7/26/2019 Ecuacion de Continuidad en Coordenadas Esfericas
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ECUACION DE CONTINUIDAD EN COORDENADAS ESFERICAS
Para efectuar la derivacin de la ecuacin de continuidad en
coordenadas esfricas, se artir!a de un volu"en de control co"o el#ue se "uestra en la $%ura& Dic'o volu"en de control est( de$nido
or la e)resin "ate"(tica*
dV=r2sindrdd
Donde r , y reresentan el radio + los (n%ulos olar + a-i"utal,
resectiva"ente&
El diferencial de "asa es*
dM= r2 sindrdd
Se reresentar( el ca"o de velocidades de la si%uiente for"a*
u=u er+e+ e
Donde u ,y son las velocidades del .uido en direccin radial,
olar + a-i"utal, resectiva"ente&
Se%uida"ente se deter"inar(n las e)resiones de acu"ulacin +
.u/o neto en cada una de las direcciones "encionadas&
Acu"ulacin&
El tr"ino ara la acu"ulacin est( dado or la tasa de ca"0io de la
"asa con resecto al tie"o& Por lo tanto, se tiene*
t r
2sendrdd
Co"o dV=r2
sendrdd , entonces se o0tiene*
t dV
Flu/o en direccin radial (r ) &
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Para el .u/o entrante*
r ,=u A m
Donde el (rea del .u/o entrante (A) es un trae-oide cu+a
suer$cie est( dada or*
A=1
2(base mayor+basemenor )altura
Sustitu+endo en la ecuacin los tr"inos corresondientes*
A
=1
2[rsend+rsen (+d )d
]rd
A=
1
2[rsend+r ( sencosd+coss en ) d ]rd
Dado #ue d es un (n%ulo in$nitesi"al"ente e#ue1o, es osi0le
'acer las si%uientes aro)i"aciones*
cosd1 send d
Entonces*
A=
1
2[rsend+r ( sen+cosd ) d ] rd
A=
1
2r2
sendd +1
2r2
sen d d+1
2r2
cosd 2
d
A=1
2r2
sendd + 12
r2
cosd2
d
Puesto #ue cual#uier diferencial cuadr(tico uede desreciarse,
A=r2
sendd
De acuerdo con esto tene"os #ue el .u/o de entrada sea*
r ,=
u r
2
sendd
m
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Por su arte, el .u/o radial de salida es*
mr,out=(u+ u r dr)A out
Pero, el out se calcula de "anera an(lo%a al c(lculo de A
A out=1
2[(r+dr ) send + (r+dr ) sen (+d ) d ](r+dr ) d
A out=1
2[ rsend +sendrd +(r+dr ) (sen+cosd )d ](r+dr ) d
A out=1
2 [rsend +sendrd +rsend +rcosdd +sendrd+cosdrdd ](rd+drd)
A out=1
2[2 rsend +2sendrd+rcosdd +cosdrdd ] (rd+drd )
A out=r2
sendd+rsendrdd +rsendrdd +send r2
dd+r2
2cosd
2d+
r
2cosdrd
2d+
r
2cos
A out=r2
sensendd +2rsendrdd
Por lo #ue*
mr,out=(u+ u r dr) (r2 sen dd +2rsendrdd )
El .u/o neto es*
r ,=u r2
send +2ursendrdd+ u r r2
sendrdd + u r 2 rsendr
2
dd u r2
sendrdd
mr,outm
2ursendrdd+ u
r r
2sendrdd
r ,=2
r udV+
u
r dV
mr,outm
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Flu/o olar ( ) &
El (rea #ue atraviesa el .u/o entrante es un trae-oide cu+a
suer$cie se deter"ina co"o si%ue*
A=
1
2[rsend+ (r+dr ) send ] dr
1
2[rsend +rsend +sendrd ] dr
1
2[send r2 d+rsendrd ]
A=r sendrd
Es or esto #ue el .u/o entrante se e)resa co"o*
,=A= rsendrd m
Por su arte, el (rea #ue atraviesa el .u/o saliente se calcula a
continuacin*
Aout=1
2[ rsen (+d ) d + (r+dr ) sen (+d ) d ]dr
A out=1
2[ r ( sen+cosd ) d+(r+dr ) ( sen+cosd ) d ] dr
A out=1
2[rsend +rcosdd +rsend +rcosdd +sendrd +cosdrdd ] dr
A out=r
2sendrd+
r
2cosdrdd +
r
2sendrd +
r
2cosdrdd +
1
2send r
2
d +1
2cosd r
2
dd
A out=rsendrd+rcosdrdd
En consecuencia, el .u/o saliente se e)resa co"o*
m,out=
(+
d
)(rsendrd+rcosdrdd )
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Final"ente, el .u/o neto olar es*
,= rsendrd + rcosdrdd +
rsendrdd +
rcosdrd
2d rsendrd
m,outm
,= rcosdrdd +
rsendrdd
m,outm
,=1
r
cos
sendV+
1
r
dV
m,outm
Flu/o a-i"utal ( )
En este caso, tanto el (rea de entrada co"o de salida son i%uales +
se calculan co"o si%ue*
A=
1
2[rd+(r+dr )d ] dr
A=
1
2
[ rd+rd+drd ] dr
A=rdrd+
1
2d r
2
d
A=rdrd
2os .u/os de entrada + salida se e)resan se%uida"ente*
,=rdrdm
m ,out=(+
d )rdrd
El .u/o neto es*
,=rdrd+
rdrddrdrd
m , outm
rdrdd
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,= 1
rsen
dV
m ,outm
Final"ente, a%ruando los tr"inos de la acu"ulacin + los .u/osnetos en cada direccin, se deriva #ue*
t dV+
2
rudV+
u
r dV+
1
r
cos
sendV+
1
r
dV+
1
rsen
dV=0
t+
2
ru+
u
r +
1
r
cos
sen+1
r
+
1
rsen
=0
t+1
r2
(2ru+r
2 u
r)+ 1
rsen( cos +sen
)+ 1
rsen
=0
t+
1
r2( r
2
r u+r 2
u
r)+ 1rsen(sen +sen )+ 1rsen =0
t+
1
r2
(r 2u)r
+ 1
rsen
( sen )
+ 1
rsen
=0
2a cual es la e)resin de la ecuacin de continuidad en coordenadasesfricas&
3i0lio%raf!a&
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