CAPÍTULO 1

ELASTICIDAD

Cuando un objeto sólido es sometido a fuerzas, éste tiende a deformarse ya sea variando su

volumen o su forma. Si el cuerpo recupera su forma original al cesar las fuerzas que lo deformaron,

diremos que el objeto es elástico. La elasticidad estudia la relación entre las fuerzas aplicadas a los

cuerpos y las correspondientes deformaciones que sufre el mismo. Esta propiedad surge debido a

que los cuerpos sólidos presentan gran resistencia a los cambios de forma y/o volumen.

Los sólidos tienen una función muy importante en la vida de los seres vivos, es en base a

los cuerpos sólidos que el hombre construye herramientas o estructuras necesarias para la vida tal

como la conocemos, como por ejemplo enseres, puentes, plataformas, edificios, etc, de ahí el

interés del estudio de cómo se comporta un sólido cuando es sometido a diferentes tipos de

ensayos, aunque éste sea un estudio elemental del amplio tema de la resistencia de materiales.

En la mecánica del cuerpo rígido consideramos que un cuerpo sólido no se deforma al ser

sometido a fuerzas. Este sistema es una idealización de la realidad, dado que ayuda a simplificar el

análisis del sólido en diversas circunstancias. Sin embargo en la realidad los sólidos se deforman en

mayor o menor grado cuando son sometidos a fuerzas exteriores y esto lo observamos en vigas,

barras, cuerdas, etc. que forman parte de una estructura mecánica, de ahí que nos interesemos por

conocer el comportamiento de los cuerpos sólidos cuando son sometidos a esfuerzos.

1.1.SÓLIDOS: CLASES

Los sólidos se caracterizan por poseer forma y volumen propio, debido a que las fuerzas que

mantienen unidas a las partículas que lo conforman son intensas, de modo que ocupan posiciones

casi fijas dentro de la estructura del sólido. Las partículas en el estado sólido se disponen de forma

ordenada, con una regularidad espacial que da lugar a diversas estructuras cristalinas. En principio

los cuerpos sólidos se dividen en dos tipos que se diferencian uno de otro muy sensiblemente por

sus propiedades físicas, a saber:

1.1.1. Sólidos cristalinos, que son cuerpos cuya forma geométrica es regular. Los cuerpos

cristalinos están limitados por caras planas que concurren en las aristas y en los vértices.

Generalmente las caras se disponen simétricamente unas respecto a las otras. En un sólido

cristalino, los átomos o moléculas que lo constituyen se colocan en forma regular y

periódica definiendo una red cristalina, la que es característica para cada sustancia y se

extiende a todo el volumen del cuerpo. Los cristales tienen orientados de determinada

manera ciertos planos, por los cuales muchos de ellos se fragmentan fácilmente. También

1

los cuerpos cristalinos tienen una temperatura determinada de fusión. Dentro de los sólidos

cristalinos tenemos:

a) los monocristales, que es un cristal de forma mas o menos regular, cuya

característica es la anisotropía, según la cual un cuerpo homogéneo tiene diferentes

propiedades en diferentes direcciones; por ejemplo el coeficiente de dilatación térmico

de un sólido cristalino es diferente según las distintas direcciones, las propiedades

mecánicas, ópticas y eléctricas son diferentes según las direcciones;

b) los policristales poseen estructura cristalina fina, es decir, están formados por

un gran número de cristales estrechamente unidos y dispuestos al azar. Es debido a esta

orientación azarosa de los cristales que un policristal revela propiedades isotrópicas.

1.1.2. Los sólidos amorfos, son sustancias que en estado condensado no tienen estructura cristalina.

Los sólidos amorfos son isótropos, es decir tienen las mismas propiedades en todas las

direcciones. Los cuerpos amorfos siempre ofrecen superficies irregulares de ruptura, por

ejemplo el vidrio al romperse presenta superficies irregulares, se forman trozos de forma

completamente irregular y casual. Los sólidos amorfos a diferencia de los cristalinos, se

reblandecen con el aumento de la temperatura; el cuerpo pasa del estado sólido al líquido de

un modo continuo, su viscosidad disminuye y empiezan a comportarse como líquidos

viscosos corrientes. Como ejemplo tenemos las diferentes materias vidriosas, el alquitrán, los

betunes, etc.

1.2. PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS

Las propiedades de los sólidos se estudian considerando las características que los distinguen

de los fluidos y se deben principalmente a que sus átomos no se arreglan caóticamente como en los

fluidos. Estas propiedades pueden ser físicas como las propiedades escalares, vectoriales y

tensoriales, o pueden ser mecánicas y que están relacionadas con la habilidad del material para

soportar esfuerzos mecánicos. Son propiedades mecánicas:

Elasticidad, es la propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles

cuando se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si

estas fuerzas exteriores se eliminan.

Plasticidad, propiedad mecánica del material que le permite adquirir grandes deformaciones

residuales sin fractura.

Ductibilidad, propiedad mecánica que permite a un material soportar deformación plástica bajo

tracción, como se da en la producción de hilos (alambres) por ejemplo.

Maleabilidad, propiedad que permite a un material soportar deformación plástica bajo esfuerzos

de compresión, láminas por ejemplo.

2

Fragilidad, que es la ausencia de plasticidad. Es decir el material se destruye sin presentar

deformación residual cuando la carga sobre ellos es excesiva.

Dureza, propiedad mecánica que permite a un material soportar grandes esfuerzos sin gran

deformación unitaria.

Resistencia, propiedad mecánica que determina el más gran esfuerzo que el material puede

soportar sin ruptura o deformación excesiva.

Tenacidad, propiedad que permite al material soportar grandes golpes.

1.3. DEFORMACIÓN DE LOS CUERPOS SÓLIDOS

Bajo la acción de fuerzas exteriores, todo cuerpo se deforma. La deformación de un sólido es el

cambio de forma y/o volumen provocado por la actuación de una o varias fuerzas o algún otro

fenómeno físico. La naturaleza de la deformación depende tanto del fenómeno físico que la

provoca así como de su magnitud.

En función del fenómeno físico que la provoca podemos distinguir: deformaciones mecánicas,

las provocadas por la aplicación de fuerzas, y deformaciones térmicas debidas a cambios de

temperatura.

Las deformaciones mecánicas pueden ser provocadas por tracción si la elongación es positiva o

compresión si la elongación es negativa. Se caracteriza porque la longitud del sólido varía en la

dirección en la que actúa la fuerza, pero la forma geométrica se mantiene.

La deformación por flexión se caracteriza por una alteración en la curvatura de la pieza como

en el caso de una viga apoyada en su extremo que se curva por la acción de un peso situado sobre

ella. Este caso lo observamos claramente en el trampolín de una piscina.

La deformación por torsión se produce cuando en una barra se tuerce un extremo mientras se

fija el otro, como cuando queremos escurrir un trapo o toalla empapado de agua.

1.4. ESFUERZO

Cuando se aplica una fuerza a un sólido deformable, ésta es compensada por las fuerzas internas

del cuerpo (fuerzas de enlace), son las fuerzas internas las que equilibran a las fuerzas externas por lo

que la acción de la fuerza externa se distribuye en toda la sección transversal del material. Es por ello

que el efecto que provoca en él depende tanto de la fuerza aplicada como del área de la sección del

cuerpo sobre la que se aplica. Por esta razón es conveniente hablar de fuerzas por unidad de

superficie conocido como esfuerzo o fatiga y que se define como:

[1.1]

3

Las unidades del esfuerzo son de N/m2 en el sistema internacional. Observamos que si el sentido

de las fuerzas es el de alejarse de la barra, la barra se encuentra en estado de tracción , si el sentido

de las fuerzas es hacia la barra, se dice que la barra se encuentra en estado de compresión; de esta

forma entonces, se debe tener en cuenta cómo es que se aplican los esfuerzos sobre el sólido, ya que

estos van a producir diferente deformación en el mismo, y de acuerdo a ello es que podemos definir

los esfuerzos como esfuerzo normal y esfuerzo tangencial o cortante.

1.4.1. Esfuerzo Normal:  Son aquellos debidos a fuerzas perpendiculares a la sección transversal

Si consideremos una barra sometida en sus extremos a fuerzas iguales y opuestas de magnitud F, la

barra está en equilibrio bajo la acción de estas fuerzas y por lo tanto, toda parte de la misma está

también en equilibrio. A la relación de la fuerza distribuida en el área transversal se le denomina

Esfuerzo ó Fatiga Normal expresado por

[1.2]

Esta relación es válida también para fuerzas de compresión. El esfuerzo aplicado sólo produce

cambio de volumen del sólido mas no produce cambio en la forma del cuerpo, esto es, la geometría

se mantiene.

1.4.2. Esfuerzo Cortante: Si actúan fuerzas tangenciales y de sentidos contrarios en las caras

opuestas de un cuerpo, las caras tienden a deslizarse uno con respecto a la otra y se producirá una

deformación por deslizamiento. En la figura 1.2 la mano ejerce sobre la cubierta del libro una fuerza

tangencial hacia la derecha, la superficie ejerce una

fuerza en sentido contrario, luego el esfuerzo cortante es:

[1.3]

4

Figura 1.1. Barras sometidas a esfuerzos de tracción (izquierda) y compresión (derecha)

Figura 1.2. Fuerza tangencial aplicada al lomo de un libro. La razón de la fuerza al área cons-tituye el esfuerzo cortante

también conocido como esfuerzo tangencial o de cizalladura. Este tipo de esfuerzo produce un

cambio en la forma del cuerpo, es decir, la geometría del sólido cambia cuando sobre él actúa un

esfuerzo cortante.

1.5. DEFORMACIÓN UNITARIA

Si un cuerpo está sometido a una tensión o compresión sufre deformación a lo largo de la tensión

aplicada. Es de interés considerar la deformación por unidad de longitud, así, definimos la

deformación unitaria longitudinal:

= /Lo; [1.4]

donde = L = L - Lo

Los cuerpos también sufren deformación por esfuerzos cortantes, donde los planos moleculares

tienden a deslizarse, de forma similar a como lo hace el libro en la figura [1.2], dando lugar a

deformación por cizallamiento o cortadura. Así, definimos la deformación unitaria por cizalladura

[1.5]

dado que las deformaciones elásticas son pequeñas.

1.6. TRACCIÓN Y COMPRESIÓN POR DEBAJO DEL LÍMITE DE

ELASTICIDAD

En física e ingeniería, el término elasticidad designa la propiedad

mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando se

encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma

original si estas fuerzas exteriores cesan. Sabemos que un cuerpo está

formado por partículas o moléculas entre las cuales actúan fuerzas. Estas

fuerzas moleculares se oponen a cambios de forma del cuerpo cuando sobre

él actúan fuerzas externas. Si un sistema exterior de fuerzas se aplica al

cuerpo, sus partículas se desplazan y estos desplazamientos mutuos

continúan hasta que se establece el equilibrio entre el sistema exterior de

fuerzas y las fuerzas internas. En este caso diremos que el cuerpo está en

estado de deformación.

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Figura 1.3. Barra sometida a tracción por la carga mg.

Durante la deformación, las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo realizan trabajo, y

este trabajo se transforma total o parcialmente en energía potencial de deformación. Ejemplo de

esta acumulación de energía en un cuerpo deformado, es el caso de un muelle de reloj.

Si las fuerzas, causa de la deformación del cuerpo disminuyen gradualmente, el cuerpo vuelve

total o parcialmente a su forma primitiva y durante esta deformación inversa la energía potencial de

deformación acumulada en el cuerpo se recupera en forma de trabajo exterior.

Sea, por ejemplo, una barra cilíndrica cargada en su extremo tal como se indica en la figura 1.3.

Bajo la acción de esta carga (despreciando el peso de la barra), la barra se alarga cierta cantidad

L. El punto de aplicación de la carga se desplaza en su dirección y la carga realiza un trabajo

positivo durante este movimiento.

Cuando se merma la carga, el alargamiento de la barra también merma, el extremo

parcialmente cargado se desplaza hacia arriba y la energía potencial de deformación se transforma

en el trabajo al desplazar la carga en sentido contrario a su dirección. Así, diremos que el cuerpo es

perfectamente elástico si recobra su forma original de forma completa al descargarlo, y que es

parcialmente elástico si la deformación producida por las fuerzas exteriores no desaparece por

completo al descargarlo. Luego, a la propiedad que tienen los cuerpos de recuperar su forma

primitiva al descargarlos se denomina elasticidad.

1.7. DIAGRAMA ESFUERZO vs DEFORMACIÓN.

Se debe al trabajo de R. Hooke (1635-1703) el establecimiento de la relación básica entre

esfuerzo y deformación elástica de un sólido. Cuando un

cuerpo es sometido a un test de tracción, se obtiene una

curva típica, como la que se muestra en la figura 1.4.

Aparecen fuerzas intermoleculares que se oponen a la fuerza

aplicada, originándose un estado de equilibrio que se

manifiesta macroscópicamente por la deformación

experimentada por el sólido, que se mantiene en estado de

reposo. Si la fuerza por unidad de área aumenta de valor, el

alargamiento experimentado por el cuerpo será en la misma

proporción, siempre que aquélla no supere cierto valor

máximo, correspondiente al señalado como A en la figura 1.4

que muestra el esfuerzo frente a la deformación

experimentada por el cuerpo. Si el esfuerzo supera el valor

correspondiente al punto A, la proporcionalidad directa desaparecerá, y el cuerpo se deformará más

con el aumento de fuerza aplicada. Sin embargo, mientras no se supere el valor del esfuerzo

correspondiente al punto B, el cuerpo recuperará su forma inicial cuando el esfuerzo sea reducido o

6

Figura 1.4. Deformación de una probeta sometida a tracción.

eliminado. A partir de este valor, un aumento del esfuerzo implicará un crecimiento no lineal de la

deformación, de tal forma que, si cesa el esfuerzo, el cuerpo no recupera su forma anterior,

manteniendo una deformación residual. Cuando el esfuerzo adquiere un valor relativamente

grande, correspondiente al punto C, el cuerpo se rompe definitivamente. Los puntos A, B y C,

reciben los nombres respectivos de límite de proporcionalidad, límite de elasticidad y punto de

fractura.

Hasta el punto A se cumple la ley que Hooke descubrió: “las deformaciones son

proporcionales a los esfuerzos deformantes”, que se expresa matemáticamente mediante la

igualdad,

= E [1.6]

que expresa una proporcionalidad directa (recordemos que es válida siempre que no se

sobrepase el punto A de la figura [1.4]) entre el esfuerzo aplicado (fuerza por unidad de área) y la

deformación relativa del cuerpo, siendo la constante de proporcionalidad E dependiente únicamente

del tipo de material del que está hecho el cuerpo, pero independiente de su geometría. Al

coeficiente E se le denomina módulo de Young.

Tabla 1. Valores de algunos módulos elásticos correspondientes a algunas sustancias.

Material Módulo de Young (GPa)

Tensión de fluencia F

(MPa)

Módulo de Corte (GPa)

Módulo de volumen

(GPa)

Coef. de Poisson

Acero in. 195 550 84 60 0.24 - 0.28

Latón 91 35 61 0.32 - 0.42

Alumini

o

70 25 70 0.32 - 0.36

Bronce 95

Cobre 110 300 42 140 0.33

Níquel 204 460

Plata 82.7 0.37

Concreto 20 5 - 35 0.1 - 0.15

Vidrio 48 - 78 26 - 32 50 - 55 0.2 - 0.3

Roble 11 117 trac.

59 comp

Granito 52 5 tracción

145 comp

Podemos ahora calcular el trabajo realizado en la deformación elástica de un cuerpo. En un

proceso infinitesimal el trabajo es: dW = F dl y éste se acumula en forma de energía elástica en el

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sólido. El trabajo producido por la fuerza de tracción F al aumentar la longitud de la barra en una

cantidad infinitesimal d(L) = d(L) = L d es dado por

W = F d(L) = F L d

Como F = A, y = E; al reemplazarlo en la expresión anterior,

tenemos:

De esto se deduce que durante el alargamiento unitario de la barra desde cero hasta cierta

magnitud , se efectúa un trabajo de , esto es, cada unidad de volumen de la barra

deformada contiene la siguiente cantidad de energía elástica

[1.7]

que se constituye en una densidad de energía elástica almacenada en el cuerpo.

1.8. COEFICIENTE DE POISSON

Siempre que una barra se somete a tracción (o compresión), además de sufrir un estiramiento

(o engrosamiento para la compresión) en la dirección de la fuerza aplicada, la muestra sufre un

estrechamiento (o dilatación) en sus dimensiones transversales. Si la barra es de forma de

paralelepípedo regular, con el eje X a lo largo del esfuerzo de tracción aplicado, las dimensiones

transversales Y y Z de la barra disminuirá en una magnitud ΔY y ΔZ. Luego las deformaciones

transversales debido a la tracción son: εY = ΔY/Yo y εZ = ΔZ/Zo; y la razón entre la deformación

transversal a la longitudinal nos da el coeficiente de Poison o coeficiente de deformación

transversal, así:

[1.8]

Esto es debido a que el material es considerado isotrópico, y el signo menos se debe a que el

ancho final es menor que el inicial para las direcciones Y y Z, con ello, va a ser positivo. En

general εT es proporcional a ε, por lo que: εT = - μ ε.

Para una muestra incompresible, el valor sería μ = 0,5. Experimentalmente su valor varía

usualmente entre 0,25 a 0,5, siendo típicamente 0,3 para muchos materiales. El valor de μ = 0 lo

tienen los cuerpos porosos como el corcho por ejemplo, que no varían las dimensiones

transversales en la tracción,

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Figura 1.5. Trabajo realizado en la tracción de una barra.

Ejemplo 1.1 Un alambre de cobre de 2m de largo y 1 mm de diámetro se utiliza para elevar un

objeto de 5 kg de masa a rapidez constante. ¿Qué alargamiento experimenta el alambre si el

módulo de Young es 1,151011 Pa?

Solución: Puesto que el objeto es elevado con velocidad constante, la fuerza que ha de vencer el

alambre coincide con el peso del objeto. De acuerdo con la ley de Hooke para la tracción

experimentada por el alambre de cobre, tendremos que E = = F /A

Ejemplo 1.2. Una pequeña anilla está colgada del techo mediante dos alambres, uno de cobre de 3

m de longitud y 5 mm2 de sección, formando un ángulo A = 30º con la horizontal, y otro de acero

de 2 m y 2mm2, formando un ángulo B = 60º con la horizontal. ¿Cuánto se alargarán cada uno de

los alambres al colgar de la anilla una pesa de 30 kg?.

Solución: Se representa la situación descrita mediante un esquema. El cable de acero está sometido

a la fuerza de tracción Ta, mientras que el cable de cobre experimenta la fuerza de tracción Tc.

Como el sistema está en equilibrio se cumplirá que,

Ta sen 30º + Tc sen 60º - P = 0

Ta cos 60º - Tc cos 30º = 0

De este sistema resultan los valores de ambas fuerzas,

Ta = 254,6 N y Tc = 147 N

Luego, dado que el módulo de Young es E = / los

alambres de cobre y de acero se alargan respectivamente:

y

Ejemplo 1.3. Se tienen dos barras unidas de longitudes L1

y L2

; de módulos elástico E1

y E2

y

secciones transversales A1

y A2

tal como se muestra en

la figura. Al aplicarse una fuerza F en el extremo, se

observa que éste extremo se desplaza una longitud . Determine el alargamiento que sufre cada una

de las barras y la magnitud de la fuerza aplicada.

Solución: La deformación de una barra sometida a tracción es:

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Como las dos barras están sometidas a la misma tracción, F es la misma para ambas y las

deformaciones para cada barra son:

; y

Luego, la deformación total es:

= 1

+ 2

= FL1

/E1

A1

+ FL2

/E2

A2

De donde hallamos el valor de la fuerza F que es:

Al reemplazar en cada una de las deformaciones tenemos:

;

Ejemplo 1.4. La barra horizontal rígida AB esta

soportada por 3 cables verticales, como se

muestra en la figura. Esta barra soporta una carga

de 24000 kg, hallar los esfuerzos de tensión en

cada cable y la posición de carga aplicada para

que AB permanezca horizontal si el módulo de

10

Young para el acero es Eac = 201010 Pa; para el bronce Ebron = 9,51010 Pa y para el cobre ECu =

111010 Pa

Solución: El peso es W = 240009,8 = 235200 N.

De las condiciones de equilibrio y el diagrama de cuerpo

libre mostrado, tenemos que:

Fv = F1 + F2 + F3 – W = 0

A = - W(0,8 – x) + F2(0,8) + F3(1,2) = 0

La fuerza de tensión en c/u de los cables es:

Para que la barra permanezca horizontal, las deformaciones que sufren los cables debe ser el mismo,

esto es L1 = L2 = L3. Aplicando la primera condición de equilibrio:

De donde

Luego, L = 6,4210-4 m

Por lo tanto, los esfuerzos en cada cable son: 1 = 3,21108 Pa; 2 = 4,07108 Pa y 3 = 1,96108

Pa

Para la segunda condición de equilibrio tenemos:

- 0,8W + Wx + F2(0,8) + F3(1,2) = 0

Que es la distancia a partir de F2 a la que debe actuar el peso W para que la barra se mantenga

horizontal.

1.9. DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICA

Sea una barra en forma de paralelepípedo rectangular la cual se somete a esfuerzos normales

x, y, z uniformemente distribuidos por cada una de las caras de modo que las deformaciones

producidas en cada una de las direcciones son:

En el eje X: De la definición de módulo tenemos que E = x /x,

de modo que la deformación debido a la tracción a lo largo del eje X

es

11

L2L1

x

F3F2

F1

W

Figura 1.6. Deformación multilateral de un sólido.

[1.9]

La tracción a lo largo del eje X ocasiona un estrechamiento en las dimensiones transversales de

la barra, la que es contemplada por el coeficiente de Poisson. Así, considerando que el material es

isotrópico, las contracciones transversales son:

, de donde y = - x y z = - x

Que al reemplazar por su valor nos da:

[1.10]

Veamos ahora lo que ocasiona la tracción a lo largo del eje y: la deformación a lo largo del eje

Y es

[1.11]

y las contracciones laterales se obtienen a partir del coeficiente de Poisson

, de donde x = - y; y z = - y

Reemplazando la ecuación 1.11 en las deformaciones transversales tenemos:

[1.12]

Del mismo modo, la tracción a lo largo del eje Z da lugar a la deformación

, [1.13]

Donde el coeficiente de Poisson es: . Entonces:

x = - z; y y = - z

Usando 1.13 en las expresiones, se tiene:

La deformación final a lo largo de los ejes X, Y y Z es:

[1.14]

[1.15]

12

[1.16]

Las ecuaciones 1.14, 1.15 y 1.16 representan la ley de Hooke Generalizada en una deformación

multilateral.

Veamos ahora cómo es la variación volumétrica unitaria. El volumen de la barra es V = Lx Ly Lz.,

siendo Lx Ly y Lz las dimensiones de la barra. Tomando logaritmo al volumen tenemos:

Diferenciando la expresión, nos da;

[1.17]

Que de acuerdo a la definición de deformación unitaria, éstas son las deformaciones a lo largo de

cada uno de los ejes por lo tanto,

[1.18]

Relación que expresa que la variación unitaria del volumen es igual a la suma de los alargamientos

unitarios a lo largo de las tres direcciones perpendiculares entre sí, de modo que haciendo el

reemplazo correspondiente de las ecuaciones 1.14, 1.15 y 1.16 obtenemos:

[1.19]

En este caso, la geometría del sólido no cambia.

Como caso particular de deformaciones homogéneas, consideremos un sólido que se somete a

esfuerzos iguales en las tres direcciones (x = y = z = ), como el sólido se considera isotrópico

entonces son iguales también las deformaciones unitarias del cuerpo (x = y = z). Esta

deformación por tracción o compresión volumétrica o multilateral da lugar a:

[1.20]

y la deformación volumétrica unitaria es:

Usando la deformación volumétrica unitaria en la definición módulo de compresibilidad B se tiene:

[1.21]

13

Expresión que nos da una relación entre los módulos elásticos de Young, el coeficiente de Poisson

y el módulo de Compresibilidad. La inversa de esta expresión se conoce como coeficiente de

compresibilidad K

[1.22]

La energía elástica acumulada en el sólido por unidad de volumen, en la compresión volumétrica

será:

[1.23]

En todos los sólidos, la magnitud B debe ser positiva: el volumen del sólido aumenta con la

tracción y disminuye con la compresión. Dado que los sistemas mecánicos tienden a pasar al estado

de mínima energía potencial, al reemplazar [1.21] en [1.23] debemos considerar que 1 - 2 > 0 a

fin de que U sea positivo; y por tanto < 1/2, esto es, el coeficiente de Poisson no puede ser mayor

de ½.

Ejemplo 1.4. Supongamos que se comprime un bloque cúbico de un cierto material sólido en una

dirección únicamente, hasta conseguir un acortamiento del 2% en la misma. ¿En qué porcentaje

disminuirá el volumen del bloque si el coeficiente de Poisson es de 0.3?

Solución: A partir del coeficiente de Poisson y de la ecuación [1.6], podemos obtener la variación

relativa de las dimensiones transversales del bloque, De la ley de Hooke generalizada se tiene:

Donde se ha considerado que el único esfuerzo aplicado es a lo largo del eje x, por tanto los

esfuerzos a lo largo de los ejes y y z son cero. Luego, la variación volumétrica será:

Donde x = 0,02 y = 0,3

y el porcentaje es 0,8 %. Lo que nos dice que la

deformación volumétrica es menor que el 1%.

1.10. DEFORMACIÓN POR CIZALLADURA

14

En las deformaciones por cizallamiento (deslizamiento o cortadura), la forma del sólido

cambia pero no su volumen, por lo que V = 0. Este es otro caso particular de deformación

homogénea y la invariabilidad del volumen es dado por:

[1.24]

de modo que de la ecuación 1.19 se tiene:

[1.25]

y al despejar x y reemplazar en la ecuación 1.14, se halla:

que es el alargamiento o acortamiento unitario a lo largo de una arista cualquiera del sólido y la

tensión que actúa en la misma dirección, se relacionan mediante la ecuación:

En esta relación entra la magnitud E/(1+). Esta relación dividida por 2 se denomina módulo

de rigidez G

[1.26]

Ejemplo 1.5 Una barra encaja perfectamente en una cavidad perfectamente rígida, de

modo que sus dimensiones son invariables. Si se somete a una presión vertical,

determine la deformación unitaria de la barra.

Solución: Supongamos que la dirección de compresión es el eje Z. Debido a la

reacción de las paredes impidiendo la extensión lateral de la barra (x = y = 0), en ésta surgen las

tensiones transversales px y py. Sus magnitudes se determinarán de la condición de invariabilidad de

las dimensiones de la barra a lo largo de los ejes x e y, siendo así que por razones de simetría es

evidente que py = px. Usando la Ley de Hooke generalizada y considerando que la cavidad es rígida

Hallamos que las tensiones transversales se relacionan con las presiones pz mediante las igualdades:

La deformación axial de la barra se determina con la ecuación 1.16

15

Pz

1.11. TORSIÓN

La torsión, es una deformación por cizallamiento puro, pero no homogéneo. Esta se produce

si se fija un extremo de la barra y se tuerce el otro extremo. En este caso, distintas secciones de la

barra girarán en diferentes ángulos respecto de la base fija. Como

con ello no varía la altura ni el área de la sección de la barra,

tampoco variará el volumen.

Es fácil determinar cómo se distribuye la deformación de

deslizamiento en la torsión, según el volumen de la barra. Para una

barra de longitud L y sección circular de radio R, donde la parte

superior gira con respecto a la inferior un cierto ángulo . Cada una

de las generatrices AB de la superficie cilíndrica de la barra se

transformará en una línea inclinada AB’. Como la distancia BB’ es

igual a R, el pequeño ángulo de deslizamiento en la superficie de la barra será:

tg = R /L [1.27]

Tomando ahora un radio r menor que R, se halla que sus elementos también están sometidos

a un deslizamiento, donde el ángulo es ahora

r = r /L

menor que el ángulo de deslizamiento en la superficie de la barra. De esta manera, en la

torsión, distintos elementos de la barra sufren deslizamientos diferentes y éste será tanto

menor, cuanto más cerca del eje de la barra se halle el elemento.

A consecuencia de la deformación, en la barra torcida surgen fuerzas elásticas que equilibran

las fuerzas exteriores aplicadas. Como los elementos de la barra pueden girar alrededor del eje de la

misma, la ecuación de equilibrio, se reducirá a la igualdad de los momentos de las fuerzas elásticas

y de las fuerzas aplicadas. De esto se deduce que la magnitud de la deformación de torsión debe

determinarse por el momento de las fuerzas aplicadas con respecto al eje de la barra, denominado

momento de torsión. Para pequeñas deformaciones por deslizamiento, es válida la ley de Hooke, y

el ángulo de torsión de la barra es proporcional al momento de torsión. Así, para determinar la

fuerza que da lugar a la torsión sobre la barra se puede calcular considerando una fuerza sobre un

área dA = 2 r dr según se muestra en la figura 1.7. De la definición de módulo de corte se tiene:

; de donde

16

Figura 1.7. Barra sometida a torsión.

Integrando desde el eje r = 0 a la superficie en r = R y de = 0 a , se tiene:

Que es la fuerza que tuerce el alambre y que es función del ángulo de torcedura así como del

módulo de rigidez de la barra, de su radio y de su longitud. El torque sobre un elemento de la barra

a una distancia r del eje es:

Integrando:

que representa el torque actuante sobre la barra de radio R y longitud L.

Para el caso de un péndulo de torsión oscilando, tenemos que al aplicar la segunda ley de Newton,

donde I es el momento de inercia de la masa oscilante. Comparando esta ecuación con la anterior,

se obtiene:

De donde y recordando que = 2f = 2/T entonces basta medir el periodo de

oscilación de la masa oscilante para determinar el módulo de torsión de la barra.

EJERCICIOS

1. Demostrar que el diámetro mínimo que debe tener un alambre de cierto material para soportar

una carga de magnitud P es

2. Del tejado de una casa cuelga un alambre de acero de 40 m de longitud y 2×10 -3 m de diámetro.

a)¿Qué carga máxima se puede colgar de éste alambre sin que llegue a romperse? b) ¿Cuánto

se alargará este alambre si de él se cuelga un hombre de 70 kg-f?, c) ¿se notará alargamiento

permanente cuando el hombre se suelte del alambre? El límite elástico del acero es 2,94×108 Pa

3. Un alambre de hierro de longitud L y coeficiente de Poisson µ , tiene atado a uno de sus

extremos una carga W. demostrar que la variación relativa del volumen del alambre es

17

4. Demostrar que para que una barra de longitud L y densidad que gira alrededor de uno de sus

extremos en un plano horizontal es necesario que la frecuencia de rotación sea

5. Demuestre que para que un alambre de longitud L y radio r no varíe su volumen al alargarlo es

necesario que tenga un coeficiente de Poisson igual a 0,5.

6. Una unión remachada de dos placas metálicas tiene 6 pernos de cierto material. La máxima

tensión que se puede ejercer sobre la banda es T kg-f y la fatiga por cizallamiento es como

máxima en los remaches en valor Z kg-f. Demostrar que el diámetro de cada remache es

7. Demostrar que la variación relativa de la densidad de una barra cilíndrica de longitud L y radio

R, cuando se somete a una compresión está dada por

8. Una barra de longitud L y masa m, cae verticalmente con una aceleración a. Calcule: a) la

deformación sufrida por la barra cuando a < g; b) la deformación sufrida por la barra cuando la

aceleración a es mayor que g. ¿Qué sucede cuando a = g?

9. Se tienen dos barras de longitudes L1 y L2, sección transversal A1 y A2, módulos de Young E 1

y E2, de masas m1 y m2 unidas por una cuerda inextensible, y que se mueven tiradas

horizontalmente con una aceleración “a”, tal como se muestra en la figura. Calcule la

deformación producida en cada barra. Suponga que la superficie es lisa.

18

m2m1a

CAPÍTULO 2

MOVIMIENTO OSCILATORIO

En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos regulares de tiempo, éstos

son llamados movimientos periódicos; así una partícula oscila cuando se mueve periódicamente

con respecto a la posición de equilibrio, como por ejemplo el movimiento de vaivén de un niño

meciéndose en un columpio, el movimiento de los planetas, el latido del corazón, la vibración de

las cuerdas de un instrumento musical, los electrones en una antena emisora o receptora, los átomos

en un sólido y en una molécula vibran unos respecto a otros, etc. Estos son llamados movimientos

periódicos y ocurren frecuentemente en la naturaleza, jugando un papel importante en diferentes

partes de la Física y la Ingeniería.

Entre los sistemas que tienen un movimiento periódico algunos realizan su viaje de ida y de

vuelta sobre el mismo camino, éstos son conocidos como sistemas oscilatorios. Además, si el

movimiento es descrito mediante una función armónica, es decir en términos de una función seno o

coseno, el movimiento se clasifica como Movimiento Armónico. El Péndulo y el sistema masa-

resorte son ejemplos típicos del Movimiento Armónico, y son la base para estudiar el movimiento

en otros sistemas, como lo son las Ondas Mecánicas, y eventualmente nos permitirán entender

algunas de las características de las Ondas en general

2.1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

Consideremos un sistema de masa m unido al extremo de un

resorte fijo en la pared tal como se muestra en la figura 2.1. Este

sistema se halla en una posición de equilibrio cuando el resorte no

esta deformado, posición que identificamos como x = 0. Cuando el

sistema es sacado de la posición de equilibrio mediante a una

fuerza, el resorte ejerce la misma acción (ley de Hooke) pero en

sentido contrario y que es directamente proporcional al

desplazamiento x desde el equilibrio según la ecuación

Fx = - kx [2.1]

donde k es la constante de fuerza y representa la fuerza necesaria para desplazar la partícula una

unidad de distancia, x es el desplazamiento desde la posición de equilibrio. El signo negativo de la

19

fuerza en la ecuación [2.1] indica que se trata de una fuerza restauradora, por lo que Fx va a la

izquierda cuando el desplazamiento x es hacia la derecha y viceversa. Esta es la característica del

movimiento armónico simple

Suponiendo que no actúa ninguna otra fuerza sobre el cuerpo, y aplicando la segunda ley de

Newton Fx = m.ax

m ax = - k x

[2.2]

Observamos que la aceleración es proporcional al desplazamiento del bloque y de sentido contrario

al mismo. Los sistemas que se comportan de esta forma se dice que exhiben movimiento armónico

simple. Luego, un objeto se moverá con movimiento armónico simple si la aceleración del objeto

es proporcional al desplazamiento pero con sentido opuesto.

Considerando que el movimiento vibratorio es a lo largo del eje X, al aplicar la definición de la

aceleración en la ecuación [2.2] (donde obviamos el subíndice x dado que el

movimiento es en una dimensión), obtendremos:

o

[2.3]

que es una ecuación diferencial de segundo orden que relaciona la aceleración y el desplazamiento.

Esta ecuación es la representación matemática del movimiento armónico simple.

Es necesario hallar una función que sea solución a la ecuación [2.3]. Para ello debemos hallar

una función x(t) cuya segunda derivada sea similar a la función original con signo cambiado. Las

funciones trigonométricas seno y coseno muestran este comportamiento ya que son funciones que

se repiten cada 2 radianes, de modo que una solución a la ecuación diferencial es:

[2.4]

Para probar si x(t) es solución de 2.3, derivamos [2.4] dos veces respecto al tiempo y luego

reemplazamos en [2.3]; así, la primera derivada es:

y la segunda derivada es: y reemplazamos en 2.3, entonces

20

finalmente [2.5]

expresión que nos dice que [2.4] es solución de [2.3] sólo si la frecuencia angular viene dada por la

ecuación [2.5], donde x(t) representa el desplazamiento respecto al punto de equilibrio, A, ω y

son constantes del movimiento. La cantidad (ωt + ) es el ángulo de fase o fase del MAS y

caracteriza unívocamente el estado dinámico del oscilador; es la fase inicial o constante de fase

que corresponde a t = 0 y expresa el punto en el ciclo donde comienza el movimiento. Se ha

planteado la solución en términos de la función coseno, pero también se puede expresar en

términos de una función seno ya que entre ellas hay una diferencia de fase de /2.

Puesto que la función seno o coseno varían

entre -1 y +1, el desplazamiento de la partícula

oscila entre x = - A y x = + A. El

desplazamiento máximo a partir del punto de

equilibrio es la amplitud A del movimiento

armónico simple y expresa los límites

máximos de desplazamiento.

El periodo T es el tiempo que demora la

partícula en realizar un ciclo completo de su

movimiento, esto es, el tiempo para el cual el valor de x en t se repite en el instante t + T. esto es,

x(t) = x(t+T). aplicando esta condición tenemos

A cos(ωt + ) = A cos[ω( t + T) + ] = A cos(ωt + + ωT)

La función coseno y la función seno, repiten su valor cada vez que la fase aumenta en 2π radianes

de modo que ωT = 2 o ω = 2/T,

Por tanto el movimiento armónico simple es periódico y su periodo es

[2.6]

Al inverso del periodo se le llama frecuencia f del movimiento. La frecuencia representa el

número de oscilaciones que hace la partícula en la unidad de tiempo y se expresa por:

[2.7]

Las unidades de medida en el Sistema Internacional son s -1 o ciclos/s llamado Hertz (Hz). Cuando

las frecuencias son altas, se usa como unidad de frecuencia Kilohertz (KHz) igual a 103 Hz,

Megahertz (MHz) igual a 106 Hz, Giga Hertz (GHz) igual a 109 Hz. 21

Figura 2.2 Gráfica de x vs t para un MAS. La amplitud es A, T es el periodo y la constante de fase.

ω se denomina frecuencia angular y sus unidades son rad/s. Esta relación especifica el número de

ciclos de movimiento que se realizan por unidad de tiempo.

La ecuación diferencial del sistema oscilante en función de es dado por

[2.8]

Luego, para el sistema masa resorte, podemos expresar el periodo y la frecuencia del movimiento

en función de la masa y la constante elástica del resorte como:

[2.9.a]

[2.9.b]

Como se observa, el periodo y la frecuencia dependen sólo de la masa de la partícula y de

la constante elástica del resorte y no de los parámetros del movimiento como son A y . En la

figura 2.3 se ilustra dos oscilaciones con diferente amplitud e igual periodo, observamos que ambas

oscilaciones llegan a sus posiciones de equilibrio simultáneamente, independientemente de su

amplitud. Esta propiedad es importante en música, de modo que el tono de las notas musicales es

independiente de su intensidad.

2.2. CINEMÁTICA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Una partícula que se mueve a lo largo del eje x, tiene un MAS cuando su desplazamiento x

desde la posición de equilibrio, varía en el tiempo de acuerdo con la relación x = A cos (ωt + δ). La

rapidez de una partícula que tiene un MAS se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación

[2.4], esto es:

22

Figura 2.3. Representación gráfica del movimiento oscilatorio posición vs tiempo para dos amplitudes diferentes del sistema masa – resorte. Observamos que el periodo es el mismo, independientemente de la amplitud de oscilación.

[2.10]

que demuestra que vx también oscila armónicamente con frecuencia angular ω, y está acotada entre

- ωA y + ωA. Por tanto ωA es el máximo valor que puede tener la rapidez, y se da cuando la fase

(ωt + ) es múltiplo impar de /2 y la rapidez es cero cuando la fase es múltiplo entero de , es

decir cuando x = A. Como – sen = cos ( + /2), la ecuación 2.10 puede expresarse como:

que representa una diferencia de fase de /2 radianes entre la velocidad y la posición. Es decir, la

velocidad está adelantada /2 radianes respecto a la posición.

Derivando respecto al tiempo la ecuación [2.10], tenemos:

[2.11]

Vemos que la aceleración oscila armónicamente con frecuencia angular ω y amplitud ω2A es decir,

está acotada entre - ω2A y + ω2A. Teniendo en cuenta que cos ( + ) = - cos , podemos expresar

[2.11] como

ax = ω2A cos(ωt + + )

Que representa una diferencia de fase de radianes entre la aceleración y la posición. Es decir, la

aceleración está adelanta /2 radianes respecto a la velocidad y radianes respecto a la posición.

Por otro lado, las ecuaciones [2.2] y [2.11] nos dan expresiones de la misma aceleración, por lo que

comparando estas expresiones tenemos:

que justifica el valor asumido en la ecuación [2.5] al reemplazar el valor de la aceleración en la

ecuación [2.3]. Esta expresión indica también que: en el movimiento armónico simple, la

aceleración es directamente proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento.

23

En la figura 2.4 se representa las variables x, v y a en función del tiempo. La ecuación 2.4 es

solución general de la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple, donde la

constante de fase δ y la amplitud A se deben elegir para satisfacer las condiciones iniciales del

movimiento.

La constante de fase es importante cuando se quiere comparar el movimiento de dos o más

partículas oscilantes. Suponiendo que se conocen la posición inicial y la velocidad inicial de un

oscilador, esto es, en t = 0, x(0) = xo y v(0) = vo. Con esas condiciones, las ecuaciones 2.4 y 2.10 se

reducen a:

xo = A cos δ y vo = - ωA sen δ

que son dos ecuaciones de donde se pueden calcular los valores de la constante de fase δ y la

amplitud A. Dividiéndolas, se obtiene:

luego: ,

de donde [2.14]

Para hallar la amplitud elevamos al cuadrado las ecuaciones para xo y vo y luego sumamos:

24

, y

[2.15]

Luego, si se especifican las condiciones iniciales xo, ω y vo se puede conocer A y δ.

Para concluir esta descripción, podemos resumir algunas propiedades de una partícula que se

mueve con un movimiento armónico simple:

1. El desplazamiento, la velocidad y la aceleración varían senoidalmente con el tiempo, pero no

se encuentran en fase.

2. La aceleración de la partícula es proporcional al desplazamiento, pero en dirección opuesta.

3. El periodo y la frecuencia son independientes de la amplitud

Ejemplo 2.1: Exprese (a) la

ecuación de movimiento del muelle

que se nuestra en la gráfica posición

versus tiempo que se adjunta.

Evalúe los desplazamientos

respectivos en los instantes 1/3, 5/6

y 4/3 s. (b) la velocidad de la

partícula en t = 0 s, en t = 0,3 s, en t

= 1,3 s, en t = 1,8 s. (c) Repetir (b)

para la aceleración

Solución: De acuerdo a la teoría, el movimiento oscilatorio del muelle es dado por la expresión

[2.4]

Pero en la gráfica observamos que el desplazamiento es máximo absoluto en t = 1/3 s, 4/3 s, 5/6 s,

etc. Por tanto la función desplazamiento la podemos expresar como

25

Al relacionar los términos con la gráfica, tenemos:

Amplitud: A = 10 cm. que corresponde a la máxima elongación.

Frecuencia angular: ω = 2 f = 2/T. El periodo en nuestro gráfico corresponde al tiempo entre

dos máximos sucesivos, luego T = 7/3 s – 1/3 s = 2,0 s.

Por tanto ω = rad/s

La fase inicial la hallamos para t = 0, y x(0) en la gráfica corresponde a 5 cm, por lo tanto:

x(0) = 5 = 10 sen ( + /2)

+ /2 = arc sen (0,5) = /6 rad

Luego = - /3

Luego, usando la función coseno, la ecuación del movimiento oscilatorio del muelle es

Evaluando el desplazamiento en los tiempos propuestos, tenemos:

Finalmente , que corresponde al extremo

opuesto de la oscilación.

(b) Al derivar la ecuación del movimiento respecto al tiempo, tenemos:

Luego, v(1/3) = - 10 sen (1/3 - 1/3) = – 10 sen 0 = 0 cm/s

que corresponde a los puntos de retorno de la oscilación

v(5/6) = - 10 sen (5/6 - 1/3) = – 10 sen (/2) = - 10 = - 31,42 cm/s

que corresponde a la máxima velocidad con la cual pasa por el punto de equilibrio.

v(4/3) = - 10 sen (4/3 - 1/3) = – 10 sen = 0 cm/s

(c) La aceleración se obtiene al derivar respecto al tiempo la expresión de la velocidad:

; luego:

26

a(1/3) = -102 cos (1/3 – 1/3) = -102 cm/s2

a(5/6) = -102 cos (5/6 – 1/3) = 0 cm/s2

a(4/3) = -102 cos (4/3 – 1/3) = +102 cm/s2

donde a(1/3) es la aceleración máxima dirigida hacia abajo, a(5/6) corresponde al punto de

equilibrio y a(4/3) corresponde a la máxima aceleración que posee el sistema en el extremo

inferior, donde la aceleración está dirigida hacia arriba.

Ejemplo 2.2

Se estira un muelle hasta que su longitud aumenta 5 cm. A continuación se suelta y se le deja

oscilar libremente, de forma que da 30 oscilaciones completas en 5 segundos. Halle: (a) La

ecuación del movimiento, considerando que su estudio se inicia cuando se halla en la posición más

estirada. (b) La posición en la que se encuentra el muelle a los 10 s de iniciado el movimiento. (c)

El tiempo que tarda el muelle en alcanzar la posición de equilibrio desde que está en la posición de

máximo estiramiento.

Solución:

(a) Dado que en el enunciado se menciona que la posición inicial de estudio ( t = 0) coincide con un

máximo, utilizaremos la ecuación 2.4 para describir el movimiento.

De esta manera su desfase inicial será nula y para t = 0, x(0) = A.

La amplitud del muelle coincide con la elongación máxima, luego A = 5 cm = 0,05 m

La frecuencia por definición es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, por tanto = 6 Hz

entonces

ω = 2 = 12 rad/s

por tanto x = 0,05 cos(12t) m

(b) Evaluamos la función x en t = 10 s x = 0,05 cos(120) = 0,05 m

El muelle se encuentra en su posición de elongación máxima positiva (estirado al máximo).

(c) Cuando el muelle pase por la posición de equilibrio la elongación es cero, por tanto

0 = 0,05 cos (12t) arc cos 0 = 12t = /2 t = 1/24 s = 0,042 s

2.3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL MAS

27

Considere una partícula que se mueve sobre una circunferencia de radio A, con velocidad angular ω

constante; la velocidad lineal vale v = ωA. El desplazamiento angular de la partícula respecto al eje

x viene dado por

θ = ωt + δ [2.16]

siendo el desplazamiento angular en el instante inicial t = 0 y ω = v/A es la velocidad angular de

la partícula. Si proyectamos el movimiento de la partícula sobre el eje x, tenemos

x = A cos θ = A cos(ω t + δ)

El punto proyectado sobre un diámetro de una partícula que se mueve con movimiento circular

uniforme realiza un movimiento armónico simple. Luego, cuando una partícula se mueve con

velocidad constante en una circunferencia, su proyección sobre el diámetro de la circunferencia se

mueve con movimiento armónico simple.

En la figura 2.5 (b) observamos que la proyección de la rapidez sobre el eje x es:

v = - ω A sen(ω t + δ)

de igual forma, la proyección de la magnitud de la aceleración sobre el eje x es:

ax = - ω2A cos(ω t + δ)

expresiones concordantes con las dadas por las ecuaciones 2.4, 2.10 y 2.11 del movimiento

armónico simple.

28

Figura 2.5: Partícula en movimiento circular uniforme (a) proyección del movimiento sobre el eje x. (b) La rapidez v de la partícula y su proyección sobre el eje x. (c) La aceleración de la partícula y su proyección sobre el eje x.

Ejemplo 2.3 Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 40 cm con una velocidad

constante de 80 cm/s. Hallar:  a) La frecuencia. b) El período del movimiento. c) Escribir una

ecuación para el componente x de la posición de la partícula en función del tiempo t, suponiendo

que la partícula está sobre el eje x en el instante t = 0.

Solución: Dado que la rapidez es v = ωA, entonces, la frecuencia angular es:

       La frecuencia 

    b) El período  T = 1/f = s.

c) Usando la ecuación 2.4, tenemos que en t = 0 la partícula está sobre el eje x, por tanto =

0, luego x(t) = 40 cos 2t cm

2.4. ENERGÍA EN EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

La partícula al oscilar alrededor de la posición de equilibrio, lo hace intercambiando energía

cinética y energía potencial. Usando la definición de energía cinética, y la ecuación 2.10 de la

rapidez de una partícula con movimiento armónico simple, se obtiene:

[2.17]

Pero sen2 = 1 – cos2 , entonces la expresión de la energía cinética Ec es:

[2.18]

donde se ha usado la ecuación 2.4. Pero mω2 = k, entonces podemos expresar la energía cinética

como

[2.19]

Así observamos que la energía cinética es máxima en el punto de equilibrio (x = 0) y cero en los

extremos de oscilación (x = A).

La energía potencial elástica almacenada en un resorte, para cualquier deformación x es:

[2.20]

cuya representación gráfica se ve en la figura 2.6(a) en negro. Usando la ecuación 2.4 y el hecho de

que mω2 = k, tenemos: 29

[2.21]

donde la energía potencial es cero en la posición de equilibrio (x = 0) y aumenta a medida que la

partícula se acerca a cualquiera de los extremos de oscilación (x = A), tal como observamos en la

figura 2.6(b).

Al sumar las ecuaciones 2.18 y 2.21 se obtiene la energía mecánica total del MAS

[2.22]

Que es una cantidad constante, dado que la fuerza es conservativa. Por ello, durante una oscilación

existe un intercambio continuo de energía cinética y energía potencial. La energía mecánica total

en el movimiento armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud. Nótese que este

valor es igual a la máxima energía potencial elástica almacenada en un resorte cuando x = ± A, es

decir, cuando la masa oscilante alcanza los desplazamientos máximos alrededor de la posición de

equilibrio, ya que en esos puntos v = 0 y la energía cinética es cero. Por otro lado, en la posición de

equilibrio, x = 0 y Ep = 0, debido a que en este punto la rapidez es máxima, de tal manera que toda

la energía es energía cinética.

La figura 2.6 (a) representa la gráfica de las funciones de la energía cinética dada por la ecuación

2.17 y la energía potencial dado por la ecuación 2.20, considerando que la fase inicial es cero; en

la gráfica se observa que el periodo de variación de la energía cinética o potencial es dos veces

menor que el periodo de oscilación, ya que en un periodo de oscilación la energía potencial es

máxima dos veces (al pasar por los extremos) al igual que la energía cinética (al pasar por el punto

de equilibrio). La figura 2.6 (b) muestra la variación de la energía potencial (línea negra) y la

energía cinética (línea verde) como función del desplazamiento.

30

La energía potencial dada por la ecuación 2.20, está representada por una parábola con vértice en O

y simétrica al eje de la energía. Para una energía total E dada, indicada por la línea horizontal en

rojo, los límites de oscilación están determinados por las intersecciones de la curva Ep y la recta E.

En cualquier punto x la energía cinética esta dada por la distancia entre la curva Ep y la recta E.

En x = A, E = Ep    ya que  v = 0  y Ec = 0

En x = 0, E = Ec    ya que  Ep = 0

Ejemplo 2.4 Oscilación de una masa suspendida de un resorte

Consideremos un pequeño cuerpo de masa m, tratado como una partícula, suspendido verticalmente

de un resorte de masa despreciable y constante k. Vamos a estudiar en primer término la posición

de equilibrio de m y luego su movimiento cuando se suelta desde una cierta posición inicial. El

punto de suspensión del resorte está fijo a un marco inercial ligado a tierra. El sistema mecánico es

la masa m. Elijamos un eje x hacia arriba con origen en la posición de equilibrio. Vamos a dibujar

comparativamente la longitud natural y tres situaciones importantes: la situación de equilibrio, la

situación inicial y una situación general cualquiera, así como los diagramas de fuerzas en equilibrio

y en situación general. Antes de hacerlo, es imperioso recordar que una realización experimental

paralela de este fundamental movimiento es esencial para su comprensión.

En equilibrio, con de : deformación en equilibrio, la fuerza hecha por el resorte, Fe es Fe = k de ,

y entonces, como Σ Fx = 0 ,

k de − mg = 0.

Veamos la ecuación de movimiento de m, segunda ley de Newton en situación general.

Usemos notación simple, es decir ax = a . Con la magnitud de la fuerza elástica igual a k por la

deformación, o sea F = k (de − x), se tiene

Σ Fx = max : k (de − x) − mg = ma ,

que, teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio, queda simplemente

− k x = m a .

La fuerza neta, resultante del peso y la fuerza elástica, − k x, es una fuerza recuperadora, dirigida

siempre hacia la posición de equilibrio. La aceleración a es pues

31

Llamemos 2, como es usual, a la constante positiva k/m. Como se comprueba fácilmente la

dimensión de , es T−1.

La ecuación a = = −2 x , o bien

que también se escribe como

es la llamada ecuación diferencial del oscilador armónico, de gran importancia en la física y que

va a aparecer en muchos otros movimientos. Una ecuación diferencial involucra funciones y sus

derivadas. Resolverla es hallar una función que la satisface, cumpliendo además con unas

condiciones iniciales determinadas. Buena parte de las ecuaciones fundamentales de la física son

ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones más complejas requerirán métodos especiales, pero con el cálculo elemental podemos

abordar la solución de la ecuación del oscilador, es decir encontrar cual es la función x(t) que

describe el movimiento de la masa m suspendida del resorte. Hagámoslo para unas condiciones

iniciales simples, comunes y prácticas: demos a la masa un desplazamiento desde el equilibrio

igual a xo (> 0) y soltémosla en t = 0. En este caso, vo = 0 y el problema es32

a = = −2 x. En t = 0 , x = xo y = 0

El problema es hallar x(t), así la aceleración es

luego,

y por tanto

,

en donde hemos tomado la raíz positiva. Como , separando las variables e integrando de

nuevo,

La integral de la izquierda es inmediata si se conocen las derivadas de las funciones

trigonométricas inversas. Si no es así, se puede usar la sustitución x = xo sen φ . El resultado es

o sea

y por tanto

Siendo t un ángulo en radianes, como ya vimos, tiene dimensiones T-1 y se llama frecuencia

angular y su unidad en el SΙ es rad/s .

El movimiento oscilatorio de m es un movimiento periódico muy importante, llamado movimiento

armónico simple. La función coseno tiene período 2 y por tanto

x(t) = xo cos t = xo cos(t + 2)

Así, cuando transcurre un tiempo llamado el período T, T = 2/ el movimiento se repite

idénticamente. Como 2 = k/m, el período es

33

El movimiento es simétrico alrededor de la posición de equilibrio, extendiéndose desde − xo hasta

xo. El desplazamiento máximo desde el equilibrio se llama la amplitud del movimiento, en este caso

xo .

En realizaciones experimentales se miden la masa y el período para hallar k. Sin embargo, con

resortes blandos y masas pequeñas, la idealización que hemos hecho al despreciar la masa del

resorte no es buena. Para buscar cierta precisión es necesario tener en cuenta la masa del resorte. El

problema es arduo y no lo abordaremos, pero el resultado es simple. Si mo es la masa del resorte,

una mejor aproximación al período, con mo < m, es

. [2.23]

Ejemplo 2.5. Si un objeto flotante se introduce ó se saca de un líquido a partir de su posición de

equilibrio, aparece una fuerza restauradora igual al aumento ó disminución del peso del líquido

desplazado. Un ejemplo sencillo es el densímetro, figura 2.8 utilizado

para medir la densidad de líquidos. Se trata de un cuerpo flotante con un

área de sección recta que atraviesa la superficie del líquido. Sea m la

masa del densímetro, A el área de su sección recta y la densidad del

líquido. Si el densímetro está a una distancia y por encima de su nivel de

flotación, el volumen de líquido desplazado es Ay y la ecuación

diferencial de movimiento queda

De donde

Ejemplo 2.6 Un oscilador armónico simple no amortiguado cuya frecuencia natural es de 10 rad/s

se desplaza una distancia de 0.03 m. de su posición de equilibrio y se suelta. Encontrar:  a) La

aceleración inicial. b) La amplitud del movimiento resultante. c) La máxima velocidad.

34

Solución: a) Como el sistema se estira a partir del reposo 0,03 m y luego se suelta, la aceleración

inicial es: 

 b) La amplitud del movimiento: A = 0,03 m

 c) La máxima velocidad:

Ejemplo 2.7. Un resorte horizontal se estira 4,5 cm con respecto a su posición de equilibrio cuando

actúa sobre él una fuerza de 2,16 N. Se coloca en el extremo del resorte una masa de 0,75 kg y se

estira el resorte 0,2 m a partir de su posición de equilibrio. Al dejar en libertad el sistema, la masa

quedará dotada de un movimiento oscilatorio armónico. Hallar: a) Fuerza que ejerce el resorte

sobre la masa cuando el sistema empieza a oscilar.  b) El período de oscilación. c) La máxima

velocidad alcanzada por la masa. d) La máxima aceleración. e) Velocidad, aceleración, energía

cinética y energía potencial de la masa cuando se ha movido una   distancia igual a la mitad de la

amplitud a partir de la posición inicial.

Solución: a) La constante recuperadora del resorte será:

y la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa F’ = - kx = - 480,2 = - 9,6 N

b) El período de oscilación es         

c) La velocidad máxima  

     d) Aceleración máxima

     e) La velocidad en el punto de elongación será

la aceleración

la energía cinética   

y la potencial            

Ejemplo 2.8. Una masa de 0.5 kg, conectada aun resorte ligero cuya constante de fuerza es 20

N/m, oscila sobre una superficie horizontal y sin fricción.  

35

a) Calcular la energía total del sistema y la rapidez máxima de la masa, si la amplitud del

movimiento es 3 cm. 

b) ¿Cuál es la velocidad de la masa cuando el desplazamiento es igual a 2 cm? 

c) Calcular las energías cinética y potencial del sistema, cuando el desplazamiento es igual a 2 cm.

Solución:

a) La energía total es dada por la ecuación 2.22, de donde

La velocidad es máxima cuando la masa pasa por el punto de equilibrio x = 0 por lo que toda la

energía mecánica es energía cinética, luego

, de donde:

a) La velocidad como función de la posición se obtiene usando la ecuación 2.15, así:

donde luego

Los signos positivo y negativo indican que la masa podría estar moviéndose hacia la derecha o

hacia la izquierda, en ese instante.

b) Aplicando el resultado del apartado b), se tiene :

y la energía potencial es:

2.5. EL PÉNDULO SIMPLE

Un péndulo es un cuerpo suspendido verticalmente, que

puede oscilar alrededor de la posición de equilibrio bajo la

acción de la gravedad. El péndulo simple es una idealización

en la cual una masa puntual está suspendida de una cuerda

inextensible y de peso despreciable comparado con la masa

pendular, que oscila en un plano vertical. Una pequeña esfera

masiva atada a una cuerda proporciona una realización práctica

adecuada.

36

Figura 2.7. Representación del péndulo simple y sus compo-nentes.

Si la masa se desplaza a una posición angular o y luego se suelta, el péndulo comienza a

oscilar. El péndulo describe un arco de circunferencia s de radio L. El sistema mecánico es m y su

diagrama de fuerzas se muestra en el esquema de la figura 2.7. El ángulo de mg con la normal a la

trayectoria es θ y entonces aplicando la segunda ley de Newton al sistema de fuerzas en dirección

tangencial (elegida positiva en dirección de s y θ crecientes), obtenemos:

Por lo tanto la aceleración angular es:

Estudiemos ahora el caso particular llamado péndulo simple de pequeñas amplitudes, en el

cual el péndulo oscila de modo que el máximo valor del ángulo θ es un ángulo pequeño.

Las funciones seno y coseno pueden expresarse en series de potencias así

[2.24]

[2.25]

Si el ángulo θ es pequeño, las potencias θ2, θ3 , … son muy pequeñas y podemos

despreciarlas y la aproximación lineal queda

sen θ ≈ θ , y cos θ ≈ 1 [2.26]

donde θ está en radianes. Con la aproximación para ángulos pequeños sen θ ≈ θ , la aceleración

angular del péndulo queda

, o también

[2.27]

que representa la ecuación del movimiento armónico simple. En analogía con la ecuación 2.3,

[2.28]

siendo ω la frecuencia angular.

37

Si damos al péndulo las siguientes condiciones iniciales: soltamos en t = 0 desde θ = θo, el

problema del movimiento queda entonces

En t = 0, (0) = o y ; se requiere hallar (t).

Este problema es el mismo que ya planteamos al estudiar las oscilaciones de una masa suspendida

de un resorte. Simplemente, en vez de la posición x (t), tenemos ahora la posición angular θ (t). El

péndulo simple de pequeñas amplitudes describe por tanto un movimiento armónico simple

θ(t) = θo cos ω t ,

con amplitud θo y cuyo período, se obtiene usando la ecuación 2.28, de modo que

[2.29]

De acuerdo con la ecuación, cuanto mayor es la longitud del péndulo, mayor es el periodo, y la

frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud de la oscilación para amplitudes

pequeñas. En el movimiento armónico simple, el período, es decir el tiempo que tarda una

oscilación completa, no depende de la amplitud de la oscilación. El péndulo de pequeñas

amplitudes, que describe un movimiento armónico simple, tiene esta propiedad y se dice que es

isocrónico. Pero en un péndulo de amplitud cualquiera esto no es cierto, el péndulo no es

isocrónico, es decir el período depende de la amplitud θo.

Para una amplitud θo de unos 15°, el error relativo que se comete al calcular el período con la

expresión que vimos, respecto al período exacto, es de un 0.5%, lo que indica el grado de precisión

al considerar la aproximación de pequeñas amplitudes.

Ejemplo 2.9: Una partícula se desliza hacia delante y hacia atrás entre dos planos inclinados sin

fricción. a) Halle el periodo del movimiento si h es la altura inicial; b) el movimiento ¿es armónico

simple?

Solución: El movimiento de vaivén en la rampa es uniformemente acelerado, por lo que

suponemos que “s” es la distancia que cubre la partícula en un lado del plano inclinado, entonces:

s = (1/2)at2

pero

38

que es el tiempo que tarda en cubrir un lado de la rampa y el tiempo que emplea en ejecutar un

movimiento de vaivén es T = 4t, por lo que

b) De la dinámica del cuerpo se tiene:

F = ma, por lo que - mg sen = m a

de donde

con lo cual, el movimiento no es armónico simple.

2.6. PÉNDULO FÍSICO.

Un cuerpo rígido, que pueda girar libremente alrededor de un eje horizontal que no pase por su

centro de masas, oscilará cuando se desplace de su posición de equilibrio recibiendo este sistema el

nombre de péndulo físico. Consideremos un cuerpo de masa m con un eje de rotación situado a una

distancia D del centro de masas y desplazado de su posición de equilibrio un ángulo , figura 2.9.

El momento de fuerza respecto al eje tiene como módulo mg D sen y aplicando la 2a ley de

Newton

= I, siendo I el momento de inercia respecto al eje y

la aceleración angular obtenemos

De igual forma que en el péndulo simple, el movimiento

no es armónico simple; pero para desplazamientos

angulares pequeños hacemos uso de las ecuaciones 2.26,

donde sen , el movimiento que realiza el cuerpo es

aproximadamente armónico simple con una ecuación de

movimiento dada por

donde es la frecuencia angular del movimiento armónico simple, y en

consecuencia el periodo de oscilación es igual a 39

Figura 2.9. Péndulo físico

[2.30]

En este caso, y a diferencia del péndulo simple, el periodo de oscilación del péndulo físico si

depende de la masa del cuerpo.

Ejemplo 2.10. Una barra delgada de longitud L y masa m está suspendida

libremente en O, situado a la distancia L/3 del extremo de la barra. La barra se

desplaza ligeramente a partir del equilibrio y se deja oscilar alrededor de un eje que

pasa por O. Determine la frecuencia angular para pequeñas oscilaciones.

Solución. Como la oscilación depende del punto de suspensión, entonces

= - (mg sen) d

Pero = I = - ( m g sen ) d, expresión que nos lleva a la ecuación diferencial:

Como observamos, el movimiento no es armónico simple; sin embargo para pequeñas oscilaciones

hacemos uso de la ecuación 2.26, sen y entonces

La distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa de la barra es d = L/2 – L/3 = L/6

donde el momento de inercia de la barra, de acuerdo con el teorema de Steiner será:

Luego

entonces

Ejemplo 2.11. Un disco pequeño de radio r y masa m, está unido rígidamente a un segundo disco

mas grande de radio R y masa M. El centro del disco pequeño está situado en el borde del disco

grande. El disco grande está montado en su centro sobre un eje sin fricción. El conjunto se hace

girar un pequeño ángulo desde su posición de equilibrio y se suelta. (a) demuestre que la rapidez

del centro del disco pequeño cuando pasa por la posición de equilibrio es

y que su periodo es:

40

mg

d

O

Solución: (a) Aplicando conservación de energía entre los puntos extremo y medio, se tiene:

Ec = Ep = E:

, despejando v:

(b) Aplicando la dinámica de Newton al sólido, tenemos:

luego,

Donde el momento de inercia, de acuerdo con el teorema de Steiner es

; y al reemplazar en la expresión anterior, tenemos

por tanto: que era lo que queríamos demostrar.

Ejemplo 2.12. Un cilindro macizo de densidad uniforme

y masa total M rueda sin deslizar sobre una superficie

circular cuyo radio es R. Si el radio del cilindro es r,

demuestre que su movimiento es oscilatorio y que para

41

v

pequeñas amplitudes el movimiento es aproximadamente armónico, con frecuencia

Solución: Planteamos la solución del problema por conservación de energía. Sea o la posición

angular a partir de la cual se inicia la rodadura del cilindro. Luego de la figura determinamos:

Hallemos la energía potencial que posee el sistema con respecto a la

posición inicial

Mg (h - ho) = Mg (R – r)(cos - coso)

Y aplicando el principio de conservación de la energía, tenemos:

Pero , es decir, la velocidad tangencial es la misma, luego:

,

Derivando la expresión con respecto al tiempo, tenemos:

Simplificando:

Considerando que es muy pequeño, entonces:

42

2.7. SUPERPOSICIÓN DE DOS MAS DE IGUAL DIRECCIÓN Y FRECUENCIA

Consideremos la superposición ó interferencia

de dos MAS bajo la siguiente hipótesis: la

resultante de dos ó más oscilaciones armónicas

es simplemente la suma de las oscilaciones

aisladas.

Supongamos dos MAS superpuestos de igual

frecuencia y diferente fase que producen el

desplazamiento de la partícula a lo largo de la

misma línea

x1 = A1 cos (ωt + 1)

x2 = A2 cos(ωt + 2)

    El desplazamiento resultante de la partícula está dado por la combinación lineal:

x = A1 cos (ωt + 1) + A2 cos(ωt + 2) [2.31]

y es periódico, con periodo T = 2/ω, ya que ambas expresiones tienen el mismo periodo. La

representación gráfica de esta composición es mostrada por la figura 2.10 mediante vectores

rotantes o fasores. Para determinar la amplitud resultante, aplicamos la ley de los cosenos a los

vectores rotantes de la figura 2.10 y obtenemos:

[2.32]

y la constante de fase la obtenemos a partir de las proyecciones sobre los ejes de modo que

[2.33]

de modo que el movimiento resultante es dado por la expresión:

x = A cos (ωt + )

Consideremos dos casos especiales:

43

Figura 2.10. Composición de dos MAS de la misma frecuencia y diferencia de fase

(a) Si = 0, esto es, 2 - 1 = 0, decimos que los dos movimientos están en fase, lo cual significa

que los vectores rotantes son paralelos. Luego el movimiento resultante es

x = (A1 + A2) cos ωt

y muestra que el movimiento resultante también es un MAS con la misma frecuencia angular y con

amplitud

A = A1 + A2 y tg = tg 1,

es decir, los movimientos interfieren constructivamente ya que las amplitudes se suman tal como se

observa en la figura 2.11(a) muestra la representación gráfica de los dos movimientos componentes

dados por los vectores rotantes OP1, OP2 y su resultante OP.

(b) Cuando = 1 - 2 = , tenemos que

x2 = A2 cos(ωt + (1 - )) = - A2 cos (ωt + 1)

se dice que los dos movimientos están en oposición, sus vectores rotantes son antiparalelos de

modo que el movimiento resultante es:

x = (A1 - A2) cos

(ωt + 1)

que nos muestra que el

movimiento resultante es

también armónico

simple, de la misma

frecuencia cuya amplitud

es

A = A1 - A2

y tg = tg 1

La figura 2.11(b)

representa gráficamente

este tipo de composición.

(c) Cuando = 1 - 2 =

/2, es decir, si 2 = 1 -

/2, entonces se dice que

los dos movimientos

están en cuadratura

44

obteniéndose el movimiento armónico simple representado en la figura 2.11(c) y al aplicar la

ecuación 2.32 y la 2.33 se obtiene

y

2.8. SUPERPOSICIÓN DE DOS MAS DE IGUAL DIRECCIÓN Y DIFERENTE

FRECUENCIA

Supongamos 2 MAS de igual dirección y diferente frecuencia descritos por las ecuaciones

x1 = A1 cos ω1t y x2 = A2 cos ω2t

donde por simplicidad se ha considerado que las fases iniciales son cero. El ángulo entre los

vectores rotantes OP1 y OP2 en la figura 2.10(a) es ahora ω1 t - ω2t = (ω1 - ω2)t y depende del

tiempo, por tanto el vector resultante OP no tiene longitud constante y no gira con velocidad

angular constante. Esto implica que el movimiento resultante x1 + x2 no es armónico simple. En la

figura 2.12(a) que representa los vectores rotantes, vemos que la amplitud del movimiento es:

[2.34]

que depende del tiempo, por lo que la amplitud oscila entre los valores

A = A1 + A2 cuando (ω1 –ω2)t = 2n

y A = A1 – A2 cuando (ω1 – ω2)t = (2n+1)

con lo cual se dice que la amplitud está modulada. La frecuencia de la oscilación de la amplitud

está expresada por

[2.35]

y es igual a la diferencia de las frecuencias de los dos movimientos en interferencia. La figura

2.12(b) muestra la variación de A con respecto a t.

Un ejemplo de este comportamiento lo constituyen dos diapasones de frecuencias cercanas

pero diferentes que vibran simultáneamente en lugares cercanos. Se escucha una nota pero con una

fluctuación en la intensidad del sonido llamada pulsación. Una situación interesante ocurre cuando

las dos amplitudes son iguales A1 = A2 que al reemplazarlos en la ecuación 2.34

y usando la identidad trigonométrica 1 + cos = 2 cos2(/2), obtenemos la amplitud total

45

[2.36]

que oscila entre cero y 2A1. El movimiento resultante cuando las amplitudes son iguales es:

x = x1 + x2 = A1 cos ω1t + A2 cos ω2t

= A1 (cos ω1t + cos ω2t)

que también puede expresarse como

donde A está dado por la ecuación 2.36 El movimiento se puede interpretar, como un movimiento

armónico con frecuencia ω = (ω1 + ω2 )/2 y con una amplitud modulada de acuerdo con la

ecuación 2.36 y representada en la figura 2.12(c), donde la línea segmentada representa la

modulación de la amplitud.

Figura 2.12 (a) Composición de dos MAS de igual dirección y diferente frecuencia, (b) Amplitud modulada del movimiento resultante. (c) Modulación cuando las amplitudes son iguales

2.9. SUPERPOSICIÓN DE DOS MAS CON DIRECCIONES PERPENDICULARES

Consideremos ahora el caso de una partícula que se mueve en un plano de tal modo que sus

coordenadas x e y oscilan con MAS de igual frecuencia. El movimiento a lo largo del eje X está

dado por

x = A cos (ωt + 1) [2.37]

y el movimiento a lo largo del eje Y es descrito por:

y = B cos(ωt + 2) [2.38]

Desarrollando las expresiones de los movimientos a lo largo de cada uno de los ejes, tenemos:

46

x = A[ cos ωt cos 1 - sen 1 sen ωt] [2.39]

y = B[cos ωt cos 2 - sen ωt sen 1] [2.40]

Multiplicando la expresión 2.39 por cos2 y 2.40 por cos 1 se tiene:

(x/A) cos 2 = cos ωt cos 1 cos 2 - sen ωt sen 1 cos2 [2.41]

(y/B) cos 1 = cos ωt cos 2 cos 1 - sen ωt sen 1 cos 1 [2.42]

restando 2.42 de 2.41 tenemos:

[2.43]

Multiplicando ahora las expresiones 2.39 por sen 2 y 2.40 por sen 1 se tiene:

(x/A) sen 2 = cos ωt cos 1 sen 2 - sen ωt sen 1 sen 2 [2.44]

(y/B) sen 1 = cos ωt cos 2 sen 1 - sen ωt sen 1 sen 1 [2.45]

Restando la ecuación 2.45 de 2.44 tenemos:

[2.46]

Elevando al cuadrado y sumando las expresiones 2.43 y 2.46 se tiene:

Reduciendo:

[2.47]

Consideremos ahora algunos casos especiales. Si los movimientos componentes están en fase

entonces = 2 - 1 = 0 y la ecuación 2.47 se reduce a:

entonces

47Figura 2.13 Superposición de dos MAS mutuamente perpendiculares

Ésta es la ecuación de la recta PQ de la figura 2.13, y el movimiento resultante es armónico simple

con amplitud

Es decir, el desplazamiento a lo largo de la línea PQ es

r = cos ωt [2.48]

Si los movimientos están en oposición de fase = 2 - 1 = y al reemplazar en la ecuación 2.47

se tiene:

que es la ecuación de la línea RS. El movimiento resultante es armónico simple con amplitud

. Por tanto decimos que cuando = 0 ó = la superposición de dos MAS

perpendiculares de la misma frecuencia tiene como resultado un movimiento armónico rectilíneo, y

da lugar a una polarización rectilínea.

b) Cuando = 2 - 1 = /2 se dice que los movimientos a lo largo de los ejes X e Y están en

cuadratura; en este caso al reemplazar en la ecuación 2.47 se tiene:

que es la ecuación de la elipse mostrada en la figura 2.13 La elipse es recorrida en sentido horario.

Esto puede verificarse si se calcula la velocidad de la partícula en x = +A. Así, en x = +A, partiendo

de la ecuación 2.37 se tiene que x = A cos (ωt + 1) = 1, lo que implica que (ωt + 1) = 2n y la

componente x de la velocidad vx = dx/dt = - Aω sen (ω t + 1) = 0 ya que la fase es múltiplo de

2n. La componente Y es y = B cos (ω t + 1 +/2) = - B sen (ω t + 1) y la componente vy de la

velocidad es vy = - Bω cos (ωt + 1) = - ωB dado que (ωt + 1) = 2n que es paralela al eje Y.

Como es negativa el punto pasa por A, moviéndose hacia abajo, que corresponde a una rotación

horaria.

Se obtiene la misma elipse si 2 - 1 = 3/2 ó - /2, pero en este caso el movimiento es

antihorario. De este modo se puede afirmar que cuando la diferencia de fase 2 - 1 = /2. La

superposición de dos movimientos armónicos simples de la misma frecuencia y direcciones

perpendiculares produce un movimiento elíptico y da lugar a una polarización elíptica. Los ejes de

la elipse son paralelos a las direcciones de los dos movimientos Cuando A = B la elipse se

transforma en un círculo y tenemos una polarización circular.

48

c) Para un valor arbitrario de la diferencia de fase = 2 - 1 la trayectoria es aún una elipse pero

sus ejes están rotados respecto al eje de coordenadas tal y como se muestra en la figura 2.13 para

ciertas diferencias de fase.

Otra situación interesante es la interferencia de 2 MAS perpendiculares de frecuencias diferentes

x = A cos (ω1 t + 1)

y = B cos (ω2 t + 2) [2.49]

La trayectoria depende de la relación ω1/ω2 y de la diferencia de fase = 2 - 1 denominándose

estas curvas figuras de Lissajous. La figura 2.15 muestra estas trayectorias para diferentes

relaciones ω1/ω2 y diferencias de fase = 2 - 1.

Figura 2.14. Composición de 2 MAS perpendiculares y frecuencias iguales para ciertas diferencias

de fase dadas, cuando A = B

2.10. OSCILACIONES AMORTIGUADAS

El estudio de las oscilaciones que hemos desarrollado se ha realizado como si no existiera

rozamiento, es decir, la fuerza que da lugar al movimiento armónico simple es Fx = - kx. Sin

embargo, si el movimiento se realiza en un medio cualquiera, éste ofrecerá cierta resistencia al

movimiento tendiendo a frenarlo. Así, dejado libremente en movimiento vibratorio un muelle ó un

péndulo, su amplitud disminuye gradualmente, hasta que deja finalmente de oscilar, lo que indica

una pérdida de la energía del mismo. Decimos entonces que el movimiento oscilatorio está

amortiguado.

Desde el punto de vista mecánico la disipación de energía se puede describir introduciendo una

fuerza complementaria que surge como resultado del propio movimiento y va dirigido en sentido 49

opuesto al movimiento. A velocidades suficientemente pequeñas, esta fuerza o fuerza de

amortiguamiento, es proporcional a la velocidad del cuerpo, y suelen representarse por la expresión

empírica , donde b es una constante positiva que depende del medio y

de la forma del cuerpo. El signo negativo indica que la fuerza Fr tiene sentido contrario al de la

velocidad del objeto por lo que realiza un trabajo negativo y es la causa de que la energía

disminuya. Introduciendo este término en la segunda ley de Newton obtenemos la ecuación

diferencial de movimiento de un sistema amortiguado.

m a = Fx + Fr = - k x – b v

m a + b v + k x = 0 [2.50]

y la ecuación diferencial del movimiento es:

[2.51]

que se puede expresar como:

[2.52]

Esta ecuación describe el comportamiento del oscilador armónico amortiguado. Su movimiento, al

menos cuando el amortiguamiento es pequeño, consiste de una oscilación sinusoidal cuya amplitud

va decreciendo gradualmente, como se verá luego. Esta ecuación se puede simplificar:

[2.53]

donde

Dado que la ecuación diferencial contiene coeficientes constantes, existe siempre una solución de

la forma x = e r t. Para demostrarlo hallamos las derivadas de x respecto al tiempo:

que al reemplazarlas en la ecuación 2.53 tenemos:

Suprimiendo e r t nos da una ecuación algebraica de segundo grado en r cuyas raíces son:

50

[2.54]

Luego, la solución a la ecuación diferencial es:

[2.55]

Dependiendo de los valores de y ωo, podemos distinguir tres casos que son: (a) que > 2 ; (b)

que = 2 y (c) < 2

Caso (a) (Oscilaciones subamortiguadas) cuando > 2 hacemos , donde =

b/2m es el llamado coeficiente de amortiguamiento y es la frecuencia angular natural

del oscilador no amortiguado. Por el doble signo del radical, tenemos dos soluciones en el campo

de los números complejos para r:

[2.56]

Las soluciones son: y

que da como solución general a la ecuación diferencial, la combinación lineal de r1 y r2 , esto es:

[2.57]

y dado que

e i = cos i sen , [2.58]

entonces, x(t) es solución compleja de la ecuación diferencial y por tanto A1 y A2 habrán de ser

también complejos para que x(t) sea la solución general. La solución de un problema físico debe ser

real, por lo que se ha de elegir A1 y A2 de modo tal que x lo sea. Esto se logra haciendo A2

conjugado complejo de A1 así:

y [2.59]

Que al reemplazar en 2.57, tenemos:

51

Aplicando la ecuación 2.58. se tiene:

[2.60]

[2.61]

Multiplicando y dividiendo 2.61 por se tiene:

[2.62]

Que al llevar los coeficientes al plano (figura 2.16) obtenemos

[2.63]

, y [2.64]

Reemplazando 2.63 y 2.64 en 2.62

[2.65]

donde la fase inicial del movimiento, es decir, la separación de la posición de equilibrio en el

instante t = 0. Debido a la presencia del término exponencial, esta ecuación expresa que la amplitud

se va reduciendo a medida que transcurre el tiempo (figura 2.16). Las curvas de trazos de la figura

2.17 corresponden a x = + C y x = - C, donde C viene dado por C = Coe- t y la frecuencia angular

ω del movimiento amortiguado es:

[2.66]

este es un movimiento Infra-amortiguado o

sub-amortiguado. Observamos que la

frecuencia angular del movimiento

amortiguado es menor que la del

movimiento sin amortiguamiento, o dicho de

otra manera, el periodo T del movimiento

amortiguado es mayor que el del

movimiento sin amortiguamiento.

Caso (b) (sobreamortiguamiento) las raíces son reales por tanto la solución es una función real, así:

52

Figura 2.17 Representación del movimiento sub-amortiguado cuya amplitud varía como Aoe- t

C

A

B

Figura 2.16

Ecuación que puede expresarse como

     [2.67] 

A1 y A2 se determinan de las condiciones iniciales xo y vo. El sistema actúa pesadamente y no vuelve

de modo tan rápido al equilibrio (x = 0); en este caso, se dice que el sistema está sobreamortiguado

y la partícula regresará a la posición de equilibrio sin rebasarla o rebasándola a lo sumo una vez.

Para unas condiciones iniciales dadas (xo,vo), cuanto mayor sea el amortiguamiento más tiempo

empleará el sistema en quedar en reposo en la posición de equilibrio.

Para el caso (c) donde ωo = , (amortiguamiento crítico) se tiene que r = - siendo la solución de

x en este caso:

Pero también es solución la expresión , por tanto, la solución general para el caso

donde ωo = es:

[2.68]

donde A1 y A2 son dos constantes de integración, que pueden expresarse en función de las

condiciones iniciales, esto es, de la posición xo y de la velocidad vo de la partícula en el instante

inicial t = 0. La función decrece exponencialmente con el tiempo a un ritmo comprendido entre - -

ω y - + ω; es decir, la solución [2.67] tiende mas rápidamente a cero (después de un tiempo

suficientemente largo) que la expresión [2.66], excepto en el caso A2 = 0, lo cual significa que el

sistema vuelve a su posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilar, y se dice que

el sistema está amortiguado críticamente.

La figura 2.18 muestra la superposición de los tres casos del movimiento oscilatorio amortiguado.

53

Figura 2.18 Desplazamiento vs tiempo para un movimiento (a) sub-amortiguado (ωo > ), (b) sobre-amortiguado (ωo < ) y (c) críticamente amortiguado (ωo = )

2.11. FACTOR DE CALIDAD

En la ecuación 2.65 obtenida para una oscilación sub-amortiguada, observamos que la amplitud

decrece según la magnitud que determina el grado de disminución de la amplitud. Sea

[2.69]

el tiempo necesario para que la amplitud disminuya e veces. Este tiempo se denomina tiempo de

duración de las oscilaciones. Cuando el amortiguamiento es pequeño, b es pequeño y se supone

grande en comparación con el periodo de las oscilaciones Infra-amortiguadas

[2.70]

es decir, en este tiempo se produce un número n = /T de oscilaciones. La magnitud inversa de n,

se denomina decremento o decrecimiento logarítmico de la oscilación.

Como la energía es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud, entonces es también el

tiempo que tarda la energía en disminuir en el factor 1/e; el oscilador perderá una fracción muy

pequeña de energía durante una fracción de oscilación. Así, en un tiempo dt, la pérdida de energía

del cuerpo será el trabajo realizado por la fuerza de resistencia Fr es: decir, dW = Fr dx, donde el

desplazamiento en un dt es dx = v dt, por lo que

dE = - b v (v dt) = - b v2 dt [2.71]

de donde

54

En nuestra suposición de que la fuerza de resistencia es pequeña, podemos aplicar esta relación a la

pérdida media de energía durante un periodo, reemplazando la energía cinética mv2/2, por su valor

medio <Ec> = E/2. Por lo tanto

[2.72]

De donde , que al integrar nos da:

E = Eo e- 2 t [2.73]Donde Eo es la energía en t = 0. Así tenemos que la energía de la oscilación disminuye debido al

rozamiento, según una ley exponencial y como la energía es directamente proporcional al cuadrado

de la amplitud C = Coe- t, entonces en el tiempo t = la energía disminuye en un factor 1/e.

En este caso, la pérdida de energía por período (t = T) viene dada por la ecuación

[2.74]

El amortiguamiento de un oscilador sub-amortiguado se describe normalmente mediante la

magnitud adimensional Q denominada factor de calidad o factor Q. Si la energía total es E y la

pérdida en un período es ½E½ se define el factor Q como

[2.75]

    Así pues, el factor Q es inversamente proporcional a la pérdida relativa de energía por ciclo:

    Utilizando las ecuaciones anteriores podemos relacionar el factor Q con la constante de

amortiguamiento y la constante de tiempo:

[2.76]

En muchas aplicaciones prácticas se usa un amortiguamiento crítico o casi crítico para evitar

oscilaciones y conseguir que el sistema vuelva al equilibrio rápidamente. Un ejemplo es el empleo

de sistemas que absorben choques para amortiguar las oscilaciones de un automóvil sobre sus

muelles. Un sistema como éste se encuentra críticamente amortiguado o sobreamortiguado; puede

verse esto empujando la parte delantera o trasera de un coche y observando que se producen una o

dos oscilaciones antes de que el sistema quede en reposo. También es importante cuando se diseñan

ciertos mecanismos oscilantes como un galvanómetro, en el que se desea que el mecanismo regrese

suave y rápidamente a su posición de equilibrio, o el de las puertas en centros comerciales

climatizados, donde el cliente empuja la puerta y al soltarla, ésta retorna rápidamente a la posición

de equilibrio sin oscilar.

55

Ejemplo 2.13. Un objeto de 2 kg oscila con una amplitud inicial de 4 cm con un muelle de

constante k = 512 N/m. Hallar: a) El período;  b) La energía inicial total. Si la energía disminuye en

2 % por período, hallar la constante de amortiguamiento b y el factor Q

Solución a) La frecuencia angular    

El período es: T = 0,39 s  

    b) La energía inicial total en el instante inicial es:

Cuando el sistema es amortiguado, la pérdida de energía por período es

    El factor de calidad  

    La constante de amortiguamiento 

Ejemplo 2.14. Se tiene un resorte de longitud prácticamente nula cuando está descargado y cuya

constante elástica es 98 N/m. Se estira lentamente bajo la acción de una masa de 5 kg, sometida

a la acción de la gravedad (g = 9.8 m/s2).Hallar:   a) Longitud en reposo del resorte estirado por el

peso de dicha masa.   b) Si en estas condiciones se hace oscilar la masa verticalmente, calcular la

pulsación y frecuencia de las oscilaciones. c) Se desplaza la masa 1 cm por debajo de su

posición de reposo y se le imprime una velocidad inicial hacia abajo de 2 cm/s. Calcular la

energía total del movimiento armónico. d) Calcular la amplitud del movimiento en cm y la

velocidad máxima en cm/s. e) Calcular la máxima fuerza restauradora y la aceleración máxima

del movimiento en cm/s2. f) El sistema es disipativo y se observa que la amplitud de oscilación al

cabo de 1 minuto es de 1cm. Calcular la constante de tiempo. g) Calcular el tanto por uno de la

energía total que el sistema pierde en cada oscilación. h) Suponiendo que el sistema se considera

detenido cuando su amplitud es menor de 1mm ¿Cuántos minutos tardará en detenerse.

Solución:

a) La fuerza que produce el alargamiento del resorte es mg, luego

b) Sabemos que   

y la frecuencia es: f = ω/2 = 0,70 Hz.

56

El período por definición es T = 1/f =   1,419 s

c) La energía total del movimiento armónico así producido es:

d) Dado que la energía total en el MAS es E = kA2/2, entonces

    Cuando la masa oscilante pasa por la posición de equilibrio, la velocidad es máxima, luego

por lo tanto

e) Cuando el móvil esté en el punto de máxima elongación estará dotado de la aceleración

máxima y en ese instante la fuerza recuperadora será también máxima; por lo tanto

, luego la aceleración máxima es:

f) La constante de tiempo (tiempo de relajamiento) es el tiempo necesario para que la energía Eo

quede reducida a Eo/e. En este caso la amplitud es de la forma A = Ao e- t luego

   Como                

   cuando t = T = 60 s  tendremos  

   tomando logaritmos de la última expresión 1 – 2 = 0

  h) Suponiendo que el sistema se considera detenido cuando su amplitud es menor de 1mm

¿Cuántos minutos tardará en detenerse

57

  h) La energía que se pierde en un ciclo es que evaluando en la expresión

2.72

donde 2 T = 21,547510-31,419 = 4.391810-3 , luego 1 – e-00043918 = 4,38010-3

que en porcentaje corresponde al 0,438% por ciclo.

i) Hemos visto que la amplitud Aoe- t en la ecuación 2.65 decrece de manera exponencial

y cuando su valor sea A = 1 mm, se verificará

ii)

t = 1507,127 s = 25,125 min.

2.12. OSCILACIONES FORZADAS.

En el caso de un oscilador amortiguado, la energía disminuye en el tiempo por efecto de la fuerza

disipativa. Se puede compensar esta pérdida y entregar energía al sistema aplicando una fuerza

externa que en cualquier instante actúe en la dirección del movimiento del oscilador, que debe

hacer un trabajo positivo sobre el sistema. La amplitud del movimiento permanecerá constante si la

energía de entrada al sistema en cada ciclo del movimiento es igual a la energía que se pierde por la

fricción.

Un oscilador forzado se puede obtener cuando un oscilador amortiguado es impulsado por una

fuerza externa F = Fo cos ωf t que varia armónicamente en el tiempo, donde ωf es la frecuencia

angular de la fuerza y Fo es una constante. Agregando esta fuerza a la ecuación diferencial del

oscilador amortiguado, se obtiene:

[2.77]

que también puede expresarse en forma compacta como

[2.78]

58

La solución general de esta ecuación diferencial es la combinación de una solución transitoria, que

decrece exponencialmente con el tiempo hasta que deja de ser importante, y una solución

estacionaria que permanece constante en el tiempo, y que corresponde al equilibrio entre la energía

recibida y la disipada por parte del sistema oscilante. Así, después de un tiempo suficientemente

largo, cuando la energía de entrada en cada ciclo es igual a la energía perdida en cada ciclo, se

alcanza la condición de estado estacionario, donde las oscilaciones se producen con amplitud

constante. En esas condiciones (régimen estacionario), la solución de la ecuación es estacionaria,

ya no depende de las condiciones iniciales y se puede expresar como,

[2.79]

donde ωf es la frecuencia de la fuerza impulsora y δ es la fase de la solución estacionaria,

representa el desfase existente entre la fuerza exterior y la respuesta (desplazamiento) del oscilador.

En este caso, tanto la amplitud como la fase dependen de la frecuencia ωf. Al derivar la ecuación

2.79, obtenemos:

La velocidad

v = - ωf A sen (ωf t - ) = ωf A cos (ωf t - + /2) [2.80]

la aceleración

a = - ωf 2A cos (ωf t - ) = ωf 2A cos (ωf t - + ) [2.81]

Tanto el desplazamiento, como la velocidad y la aceleración pueden considerarse como las

proyecciones sobre el eje X de los vectores rotantes cuyas las amplitudes son, A para el

desplazamiento, ωf A para la velocidad y ωf 2A para la aceleración y Fo para la fuerza. Dichos

vectores rotantes giran en sentido antihorario con velocidad angular ωf.

De las ecuaciones 2.79 y 2.80, la velocidad adelanta al desplazamiento de la partícula en /2, la

aceleración en .

Representemos la ecuación 2.78 en un diagrama mediante vectores rotantes. Para ello usamos la

magnitud Fo /m que forma un ángulo ωf t con el eje x. El desplazamiento presenta un retardo de fase

δ respecto a Fext La velocidad con respecto a Fext tiene un desfase /2 - según la ecuación 2.80 y

la aceleración que tiene un desfase de respecto al desplazamiento según la ecuación 2.81.

59

Representamos la aceleración resultante en azul y de magnitud Fo/m, que se halla girado ωf t

respecto al eje horizontal. Los vectores rotantes desplazamiento y aceleración en marrón, se hallan

desfasados

entre sí rad donde el desplazamiento tiene un retardo de fase (- ) respecto a la fuerza externa y la

aceleración un adelanto de fase de - respecto a la fuerza externa, de modo que la resultante es

A(ωf 2- ωo 2), donde se ha tenido en cuenta que la aceleración está en oposición de fase con el

desplazamiento. La velocidad con respecto a Fext tiene un desfase - + /2 según la ecuación 2.80 y

que multiplicado por la constante correspondiente tenemos 2 ωf es representado en el gráfico

mediante una línea verde en el gráfico 2.19. Podemos determinar la amplitud de la oscilación

estacionaria a partir de la composición de los vectores rotantes:

donde la amplitud es

[2.82]

con , la frecuencia natural del oscilador no amortiguado. Estas soluciones se justifican,

pues físicamente en estado estacionario el oscilador debe tener la misma frecuencia de la fuerza

externa aplicada.

La constante de fase es: [2.83]

60

Figura 2.19

Composición de los

vectores de rota-

ción, para los casos

ωo > ωf y ωo < ωf

teniendo en cuenta

los coeficientes de

la ecuación 2.76.b

Estas mismas relaciones las podemos obtener si desarrollamos la ecuación 2.79, la derivamos y

reemplazamos en la ecuación 2.78.

2.13. RESONANCIA

En la ecuación 2.78 se observa que el movimiento del oscilador forzado no es amortiguado, ya que

está impulsado por una fuerza externa, pues la condición es que el agente externo entregue la

energía necesaria para compensar la energía que se pierde por fricción. Observar que la masa oscila

con la frecuencia ωf de la fuerza impulsora. Para un amortiguamiento pequeño, la amplitud

aumenta cuando la frecuencia de la fuerza impulsora se aproxima a la frecuencia natural de la

oscilación. El aumento tan significativo de la amplitud cerca de la frecuencia natural se conoce

como resonancia, y el valor de la frecuencia ωf para el cual la amplitud alcanza su máximo valor

se obtiene aplicando la condición de máximos y mínimos a la ecuación 2.82, así:

[2.84]

Que es la frecuencia de resonancia de un oscilador forzado con amortiguamiento ; que también se

puede expresar como

[2.85]

si b es muy pequeño, tanto que 0, entonces la resonancia ocurre cuando la frecuencia de la

fuerza exterior se hace coincidir con la

frecuencia propia del oscilador.

61

Figura 2.20 Curvas de resonancia para diferentes

coeficientes de amortiguación. Observe que

cuanto más grande es b, el pico se ensancha, es

menos agudo y se desplaza hacia frecuencias más

bajas. Si b2 > 2km, desaparece completamente.

En la figura 2.20 se muestra una gráfica de la amplitud como función de la frecuencia para un

oscilador forzado con fuerza de fricción. Se observa que para valores cada vez más pequeños de b,

la amplitud aumenta. Además la curva de resonancia se ensancha al aumentar el amortiguamiento.

En condiciones de estado estacionario, y a cualquier frecuencia de impulso, la energía transferida

es igual a la energía que se pierde por la fuerza de amortiguamiento, por eso la energía total

promedio del oscilador permanece constante. En ausencia de fuerzas de amortiguamiento (b = 0),

de la ecuación 2.82 se observa que, en estado estacionario, A aumenta hasta el infinito cuando ωf →

ωo. Es decir, si no hay pérdidas en el sistema, y se continua impulsando un oscilador que se

encontraba inicialmente en reposo, con una fuerza senoidal que se encuentra en fase con la

velocidad, la amplitud crecerá sin límite. Esto no se produce en la realidad ya que siempre están

presentes las fuerzas de fricción, aunque sean pequeñas, por lo tanto, en la resonancia la amplitud

será grande, pero finita para pequeños amortiguamientos.

La velocidad del oscilador forzado es

Donde la amplitud de la velocidad es:

[2.86]

y corresponde a la fase con que se retrasa la velocidad con respecto a la fuerza (debido al signo

negativo). Reduciendo la expresión 2.84, tenemos:

[2.87]

La variación de la amplitud de la velocidad vo depende de la frecuencia ωf . Al observar la ecuación

2.85, considerando que b es muy pequeño (b 0) concluimos que amplitud de la velocidad alcanza

su valor máximo cuando mωf - k/ωf = 0, por lo que

ωf = ωo = (k/m)1/2

62

y dado que la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, entonces la energía cinética

también es máxima. En estas condiciones se dice que existe una resonancia de energía, por tanto,

la resonancia de energía ocurre cuando la frecuencia de la fuerza aplicada ωf es igual a la

frecuencia natural ωo del oscilador sin amortiguamiento.

En resonancia, la velocidad está en fase con la fuerza aplicada ( = 0). Como la potencia

transmitida al oscilador por la fuerza aplicada es Fv, esta cantidad siempre es positiva cuando F y v

están en fase, que es por tanto la condición más favorable para la transferencia de energía al

oscilador. Luego, en la resonancia de energía, la fuerza aplicada y la velocidad están en fase y la

transferencia de energía de la fuerza aplicada al oscilador forzado es máxima.

Ejemplo 2.15. Un objeto de 1 kg oscila sobre un muelle de constante de fuerza k = 400 N/m. La

constante de amortiguamiento es b = 2 kg/s. Está impulsada por una fuerza sinusoidal de valor

máximo 12 N y frecuencia angular f = 15 rad/s.  a) Calcular la amplitud de las oscilaciones. b)

Si se varía la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿a qué frecuencia se producirá la resonancia?   c)

Hallar la amplitud de las vibraciones en la resonancia; d) halle la ecuación del movimiento

resultante. e) Halle la potencia media disipada.  

a) La frecuencia natural del sistema es:  

b) La amplitud de las oscilaciones viene dada por 2.82 donde = 1 s-1 luego

c) El fenómeno de resonancia se obtiene usando la ecuación 2.83., es decir,

 

d) La ecuación del movimiento resultante es dado por x = A cos(t - ), donde se obtiene usando la ecuación 2.83

,

Luego x(t) = (6,76 cm) cos(15t – 1,50)

d) La potencia disipada es P = fv = (bv)v = bv2 donde la rapidez v es

cm/s

Potencia instantánea

Luego la potencia media disipada es: 1,028 J.63

Ejemplo 2.16. Un cuerpo de 0.2 kg de masa está unido al extremo de un resorte de constante

elástica K = 5 N/m, que tiene el otro extremo fijo. Se separa el cuerpo a 0,8 m de su posición de

equilibrio y se abandona, comenzando a contar tiempos en ese instante. Hallar: a) La ecuación del

movimiento del cuerpo. b) Las energías cinéticas y potencial del sistema cuando la elongación es

del valor máximo. A continuación se aplica al cuerpo una fuerza de rozamiento FR = -0.2 v y

una fuerza impulsora F = 8 cos 6t. Una vez el sistema alcanza el estado estacionario, hallar: c) La

ecuación del movimiento que resulta. d) La energía disipada por rozamiento en una oscilación. e)

En que condiciones la potencia media aportada es máxima

Solución: a) Puesto que el cuerpo se abandona, la ecuación del movimiento del cuerpo es

b) La velocidad al cuadrado es v2 = 2[A2 – x2] y la energía cinética del sistema es

La energía potencial del sistema para esta condición es

c) La solución estacionaria es dada por la ecuación

donde la frecuencia forzante y son f = 6 rad/s , = 0,5 s-1 .Luego la amplitud es

Y la constante de fase se obtiene de

Por lo tanto:

e) La energía disipada por rozamiento en una oscilación se puede calcular a partir del factor de

calidad donde o

La energía total del sistema es

Luego la energía disipada será

f) La potencia media aportada es máxima en resonancia.

64

EJERCICIOS

1. El desplazamiento de una partícula está dado por la ecuación x = 4 cos(3πt +π ) , donde x esta

en m y t en s. Calcular: a) la frecuencia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del

movimiento, c) la constante de fase, d) la posición de la partícula en t = 0 y 5s, e) la rapidez y

aceleración en cualquier instante, f) la rapidez y aceleración máximas, g) la rapidez y

aceleración en t = 0 y 5 s.

2. Una partícula oscila con un movimiento armónico simple de tal forma que su desplazamiento

varia de acuerdo con la expresión x = 5cos(2t +π / 6) , donde x esta en cm y t en s. Calcular: a)

la frecuencia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del movimiento, c) la posición de la

partícula en t = 0, d) la rapidez y aceleración en t = 0.

3. Una partícula que se mueve con movimiento armónico simple recorre una distancia total de 20

cm en cada ciclo, y su máxima aceleración es de 50 m/s2. Calcular: a) la frecuencia angular, b)

su máxima rapidez.

4. De un muelle está colgado un platillo de balanza con pesas. El periodo de las oscilaciones

verticales es 0.5 s. Después de poner en el platillo más pesas, el periodo de las oscilaciones

verticales se hizo igual a 0.6 s. ¿Qué alargamiento provocaron en el muelle las pesas añadidas?

5. El émbolo de un motor oscila con movimiento armónico simple de modo que su posición varía

según la expresión x(t) = 5,0 cos(t + 1/4). Donde x está en cm y t en segundos. En t = 0,5 s,

halle: (a) la posición del émbolo; (b) su velocidad; (c) su aceleración; (d) encuentre la amplitud

y periodo del movimiento; (e) la constante de fase.

6. Cuando una persona de 70 kg de masa entra en su auto de 1200 kg, el centro de masa de éste

baja 0,3 cm. (a) ¿Cuál es la constante elástica de los amortiguadores del auto?; (b) ¿cuál es el

periodo de vibración cuando está vacío y cuando esta la persona dentro de él?

7. Un oscilador armónico simple consiste en una masa de 1,2 kg que está en reposo sobre una

superficie horizontal sin fricción y está unida a un soporte fijo por un resorte ideal horizontal

de constante elástica 180 N/m. El sistema se pone a oscilar, y al tiempo t = 0,16 s se observa

que la elongación es 0,15 m y la velocidad – 0,80 m/s. Determine (a) La frecuencia angular y el

periodo, (b) la amplitud, (c) la constante de fase y la fase del movimiento; (d) la energía

potencial y cinética en t = 2 s, así como la energía total.

8. Una lenteja de un péndulo de 1,0 kg de masa con longitud pendular de 1,0 m, se suelta en t = 0

cuando forma un ángulo de 0,10 rad con la vertical, con una velocidad angular inicial de 0,5

rad/s. Halle la expresión que dé el desplazamiento angular en función del tiempo.

9. Un péndulo simple mide 2 m de largo. Determine el periodo para pequeñas oscilaciones de este

péndulo si está situado en un elevador (a) que acelera hacia arriba a g/5; (b) considere después

65

que acelera hacia abajo con aceleración de g/5. c) Suponga ahora que el péndulo está montado

en un camión que acelera horizontalmente a 2 m/s2, ¿Cuál es su periodo?

10. Una bolita de masa m está ligada a dos bandas elásticas de

longitud L, cada una bajo tensión T, como se ve en la figura. La

pelota se desplaza una pequeña distancia vertical y perpendicular

a las bandas elásticas. Suponiendo que la tensión no cambia, demuestre que: (a) la fuerza

restauradora es –(2T/L)y y (b) el sistema oscila con frecuencia angular ω = (2T/mL)1/2

11. Un bloque grande P ejecuta un movimiento armónico simple

horizontal cuando se desliza por una superficie sin fricción con

un frecuencia . El bloque B descansa sobre el primero como

se ve en la figura, y el coeficiente de rozamiento estático entre los dos es s. ¿Cuál es la

máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema si el bloque no debe resbalar?

12. Una partícula de 4 kg se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de la fuerza

cuando t = 2 s, la partícula pasa por el origen, y cuando = 4 s, su velocidad

es de 4 m/s (a) Halle la ecuación para el desplazamiento (b) Muestre que la amplitud del

movimiento es de m.

13. Una esfera sólida de radio R, rueda sin deslizar en un canal

cilíndrico de radio 5R, como se ve en la figura. Demuestre que,

para pequeñas oscilaciones desde el equilibrio, la esfera ejecuta un

movimiento armónico simple con periodo

14. Un péndulo simple tiene un periodo e 2 s y una amplitud de 2º. Después de 10 oscilaciones

completas su amplitud se ha reducido a 1,5º. Halle la constante de amortiguamiento .

15. Una esfera pequeña de masa m y radio R está unida al extremo de una varilla de masa 3m y

longitud L que hace pivote a L/4 de la parte superior, calcule el periodo de oscilación para

pequeñas oscilaciones.

16. Un péndulo físico en la forma de un cuerpo plano se mueve con movimiento

armónico simple con una frecuencia de 0,45 Hz. Si el péndulo tiene una masa de 2,20

kg y el pivote está situado a 0,40 m del centro de masa, halle el momento de inercia

del péndulo alrededor del punto pivote.

17. Halle la ecuación de movimiento que resulta de la superposición de dos movimientos

armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son x1 = 2sen(ωt + /3) y x2 = 4sen(ωt

+ /2).

66

y

LL

Problema 13

18. Una partícula participa simultáneamente de dos oscilaciones perpendiculares entre sí, dadas por

las ecuaciones: x = 3sent; y = 4cos(t/2). ¿Cuál es la trayectoria del movimiento resultante?

19. Un cuerpo de 0.2 kg de masa está unido al extremo de un resorte de constante elástica k = 5

N/m, que tiene el otro extremo fijo. Se separa el cuerpo a 0,8 m de su posición de equilibrio y

se abandona, comenzando a contar tiempos en ese instante. Hallar: a) La ecuación del

movimiento del cuerpo.  b) Las energías cinéticas y potencial del sistema cuando la elongación

es del valor máximo. A continuación se aplica al cuerpo una fuerza de rozamiento FR = -

0.2 v y una fuerza impulsora F = 8 cos 6t. Una vez el sistema alcanza el estado estacionario,

hallar: c) La ecuación del movimiento que resulta. d) La energía disipada por rozamiento en

una oscilación. e) En que condiciones la potencia media aportada es máxima.

20. Una masa de 0.5 kg cuelga de un resorte. La constante del resorte es de 100 N/m, y la constante

de amortiguamiento del sistema es de 1.4 kg/s. La fuerza que excita al sistema es Ff = 2 cos 5t.

a) ¿Cuáles serán los valores estacionarios de las amplitudes de la velocidad y del

desplazamiento y la disipación de potencia promedio? b) ¿Cuál es el ángulo de fase entre la

velocidad y la fuerza? c) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia y cuáles serían, a esta frecuencia,

las amplitudes del desplazamiento y velocidad, y la potencia promedio disipada, si la fuerza

tiene la misma magnitud que en a)? d) ¿Cuál es la Q del sistema, y sobre qué intervalo de

frecuencias la pérdida de potencia será por lo menos 50 por ciento del valor de resonancia? 

67