8c + 24e = 0
3a + c + 3e = 0 ⇒ c = -3(a + e)POLINOMIO DE QUINTO GRADO
φ = ax5 + bx4y + cx3y2 + dx 2y3 + exy 4 + fy 5
∆2φ = 120a + 24e + 24c( )x + 120f + 24b + 24d( )y = 0
5a + e + c = 05f + b + d = 0
⎫ ⎬ ⎭
CURVAS CARACTERISTICAS EN ELASTICIDAD PLANA
ISOSTÁTICAS Curvas envolventes de las tensiones principales
σx
σx
σy
σy
τxy
τxyθ
Ι
2θ
τ
σΙ
(σx , τxy)
(σx , −τxy)
El ángulo θ que forma la dirección principal mayor con el eje x será:
tg 2θ =2τxy
σx − σy
=2 tg θ1- tg2θ
tg θ =∂y∂x
∂y∂x
⎛ ⎝
⎞ ⎠
2
+σx − σy
2τxy
∂y∂x
⎛ ⎝
⎞ ⎠ −1 = 0
∂y∂x
= −σx − σy
2τxy
±σx − σy
2τxy
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
+1
↓ Las dos familias de isostáticas
Puntos singulares:
-Punto singular, circular o isotrópo
σx = σy τxy = 0- Punto neutro
σx = σy = τxy = 0En las proximidades de estos punto singulares, las isostáticas puedentomar estas formas:
TIPO INTERSECTIVO
TIPO ASINTOTICO
120 MPa
60 MPa
x
y
60º
A
B
C
D
50 cm
50 cm
120 MPa
60 MPa
x
y
60º
A
B
C
D
50 cm
50 cm
60 MPa
x
y
60º
A
B
C
D
50 cm
50 cm
EJEMPLO:
x
y
A
B C
D
9,5º
Isostáticas tipo II
Isostáticas tipo I
x
y
A
B C
D
9,5º
Isostáticas tipo II
Isostáticas tipo I
ISOCLINAS: Lugar geométrico de los puntos en los que las tensiones principales son paralelas a una dirección prefijada,y que se denomina parámetro de la isoclina.
tg 2θ =2τxy
σx − σy
= cte
ISOSTATICAISOCLINA DE
PARAMETRO θ
θ
Las propiedades de las isoclinas son las siguientes:- Todas las isoclinas pasan por un punto isotrópo.- Sólo puede pasar una isoclina por un punto que no sea isotrópo.- Una isoclina de parámetro θ es idéntica a otra de parámetro - Si un sólido tiene un eje de simetría, y está simétricamente cargado respecto
a dicho eje, el eje de simetría es una isoclina.- En un borde sobre el que no actúan tensiones tangenciales, el parámetro de
una isoclina que lo corta, coincide con el del ángulo de inclinación de la tangente al borde en el punto de corte.
θ ±π2
CURVAS DE TENSION TANGENCIAL MAXIMA: envolventes de las direcciones en las que la tensión tangencial es máxima en cada uno de sus puntos.
σx σx
σy
σy
τxy
τxy
2θ
τ
σ
(σx , τxy)
(σx , −τxy)
tg 2θ = −σx − σy
2τxy
=2tg θ
1- tg2θ , , tg θ =
∂y∂x
∂y∂x
⎛ ⎝
⎞ ⎠
2
−4τxy
σx − σy
∂y∂x
⎛ ⎝
⎞ ⎠
−1 = 0
∂y∂x
=2τxy
σx − σy
±2τxy
σx − σy
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
+ 1
↓ dos familias
ISOCROMÁTICAS: aquellas curvas en las que la diferencia entre los valores de las tensiones principales toma un determinado valor: σ1 - σ2 = cte
τmax =σ1 - σ2
2
ISOBARAS: lugar geométrico de los puntos en los que: σ1 = cte ó σ2 = cte
σx − σy
2±
σx − σy
2⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
2
+ τxy2 = cte
PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADASPOLARES
θ
r
y
x
El punto elástico en coordenadas polares:
σx
τxy
σy
σx
σy
τxy
σxσx
τxyτxy
σyσy
σxσx
σyσy
τxyτxy
σr
σr
σθ
σθ
τrθ
τrθ
σr
σr
σθ
σθ
τrθ
τrθ
Coordenadascartesianas
Coordenadaspolares
σr: tensión radialσθ: tensión circunferencialτrθ: tensión tangencial o cortante
θ
r
y
xo
v , fθ u , fr
DESPLAZAMIENTOS Y FUERZAS POR UNIDAD DE VOLUMEN:
u = u (r,θ)v = v (r,θ)
fr = fr (r,θ)fq = fq (r,θ)
Campo de desplazamientos:
Fuerzas internas por unidad de volumen:
TENSIONES EN UN PUNTO ELASTICO
x
TENSOR DE TENSIONES
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
z
r
rr
0000
σσττσ
θθ
θ
Tensión plana: σz=0Deformación plana σz=0
Se sigue verificandoel teorema de reciprocidadde las tensionestangenciales:
rr θθ ττ =
rθτ θτ r
ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO:
( ) 02
2 =+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++− drrdfddrdrddrddrrdr
rrd r
rrr
rrr θθσθ
θτ
ττθσ
σθσ θθ
θθ
( ) 02
2 =+++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++− drrdfdrdddrrdr
rrddrddr r
rrr θθτθ
ττθτθ
θσ
σσ θθθ
θθθ
θθ
Según r:
Según θ:
θθ
ττ θ
θ drr ∂
∂+
θτ r
drrr
r ∂
∂+ θ
θτ
τ
θτ r
∂σ r
∂r+ 1
r∂τrθ
∂θ+ σ r − σθ
r+ f r = 0
1r
∂σθ
∂θ+
∂τ rθ
∂r+ 2
τ rθ
r+ f θ = 0
ECUACIONES DE EQUILIBRIO INTERNO (Cont.):
DEFORMACIONES:
ε r = ∂u∂r
εθ =1r
∂v∂θ
+ur
γ rθ =∂v∂r
+1r
∂u∂θ
−vr
ε r =P∗A∗ − PA
PA=
dr + u +∂u∂r
dr − u⎛ ⎝
⎞ ⎠ − dr
dr=
∂u∂r
εθ =P∗B∗ − PB
PB=
v + ∂v∂θ
dθ + rdθ − v⎛ ⎝
⎞ ⎠
− rdθ
rdθ+
ur
=1r
∂v∂θ
+ur
γ rθ = Φ1 + Φ2 =
∂v∂r
dr −vr
dr
dr+
∂u∂θ
dθ
rdθ
ECUACIONES CONSTITUTIVAS:
( )
( )
G
E
E
rr
z
zr
r
θθ
θθ
θ
τγ
σσνσε
σσνσε
=
+⋅=
+⋅=
rE-
E-
( )0z
rz
=
+⋅=
εσσνσ θ
( )θσσνε
σ
+−=
=
rz
z
E
0Tensión plana:
Deformación plana:
τ rz = τθz = 0γ rz = γθz = 0
⎫ ⎬ ⎭
I1r = σ r + σθ + σz = cte
D.P. → σZ = ν σ r + σθ( )T.P. → σZ = 0
⎫ ⎬ ⎭
σ r + σθ = cte
PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA ELÁSTICO:
σx + σy = σ r + σθ
( ) ( )θσ+σ∆=σ+σ∆ ryx
DEFORMACIÓN PLANA:( )
rff
rrf
fdiv
rrrr
fdiv
rrv
vr
+∂∂
+∂∂
=
∂
∂+
∂∂
+∂
∂=∆
−−=+∆
θ
θ
νσσ
θ
θ
1
111
1
2
2
22
2
r
r
∆ σ r + σθ( )= 0
fr = 0fθ = cte.
TENSIÓN PLANA:
∆ σ r + σθ( )= −(1 + ν) div fv→
∆ σ r + σθ( )= 0
FUNCIÓN DE TENSIÓN O DE AIRY
φ = φ(r,θ) =
σ r = 1r
∂φ∂r
+ 1r2
∂2φ∂θ2
σθ =∂ 2φ∂r2
τ rθ =1r2
∂φ∂θ
−1r
∂2φ∂r∂θ
= −∂∂r
1r
∂φ∂θ
⎛ ⎝
⎞ ⎠
∆2φ =∂2
∂r2 +1r
∂∂r
+1r2
∂2
∂θ2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
∂2φ∂r2 +
1r
∂φ∂r
+1r2
∂ 2φ∂θ2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ = 0
∑
∑∞
=−
+
∞
=−
+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++++++++=
22
2
22
211
31
1
113
11
02
02
02
00
sen11
cos11senln1cos2
cosln1sen2
lnln
nnnnn
nn
nn
nnnnn
nn
nn
nr
hr
grfre
nr
dr
crbrarrgr
frerc
rrdr
crbraerdrrcrbra
θ
θθθθ
θθθθθφ
EXPRESIÓN GENERAL DE LA FUNCIÓN DE TENSIÓNO DE AIRY:
ω
DISCO GIRATORIO
rf r2ρω=
∂σr
∂r+
σr − σθ
r+ fr = 0
Ecuación de equilibrio interno:
( ) 0rrdrd 22
r =⋅ω⋅ρ+σ−σ⋅ θ
rσ r = F
σθ = dFdr
+ ρω2r2
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
⇒
σ r = C + C11r2 −
3 + ν8
ρω 2r2
σθ = C − C11r2 − 1 + 3ν
8 ρω 2r2
DISCO MACIZO SIN TENSIONES SOBRE SU CONTORNO
σ r = 3 + ν8
ρω2 (R2 − r2 )
σθ =3 + ν
8 ρω2R2 −
1 + 3ν8
ρω2 r2
r = 0, (σ r )max = (σθ )max =3 + ν
8 ρω 2R2
(σ r ) r=a = 0 (σ r )r =R = 0
DISCO CON UN AGUJERO DE RADIO “a”
σ r =3 + ν
8 ρω2 R2 + a2 −
a2 R2
r2 − r2⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
σθ =3 + ν
8 ρω2 R2 + a2 −
a2 R2
r2 −1+ 3ν3 + ν
r2⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
(σ r )max → r = aR (σ r )max =3 + ν
8 ρω2 R − a( )2
(σθ )max → r = a (σθ )max = 3 + ν4
ρω 2 b2 + 1 − ν3 + ν
a2⎛ ⎝
⎞ ⎠
(σθ )max > (σ r )max
Si a → 0 (σθ )max → 2(σθ )maxdisco macizo
ω
a
TUBO CIRCULAR SOMETIDO A PRESION
rr1
r2
p2
p1
φ = φ r( )= A ln r + B r2 ln r + C r2 + D
σ r = 1r2
2 − r12 r1
2p1 − r22p2 + r1
2 r22
r2 p2 − p1( )⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
σθ =1
r22 − r1
2 r12p1 − r2
2p2 −r1
2r22
r2 p2 − p1( )⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
τ rθ = 0
r2 = ∞ p2 = 0
σ r = −σθ = −r1
2
r2 p1
r1 = 0 p1 = 0σr = −σθ = −p2 (estado equitensional)
( ) ( )
( )
0
2
21
12122
12
2
222
21
==
⋅−=
=+⋅−=−
≅≅
θ
θ
τσ
σ
rr
erpp
errrrrrrrrr
AGUJERO EN MACIZO INDEFINIDO RODILLO
TUDO DE PARED DELGADA
CUÑA CON CARGA EN LA PUNTA
φ = φN + φP + φM
φN = A r θ senθφP = B r θ cosθ
φM = C 12
sen2θ − θ cos2α⎛ ⎝
⎞ ⎠
FUNCIÓN DE AIRY:
σ r = 1r
∂φ∂r
+ 1r2
∂2φ∂θ2 = 2A cosθ
r− 2B senθ
r− 2C sen2θ
r2
σθ =∂ 2φ∂r2 = 0
τ rθ = −∂
∂r1r
∂φ∂θ
⎛ ⎝
⎞ ⎠ =
cr2 cos 2θ − cos2α( )
θ = ±α τ rθ = 0 σθ = 0CAMPO TENSIONAL:
CONDICIONES DE CONTORNO:
N = (σ r cosθ −−α
α
∫ τ rθ senθ) r dθ
P = (σ rsenθ −−α
α
∫ τrθ cosθ) r dθ
M = τ rθ r2 dθ− α
α
∫
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
⇒
A =N
2α + sen2α
B =-P
2α − sen2α
C = Msen2α - 2α cos2α
CILINDRO SOMETIDO A DOS CARGAS A LO LARGO DE GENERATRICES OPUESTAS(PROBLEMA DE HERTZ)
σx = −2Pπ
cosθ1 sen2θ1
r1
+cosθ2 sen2θ2
r2
−1D
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
σy = −2Pπ
cos3 θ1 r1
+cos3 θ2
r2
−1D
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
τxy = − 2Pπ
cos2 θ2 senθ2
r2
+ cos2 θ1 senθ1
r1
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
Heinrich RudolfHERTZ
(1857-1894)
PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO CIRCULAR
En puntos muy alejados del agujero(Principio de Saint-Venant):
00 === xyytx τσσσ
σx
σyτxy
σrσθ τrθ σ r = σt
2+ σ t
2 cos2θ
σθ =σ t
2−
σ t
2 cos2θ
τ rθ = −σ t
2+ sen2θ
⎫
⎬
⎪ ⎪
⎭
⎪ ⎪
σ
τ
σr
σθτrθ
τrθ
2θσt
Del Estado I (tubo sometido a presiones) conocemos su solución:
σ rI = σt
21− R2
r2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
σθI =
σ t
21+
R2
r2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
τ rθI = 0
σ r = σt
2+ σ t
2 cos2θ
σθ =σ t
2−
σ t
2 cos2θ
τ rθ = −σ t
2+ sen2θ
⎫
⎬
⎪ ⎪
⎭
⎪ ⎪
La solución Estado II es algo más complicada. La función de Airy de este problema se conoce y de ella pueden obtenerse las tensiones:
φ = Ar2 + Br4 +Cr2 + D⎛
⎝ ⎞ ⎠ cos 2θ
σ rII =
1r
∂φ∂r
+1r2
∂2φ∂θ2 = − 2A +
6Cr4 +
4Dr2
⎛ ⎝
⎞ ⎠ cos2θ
σθII = ∂2φ
∂r2 = 2A + 12Br2 + 6Cr4
⎛ ⎝
⎞ ⎠ cos 2θ
τ rθII = −
∂∂r
1r
∂φ∂θ
⎛ ⎝
⎞ ⎠ = 2A + 6Br2 −
6Cr4 −
2Dρ2
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ sen2θ
σ r = σ rI + σ r
II
σθ = σθI + σθ
II
τrθ = τ rθI + τ rθ
II
⎫
⎬ ⎪
⎭ ⎪
Las constantes A, B, C y D se determinan imponiendo las siguientes condiciones de contorno:
φ = Ar2 + Br4 +Cr2 + D⎛
⎝ ⎞ ⎠ cos 2θ
σ rII =
1r
∂φ∂r
+1r2
∂2φ∂θ2 = − 2A +
6Cr4 +
4Dr2
⎛ ⎝
⎞ ⎠ cos2θ
σθII = ∂2φ
∂r2 = 2A + 12Br2 + 6Cr4
⎛ ⎝
⎞ ⎠ cos 2θ
τ rθII = −
∂∂r
1r
∂φ∂θ
⎛ ⎝
⎞ ⎠ = 2A + 6Br2 −
6Cr4 −
2Dρ2
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ sen2θ
σ rI = σt
21− R2
r2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
σθI =
σ t
21+
R2
r2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
τ rθI = 0
r = R σ r = 0 τ rθ = 0
r = ∞ σ r = σ t τ rθ = 0
( )
( )
( )θ⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅−⋅
σ−=τ
θ⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅
σ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
σ=σ
θ⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅+⋅
σ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
σ=σ
θ
θ
2senrR2
rR31
2
2cosrR31
2rR1
2
2cosrR4
rR31
2rR1
2
2
2
4
4t
r
4
4t
2
2t
2
2
4
4t
2
2t
r
σ r = 0σθ = σ t − 2σ t cos2θ τ rθ = 0
Para r=R: σθ( )max = 3σ t cuando θ =π2
Para :θ =π2 σ r = 3σ t
2R2
r2 − R4
r4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
σθ =σ t
22 +
R2
r2 + 3R4
r4
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
τ rθ = 0
⎫
⎬
⎪ ⎪ ⎪
⎭
⎪ ⎪ ⎪
θσ
τ
θσσ
σ
θσσ
σ
θ
θ
2sen2312
2cos312
12
2cos4312
12
2
2
4
4
4
4
2
2
2
2
4
4
2
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
rR
rR
rR
rR
rR
rR
rR
tr
tt
ttr
( )
( )
( )θ⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅−⋅
σ−=τ
θ⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⋅
σ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
σ=σ
θ⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅+⋅
σ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅
σ=σ
θ
θ
2senrR2
rR31
2
2cosrR31
2rR1
2
2cosrR4
rR31
2rR1
2
2
2
4
4t
r
4
4t
2
2t
2
2
4
4t
2
2t
r
σ r = σ t 1 +3R4
r4 − 4R2
r2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ cos2θ
σθ = -σ t 1+ 3R4
r4
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ cos2θ
τ rθ = −σ t 1- 3R4
r4 + 2R2
r2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ sen2θ
σc=τ
σc=τ
σc=τ
σc=τ
PLACA INDEFINIDA CON UN TALADRO SOMETIDAA TENSIONES CORTANTE EN SU CONTORNO:
PLACA PLANA INDEFINIDA CON UN TALADRO ELÍPTICO
2bA
B
2a
σt
σt
2bA
B
2a
σt
σt
A
B
2a
σt
σt
( )
( ) tB
tA ba
σσ
σσ
θ
θ
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 21
A
2a
σt
σt
A
2a
σt
σt
Si b 0 (el taladro elíptico se convierte en una fisura):
( ) ∞→Aθσ