download on www.enggar.tk
BAB 2
DERET FOURIER
2.1. Pendahuluan
Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang tersusun atas
banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi
dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Bentuk
getaran atau osilasi di dalam fisika banyak macamnya, misalnya vibrasi dari garpu
tala, getaran atau ayunan dari bandul, gelombang air, getaran dari sistem benda pegas,
gelombang bunyi, arus listrik, dan lain sebagainya.
Uraian suatu gelombang ke dalam gelombang penyusunnya dinamakan Deret
Fourier. Setiap gelombang penyusun mempunyai amplitudo yang dinamakan
Koefisien Fourier.
Bab ini akan membahas tentang Fungsi Periodik, Nilai Rata-rata dari suatu fungsi
Periodik, Deret Fourier Sinus dan Cosinus, Koefisien Fourier, Interval Fourier, Deret
Fourier Bentuk Kompleks, dan Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil. Pada akhir bab ini
dibahas tentang contoh-contoh deret Fourier.
Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat mengenal perumusan deret
Fourier, melakukan penguraian suatu fungsi periodik ke dalam bentuk deret Fourier,
dan dapat memahami bentuk deret Fourier fungsi genap dan fungsi ganjil.
2.2. Fungsi Periodik
Suatu fungsi f(t) dikatakan periodik dengan perioda T jika nilai fungsi f(t) sama
(berulang) setiap selang periodanya. Hal ini dapat dirumuskan :
f(t) =f(t+T) , untuk setiap t.
download on www.enggar.tk
Banyak fungsi f(t) merupakan fungsi periodik, misalnya
Sin (t + 2) = Sin t
Agar lebih jelas, dapat dilihat melalui gambar berikut :
f(t)
t
T 2T 3T
P(t)
T 2T 3T 4T 5T 6T T
S(t)
T 2T 3T
L(t)
T 2T 3T
Gambar 2.1. Fungsi periodik
download on www.enggar.tk
2.3. Kondisi Dirichlet
Suatu fungsi f(t) terdefinisi pada interval (-L, L), periodik dengan perioda 2L. f(t) dan
fˡ(t) kontinu dalam interval tersebut. Jika ada nilai f(t) yang bersifat diskontinu pada
interval tersebut, misal pada titik t = 0, f(t)limf(t)lim0t0t
, maka
2
)f(0)f(0f(0)
dimana :
)f(0 adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kanan
)f(0 adalah nilai f(0) dari t = 0 sebelah kiri
2.4. Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik
Suatu fungsi f(t) yang periodik, mempunyai nilai rata-rata pada interval (a,b) sebagai
berikut :
n
)f(x)f(x)f(x)f(x n321
Jika interval (a,b) dibagi kecil-kecil sebesar t sebanyak n, maka nilai rata-rata
menjadi :
tΔn
tΔ )f(x)f(x)f(x)f(x n321
Untuk nilai n ∞, maka t 0, sehingga nilai rata-rata fungsi periodik sepanjang
interval periodik (a,b) adalah :
ab
dt f(t)b
a
, atau
b
a
dt f(t)ab
1
download on www.enggar.tk
Beberapa contoh perhitungan nilai rata-rata fungsi periodik :
a. Sin tf(t) , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = 0dt tCosπ2
1dt Sin t
π2
1π
π
π
π
b. tCos tSinf(t) 22 , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = 1 dt2π
1dt tCos tSin
2π
1π
π
π
π
22
c. tSinf(t) 2 , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = 1/2dt tCos2π
1dt tSin
2π
1π
π
2π
π
2
d. mt Cosmt Sin f(t) , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = dtnt Cos mtSin π2
1π
π
dt 2
ee
2i
ee
π2
1π
π
intintimtimt
dt 2i
ee
2i
ee
2
1
2π
1π
π
n)t-i(mn)t-i(mn)ti(mnt)i(m
download on www.enggar.tk
Nilai rata-rata 0dt n)t-(mSin n)t (mSin 2
1
π2
1π
π
untuk semua m dan n
e. nt Sin mt Sin f(t) , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = dtnt Sin mtSin π2
1π
π
dt 2i
ee
2i
ee
π2
1π
π
intintimtimt
dt 2
ee
2
ee
2
1
π2
1π
π
n)t-i(mn)t-i(mn)ti(mnt)i(m
dt n)t(m Cos -n)t -(m Cos2
1
π2
1π
π
*) Untuk m ≠ n, maka
Nilai rata-rata 0dt qt Cos -pt Cosπ2
1π
π
*) Untuk m = n ≠ 0, maka
Nilai rata-rata 2
1dt qt Cos - 1
2
1
π2
1π
π
download on www.enggar.tk
*) Untuk m = n = 0, maka
Nilai rata-rata 0dt 1 - 12
1
π2
1π
π
f. nt Cosmt Cosf(t) , dengan interval periodik (-, )
Nilai rata-rata = dtnt Cos mt Cosπ2
1π
π
dt 2
ee
2
ee
π2
1π
π
intintimtimt
dt 2
ee
2
ee
2
1
π2
1π
π
n)t-i(mn)t-i(mn)ti(mnt)i(m
dt n)t-(m Cos n)t (m Cos2
1
π2
1π
π
*) Untuk m ≠ n, maka
Nilai rata-rata 0dt qt Cos pt Cosπ2
1π
π
*) Untuk m = n ≠ 0, maka
Nilai rata-rata 2
1dt 1pt Cos
2
1
π2
1π
π
download on www.enggar.tk
*) Untuk m = n = 0, maka
Nilai rata-rata 1dt 1 12
1
π2
1π
π
2.5. Deret Fourier Sinus dan Cosinus
Suatu getaran atau osilasi merupakan suatu gelombang harmonik yang tersusun atas
banyak gelombang periodik berbentuk Sinus dan Cosinus, dimana jumlah superposisi
dari semua gelombang penyusunnya membentuk getaran atau osilasi tersebut. Fungsi
Sinus nt dan Cosinus nt mempunyai perioda 2, merupakan fungsi dasar yang
nantinya dikembangkan ke bentuk fungsi Sin nt dan Cos nt. Dengan demikian
akan berlaku :
Sin n(t + 2) = Sin (nt + n2) = Sin nt
Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah :
1nn
1nn
0 ntSin bnt Cos a2
af(t)
nt Cos a2t Cos a tCos a2
an21
0
ntSin b2tSin bSin t b n21
Dengan an dan bn merupakan koefisien- koefisien yang harus dirumuskan
menggunakan nilai rata-rata fungsi periodik, dan dinamakan koefisien Fourier.
2.6. Koefisien Fourier
Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus mengandung suku a0, an, dan bn
yang dinamakan koefisien Fourier. Koefisien-koefisien ini dapat dihitung dengan cara
merumuskannya terlebih dahulu.
download on www.enggar.tk
Perumusan koefisien-koefisien Fourier menggunakan prinsip nilai rata-rata sebagai
berikut :
a) Jika dilakukan integrasi dari perumusan deret Fourier, akan didapat :
π
π-
n21
π
π-
0π
π-
dtnt Cos a2t Cos a tCos a dt 2
adt f(t)
π
π-
n21 dtntSin b2tSin bSin t b
0 02π2
a0
dengan demikian didapat :
π
π
0 dt f(t)π
1a
b) Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan Sin nt, kemudian diintegrasikan,
akan didapat :
π
π-
0π
π-
dtnt Sin 2
adtnt Sin f(t)
π
π-
n21 dtnt Sin nt Cos a2t Cos a tCos a
π
π-
n21 dtnt Sin ntSin b2tSin bSin t b
n
π
π-
2n bπ dt nt Sin b
download on www.enggar.tk
dengan demikian didapat :
π
π
n dtnt Sin f(t)π
1b
c. Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan Cos nt, kemudian diintegrasikan,
akan didapat :
π
π-
0π
π-
dtnt Cos2
adtnt Cos f(t)
π
π-
n21 dtnt Cos nt Cos a2t Cos a tCos a
π
π-
n21 dtnt Cos ntSin b2tSin bSin t b
n
π
π-
2n aπ dt nt Cos a
dengan demikian didapat :
π
π
n dtnt Cos f(t)π
1a
koefisien-koefisien Fourier dirumuskan :
π
π
n dtnt Cos f(t)π
1a , dan
π
π
n0 dt f(t)π
10)(naa
π
π
n dtnt Sin f(t)π
1b
download on www.enggar.tk
Tinjau f(t) seperti di bawah ini :
f(t)
1
-3 -2 - 2 3 4 t
Gambar 2.2 fungsi f(t)
Fungsi f(t) ini dapat dirumuskan :
πt0 1,
0tπ 0,f(t)
Kita hitung koefisien-koefisien Fourier :
π
π
0 dt f(t)π
1a
π
0
0
π
dt π
1dt 0
π
1
110
π
π
n dtnt Cos f(t)π
1a
000dtnt Cos π
1dtnt Cos 0.
π
1π
0
0
π
download on www.enggar.tk
π
π
n dtnt Sin f(t)π
1b
π
0
0
π
dtnt Sin π
1dtnt Sin 0.
π
1
0
π
πn
nt Cos0
πn Cos1πn
1
π
2π Cos1
π
1b1
0π2 Cos1π2
1b2
3π
2π3 Cos1
π3
1b3
0π4 Cos1π4
1b4
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
nt Cos a2t Cos a tCos a2
af(t) n21
0
ntSin b2tSin bSin t b n21
5tSin 5π
23tSin
3π
2 Sin t
π
2
2
1
5
5tSin
3
3tSin
1
Sin t
π
2
2
1
download on www.enggar.tk
2.7. Deret Fourier Bentuk Kompleks
Jika kita ingat kembali bahwa :
2i
e-ent Sin
int-int
2
eent Cos
int-int
ternyata komponen Sin nt dan Cos nt tersusun dari fungsi eksponensial bentuk
kompleks. Deret Fourier dapat dirumuskan ke dalam komponen fungsi eksponensial
bentuk kompleks eint
atau e-int
yang periodik dengan perioda 2, sama dengan perioda
fungsi Sin nt atau Cos nt.
Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :
-n
intn e Cf(t)
intn
i3t3
i2t2
it10 e Ce Ce Ce CC
int-n-
i3t-3-
i2t-2-
it-1- e Ce Ce Ce C
Koefisien-koefisien Cn dapat dihirung dengan cara sebagai berikut :
Jika kedua ruas deret Fourier dikalikan dengan int-e , kemudian diintegrasikan, akan
didapat :
π
π-
int-intn
i2t2
it10
π
π-
int- dt e e Ce Ce CCdt e f(t)
π
π-
int-int-n-
i2t-2-
it-1- dt e e Ce Ce C
download on www.enggar.tk
π2C dt e e Cdt e f(t)π
π-
nint-int
n
π
π-
int-
Sehingga koefisien Fourier dapat dirumuskan :
π
π-
int-n dt e f(t)
2π
1C
Kita tinjau f(t) seperti di bawah ini :
πt0 1,
0tπ 0,f(t)
Koefisien Fouriernya :
π
π-
int-n dt e f(t)
2π
1C
π
0
int-0
π-
int- dt e π2
1dt e 0.
π2
1
0
π
in
e
2π
1 int
inte1πin2
1
2
1dt
π2
1C
π
0
0
πi
1e1
πi2
1C πi
1 , dan
πi-
1e1
πi2-
1C πi
1
download on www.enggar.tk
0e1πi4
1C πi2
2 , dan 0e1
πi4-
1C πi2
2
πi3
1e1
πi6
1C πi3
3 , dan
πi3-
1e1
πi6-
1C πi3
3
0e1πi8
1C πi4
4 , dan 0e1
πi8-
1C πi4
4
πi5
1e1
πi10
1C πi5
5 , dan
πi5-
1e1
πi10-
1C πi5
5
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
5
e
3
e
1
e
πi
1
2
1f(t)
i5ti3tit
5-
e
3-
e
1
e
πi
1 i5t-i3t-it-
2i
ee
5
1
2i
ee
3
1
2
ee
π
2
2
1 πi5πi5i3ti3titit
i
5tSin
5
13tSin
3
1Sin t
π
2
2
1
2.8. Interval Fourier
Fungsi inte nt, Cos nt,Sin bersifat periodik dengan perioda 2, dan telah digunakan
dalam perumusan deret Fourier pada interval (-, ). Perumusan deret Fourier bisa
menggunakan interval lain sepanjang satu perioda, misalnya (0, 2), (, 3), dan
download on www.enggar.tk
seterusnya. Pada kebanyakan persoalan fisika mempunyai perioda 2L, misalnya
interval (-L, L). Pada interval tersebut fungsi
L
tπnSin periodik dengan perioda
2, sehingga berlaku hubungan :
L
tπnSinπ2n
L
tπnSin2Lt
L
πnSin
Hal ini berlaku juga untuk fungsi inte nt, Cos .
Perumusan deret Fourier menjadi :
1nn
1nn
0
L
tπnSin b
L
tπn Cos a
2
af(t)
L
tπn Cos a
L
tπ2 Cos a
L
tπ Cos a
2
a f(t) n21
0
L
tπnSin b
L
tπ2Sin b
L
tπSin b n21
Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :
L
L
0 dt f(t)L
1a
L
L-
n dt L
tπn Cos f(t)
L
1a
L
L-
n dt L
tπnSin f(t)
L
1b
download on www.enggar.tk
Dan dalam bentuk kompleks :
-n
L
tπni
n e Cf(t)
Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :
L
L-
L
tπni-
n dt e f(t)2L
1C
Tinjau f(t) yang didefinisikan :
f(t)
1
-4L -3L -2L -L L 3L 3L t
Gambar 2.3. Fungsi periodik f(t)
2LtL 1,
Lt0 0,f(t)
Koefisien Fouriernya :
2L
0
L
tπni-
n dt e f(t)L2
1C
download on www.enggar.tk
2L
L
L
tπni-L
0
L
tπni-
n dt e 2L
1dt e 0.
2L
1C
2L
L
L
tπni
L
πni
e
2L
1
πinπin2 eeπ2in
1
πine1π2in
1
2
1dt
2L
1C
2L
L
0
πi
1-e1
π2i
1C πi
1 , dan
πi
1e1
πi2-
1C πi
1
0e1πi4
1C πi2
2 , dan 0e1
πi4-
1C πi2
2
πi3
1-e1
πi6
1C πi3
3 , dan
πi3
1e1
πi6-
1C πi3
3
0e1πi8
1C πi4
4 , dan 0e1
πi8-
1C πi4
4
πi5
1-e1
πi10
1C πi5
5 , dan
πi5
1e1
πi10-
1C πi5
5
download on www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
5
e
3
e
1
e
πi
1
2
1f(t)
L
tπ5i
L
tπ3i
L
tπi
5
e
3
e
1
e
πi
1 L
tπ5i-
L
tπ3i-
L
tπi-
2i
ee
5
1
2i
ee
3
1
2
ee
π
2
2
1 L
tπ5i
L
tπ5i
L
tπ3i
L
tπ3i
L
tπi
L
tπi
i
L
tπ5Sin
5
1
L
tπ3Sin
3
1
L
tπSin
π
2
2
1
2.9. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Perumusan fungsi genap adalah :
f(t)t)f(
Misal fungsi genap : nt Cos ,t2, dan lainnya.
f(t) periodik mempunyai sifat :
L
L
L
0
f(t)dt2f(t)dt
download on www.enggar.tk
Perumusan fungsi ganjil adalah :
f(t)t)f(
Misal fungsi ganjil : ntSin t, , dan lainnya.
f(t) periodik mempunyai sifat :
L
L
0f(t)dt
Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah :
π
0
π
π
0 dt f(t)π
2dt f(t)
π
1a
π
0
n dt L
tπn Cos f(t)
π
2a , karena
L
tπn Cos f(t) merupakan fungsi genap
0dt L
tπnSin f(t)
π
1b
π
π
n
, karena L
tπnSin f(t) merupakan fungsi
ganjil
Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah :
0dt f(t)π
1a
π
π
0
0dt L
tπn Cos f(t)
π
1a
π
π
n
, karena L
tπn Cos f(t) merupakan fungsi
ganjil
π
π
n dt L
tπnSin f(t)
π
2b , karena
L
tπnSin f(t) merupakan fungsi genap
download on www.enggar.tk
Tinjau fungsi f(t) sebagai berikut :
1t1/2 0,
2/1t0 1,f(t)
Jika f(t) merupakan fungsi ganjil, maka f(t) berupa
f(t)
-2 -1 0 1 2
Gambar 2.4. Fungsi ganjil
π
π
n dt L
tπnSin f(t)
π
2b
1
2/1
1/2
0
dt 1
tπn0.Sin
1
2dt
1
tπnSin
1
2
2/10tπn Cos
πn
2
2
πn Cos-1
πn
2
0b , 3π
2b ,
2π
4b ,
π
2b 4321
download on www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
6
tπ62Sin
5
tπ5Sin
3
tπ3Sin
2
tπ22Sin tπSin
π
2f(t)
Jika f(t) merupakan fungsi genap, maka f(t) berupa
f(t)
-2 -1 0 1 2
Gambar 2.5. Fungsi genap
1dt 1
2a
1/2
0
0
1
0
n dt 1
tπn Cos f(t)
1
2a
1
2/1
1/2
0
dtt πn 0.Cos 2dtt πn Cos 2
2
πnSin
πn
2tπnSin
πn
2 2/10
download on www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
5
tπ5 Cos
3
tπ3 Cos
1
tπ Cos
π
2
2
1f(t)
2.10. Teorema Parseval
Ada hubungan antara nilai rata-rata fungsi f 2
(t) dengan koefisien-koefisien deret
Fourier. Kita turunkan hubungannya menggunakan perumusan deret Fourier dan nilai
rata-rata fungsi.
Deret Fourier dirumuskan :
1nn
1nn
0 ntSin bnt Cos a2
af(t)
Nilai rata-rata dari f 2 (t) dalam interval (-, ) adalah :
Nilai rata-rata f 2 (t) = dtf(t)
π2
12π
π
Nilai rata-rata dari koefisien Fourier adalah :
Nilai rata-rata dari
2
0a2
1
=
2
0a2
1
Nilai rata-rata dari 2n nt Cos a = 2/1 a 2n
Nilai rata-rata dari 2n ntSin b = 2/1 b 2n
Jika f 2
(t) diterapkan pada perumusan deret Fourier, maka akan terdapat hasil
perkalian nt,Sin .ba1/22. nt, Cos .aa1/22. n0n0 dan hasil perkalian (m≠n)
mt Sin nt Cos b 2.a nn yang semuanya mempunyai nilai rata-rata nol.
download on www.enggar.tk
Dengan demikian perumusan deret Fourier yang telah dikuadratkan tersisa menjadi :
Nilai rata-rata f 2 (t) =
1n
2n
1n
2n
20 )(b
2
1 )(a
2
1
2
a
Untuk deret Fourier bentuk kompleks didapat :
Nilai rata-rata |f(t)|2 =
n
2n |C|
Tinjau fungsi f(t) = t pada interval –1 < t < 1. f(t) diuraikan ke dalam deret Fourier
bentuk kompleks.
Koefisien-koefisien Fourier adalah :
1
1-
tπin-n dt e f(t)
2
1C
1
1-
tπin- dt et 2
1
1
1-
tπin-1
1
tπin-
dt πin
e
2
1
πin-
e t.
2
1
1
12
tπin-πinπin-
π)(n
e
2
1
πin
e
πin
e -
2
1
2
πin
2
πin-
π)(n
e
π)(n
e
2
1πn Cos
πin
1
nπSin (nπn
i
inπ
nπ Cos
2
πn Cos πn
i
download on www.enggar.tk
Deret Fourier yang terbentuk adalah :
-n
tπinn e Cf(t)
tπi3-tπi3tπi2tπi2-tπi-tπi e
3
1e
3
1e
2
1e
2
1ee
π
if(t)
Nilai rata-rata f 2 (t) pada interval (-1, 1) adalah :
Nilai rata-rata f 2 (t) =
3
1
3
x
2
1t
2
11
1
31
1
2
Dengan menggunakan teorema Parseval :
Nilai rata-rata f 2 (t) =
n
2n |C|
n
2
πn Cos πn
i
9
1
9
1
4
1
4
111
π
1
2
9
1
4
11
π
2
2
Dari kedua persamaan diatas, dapat dibuat persamaan :
n222 n
1
π
2
9
1
4
11
π
2
3
1
download on www.enggar.tk
Dapat disimpulkan bahwa :
6
π
n
1 2
n2
2.11. Contoh-contoh
(i). Uraikan fungsi f(t) ke dalam deret Fourier
5t0 3,
0t5 0,f(t)
Jika uraian deret Fourier konvergen ke f(t) pada interval –5 t 5, definisikan
kembali f(t)
Gambar sketsa f(t) adalah :
f(t)
3
t
-15 -10 -5 0 5 10 15 20
perioda = 10
2L = 10, maka L = 5
1nn
1nn
0
L
tπnSin b
L
tπn Cos a
2
af(t)
download on www.enggar.tk
L
L-
0 dt f(t)L
1a
3dt 35
1dt 0.
5
15
0
0
5-
L
L
n dt L
tπn Cos f(t)
L
1a
5
0
0
5
dt 5
tπn Cos 3
5
1dt
5
tπn Cos 0.
5
1
05
tπnSin
nπ
5
5
35
0
L
L
n dt L
tπnSin f(t)
L
1b
5
0
0
5
dt 5
tπnSin 3
5
1dt
5
tπnSin 0.
5
1
πn
πn Cos-13
5
tπn Cos
πn
5
5
35
0
Uraian deret Fourier :
1nn
1nn
0
L
tπnSin b
L
tπn Cos a
2
af(t)
download on www.enggar.tk
1n 5
tπnSin
πn
πn Cos-13
2
3f(t)
5
t5πSin
5
1
5
t3πSin
3
1
5
tπSin
π
6
2
3
Jika deret konvergen ke f(t) pada interval –5 t 5 , maka f(t) didefinisikan kembali
menggunakan kondisi Dirichlet pada t = -5, t = 0, t = 5, menjadi :
5 t 3/2,
5t0 3,
0 t 3/2,
0t5 0,
5 t3/2,
f(t)
(ii). Uraikan fungsi f(t) = t2 , 0 < t < 2 ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan
Cosinus.
Bentuk sketsa fungsi f(t) = t2
f(t)
t
-6 -4 -2 0 2 4 6
download on www.enggar.tk
Perioda = 2 L = 2 , atau L =
2L
0
n dt L
nππ Cos f(t)
L
1a
2π
0
2 dtnt Cos tπ
1
π2
032
2
n
ntSin -2
n
nt Cos-2t-
n
ntSin t
π
1
2n
4 , dimana n ≠ 0
Untuk n = 0 , didapat :
2L
0
0 dt f(t)L
1a
3
π8t
π3
1dt t
π
1 2π2
03
π2
0
2
dt L
tπnSin f(t)
L
1b
2L
0
n
2π
0
2 dtnt Sin tπ
1
π2
032
2
n
nt Cos2
n
ntSin -2t-
n
nt Cos- t
π
1
download on www.enggar.tk
Didapat, untuk : n ≠ 0
n
4π-bn
Uraian deret Fourier :
1nn
1nn
0
L
tπnSin b
L
tπn Cos a
2
af(t)
1n1n2
2
nt Sin n
4π-nt Cos
n
4
3
4π
(iii). Suatu fungsi f(t) = t , 0 < t < 2.
a. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil.
b. Uraikan f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap.
a. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil :
f(t)
t
-8 -4 0 2 4 6 8
download on www.enggar.tk
0an
L
0
n dt L
tπnSin f(t)
L
2b
2
0
dt 2
tπnSin t
2
2
2
022 2
tπnSin
πn
4--
2
tπn Cos
πn
2-t
Sehinggan didapat :
πn Cos πn
4bn
Uraian deret Fourier adalah :
1n 2
tπnSin πn Cos
πn
4f(t)
2
t3πSin
3
1
2
t2πSin
2
1
2
tπSin
π
4
b. Uraian f(t) ke dalam deret Fourier untuk f(t) fungsi genap :
f(t)
t
-8 -4 0 2 4 6 8
download on www.enggar.tk
0bn
L
0
n dt L
tπn Cos f(t)
L
2a
2
0
dt 2
tπn Cost
2
2
2
022 2
tπn Cos
πn
4--
2
tπnSin
πn
2t
1 - πn Cos πn
4
22 , dimana n ≠ 0
Untuk n = 0 , didapat :
2dtt 2
2dt f(t)
L
2a
2
0
L
0
0
1n22 2
tπn Cos 1 - πn Cos
πn
41f(t)
2
t5πSin
5
1
2
t3π Cos
3
1
2
tπ Cos
π
81
222
(iv) Dengan menggunakan teorema Parseval, hitunglah nilai dari deret deret :
4444
1n4 4
1
3
1
2
1
1
1
n
1
download on www.enggar.tk
Uraian deret Fourier pada contoh (ii) bagian b menghasilkan koefisien-koefisien
Fourier :
L
0
n dt L
tπn Cos f(t)
L
2a
1 - πn Cos πn
4
22 , n ≠ 0
Untuk n = 0, didapat :
2dtt 2
2dt f(t)
L
2a
2
0
L
0
0
Dengan menggunakan teorema Parseval :
2
n1
2n
20
L2 )(b)(a
2
)(adt (t)f
L
1
nL
Dengan menggunakan hasil di atas didapat :
1
2n
20
2
2
22
2
2 )(b2
)(adt t
2
1dt (t)f
2
1
n
3
8t
3
1
2
1dt t
2
1 2
23
2
2
2
1
2
441
2n
20 1 - πn Cos
πn
4
2
4)(b
2
)(a
nn
download on www.enggar.tk
Dari kedua persamaan di atas dapat dibuat persamaan :
44444
1
2
44 7
1
5
1
3
1
1
1
π
6421 - πn Cos
πn
42
3
8
n
atau
96
π
7
1
5
1
3
1
1
1 4
4444
Dengan hasil ini kita dapat menghitung deret :
4444
1n4 4
1
3
1
2
1
1
1
n
1
44444444 8
1
6
1
4
1
2
1
7
1
5
1
3
1
1
1
444444444 4
1
3
1
2
1
1
1
2
1
7
1
5
1
3
1
1
1
1n444444 n
1
2
1
7
1
5
1
3
1
1
1
Dengan melakukan perhitungan kecil akan didapat :
44444
1n4 7
1
5
1
3
1
1
1
2
11
n
1
96
π
2
11
4
4
Jumlah deret adalah :
90
π
n
1 4
1n4
download on www.enggar.tk
2.12. Rangkuman
(i). Fungsi Periodik dirumuskan :
f(t) =f(t+T)
dengan perioda T
(ii). Nilai Rata-rata dari suatu fungsi Periodik
ab
dt f(t)b
a
, atau
b
a
dt f(t)ab
1
(iii). Perumusan deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus adalah :
L
tπn Cos a
L
tπ2 Cos a
L
tπ Cos a
2
a f(t) n21
0
L
tπnSin b
L
tπ2Sin b
L
tπSin b n21
1nn
1nn
0
L
tπnSin b
L
tπn Cos a
2
a
(iv). Koefisien-koefisien deret Fourier adalah :
π
π
0 dt f(t)π
1a
π
π
n dt L
tπn Cos f(t)
π
1a
π
π
n dt L
tπnSin f(t)
π
1b
download on www.enggar.tk
(v). Perumusan deret Fourier bentuk Kompleks adalah :
-n
L
tπni
n e Cf(t)
L
tπni
nL
tπ3i
3L
tπ2i
2L
tπi
10 e Ce Ce Ce CC
L
tπni-
n-L
tπ3i-
3-L
tπ2i-
2-L
tπi-
1- e Ce Ce Ce C
Koefisien-koefisien Fourier Cn :
π
π-
L
tπni-
n dt e f(t)π2
1C
(vi). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi genap adalah :
π
0
0 dt f(t)π
2a
π
0
n dt L
tπn Cos f(t)
π
2a
0bn
(vii). Perumusan koefisien-koefisien deret Fourier untuk f(t) fungsi ganjil adalah :
0a0
0an
π
π
n dt L
tπnSin f(t)
π
2b
download on www.enggar.tk
(viii). Teorema Parseval
Deret Fourier dirumuskan :
1nn
1nn
0 ntSin bnt Cos a2
af(t)
Nilai rata-rata dari f 2 (t) pada selang interval (-, ) adalah :
Nilai rata-rata f 2 (t) = dtf(t)
π2
12π
π
Dengan menggunakan perumusan deret Fourier, persamaan di atas menjadi :
Nilai rata-rata f 2 (t) =
1n
2n
1n
2n
20 )(b
2
1 )(a
2
1
2
a
Dalam bentuk kompleks :
Nilai rata-rata |f(t)|2 =
n
2n |C|
2.13. Latihan Soal
(i) Buktikan bahwa :
a). /2π
0
2π/2
0
2 dt t Cosdt t Sin
dengan perubahan variabel :
x2
πt
b). ab2
1dt kt Cosdt kt Sin
b
a
2b
a
2
download on www.enggar.tk
(ii). Hitunglah nilai rata-rata dari :
a. t Sin Sin t 2 , pada selang interval π0,2
b. . 6t Cos t 2 , pada selang interval
6
π0,
c. 3t Sin 3 2t Sin 2 Sin t , pada selang interval
2
π0,
d. te1 , pada selang interval 0,1
(iii). Hitunglah nilai integral dari :
a.
/34π
0
2 dt 2
3t Sin
b.
2
1-
2 dt 3
πt Sin
c.
/23π
π/2-
2 dt 2
t Cos
d. ω/π2
0
2 dtωt Sin
(iv). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk Sinus dan Cosinus :
a.
πt0 0,
0tπ 1,f(t)
b.
π tπ/2 0,
π/2t0 1,
0tπ ,0
)(tf
download on www.enggar.tk
c.
π tπ/2 1,
π/2tπ 0,f(t)
d.
π tπ/2 1,
π/2tπ 1,-f(t)
e.
π tπ/2 1,
π/2t0 1,-
0tπ ,0
)(tf
f.
π t0 t,
0tπ 0,f(t)
g.
π t0 Sin t,
0tπ 0,f(t)
h.
π t0 t,-
0tπ ,πtf(t)
i. πtπ t,1f(t)
(v). Uraikan fungsi di bawah ini ke dalam deret Fourier bentuk kompleks :
a. π t π, tf(t) 2
b. 2π t 0, tf(t) 2
c. π t π, ef(t) t
d. 2π t 0, ef(t) t
e. 2 t 2,t 2f(t)
f. 4 t 0,t 2f(t)
download on www.enggar.tk
g. 2 /1 t 2/1,t πSin f(t)
h. 1 t 0,t πSin f(t)
(vi). Uraikan fungsi f(t) di bawah ini ke dalam uraian deret Fourier :
a.
L t0 1,
0tL- 1,-f(t)
Hitunglah deret berikut :
222 7
1
5
1
3
11
b. 1/2t1/2 ,tf(t) 2
Hitunglah deret berikut :
444 4
1
3
1
2
11
c. πtπ t,1f(t)
Hitunglah deret berikut :
222 4
1
3
1
2
11
2.14. Daftar Pustaka
1. Arfken , George , Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, New
Yook , 2 nd ed .,1970.
2. BOAS, Mary L., Mathematical Methods in The Physical Sciences , second Edition
, John Wily and sons, 1983 .
3. Bradbury , Ted clay ., Mathematical Methods with Applications to Problems in the
Physical Sciences , John Wily and Sons, 1984.
4. D’Azzo , John J . and Constantne H . Haupis , Feed back Control System Analysis
and Synthesis , second Edition , Mc Graw – Hill , 1966.
download on www.enggar.tk
5. Hilde brand , Francis B ., Advanced Calculus for Applications, Prentice – Hall,
Engle wood Cliffs , 2 nd Ed . 1976.
6. Kaplan , Wilfred , Advanced Calculus , Second Edition , Addison-Wesley,
Publishing Company , 1981.
7. Kreyszig , Erwin ., Advanced Engineering Mathematics, Fourth Edition , John
Wiley and Sons , 1979.
8. Sokolnikoff , 1 . S . , and R . M . Redheffer , Mathematics of Physics and Modern
Engineering , Mc Graw – Hill 2 nd ed . , 1966.
9. Wos pakrik , Hans J . , Dasar – Dasar Matematika untuk Fisika , ITB , Bandung ,
1993 .
Recommended