7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
1/12
JOSE LUIS PORRAS CARVAJAL-1650532 ELIUDT
MARTINEZ GOMEZ-1650517
EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES PORFACTOR INTEGRANTE
dydx
+ p( x) y= g ( x)
Resolver: y' +4 xy= x
e p ( x)dx
p( x)= 4 x
u( x)= e
4 x dx
u ( x)= e4 x
z
2
u( x)= e2 x
y= 1
u( x) u ( x) p( x)dx
y= 1
e2 x e 2 x x dx
y= e 2 x e2 x x dx
U=2xdx/du=2dx=2du
y= e 2 x eu 2 du
y= e 2 x [2 eu +c ]
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
2/12
y= e2 x [2 e2 x+c ]
y= 2 +ce 2 x
y' = y x
+2 x+1
y' 1
x y=+ 2 x+1
u( x)= e p( x)dx
p( x)= 1
x
u( x)= e 1
xdx
u( x)=e lnx
u( x)= e ln x1
u( x)= x 1
u( x)=1
x
y= 1
u( x) u ( x) p( x)dx
y= 1
1
x
1 x (2 x+1 )dx
y= x ( 2 x x + 1
x)dx
y= x (2 +1
x)dx
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
3/12
y= x[2 +lnx+c ]
y= 2 x+ xlnx+cx
y= 2 x+ xlnx+c
y' = x2 e 5 x 5 y
Dividimos por x:
y' 5 y= x2 e 5 x
u( x)= e p( x)dx
p( x)= 5
u( x)= e5 dx
u( x)= e5 x
y= 1
u( x) u ( x) p( x)dx
y= 1
e5 x e5 x x2 e 5 xdx
y= 1
e5 x x2 dx
y= 1
e5 x [
x3
3 +c ]
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
4/12
y= x3
3 e5 x+c
xy' +2 y= x3
Dividimos por x:
y' +2 y x
= x 3
x
y' +2 y x
= x 4
u( x)= e p( x)dx
p( x)= 2
x
u( x)=e 2
xdx
u( x)= e2 1
xdx
u( x)= e2 lnx
u( x)= e ln x2
u( x)= x2
y= 1
u( x
) u ( x) p( x)dx
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
5/12
y= 1
x2 x2 x 4 dx
y= 1
x2 x2 dx
y= 1
x2 [ x
1
1 +c]
y= 1
x2
[ x
1
1
+c
] y=
1
x3 +c
SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES PORVARIACION DE PARAMETRO
y' +3 xy= 3 sen 2 x
u( x)= e p( x)dx
u( x)= e3 xdx
u( x)=e 3
2 x
2
v ( x)= g ( x)u( x) dx
v ( x)= 3 sen 2 x 32 x
2dx
v ( x)= 2 x2 sen 2 xdxu= x2 du= 2 x dx
dv= sen 2 x dx
u= 2 x dx= du2
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
6/12
v= senu du2
v= 1
2 cos2 x
v ( x)= uv vdu
v ( x)= ( x2 )( 12
cos2 x) ( 12 cos2 x)2 xdxv ( x)=
1
2 x
2cos2 x+ (cos2 x) x dx
u= x ;du = dx
dv= cos2 x dx
u= 2 x ; du2
= dx
v=1
2 sen2 x
uv vdu
v ( x)= 12 x2 cos2 x+ 12 xsen2 x 12 (sen 2 x)2 dx
v ( x)= 1
2 x
2 cos2 x+1
2 x sen2 x cos2 x
y= u ( x)v( x)
y=(e 3
2 x2
)( 12 x2 cos2 x+ 1
2 x sen2 x cos 2 x)
y= 1
2 e
32 x
2
x2 cos2 x+
1
2 e
32
x2
x sen2 x e3
2 x
2
cos2 x+C
y' xy= 2 senx
u( x)= e p( x)dx
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
7/12
u( x)=e x dx
u( x)= e xdx
u( x)=e x
2
2
v ( x)= g ( x)u( x) dx
v ( x)= 2 senxe
x2
2
dx
u= 2 senx; dudx
= 2 cos x
dv= e x
2
2dx
v= e x
2
2dx
u= x2
; dx= 2 du
v= eu2
2 du
v= e x
2
2dx
v=2
e
x2
4
v ( x)= uv vdu
v ( x)= (2 senx)(2 e( x4 )2) (2 e(
x4 )2)2cos xdx
u= 2cos x ;dx= du 2 sen x sen x
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
8/12
x4
2e
v=
u= x4
; dx= du4
v= eu2 du
4
v= 14
e x
2
8
uv vdu
(2cos x)( 1
4 e
x2
8 )1
4 e x
2
8 2 senxdx
1
2 cos x e
x2
8 1
2 e x
2
8 dx 2 sen x dx
v ( x)= (2 senx )(2 e( x4 )2 )(12 cosx e x2
8 1
2 x
2
8ex 4 ex cos x)
v ( x)= 4 e( x4 )2
senx(12 cosx e x2
8 1
2 x
2
8 ex 4 ex cos x)
v ( x)= 4 e( x4 )2
sen x1
2 cosxe
x2
8 + 1
16 x
2ex+4 ex+cos x
y= u ( x)v( x)
y= (2 senx) ( 4 e( x4 )2
senx1
2 cosxe
x2
8 + 1
16 x
2ex+4 ex+cos x )
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
9/12
y= 4 e( x4 )2
sen2 x e
x2
8 cos x sen x+1
8 e x
3senx+8 exsenx+2 senx cos x + c
y' +1
x y= 3cos 2 x
u( x)= e p( x)dx
u ( x)= e 1
xdx
u( x)= e ln x1
u( x)= x 1
v ( x)= g ( x)u( x) dx
v ( x)= 3cos 2 x1 x
dx= 3 xcos2 xdx
u= x ;dx= du
dv= cos2 x dx
u= 2 x ; 2 dx= du
v=1
2 sen2 x
v ( x)= uv vdu
v ( x)=1
2 x sen2 x 12 sen2 x dx
v ( x)=1
2 x sen2 x
1
2 ( 12 cos2 x)v ( x)=
1
2 x sen2 x+
1
4 cos 2 x
v ( x)=3
2 x sen2 x+3
4 cos 2 x
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
10/12
y= u ( x)v( x)
y=(1 x )(32 x sen2 x+ 34 cos2 x) y=(1 x )(32 x sen2 x+ 34 cos2 x) y=
3
2 sen2 x+
3
4 x cos2 x+c
x
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
(e x sen y 2 y sen x)+(e x cos y+cos x) y ' = 0
Determinamos si es exacta la ED
M = e x sen y 2 y sen x; N = e xcos y+cos x
My= e xcos y 2 senx;Nx= e x cos y 2 sen x
My= Ny
Es una ecuacin exacta
x
= e x sen y 2 y sen x
=( e x sen y 2 y sen x)dx
= (e x sen y 2 y sen x)dx= e xsen y 2 y cosx+h( y)
y= N
e x cos y 2 cosx+h' ( x)= e xcos y+cos x
h' ( x)= 0
e x sen y 2 y c os x+k
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
11/12
( x , y)= C
e x sen y 2 y c os x+k = C
e x sen y 2 y c os x= C
( ycos x+2 x e4 )+(sen x+ x2 e4 +2 ) y ' = 0
y
= cosx+2 x e4 ;
x= cosx+2 x e4
Ux= ycosx+2 x e4
u ( x , y)= ycos x+exe4
u ( x , y)= y sen x+ x2 e2 +h ( y)
Uy= senx+ x2 e4 +h' ( y)= senx+ x2 e 4 +2
h' ( y)= 2 ;h ( y)= 2 y
u ( x , y)= y sen x+ x2 e 4+2 y+C
(5 x+4 y)+(4 x 8 y3 ) y ' = 0 M ( x , y)dx = 5 x+4 y ; N ( x , y)= 4 x 8 y3
My= 4 ; Nx= 4
De donde concluimosque la ecuaci nsi esexac!a ya que :
My= Nx
" M ( x , y)dx+g ( y)= " (5 x+4 y)dx+g ( y)
5 " xdx+4 y " dx+g ( y)
5
2 x2 +4 xy+g ( y)
g ( y)= " N ( x , y)dy " y " M ( x , y)dxdy
g ( y)= 8 " y3 dy
# 8
4 y
4
7/24/2019 EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES.docx
12/12
2 y4
" M ( x , y)dx+g ( y)= c5
2 x2 +4 xy 2 y4 = c
Recommended