7/26/2019 Ecuacion de Continuidad en Coordenadas Esfericas

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ECUACION DE CONTINUIDAD EN COORDENADAS ESFERICAS

Para efectuar la derivacin de la ecuacin de continuidad en

coordenadas esfricas, se artir!a de un volu"en de control co"o el#ue se "uestra en la $%ura& Dic'o volu"en de control est( de$nido

or la e)resin "ate"(tica*

dV=r2sindrdd

Donde r , y reresentan el radio + los (n%ulos olar + a-i"utal,

resectiva"ente&

El diferencial de "asa es*

dM= r2 sindrdd

Se reresentar( el ca"o de velocidades de la si%uiente for"a*

u=u er+e+ e

Donde u ,y son las velocidades del .uido en direccin radial,

olar + a-i"utal, resectiva"ente&

Se%uida"ente se deter"inar(n las e)resiones de acu"ulacin +

.u/o neto en cada una de las direcciones "encionadas&

Acu"ulacin&

El tr"ino ara la acu"ulacin est( dado or la tasa de ca"0io de la

"asa con resecto al tie"o& Por lo tanto, se tiene*

t r

2sendrdd

Co"o dV=r2

sendrdd , entonces se o0tiene*

t dV

Flu/o en direccin radial (r ) &

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Para el .u/o entrante*

r ,=u A m

Donde el (rea del .u/o entrante (A) es un trae-oide cu+a

suer$cie est( dada or*

A=1

2(base mayor+basemenor )altura

Sustitu+endo en la ecuacin los tr"inos corresondientes*

A

=1

2[rsend+rsen (+d )d

]rd

A=

1

2[rsend+r ( sencosd+coss en ) d ]rd

Dado #ue d es un (n%ulo in$nitesi"al"ente e#ue1o, es osi0le

'acer las si%uientes aro)i"aciones*

cosd1 send d

Entonces*

A=

1

2[rsend+r ( sen+cosd ) d ] rd

A=

1

2r2

sendd +1

2r2

sen d d+1

2r2

cosd 2

d

A=1

2r2

sendd + 12

r2

cosd2

d

Puesto #ue cual#uier diferencial cuadr(tico uede desreciarse,

A=r2

sendd

De acuerdo con esto tene"os #ue el .u/o de entrada sea*

r ,=

u r

2

sendd

m

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Por su arte, el .u/o radial de salida es*

mr,out=(u+ u r dr)A out

Pero, el out se calcula de "anera an(lo%a al c(lculo de A

A out=1

2[(r+dr ) send + (r+dr ) sen (+d ) d ](r+dr ) d

A out=1

2[ rsend +sendrd +(r+dr ) (sen+cosd )d ](r+dr ) d

A out=1

2 [rsend +sendrd +rsend +rcosdd +sendrd+cosdrdd ](rd+drd)

A out=1

2[2 rsend +2sendrd+rcosdd +cosdrdd ] (rd+drd )

A out=r2

sendd+rsendrdd +rsendrdd +send r2

dd+r2

2cosd

2d+

r

2cosdrd

2d+

r

2cos

A out=r2

sensendd +2rsendrdd

Por lo #ue*

mr,out=(u+ u r dr) (r2 sen dd +2rsendrdd )

El .u/o neto es*

r ,=u r2

send +2ursendrdd+ u r r2

sendrdd + u r 2 rsendr

2

dd u r2

sendrdd

mr,outm

2ursendrdd+ u

r r

2sendrdd

r ,=2

r udV+

u

r dV

mr,outm

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Flu/o olar ( ) &

El (rea #ue atraviesa el .u/o entrante es un trae-oide cu+a

suer$cie se deter"ina co"o si%ue*

A=

1

2[rsend+ (r+dr ) send ] dr

1

2[rsend +rsend +sendrd ] dr

1

2[send r2 d+rsendrd ]

A=r sendrd

Es or esto #ue el .u/o entrante se e)resa co"o*

,=A= rsendrd m

Por su arte, el (rea #ue atraviesa el .u/o saliente se calcula a

continuacin*

Aout=1

2[ rsen (+d ) d + (r+dr ) sen (+d ) d ]dr

A out=1

2[ r ( sen+cosd ) d+(r+dr ) ( sen+cosd ) d ] dr

A out=1

2[rsend +rcosdd +rsend +rcosdd +sendrd +cosdrdd ] dr

A out=r

2sendrd+

r

2cosdrdd +

r

2sendrd +

r

2cosdrdd +

1

2send r

2

d +1

2cosd r

2

dd

A out=rsendrd+rcosdrdd

En consecuencia, el .u/o saliente se e)resa co"o*

m,out=

(+

d

)(rsendrd+rcosdrdd )

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Final"ente, el .u/o neto olar es*

,= rsendrd + rcosdrdd +

rsendrdd +

rcosdrd

2d rsendrd

m,outm

,= rcosdrdd +

rsendrdd

m,outm

,=1

r

cos

sendV+

1

r

dV

m,outm

Flu/o a-i"utal ( )

En este caso, tanto el (rea de entrada co"o de salida son i%uales +

se calculan co"o si%ue*

A=

1

2[rd+(r+dr )d ] dr

A=

1

2

[ rd+rd+drd ] dr

A=rdrd+

1

2d r

2

d

A=rdrd

2os .u/os de entrada + salida se e)resan se%uida"ente*

,=rdrdm

m ,out=(+

d )rdrd

El .u/o neto es*

,=rdrd+

rdrddrdrd

m , outm

rdrdd

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,= 1

rsen

dV

m ,outm

Final"ente, a%ruando los tr"inos de la acu"ulacin + los .u/osnetos en cada direccin, se deriva #ue*

t dV+

2

rudV+

u

r dV+

1

r

cos

sendV+

1

r

dV+

1

rsen

dV=0

t+

2

ru+

u

r +

1

r

cos

sen+1

r

+

1

rsen

=0

t+1

r2

(2ru+r

2 u

r)+ 1

rsen( cos +sen

)+ 1

rsen

=0

t+

1

r2( r

2

r u+r 2

u

r)+ 1rsen(sen +sen )+ 1rsen =0

t+

1

r2

(r 2u)r

+ 1

rsen

( sen )

+ 1

rsen

=0

2a cual es la e)resin de la ecuacin de continuidad en coordenadasesfricas&

3i0lio%raf!a&

Please"a4eanote&0lo%sot&co"5677857659:derivative:of:

continuit+:e#uation:in:'t"l