Math. Neohr. 128 (1986) 43-55

Ein lokaler Grenzwertsatz fur Wahrscheinlichkeiten groBer Abweichungen

Von WOLFGANQ MAUHT in Dresden

(Eingegangen am 11.10.1984)

1. Einleitung

Wir betrachten eine Folge unabhangiger ZufallsgroBen (ZGn.) (Xn),,=,,,,,... mit E X , = 0, u; = EX! < 00 (j = 1,2, ...) und benutzen folgende Bezeichnungen:

V,(X) = P ( X , < x ) , S n = XI + X , + + Xn,

B; = u: + u; + + u;,

d PZn(X) = - ax P(2, < z),

fsn(t) = EeitSn, fzn(t) = EeifZn, M&) = EeLX1, Ki(z) = In l M f ( z ) .

Unter In verstehen wir stets den Hauptwert des Logarithmus. Ein klassischer Gegenstand der Summationstheorie ist die Untersuchung der Wahr-

scheinlichkeiten P(Zn 2 x ) bzw. P(2, < -x), wenn x in Abhangigkeit von n unbe- schriinkt wachst. Aussagen daruber werden als integrale Grenzwertsiitze fur Wahr- scheinlichkeiten grol3er Abweichungen bezeichnet, im Gegensatz zu lokalen Grenzwert- siitzen fur Wahrscheinlichkeiten groDer Abweichungen, die sich mit dem asymptotischen Verhalten von pz,(x) - falls diese Dichte existiert - oder mit Aussagen uber gitter- formige ZGn. beschaftigen.

Im weiteren beschriinken wir uns auf den absolutstetigen Fall. Als klassisches Er- gebnis gilt der folgende lokale Grenzwertsatz fur Wahrscheinlichkeiten groBer Ab- weichungen von W. RICHTER :

Satz 1 [14]. Sei (X,,),,=,,-,., eine Folge unabhangiger, identisch verteilter ZQn. mit EX , = 0, EX; > 0. Es mogen eine positive Konstante A und ein no E N existieren, so dap M,(x) < 00 fur 1x1 < A ist und Sflo eine beschrankte Dichte besitzt. Dann giZt fur x 2 1, x = o ( 6 ) :

Dabei ist A(t) eine Potenxreihe, die sog. CRAMERsche Reihe (vgl. [6], s. 220ff.), die fur hinreichend kleine It I konvergiert.

Die LANDAuschen 0- und o-Symbole und alle Limites sind immer fur n -+ rn zu verstehen. c, c,, c2, . .. bezeichnen positive Iconstanten, die ilicht von n abhangen.

44 Math. Nachr. 188 (1986)

Es sei nun (X")n,=l,a,a., eine Folge unabhiingiger, nicht notwendig identisch ver-

Typische Voraussetzungen zum Beweis von Aussagen uber Wahrscheinlichkeiten

Es mogen Konstanten cl und c, existieren, so daI3 fur j = 1,2 , . . . gilt:

teilter ZGn.

groOer Abweichungen (vgl. u. a.: [l], [2], [4], [9], [ll]) sind Bedingungen der Art:

m c, < E exp {g(Xf)} = J' eu(*) dV,(z) < c,.

-m (1.2)

Dabei konnen unter Beriicksichtigung bestimmter Bedingungen an die Punktion g(z) verschiedene Falle klassifiziert werden. In der folgenden Diskussion wollen wir uns jedoch auf zwei FBle konzentrieren :

Setzt man g(z) = hz, so erhiilt man die sog. CRaMfiRsche Bedingung:

und j = 1,2, ... gilt: (C) Es mogen positive, reelle Konstanten A , c1 und existieren, 80 daO fi i r lhl < A

8

ct < ~ e x p {hxj) = j ehZdVI(z) < c,. -a

Die folgende Bedingung ist eine Abschwlichung von (C) und wurde von J. V. LINNIE [2] eingefuhrt :

(L) Es mogen Konstanten cl, c, und E 0, - existieren, so daO (1.2) mit g(z) = jz]Gy

ZGn., die (L) erfullen, besitzen zwar Momente beliebiger Ordnung, die momenten- erzeugenden Funktionen (MEFii.) Mi@) sind jedoch nicht notwendig analytisch wie im Fall (C).

Fur die Formulierung von lokalen Grenzwertsiitzen fur Summen verschieden ver- teilter ZGn. ist es notwendig, hinreichende Bedingungen aufzustellen, die die Existenz der Dichte von Zn ab einem Eestimmten no sichern und Konvergenzaussagen ermog- lichen. Dies geschieht entweder durch Bedingungen an die MEFn. bzw. charakteristi- schen Funktionen (CFn.) oder es wird fur alle ZGn. die Existenz einer Dichte mit be- stimmten Eigenschaften gefordert. Auf den letzten Fall werden wir in diesem Rahmen nicht eingehen. Im weiteren sol1 stets

(1.3)

erfullt sein. In [14] gelang es W. RICHTER im ChAaaIhschen Fall (C), eine zu (1.1) analoge Be- ziehung fiir verschieden verteilte ZGn. im Gebiet z -- o(f) n herzuleiten, indem er Forderungen an das Verhalten der MEFn. M i @ ) stellte:

Es mogen eine Unterfolge (Xn,)k=l,B,.., von (Xn)n=l,a ,... und positive Konstanten L, R und /3 existieren, so daB

(a

gilt. ( 1)

- lim B:/n > 0

I.&$ + h)l 5 - fur Ihl < A und It1 ;1 R l t lb

(1.4)

Mscht, Ein lokaler Crenzwertsatz 45

gilt. Weiter genuge die Anzahl n* der Glieder der Unterfolge unter den ZGn. X,, X, , . . ., X,, der Bedingung :

(1 5)

Demgegenuber wurde von V. PETROV [7] bei Erfullung der Bedingung (L) gefordert, daO fur alle E > 0 ein 6 > 0 existiere mit :

(1.6)

Dam gilt eine asymptotische Beziehung fur pz,(x) im Gebiet x = o(nu). Es entsteht nun beim Vergleich der von W. RIUHTER bzw. V. PETROV an die ZGn.

gestellten Bedingungen (1.4)/(1.6) bzw. (1.6) sofort die Frage nach der Herleitung eines lokalen Grenzwertsatzes fur den Fall (C) unter einer Bedingung der Form (1.6). Die Voraussetzung (1.6) erscheint natiirlicher als (1.4), da aie an die CFn. der ZGn. X,, . . ., X , gestellt ist, wiihrend man (1.4) als Bedingung an die CFn. der sog. kon- jugierten ZGn. interpretieren kann (vgl. [4], [12]). AuDerdem folgt (1.6) in1 Spezialfall h = 0, y = 4~ aus (1.3)-(1.5). Es gilt niimlicli mit r > 1/p, daD

l& n*lBi > 0 fur ein gewisses y > 0.

J 4 IMj(it)I dt = O(e-d"*a). I f l > € 1=

2. Lokale Glrenzwertslitze fiir Summen verschieden verteilter ZufallsgrfiSen

Eine Antwort auf die oben formulierte Frage liefert :

Satz 2. S e i (Xn)n=l,2 ,... eine Poke unubhangiger ZGn. mit E X , = 0 ( j = 1,2, . . .), die der Bedingung (1.3.) geniigt. Weiter existiere z u jedeni E > 0 ein 6 > 0, so dap gilt

(2.1)

und es existiere eine positive Konshnte A mit

J ,fi IM,iit)I dt = o(e-6") I t l>e

sup Eehxj < 00 fur Ihl < A . j

(2.2)

Dann besitzt die ZG. 2, f i ir alle hinreichend gropen n eine stetige Dichte pzn(x) und es gilt :

fur 2 2 1, x = o ( 6 ) . An(t) bezeichnet die veralbemeinerte bAM6Rsche Reihe (vgl. [6],

Der Sstz 2 und das Ergebnis von V. PETROV [7] ermoglichen nun eine einheitliche s. 220).

Formulierung fur dle (Y E 0, - : ( :I

46 Math. Naehr. 188 (1986)

Satz 3. Sei (Xn),a=l,2 ,... eine Folge unabhangiger ZGn. mit E X , = 0 ( j = 1, 2, ...),

die der Bedingung (1.3) geniigt. Es m6ge eine positive Konstante a E so dap gilt:

sup E exp { ] X i ] & } < 00

i

und es existiere zu jedem E > 0 e i n 6 > 0 mit

J 1: IMi(it)I dt = O(exp (-6n2u)). l t l>a j = 1

Dann besitzt 2, fur alle hinreichend gropen n eine stetige Dichte pam(x) und es gilt:

fiir x 2 1, x = o(n'). Dabei ist s eine nichtnegative, ganze Zahl, die durch folgende Un-

gleichung bestimmt wird, falls dc < -: 1 2

l k t l * ( t ) ist der Teil der verallgemeinerten CRAM6Rschen Reihe l ,( t) , der aus den ersten

8 + 1 Gliedern besteht. Fur dc = - sei s = m, 2F'I1(t) ist dann durch l,(t) zu ersetzen. 1 2

Satz 4 stellt das lokale Analogon zu einem Ergebnis von V. PET~OV [7], S. 219 fiir verschieden vertcilte, unabhangige ZGn. dar.

Batz 4. Sei (X,,)n31,2,.., eine Folge umbhangiger, zentrierter ZGn., die den Bedinpngen (1.3) und (2.1) geniigt. Es *en positive Konstanten A, E,, E,, ... existieren, so dap die kumuhntenerzeugenden Funktionen K&) fur lz( < A ( j = 1, 2, . . .) analytisch sind und auperdem (2.4) lKj(z)( 5 E, fur (zI < A und j = 1, 2, ... erfiillt ist. Die Folge (Ei),--1,2,... geniige der Bedingung

Dann besitzt 2, far alle hinreichend gropen n eine stetige Dichte pz,(x), fiir die die asymp-

otische Beziehung (2.3) im Gebiet x 2 1, x = o(fG) gilt.

3. Beweis der Aussagen

Beweis von Satz 2. Wir zeigen zunachst, daB aus der gleichmiGdigen Beschdnkt- heit der MEFn. nach oben auch die gleichmLBige Beschranktheit nach unten folgt.

Macht, Ein lokaler Grenzwertsatz 47

Aus der Voraussetzung (2.2) folgt die Existenz einer Konstanten c,, so da13 fur j = 1, 2, ... und Ihl < A gilt:

EehXj 5 cl.

Es gilt fur x E R, lhl < A und 8 = 8(x, h ) , 181 5 1:

ehX = 1 + hz + - h2z2eenz. 1 2

Somit ist

z2eekdV,(x) , (j = 1 , 2 , ,..).

- W W s A - und j = 1 , 2 , . . . das Integral

2 Wir untersuchen nun fur Ihl x2eehr d V j ( z ) :

-m m m 0 do

zzelehzl d ~ j ( z ) 5 J z2elhz1 d v f ( z ) + J z2elhol d ~ , ( x ) . -m 0

Fiir das zweite Integral erhalten wir unter Benutzung der fur alle reellen x giiltigen

Ungleichung - 5 el2/ folgende Abschiitzung : 5 2

2 -

Das Integral iiber die negative Halbachse lal3t sich analog abschlitzen. Also gilt :

h2 ~1 = I - 32c1 -

A2' h2 64 IEehxj1 2 1 - - - 2 A2

Nach Vorgabe einer positiven Konstanten cz < 1 ergibt sich, wenn

gewLhlt wird, daB fur j = 1 , 2 , . . . (3.2)

erfullt ist.

Beziehung

c, 5 E e h X j 5 c,

Von nun an sei stets lhl 5 Az und x 2 1, 2 = o ( i G ) , was durch die Lquivalente

ersetzt werden soll. e(n) sei eine Funktion, deren Werte fiir n 3 bo unbeschrlinkt wachsen.

48 Math. Nctchr. lB8 (1986)

Aus (2.1) folgt, daD die CF. von Sn fur hinreichend groBe n absolut integrierbar ist. Somit besitzt P(S, < x) eine stetige Ableitung ps,(x), es gilt die Umkehrformel fur Dichten und wir erhalten fur alle E > 0 und 6 = B ( E ) > 0 :

ce c

-m - t

Die dritten absoluten Momente Iassen sich wegen (2.2) und unter Verwendung der Ungleichung x3/6 5 ez fur x 2 0 in folgender Weise abschatzen:

m Q) 0

E ~ x p = J' 1x13 dvj(x) = 1 23 dvi(x) + J ( - 4 3 dvj(z). --m 0 -00

Wir betrachten z. B.

-00 -0a

fur das zweite Integral ergibt sich die gleiche Aussage, so daB schliel3lich gilt :

n

j=1

96 E IXiI3 5 z3 c,n = c3n. (3.5)

Fur den LJApuNovschen Bruch erhalten wir unter Beachtung von (1.3) und (3.5) fur hinreichend groBe n, daD

ist. Aus dem Lemma 12 ([6], 5. 179) folgt fur die CF. von Z,, daD fur hinreichend groBe n gilt:

t'

und zerlegen das Integrationsgebiet 1 Wir wiihlen in (3.4) E = -

4c, l/el(n) < It[ Dichte von 2, lafit sich nun unter Berucksichtigung von (1.3) und (3.6) fur alle hin- reichend grofien n wie folgt darstellen:

E . el(n) sei eine zunhchst beliebige Funktion mit .

in It1 5 l/el(n) und

limel(n) = 00. Die

Macht, Ein lokaler Grenzwertsatz 49

Aus der Bedingung (2.2) folgt, da13 die MEFn. M&) (i = 1,2, . . .) im Streifen IRe zI < A analytische Funktionen sind. Dann sind auch die kumulantenerzeugenden Funktionen Kj( z ) fiir IzI < A analytisch und lassen sich in Potenzreihen entwickeln:

wobei Ykj den Kumulanten der ZG. X, der Ordnung k bezeichne. Weiterhin gilt fiir I4 < A

lKi(z)l 2 '6 und folglich ist wegen des CaucHYschen Koeffizientensatzes

Die gleiche Abschiitzung hat man damit auch fur die ,,arithmetisierten" Kumulanten

rkn = - z y k j ; 1 " n j = 1

Somit ist fiir lzl 5 Az die Funktion

und ihre Ableitung beschrankt :

(3.9) IEn(z)I I ~ 7 ,

(3.10) le:(z)l 5 C8 *

Wir setzen in (3.7):

(3.11) t = z/ in .

Deshalb ist :

Aus der Funktionentheorie ist bekannt, da0 der Hauptanteil des Integrals in (3.12) bei Integration iiber den Sattelpunkt des Integranden erhalten wird, sofern dieser Sattelpunkt existiert. Zur Bestimmung des Sattelpunkts betrachten wir die Gleichung (vgl. [141, [151):

- K,,(z) - zt --= = 0 dz a [ - 1% Bn 1

bzw.

(3.13) m Zk-1

= t VK. Zzrkn (k - l ) !

4 Math. Nachr., Bd. 128

50 Math. Nachr. 128 (1986)

Die Umkehrbarkeit der analytischen Funktion auf der linken Seite von (3.13) folgt nun aus dem Satz von BLOCH (vgl. [8], S. 142) unter Beachtung von (1.3) und (3.10):

t r , n (3.14) zo = zo(t) = -- - - t 2 + . . . , frzn 21";n

Diese Reihe besitzt einen positiven Konvergenzradius, der - fur hinreichend groDe n - von n unabhiingig ist (vgl. [S]). Im Sattelpunkt ist

Hierbei bezeichnet & ( t ) die CRAMER-PETROVSche Reihe

die fur hinreichend kleine t konvergiert (vgl. [6], S. 224). Im weiteren untersuchen wir das Integral

l l edn)

dz = 1 en@, t ) dz.

- l /edu) -1ledn)

I)a der Integrand eine analytische Funktion ist, liefert das Integral uber jede ge- schlossene Kurve, die ganz im Inneren des Konvergenzbereiches liegt, den Wert Null. Wir konnen also den Integrationsweg in folgender Weise deformieren:

wobei I = 1, + 1 2 + 1 3 ,

I, = J en(%, t ) dz, I? = j en(%, t ) dz t o t iledn) 20- i / @ t ( R )

z g - iledn) - i l e I ( n ) und

iledn)

z,+i/edn) = 1 en(%, t ) dz.

Dabei ist lediglich Jzo + i/pl(n)l 2 A , zu sichern, was aber fur hinreichend groDe n erfullt ist, da aus (3.11) und (3.14) zo = O(l/e(n)) folgt.

Zunachst wird I, berechnet, wobei analog zu [16], S. 980f. vorgegangen wird:

Wir wahlen nun el(n) so, daO

(3.17) lim - = bc) e(n)

el(%)

Macht, Ein lokaler Grenzwertsatz

gilt und untersuchen

51

Fur hinreichend grol3e n gilt aufgrund von 0 5 u 5 zo, zo = O(l/e(n)) und (3.17.):

Beriicksichtigt man au5erdem das Wachstum der Kumulanten (3.8), so ist folgende Ungleichung richtig :

1 - - 2 8

Analog zu (3.18) erhiilt man:

(3.19) IW + i/el(n)13 5 e W ' Mit (3.18) und (3.19) la& sich Re En(u + i/el(n)) durch -clz/&(n) sbschiitzen, da

ist. Daraus ergibt sich fiir 13:

Fur I, findet man eine analoge Abschittzung. Betrachten wir jetzt das Integral I, :

Es gilt fur z = zo + iw, 1w1 2 l/el(n) und ein festes N 2 4:

Unter Beriicksichtigung von (3.15) und (3.21) erhglt man:

(3 .22) 1, = i exp 1. [ -T t2 + 13An(t)]} J ,

44

52

wohei

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st. Nach der Substitution w = vpi(zo) n v ergibt sich:

N - 1 W’ J = ~ - 1 J e - y {

~ X P ,E‘grn(Zo, W ) + Q N , ( z ~ , 6, W) K:(zo) 71 r=3

Qn

Hierbei bedeuten :

und

Wir benutzen die fiir alle z E C giiltige Beziehung

ez = 1 + z + ez2elxl, e = e ( z ) , lei 5 1 ,

und zerlegen J entsprechend in eine Summe dreier Integrale :

1 (J1 + J s + J 3 )

J = ~mo) n mit

Man findet leicht, daO

(3.23)

ist.

J, = 6 + O(e-clanle:(n))

Bei der Berechnung von Ja ergeben nur die Summanden mit geradem Index von

Macht, Ein lokaler Grenzwerteatz 53

Null verschiedene Werte. Der erste zu berucksichtigende Summand lautet deshalb :

EL4) (zo ) w4

41 %P;(zo)2 - Da auDerdem

I&?)(z)I 5 c14 = c14(N) fi ir IzI 5 A2 und r = 0, I , . . ., N ist, wird

(3.24) J 2 = 0 (i). Urn J, auswerten zu konnen, untersuchen wir :

Man erhLlt somit fur J3 und hinreichend groI3e n :

Qll

Aus den Beziehungen (3.23)-(3.25) liil3t sich schlieoen, daS

ist. FaDt man (3.22) und (3.26) zusammen und berucksichtigt die Abschtitzung (3.20) fur I, und I , , so lal3t sich das Integral I wie folgt darstellen:

Man weist unschwer nach, daD

ist. Kombiniert man nun (3.12) mit (3.27) und (3.28), erhillt man fiir die Dichte von 2, den asymptotischen Ausdruck:

54 Math. Nachr. 128 (1986)

Wegen (3.8), (3.15) und (3.17) wird

Mit Hilfe von (3.11) und der letzten Beziehung folgt nun aus (3.29) die Behauptung des Satzes 2.

Beweis von Satz4. Der Beweis verliiuft fast wortlich wie der von Satz2, es sind lediglich die Ungleichungen I3.5), (3.8), (3.9) und (3.10), die sich beim Beweis von Satz 2 aus der CRAMERschen Bedingung (2.2) ergaben, zu uberprufen. Aufgrund der Voraussetzung (2.4) gilt wegen des CAUCHYschen Koeffizientensatzes :

(3.30) l y k j l S z E f , j = 1 , 2 ,..., k = 2 , 3 ,....

Aus der HoLDERSChen Ungleichung und (2.5) folgt

kl

Wie im Beweis des PEmovschen Satzes (s. [6], S. 225) erhalten wir (3.5) :

E lXrI3 5 (EXj4)3/4 = (Yaj + 3 ~ 2 2 ~ ) ~ / ~ 5 (c& + c,,Z;)~/~

5 c ~ ~ ( z , ( I j- ~ , ) ) 3 / 4 , j = I , 2, ... . Unter Ausnutzung der HoLDERschen und i%NKowsKI-Ungleichungen

die Abschatzung

gilt :

+ 61)3/2r 2/3 3/4

5 c24n1/2 [ n3!2 + (,;Z;/z) ] 5 cZ5n.

Die Ungleichungen (3.9) und (3.10) ergeben sich sofort aus (3.8). Damit ist auch Satz 4 bewiesen.

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