11
I quattro postulati della Meccanica Quantistica
Piu’ avanti vedremo che occorre allargare il quadro per introdurrelo spin, le statistiche quantistiche...
1
Postulato 1
Lo stato di un sistema si rappresenta con una funzione d'onda complessaYa(x; t)
dove:x sta per l'insieme delle coordinate,t e’ il tempo, a un insieme (eventualmente vuoto) di costanti del moto ( i numeri quantici). Se a contiene i valori di tutti gli osservabili compatibili (=che possono essere simultaneamente conservati), lo stato quantico ne risulta individuato.
2
x tutti i gradi di liberta’: la formulazione si
estende a molte particelle e il mondo intero.
2| , | 1adx x tY
( , ), , i x t
a ax t x t e Y Y contiene l’info completa
2
Fra funzioni d’onda vale il principio di sovrapposizione:
FaY+bc
Spazio di funzioni
Y(x,t), c(x,t) funzioni d’onda implica che lo e’
anche ogni combinazione lineare
Non e’ vero!
3
3
Fra funzioni d’onda il prodotto scalare e’ l’overlap, un numero complesso
Se e’ nullo, le funzioni sono ortogonali
bra
ket
dimensione d dello spazio = numero massimo di funzioni ortogonali
*( ) ( )dx x xY F Y F
*
2
Normalizzazione: ( ) ( ) 1
per ( ) .
dx x x
x L
Y Y Y Y
Y
Inglese: bracket=parentesi
Tranne qualche caso, d
4
fra funzioni: trasformazioni unitarie= trasformazioni lineari
che conservano i prodotti scalari.
fra vettori: rotazioni e riflessioni= trasformazioni
lineari U che conservano i prodotti scalari
La funzione d’onda esprime lo stato di un sistema riferendolo ad una base di funzioni; si possono fare trasformazioni di base. Si estendono le nozioni valide in uno spazio vettoriale.
In 3d,
2
2 2.a b a b
Disuguaglianza di Schwarz in uno spazio vettoriale
. cosa b ab
Disuguaglianza di Schwarz in 3 dimensioni:
55
2| | 1Y F Y Y F F
analogamente,
2
2 2.a b a bDisuguaglianza di Schwarz in n
dimensioni:
5
1 2 i
1
v (v , v ,......v ) v , con .d
d i i j ij
i
e e e
fra vettori: espansione su una base
fra funzioni d’onda: espansione su una base, in analogia con la trasformata di Fourier.
Basi: onde piane, seni (buca a pareti finite)
soluzioni dell’oscillatore armonico,………
66
Esempio: I polinomi sono uno spazio vettoriale di dimensione infinita,
ma non basta!
Una funzione trascendente, come sin(x), non e’ un polinomio ( una
combinazione lineare di polinomi con un numero finito di termini).
Ci vuole uno spazio vettoriale di dimensione infinita, discreta o continua,
che includa i limiti delle successioni convergenti.
Un tale spazio si dice completo.
6
L’ espansione su una base richiede che ci sia una norma (i
vettori di base devono avere norma 1).
Complicazione: per molti problemi d e’ infinito
l’espansione richiede una serie convergente.
Spazio normato e completo
7
Uno spazio metrico normato completo e’ uno spazio di Banach.
Esempio: sia C[0,1] l’insieme delle funzioni complesse continue in [0,1].
C[0,1] e’ uno spazio vettoriale. Possiamo definire la norma di una f
sup | ( ) |, x [0,1].f f x
Una successione fn converge a una funzione f(x) se
0 tale che , |f ( ) ( ) | , [0,1]nn n N x f x x
Questa e’ la convergenza uniforme. Ma allora si dimostra che f e’ continua. Quindi C[0,1] e’ completo ed e’ di Banach.
Spazio di Banach
888
Lo spazio di Hilbert e’ quello in cui si
definiscono le funzioni d’onda.
E’ sempre possibile espandere
la y su un set completo
Uno spazio di Hilbert è uno spazio di Banach normato e completo rispetto alla norma indotta da un prodotto scalare . Il contesto e’ quello di Fourier.
2
2
Si dimostra: e' uno spazio di Hilbert
ad es.: f L
vale Fourier; ma non e' l'unica base.ikx
L
e
Per la Meccanica Quantistica y deve essere definita in uno spazio
di funzioni in cui una base abbia come vettori le autofunzioni di
un operatore osservabile (per esempio, le onde piane che sono autofunzioni
dell’impulso).
99
,a x tY
, , ,..... insieme degli osservabili compatibilia A B C
varie scelte possibili: per la particella libera E,p oppure E, L
, , ,..... insieme degli osservabili compatibili
individua lo stato
a A B C
due stati diversi hanno almeno un numero quantico diverso
9
Primo postulato in 1 pagina:
101010
Y+ F Y + F
F Y F Y†
ˆGli osservabili Q sono rappresentati da operatori Q lineari, cioe'
ˆ ˆ ˆ Q( ) Q Q
hermitiani, cioe'
ˆ ˆ ˆ ˆQ = Q
Po
ovvero Q
stulato
= Q ,
dotati
2
a b a b
Y
Y
Y Y
di un set completo di autovettori (cioe' ogni puo' essere espansa
ˆin una serie convergente nelle autofunzioni di qualsiasi Q).
ˆ Se lo stato e' , il valore di aspettazione di ogni Q e' dato da
Q Y Yˆ= Q .
1111
Matrici degli operatori:
*
Date due funzioni d'onda, si definisce l'elemento di matrice:
ˆ ˆ( ) ( )
integrazione su tutte le coordinate.
A A dx x A x
dx
FY F Y F Y
prodotto scalare di per .
Qui, le componenti sono ( ), (
ˆ
)
A
x
A
x
F Y F Y
F Y
Heisenberg: invento’ la teoria delle
matrici prima della invenzione
dell’equazione di Schroedinger; risulto’
poi che i due formalismi sono
equivalenti.11
1212
† †ˆ ˆ ˆe' definito da: , ,A A Ay y y
*ˆ ˆ ˆ( ) ,
ˆcon che agisce su .
,
l
A A A dx x
t
A x
A ke
y y y y y
†
*† † *
ˆ ˆ significa:
ˆ ˆ ˆ( ) dove agisce solo su ( ) ( )
A A
dx A x x A x dx x A x
y y
y y y
Definizione di coniugato Hermitiano di A a partire da A
*
ˆ ˆ ˆSe agisce sul bra : ( ) .
ˆ ˆMa in genere, .
ˆ ˆ: se , , .
A A dx A x x
A A
Esempio A i A i A i
y y
y y
y y y y
†ˆ ˆˆ ˆ ˆEsiste tale che ? Si, che B B A sappiamo B Ay y
13
†
Ricordate l'oscillatore armonico:
1 1creazione annichilazione .
2 2
d da q a q
dq dq
+
†ˆIl coniugato hermitiano di e' .A A
.
Come trovare la matrice del coniugato Hermitiano di A a partire da un A qualsiasi.
†* ˆ , ,A A
yy
y
In parole: la regola per la matrice dell’operatore coniugato Hermitiano:
trasporre e prendere il cc
14
ˆT Ty y
valore di aspettazione dell’operatore T nello stato y
E’ la media di molte misure dell’osservabile T sullo stato y.
T Osservabile
il risultato di ogni
misura deve essere
reale!
* †
† *
devono coincidere sempre
T T
T T y y
y y
* †osservabileT T T
†
†
Definizione
autoaggiunto o Hermitiano
antiHermitiano iA Hermitiano
A A A
A A A
15
Gli autovalori di una matrice hermitiana sono reali
*
*
** * *
ˆSia autovalore di un operatore T
ˆ T = .
Allora, prendendo normalizzata,
. Prendiamo il c.c.
ricordando che = :
( )
T T dx T
a b b a
T dx T dx
y y
y
y y y y y y y y
y y y y y
*
†
*
† *
( )
T hermitiana e allora possiamo anche dire:
.
Quindi cvd
T T
T T
T T
T T
y y y
y y y y
1616
†
Gli osservabili classici hanno operatori Hermitiani
Esistono operatori con autovalori reali non osservabili:
ad esempio la parita' ha autovalori 1, parito-1, met ma non esiste un
Esistono osser
r
abi
o
v
T T
li non corrispondenti a operatori, ma di tipo topologico
(esempio: integrali di fasi di Berry lungo cammini chiusi)
* †ˆ ˆ ˆ matrice hermitianamnm T n n T m n T m T
1717
m
n
T m t m
T n t n
m
n
n T m t n m
m T n t m n
† †*( )
m m
n n
n T m t n m n T m t n m
se T Tn T m t n m n T m t n m
† *prendendo il coniugato, n nm T n t m n n T m t n m
Sottraendo, 0 .
Questo implica che se 0, allora 0.
n m
n m
t t n m
t t n m
Inoltre, se T e’ hermitiano
autovalori diversi autovettori ortogonali: infatti,
Significato fisico: se la misura da’ valori diversi gli stati
sono ortogonali, cioe’ mutuamente esclusivi. Lo stesso
teorema vale anche per gli operatori unitari.
Charles Hermite (1822-1901)
† * †
†
ˆ ˆ ˆHermitiano con ( ) .
Troviamo p .
A A A A Aab ba
*
* *
* *
( )
[ ( ( ) ) ( )]
( ( ) ) | ( )
df p g i dx f x g x
dx
d di dx f x
dp i
dx
g x g x f xdx dx
df x g x i dxg x f x
dx
+
18
L’impulso e’ hermitiano?
18
e' complesso ma la media su ogni stato legato ( ) e' nulla
0
(l'unico numero complesso che e' anche reale)
dp i
dx
p
y
y
Charles Hermite (1822-1901) 2e' Hermitiano sup L
* 2( ( ) ) | 0 ,f x g x se f g L
*( ( ))d
f p g dxg x i f x pf gdx
19
N.B. Questo e’ lo spazio di Hilbert; vale anche per le onde piane nella scatola
2,
nik x
n
e nk
LL
19
*( ( ) ) | 0 perche' sono periodiche, p= k.f x g x
2020
Deve esistere un set completo {|m> } di autostati
T |m> = tm |m>
per ogni operatore osservabile T . Ad esempio, l’impulso P ha come
autostati le onde piane. Significa che preparando il sistema in qualunque
stato fisico e sottoponendolo a misure di T si ottera’ comunque un risultato,
e questo deve essere uno degli m-
L’opposto sarebbe ammettere che ci sono stati del sistema in cui T non si
puo’ misurare in linea di principio, mentre invece la misura e’ sempre
fattibile.
Completezza
con ampiezza di m
1 r
in
elazione di chiusuram
m
m m
m m mY Y Y
Y
Set completo significa:
2121
La funzioned'onda di 1 particella libera si espande:
e la serie converge. Ad esempio, m puo'
essere una componente del momento angolare.
In generale occorrono altri numeri quantici a,b,c... di operatori A,
m
m
m aY
B,C...
ˆ compatibili con T per individuare
(ad esempio, l'energia della particella, che corrisponde all'operatore H).
Significato: ampiezza di probabilita' che
la misura di da' .
Non e' tutto. Se una
m
m
a m
T t
Y
Y
collas
misura di T su da' t dopo la misura
il sistema non e' piu' in ma in
uno stato con l'autovalore e con gli altri numeri quantici
compat
sa
ibili.
m
mt
Y
Y
Una volta localizzata la particella ha una posizione definita
2222
1 esprime la completezza della base { }m
m m m
ˆ ˆij i j ij i jA A B By y y y
ˆ ˆˆ ˆi j i k k j
k
AB A By y y y y y ˆ ˆQuindi, ik kjij
k
AB A B
Una equazione differenziale agli autovalori possiamo sempre riscriverla come
equazione matriciale:
T |m> = tm |m> implica <n| T |m > = tm mn
Un operatore e’ rappresentato da una matrice diagonale sulla base delle sue autofunzioni
Matrici come Rappresentazioni degli operatori
Si prendono tutti gli elementi di matrice su una base :
Il prodotto degli operatori ha una matrice che e’ il prodotto delle matrici
Le matrici hanno gli stessi autovalori degli operatori.
ˆ ˆˆ ˆi j
ijAB ABy y
23
Invece, le formulazioni di Schroedinger e di Heisenberg
sono equivalenti.
Sulla reinterpretazione quantistica delle relazioni cinematiche e meccaniche
Rappresentazioni di x e p in 1 dimensione:
†
ˆˆ: p=-i
ˆ:
|
p=|
:
|n
dBase x posizione x momento
dx
dBase onde piane posizione i momento k
dp
Base oscillatore
an
n
p
0 !
m x n m p n
Qualunque set completo e ortonormale va bene!
†
si base:
ˆ ˆ ovvero mn
Cambiamento
m m A n n A UA AU
25
†
In altri termini, conserva la norma.
1
U
U Uy y
unitari
Un cambiamento base si realizza con una
trasformazione U delle ampiezze, .
Trasformazione significa che
Matrici e trasfor
U mescola fra loro le
mazioni u
funz
nitar
ioni
a
di base,
o
ie
c
Uy y
† 1 † *
†
me ad esempio fa' una rotazione degli assi.
Che vuol dire unitaria?
unitaria dove
gode della proprieta' che 1.
nmmn
U U U U U
U Uy y y y
Cambiamento di Rappresentazione degli operatori.
Trasformazioni canoniche in meccanica quantistica
Per esempio se un campione viene ruotato o traslato rispetto all’apparato di misura, la sua funzione d’onda subisce una trasformazione unitaria ma facendo la stessa rotazione o traslazione sugli operatori avremo gli stessi risultati.
Fisicamente possiamo anche usare diverse tecniche per caratterizzare un pacchetto d’onde: ad esempio con misure di x o di p. L’info e’ la stessa a meno di una trasformata di Fourier.
Una rappresentazione puo’ essere la piu’ adatta per un particolare problema.
†
†
† .
Si tratta di una diversa rappresentazione della stessa fisic
,
a.
UAU
A UAU
A U
U
AU y yy y y y
y y
† †
†
†Poiche' 1,
quindi mediare A su e' equivalente a mediare su .
U U A U UUAU
UAU U
y y y y
y y
Sia A un operatore qualsiasi:
Le trasformazioni canoniche in meccanica quantisticaSono cambiamenti di rappresentazione
2727
Lagrangiana del rotatore rigido piano classico .
2 21( , ) ( ); trasformazione puntuale
2x y T m x y +L
( , )zL I
L
2
( , ) ( , ) Hamilton equation 2
z zz z
L LH L L
I I L
si trova anche da , ,
che
x y
z y x
p mx p my
L xp yp I
ciclica 0 L ( ) L (0)z zt
L
27
cos sin
sin cos
x x
y y
2 21( , ) ,
2I I m L
28
Analogamente al commutatore fondamentale , p x>
il commutatore , comporta l'indeterminazione z z
p x i
L i L
2ˆˆ ( , )
2
zz
LH L
I
Calcolo dell’operatore Lz
z y xL xp yp
Vogliamo trovare che in coordinate polari ( , )
analogo
z
z
L i
a p i E iz t
Rotatore rigido piano quantistico
Dobbiamo stabilire una importante regola di commutazione momento-angolare-angolo
2929
, ,
va messo in coordinate polari
ˆ ˆ ˆz y x x y
p i p iL xp ypy
conx
+
+
Passiamo da a derivate rispetto a ,ˆ ˆ,y xp p
x x x
y y y
2 2
arctan
x y
y
x
+
cos
sin
x
y
3030
Inoltre, cos , sin
yx
x y
x x x
y y y
+
+
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1
1 1
1
1
y y y
x x x x x yy y
x x
y x
y y x x yy
x
+ + +
+ +
sin cos,
x y
2
1arctan
1
du
du u
+
2 2
arctan
x y
y
x
+
cosUsando
sin
x
y
313131
+
sin coscos sin
cos ˆ ˆ ˆ, ,sinx y z y x
x y
p i p i L xpy
xy
yp
x
+
ˆ [cos sin ]
[cos sin
cos (sin ) (cos
cos sin
])sin
z y xp
i
y xL p i
+
2 2cos sin[ ]i i
zL i
,zL i
Mettendo insieme tutti i risultati
Si trova
3232
2
210 , 2 1
2 2 2
im imim
m m m
e ee
y y y
m intero: quantizzazione natura facit saltus!
2 2 2
L'energia del rotatore e' quantizzata: .2 2
z
z
L m
L mE
I I
Risolviamo l'equazione agli autovalori z m m
m
m
L m
i m
y y
y y
deve avere un solo valo2
re
y
im
m
e
Altre conseguenze di zL i