Gradient d’une fonctionGradient d’une fonctionGradient d’une fonctionGradient d’une fonction
GénéralitésGénéralités
La notion de gradient est d’un usage courant : on parle du gradient de température, gradient de concentration...
En électromagnétisme on effectue souvent des calculs de variations de grandeurs scalaires ou vectorielles.
La variation par rapport à x d’une fonction à plusieurs variables est obtenue en calculant la dérivée par rapport à x de cette fonction en considérant y et z comme des constantes ; on parle alors de dérivée partielle
)z,y,x(fx
La variation d’une fonction de plusieurs variables qui résulterait de petites variations simultanées des variables x,y et z est la somme des dérivées partielles
dzz
fdy
y
fdx
x
fdf
Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs
)dz,dy,dx(dM
z
f,
y
f,
x
f
le vecteur déplacement
un vecteur de coordonnées
dMfgraddf .fgrad
Ce vecteur est– confondu avec l’opérateur dérivée partielle– appelé gradient de la fonction f(x,y,z)
– noté
'c.c'b.b'a.a'V.V)'c,'b,'a('V
)c,b,a(V
dzz
fdy
y
fdx
x
fdf
La variation de la fonction f(x,y,z) s ’écrit
Produit scalaire de deux vecteurs
Cet opérateur vectoriel n’est qu’un outil mathématique destiné à rendre compte
des réalités simples et concrètes.
z
f,
y
f,
x
ffgrad
f constante
dMdM.fgraddf
0df
Soit un déplacement dM sur la surface f=constante
dM.fgrad0
fsufacelaàfgrad
fgrad
M
DirectionDirection
Caractéristiques du vecteur gradientCaractéristiques du vecteur gradient
0
Soit un déplacement dM orthogonal à la surface f dans le sens f vers f ’ > f
dMquesensmêmefgradf constantef ’constante > f
dM
croissantfdesensledansdirigéestfgrad
fgrad
0df
dM.fgraddf
SensSens
Caractéristiques Caractéristiques du vecteurdu vecteur
normal à la surface iso-f
fgrad
z
f,
y
f,
x
f
f 2 > f1
dirigé dans le sens des f croissants
de coordonnées cartésiennes
fgrad
f1 constante
)z
,
.r
Système de coordonnéesSystème de coordonnées
cylindriquescylindriques(r, , z)
0
r
M
z
x
y
z
cartésiennescartésiennes(x, y, z)
Coordonnées
sphériquessphériques
0
M
(r, (r, , , ))
0
M
r
Vecteur déplacement
(dx, dy, dz)
dxdy
dzr.ddr
dzd
(dr, rd, dz)
Vecteur déplacement Vecteur déplacement
r.sin.d
r.ddr
d
d
(dr, rSin(dr, rSin.d.d, r.d, r.d))
Composantes de l ’opérateur gradient
z,
y,
x,
r(
r,
sin.r,
r
RemarquesRemarques
grad Opérateur : Nabla
Autre notation
Opérateur gradient
opérateur vectoriel agissant
grad
Fonction scalaire Fonction vectorielle
fgrad
V.grad Vgrad
divergence rotationnel
f
V. V
Gradient d ’une fonctionGradient d ’une fonction
La variation d’une fonction de plusieurs variables dzz
fdy
y
fdx
x
fdf
Le vecteur gradient est
– confondu avec l’opérateur dérivée partielle
– perpendiculaire à la surface f constante
– dirigé dans le sens des f croissants
fgrad fou
z
f,
y
f,
x
f
dM.fgraddf
Cette expression est identique au produit scalaire de deux vecteurs
gradient f déplacement
– noté
ExerciceExercice
En coordonnées cartésiennes
calculer
r
1grad
2
1222 zyxr
2
1222 zyx
xr
1
x
r
1grad
r
1
z
r
1
y
r
1
x
de la même façon 2
3222 zyxy
r
1
y
2
3222 zyxz
r
1
z
2
3222 zyxx
2
1
0
M
z
r
x
y
(un) ’=n.un-1.u ’
222 zyx 2
3
)x2(
suitesuite
2
3222 zyxy
r
1
y
2
3222 zyxz
r
1
z
r
1grad
3r
r
r
1grad
2
3222 zyxx
r
1
x
kr
1
zj
r
1
yi
r
1
xr
1grad
r
1grad
.r
kzyxz 2
3222
izyxx 2
3222
jzyxy 2
3222
kzjyix
2
3222 zyx.
r 2r
2
32r
2
32r
r
3r
r
Théorème du gradientThéorème du gradient
2
1
dM.fgrad2
1
df
La circulation d ’un tel vecteur
est indépendante du chemin suivi ne dépend que du point de départ et d ’arrivée
si la boucle est fermée, la circulation est nulle
12 ff
dMfgraddf .Si un vecteur est représentable comme le gradient d’une fonction scalaire f
L’intégrale d’un vecteur le long d’un chemin est appelée circulation du vecteur
Potentiel électriquePotentiel électrique
ur
q
4
1E
20
Une charge électrique q
30 r
r
4
q
r
1grad
4
q
0
r4
qgrad
0
r
r
r
1
4
q2
0
VgradE
avecavecr4
qV
0
V est appelé potentiel électrique créé par la charge q à la distance r de la charge
q
MM
rruu
u.rr
3r
r
r
1grad
r
ru
créé en un point M à la distance r de la charge un champ électrique
V est une fonction scalaire
RAPPELRAPPELUne charge électrique q créé en un point M à la distance r un champ électrique
VgradE r4
qV
0
q
MM
rruu
u.rr
r
ru
rr
q
.4
1E
31
0
Le potentiel électrique créé en M par la charge q s ’écrit
Opérateur gradient
fonction scalaire
Application du théorème du gradientApplication du théorème du gradient
VgradE
si la courbe est ferméesi la courbe est fermée
AB VV
B
A
dl.E
B
A
dl.Vgrad
BA VV
0dl.E
B
A
dV
B
A
dl.Vgrad
La tension électrique UAB entre les points A et B est égale à la circulation du champ électrostatique entre ces deux points
ABU
dMfgraddf .
CommentairesCommentaires
L ’unité de potentiel électrique est le Volt
Il est souvent plus aisé de déterminer le potentiel créé par une distribution de charges on calcule le gradient du potentiel le champ par E=-gradV
On ne peut pas mesurer un potentiel V
r4
qV
0
On ne peut que mesurer des différences de potentiel entre deux points
r
1grad Composante radiale de
r
1
r 2r
1 r2
ur
1
r
1grad
r
ru r
rr
13
Le potentiel est défini à une constante près cter4
qV
0
0 0
Commentaires (suite)Commentaires (suite)
Le potentiel créé par une distribution continue de charges
r
dl.
4
1V
0
s0 r
dS.
4
1V
V0 r
dV.
4
1V
Le potentiel créé par une distribution discrète de charges
i i
i
0 r
q
4
1V
distribution linéique distribution surfacique distribution volumique
Surfaces équipotentiellesSurfaces équipotentielles
+
30 r
r
4
qE
r4
qV
0
Les équipotentielles sont perpendiculairesaux lignes de champ
Les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants
Ensembles des points pour lesquels V = constante
Ligne de champ
équipotentielle
V1
V2 < V1
-
V1
V2 > V1
VgradE
normal à la surface V constant
dirigé dans le sens des V croissants