2
Sile presjeka (unutarnje sile):
– Uzdužna sila N– Popre�na sila Tz
– Moment uvijanja Mt
– Moment savijanja My
3
Naprezanja
1. Normalno naprezanje σ2. Posmi�no naprezanje τ
presjeka popre�nog tikakarakteris kageometrijspresjeku popre�nom u sila unutarnja
naprezanje =
5
Važno:
Vla�na sila:
A – površina popre�nog presjeka (m2)
Tla�na sila:
��
���
�=
>
2mN
0N
ANσ
��
���
�⋅=
<
2mN
0
AN
N
ωσ
6
Važno:
• Moment uvijanja – torzije:
• I0 – polarni moment tromosti (cm4)• W0 – polarni moment otpora (cm3)
ρτ ⋅=
≠
0
t 0M
IM t
0
t 0M
WM t=
≠
τ
7
Važno:
• Moment savijanja – �isto savijanje:
• Iy – aksijalni moment tromosti (cm4)• Wy – aksijalni moment otpora (cm3)
zI
M
y
yx ⋅=
≠
σ
0M y
y
yx W
M±=
≠
σ
0M y
8
Važno:
• Moment savijanja popre�nim silama:
• Iy – aksijalni moment tromosti (cm4)• Sy – stati�ki moment površine presjeka (cm3)
zI
M
y
yx ⋅=
≠
σ
0M y
yy
yz
z
bI
ST
T
⋅⋅
=
≠
τ
0
9
Popre�ni presjeci nosa�a
• Drvo i beton– Pravokutni presjek
• �elik– Kružni presjek– Valjani profili
12
Geometrijske karakteristike popre�nih presjeka
1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)2. Stati�ki moment površine presjeka S (cm3)3. Momenti tromosti I (cm4)4. Polumjeri tromosti i (cm)5. Momenti otpora W (cm3)
13
1. Površina popre�nog presjeka A (cm2)
2. Stati�ki moment površine presjeka Sy i Sz (cm3)
3. Aksijalni, centrifugalni i polarni moment tromosti Iy ; Iz ; Iyz i Io (cm4)
4. Polumjer tromosti iy i iz (cm)
5. Momenti otpora Wy ; Wz i Wo (cm3)
16
Težište lika
• Varignon-ov teorem:
Stati�ki moment rezultante obzirom na
neki pol jednak je sumi stati�kih
momenata komponenata obzirom na taj
isti pol.
17
Odre�ivanje koordinata težišta složenih presjeka –Varignonov teorem
�
� ⋅=
i
TiT A
yAy i
�
� ⋅=
i
TiT A
zAz i
19
dA = b dz dA = b . dz
( )32222
0
cm 8
042
/2
2
0
hbhbzbdzzbS
dzbzdAzS
h
h
y
A Ay
⋅=��
���
�−=⋅=⋅⋅=
⋅⋅=⋅=
�
�� ��
20
( )222
42221
2221
22zfz
hbz
hbz
hz
hhbz
hS y =
���
�−⋅=
��
� +⋅⋅
��
� −=��
���
�
��
� −−⋅⋅
��
� −=
Th
h/2
z(h
/2-z
)
Ti
dA
b
z T
y
21
Pravokutnik• Stati�ki moment površine presjeka je funkcija od z2;
Sy= f (z2) - (oblik dijagrama posmi�nih naprezanja od popre�nih sila - kvadratna parabola)
0z za ; zhb
Sy =
���
�−⋅= 2
2
42
)(cm 8
32hb
S y
⋅=
23
3a. Aksijalni moment tromosti Iy i Iz (cm4)
- oko osi y:
- oko osi z:
( )� ⋅=A
y dAzI 2
( )� ⋅=A
z dAyI 2
0>yI
0>zI
24
3b. Centrifugalni ili devijacijskimoment tromosti Jyz (cm4)
0
0
0
>
=
<
yz
yz
yz
I
I
I
( )� ⋅⋅=A
yz dAyzI
26
( )43332
2
32
2
2
22
cm 128833
hbhhbzbdzzbI
dzbzdAzI
h
h
h
hy
A Ay
⋅=��
���
�
���
�−−=⋅=⋅⋅=
⋅⋅=⋅=
��
�� ��
−−
32
Glavne osi tromosti su centralne osi jer prolaze težištem lika; Osi simetrije su glavne osi tromosti
37
Kutni profil L 45×5
Osi: y i z - nisu osi simetrije
483,7 cmI y =
483,7 cmI z =
4 58,4
0
cmI
I
yz
yz
−=
≠
38
Kutni profil L 45×5
2min4
v IIcm 26,3I ===
Os simetrije: os u- glavne osi tromosti: os u i v
1.maks4
u IIcm4,12I ===
0Iuv =
39
Prva invarijanta momenata tromosti
.konstIIII vuzy =+=+
Suma aksijalnih momenata tromosti je konstantna.
66,1566,15 26,34,1283,783,7
=+=+
Za kutni profil L 45×5
40
Kutni profil L 45×5 Osi: y i z - nisu osi simetrije
483,7 cmI y =
483,7 cmI z =
4vuyz cm 58,4
226,34,12
2II
I −=−−=−−=
44
( )4D
o cm DD
/I321624
244
20
4 π⋅=⋅π=⋅ρ⋅π⋅=
� ⋅=A
o dAI 2ρ
ρπρ ddA ⋅⋅⋅= 2
ρρπρπρρ ddI
DD
o �� ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=2
0
32
0
2 22
46
� ⋅=A
o dAI 2ρ
( )zy
AAO
AAO
IIdAydAzI
dAyzdAI
+=⋅�+⋅�=
⋅� +� =⋅ρ=
22
222
zyO III +=
Polarni moment tromosti jednak je zbroju aksijalnih momenata tromosti.
48
4. Radijus tromosti i (cm)
• obzirom na os y
• obzirom na os z:(kod izvijanja tla�na sila N<0)
A
Ii y
y =
Ai dAzI yA
y ⋅�� =⋅= 22
AI
AI
ii zminzmin ===