11

I quattro postulati della Meccanica Quantistica

Piu’ avanti vedremo che occorre allargare il quadro per introdurrelo spin, le statistiche quantistiche...

1

Postulato 1

Lo stato di un sistema si rappresenta con una funzione d'onda complessaYa(x; t)

dove:x sta per l'insieme delle coordinate,t e’ il tempo, a un insieme (eventualmente vuoto) di costanti del moto ( i numeri quantici). Se a contiene i valori di tutti gli osservabili compatibili (=che possono essere simultaneamente conservati), lo stato quantico ne risulta individuato.

2

x tutti i gradi di liberta’: la formulazione si

estende a molte particelle e il mondo intero.

2| , | 1adx x tY

( , ), , i x t

a ax t x t e Y Y contiene l’info completa

2

Fra funzioni d’onda vale il principio di sovrapposizione:

FaY+bc

Spazio di funzioni

Y(x,t), c(x,t) funzioni d’onda implica che lo e’

anche ogni combinazione lineare

Non e’ vero!

3

3

Fra funzioni d’onda il prodotto scalare e’ l’overlap, un numero complesso

Se e’ nullo, le funzioni sono ortogonali

bra

ket

dimensione d dello spazio = numero massimo di funzioni ortogonali

*( ) ( )dx x xY F Y F

*

2

Normalizzazione: ( ) ( ) 1

per ( ) .

dx x x

x L

Y Y Y Y

Y

Inglese: bracket=parentesi

Tranne qualche caso, d

4

fra funzioni: trasformazioni unitarie= trasformazioni lineari

che conservano i prodotti scalari.

fra vettori: rotazioni e riflessioni= trasformazioni

lineari U che conservano i prodotti scalari

La funzione d’onda esprime lo stato di un sistema riferendolo ad una base di funzioni; si possono fare trasformazioni di base. Si estendono le nozioni valide in uno spazio vettoriale.

In 3d,

2

2 2.a b a b

Disuguaglianza di Schwarz in uno spazio vettoriale

. cosa b ab

Disuguaglianza di Schwarz in 3 dimensioni:

55

2| | 1Y F Y Y F F

analogamente,

2

2 2.a b a bDisuguaglianza di Schwarz in n

dimensioni:

5

1 2 i

1

v (v , v ,......v ) v , con .d

d i i j ij

i

e e e

fra vettori: espansione su una base

fra funzioni d’onda: espansione su una base, in analogia con la trasformata di Fourier.

Basi: onde piane, seni (buca a pareti finite)

soluzioni dell’oscillatore armonico,………

66

Esempio: I polinomi sono uno spazio vettoriale di dimensione infinita,

ma non basta!

Una funzione trascendente, come sin(x), non e’ un polinomio ( una

combinazione lineare di polinomi con un numero finito di termini).

Ci vuole uno spazio vettoriale di dimensione infinita, discreta o continua,

che includa i limiti delle successioni convergenti.

Un tale spazio si dice completo.

6

L’ espansione su una base richiede che ci sia una norma (i

vettori di base devono avere norma 1).

Complicazione: per molti problemi d e’ infinito

l’espansione richiede una serie convergente.

Spazio normato e completo

7

Uno spazio metrico normato completo e’ uno spazio di Banach.

Esempio: sia C[0,1] l’insieme delle funzioni complesse continue in [0,1].

C[0,1] e’ uno spazio vettoriale. Possiamo definire la norma di una f

sup | ( ) |, x [0,1].f f x

Una successione fn converge a una funzione f(x) se

0 tale che , |f ( ) ( ) | , [0,1]nn n N x f x x

Questa e’ la convergenza uniforme. Ma allora si dimostra che f e’ continua. Quindi C[0,1] e’ completo ed e’ di Banach.

Spazio di Banach

888

Lo spazio di Hilbert e’ quello in cui si

definiscono le funzioni d’onda.

E’ sempre possibile espandere

la y su un set completo

Uno spazio di Hilbert è uno spazio di Banach normato e completo rispetto alla norma indotta da un prodotto scalare . Il contesto e’ quello di Fourier.

2

2

Si dimostra: e' uno spazio di Hilbert

ad es.: f L

vale Fourier; ma non e' l'unica base.ikx

L

e

Per la Meccanica Quantistica y deve essere definita in uno spazio

di funzioni in cui una base abbia come vettori le autofunzioni di

un operatore osservabile (per esempio, le onde piane che sono autofunzioni

dell’impulso).

99

,a x tY

, , ,..... insieme degli osservabili compatibilia A B C

varie scelte possibili: per la particella libera E,p oppure E, L

, , ,..... insieme degli osservabili compatibili

individua lo stato

a A B C

due stati diversi hanno almeno un numero quantico diverso

9

Primo postulato in 1 pagina:

101010

Y+ F Y + F

F Y F Y†

ˆGli osservabili Q sono rappresentati da operatori Q lineari, cioe'

ˆ ˆ ˆ Q( ) Q Q

hermitiani, cioe'

ˆ ˆ ˆ ˆQ = Q

Po

ovvero Q

stulato

= Q ,

dotati

2

a b a b

Y

Y

Y Y

di un set completo di autovettori (cioe' ogni puo' essere espansa

ˆin una serie convergente nelle autofunzioni di qualsiasi Q).

ˆ Se lo stato e' , il valore di aspettazione di ogni Q e' dato da

Q Y Yˆ= Q .

1111

Matrici degli operatori:

*

Date due funzioni d'onda, si definisce l'elemento di matrice:

ˆ ˆ( ) ( )

integrazione su tutte le coordinate.

A A dx x A x

dx

FY F Y F Y

prodotto scalare di per .

Qui, le componenti sono ( ), (

ˆ

)

A

x

A

x

F Y F Y

F Y

Heisenberg: invento’ la teoria delle

matrici prima della invenzione

dell’equazione di Schroedinger; risulto’

poi che i due formalismi sono

equivalenti.11

1212

† †ˆ ˆ ˆe' definito da: , ,A A Ay y y

*ˆ ˆ ˆ( ) ,

ˆcon che agisce su .

,

l

A A A dx x

t

A x

A ke

y y y y y

†

*† † *

ˆ ˆ significa:

ˆ ˆ ˆ( ) dove agisce solo su ( ) ( )

A A

dx A x x A x dx x A x

y y

y y y

Definizione di coniugato Hermitiano di A a partire da A

*

ˆ ˆ ˆSe agisce sul bra : ( ) .

ˆ ˆMa in genere, .

ˆ ˆ: se , , .

A A dx A x x

A A

Esempio A i A i A i

y y

y y

y y y y

†ˆ ˆˆ ˆ ˆEsiste tale che ? Si, che B B A sappiamo B Ay y

13

†

Ricordate l'oscillatore armonico:

1 1creazione annichilazione .

2 2

d da q a q

dq dq

+

†ˆIl coniugato hermitiano di e' .A A

.

Come trovare la matrice del coniugato Hermitiano di A a partire da un A qualsiasi.

†* ˆ , ,A A

yy

y

In parole: la regola per la matrice dell’operatore coniugato Hermitiano:

trasporre e prendere il cc

14

ˆT Ty y

valore di aspettazione dell’operatore T nello stato y

E’ la media di molte misure dell’osservabile T sullo stato y.

T Osservabile

il risultato di ogni

misura deve essere

reale!

* †

† *

devono coincidere sempre

T T

T T y y

y y

* †osservabileT T T

†

†

Definizione

autoaggiunto o Hermitiano

antiHermitiano iA Hermitiano

A A A

A A A

15

Gli autovalori di una matrice hermitiana sono reali

*

*

** * *

ˆSia autovalore di un operatore T

ˆ T = .

Allora, prendendo normalizzata,

. Prendiamo il c.c.

ricordando che = :

( )

T T dx T

a b b a

T dx T dx

y y

y

y y y y y y y y

y y y y y

*

†

*

† *

( )

T hermitiana e allora possiamo anche dire:

.

Quindi cvd

T T

T T

T T

T T

y y y

y y y y

1616

†

Gli osservabili classici hanno operatori Hermitiani

Esistono operatori con autovalori reali non osservabili:

ad esempio la parita' ha autovalori 1, parito-1, met ma non esiste un

Esistono osser

r

abi

o

v

T T

li non corrispondenti a operatori, ma di tipo topologico

(esempio: integrali di fasi di Berry lungo cammini chiusi)

* †ˆ ˆ ˆ matrice hermitianamnm T n n T m n T m T

1717

m

n

T m t m

T n t n

m

n

n T m t n m

m T n t m n

† †*( )

m m

n n

n T m t n m n T m t n m

se T Tn T m t n m n T m t n m

† *prendendo il coniugato, n nm T n t m n n T m t n m

Sottraendo, 0 .

Questo implica che se 0, allora 0.

n m

n m

t t n m

t t n m

Inoltre, se T e’ hermitiano

autovalori diversi autovettori ortogonali: infatti,

Significato fisico: se la misura da’ valori diversi gli stati

sono ortogonali, cioe’ mutuamente esclusivi. Lo stesso

teorema vale anche per gli operatori unitari.

Charles Hermite (1822-1901)

† * †

†

ˆ ˆ ˆHermitiano con ( ) .

Troviamo p .

A A A A Aab ba

*

* *

* *

( )

[ ( ( ) ) ( )]

( ( ) ) | ( )

df p g i dx f x g x

dx

d di dx f x

dp i

dx

g x g x f xdx dx

df x g x i dxg x f x

dx

+

18

L’impulso e’ hermitiano?

18

e' complesso ma la media su ogni stato legato ( ) e' nulla

0

(l'unico numero complesso che e' anche reale)

dp i

dx

p

y

y

Charles Hermite (1822-1901) 2e' Hermitiano sup L

* 2( ( ) ) | 0 ,f x g x se f g L

*( ( ))d

f p g dxg x i f x pf gdx

19

N.B. Questo e’ lo spazio di Hilbert; vale anche per le onde piane nella scatola

2,

nik x

n

e nk

LL

19

*( ( ) ) | 0 perche' sono periodiche, p= k.f x g x

2020

Deve esistere un set completo {|m> } di autostati

T |m> = tm |m>

per ogni operatore osservabile T . Ad esempio, l’impulso P ha come

autostati le onde piane. Significa che preparando il sistema in qualunque

stato fisico e sottoponendolo a misure di T si ottera’ comunque un risultato,

e questo deve essere uno degli m-

L’opposto sarebbe ammettere che ci sono stati del sistema in cui T non si

puo’ misurare in linea di principio, mentre invece la misura e’ sempre

fattibile.

Completezza

con ampiezza di m

1 r

in

elazione di chiusuram

m

m m

m m mY Y Y

Y

Set completo significa:

2121

La funzioned'onda di 1 particella libera si espande:

e la serie converge. Ad esempio, m puo'

essere una componente del momento angolare.

In generale occorrono altri numeri quantici a,b,c... di operatori A,

m

m

m aY

B,C...

ˆ compatibili con T per individuare

(ad esempio, l'energia della particella, che corrisponde all'operatore H).

Significato: ampiezza di probabilita' che

la misura di da' .

Non e' tutto. Se una

m

m

a m

T t

Y

Y

collas

misura di T su da' t dopo la misura

il sistema non e' piu' in ma in

uno stato con l'autovalore e con gli altri numeri quantici

compat

sa

ibili.

m

mt

Y

Y

Una volta localizzata la particella ha una posizione definita

2222

1 esprime la completezza della base { }m

m m m

ˆ ˆij i j ij i jA A B By y y y

ˆ ˆˆ ˆi j i k k j

k

AB A By y y y y y ˆ ˆQuindi, ik kjij

k

AB A B

Una equazione differenziale agli autovalori possiamo sempre riscriverla come

equazione matriciale:

T |m> = tm |m> implica <n| T |m > = tm mn

Un operatore e’ rappresentato da una matrice diagonale sulla base delle sue autofunzioni

Matrici come Rappresentazioni degli operatori

Si prendono tutti gli elementi di matrice su una base :

Il prodotto degli operatori ha una matrice che e’ il prodotto delle matrici

Le matrici hanno gli stessi autovalori degli operatori.

ˆ ˆˆ ˆi j

ijAB ABy y

23

Invece, le formulazioni di Schroedinger e di Heisenberg

sono equivalenti.

Sulla reinterpretazione quantistica delle relazioni cinematiche e meccaniche

Rappresentazioni di x e p in 1 dimensione:

†

ˆˆ:                                       p=-i

ˆ:                                     

|

p=|

:

|n

dBase x posizione x momento

dx

dBase onde piane posizione i momento k

dp

Base oscillatore

an

n

p

0 !

m x n m p n

Qualunque set completo e ortonormale va bene!

†

si base:

ˆ ˆ ovvero mn

Cambiamento

m m A n n A UA AU

25

†

In altri termini, conserva la norma.

1

U

U Uy y

unitari

Un cambiamento base si realizza con una

trasformazione U delle ampiezze, .

Trasformazione significa che

Matrici e trasfor

U mescola fra loro le

mazioni u

funz

nitar

ioni

a

di base,

o

ie

c

Uy y

† 1 † *

†

me ad esempio fa' una rotazione degli assi.

Che vuol dire unitaria?

unitaria dove

gode della proprieta' che 1.

nmmn

U U U U U

U Uy y y y

Cambiamento di Rappresentazione degli operatori.

Trasformazioni canoniche in meccanica quantistica

Per esempio se un campione viene ruotato o traslato rispetto all’apparato di misura, la sua funzione d’onda subisce una trasformazione unitaria ma facendo la stessa rotazione o traslazione sugli operatori avremo gli stessi risultati.

Fisicamente possiamo anche usare diverse tecniche per caratterizzare un pacchetto d’onde: ad esempio con misure di x o di p. L’info e’ la stessa a meno di una trasformata di Fourier.

Una rappresentazione puo’ essere la piu’ adatta per un particolare problema.

†

†

† .

Si tratta di una diversa rappresentazione della stessa fisic

,

a.

UAU

A UAU

A U

U

AU y yy y y y

y y

† †

†

†Poiche' 1,

quindi mediare A su e' equivalente a mediare su .

U U A U UUAU

UAU U

y y y y

y y

Sia A un operatore qualsiasi:

Le trasformazioni canoniche in meccanica quantisticaSono cambiamenti di rappresentazione

2727

Lagrangiana del rotatore rigido piano classico .

2 21( , ) ( ); trasformazione puntuale

2x y T m x y +L

( , )zL I

L

2

( , ) ( , ) Hamilton equation 2

z zz z

L LH L L

I I L

si trova anche da , ,

che

x y

z y x

p mx p my

L xp yp I

ciclica 0 L ( ) L (0)z zt

L

27

cos sin

sin cos

x x

y y

2 21( , ) ,

2I I m L

28

Analogamente al commutatore fondamentale , p x>

il commutatore , comporta l'indeterminazione z z

p x i

L i L

2ˆˆ ( , )

2

zz

LH L

I

Calcolo dell’operatore Lz

z y xL xp yp

Vogliamo trovare che in coordinate polari ( , )

analogo

z

z

L i

a p i E iz t

Rotatore rigido piano quantistico

Dobbiamo stabilire una importante regola di commutazione momento-angolare-angolo

2929

, ,

va messo in coordinate polari

ˆ ˆ ˆz y x x y

p i p iL xp ypy

conx

+

+

Passiamo da a derivate rispetto a ,ˆ ˆ,y xp p

x x x

y y y

2 2

arctan

x y

y

x

+

cos

sin

x

y

3030

Inoltre, cos , sin

yx

x y

x x x

y y y

+

+

2 2 2 2 2

2 2 2

1 1

1 1

1

1

y y y

x x x x x yy y

x x

y x

y y x x yy

x

+ + +

+ +

sin cos,

x y

2

1arctan

1

du

du u

+

2 2

arctan

x y

y

x

+

cosUsando

sin

x

y

313131

+

sin coscos sin

cos ˆ ˆ ˆ, ,sinx y z y x

x y

p i p i L xpy

xy

yp

x

+

ˆ [cos sin ]

[cos sin

cos (sin ) (cos

cos sin

])sin

z y xp

i

y xL p i

+

2 2cos sin[ ]i i

zL i

,zL i

Mettendo insieme tutti i risultati

Si trova

3232

2

210 , 2 1

2 2 2

im imim

m m m

e ee

y y y

m intero: quantizzazione natura facit saltus!

2 2 2

L'energia del rotatore e' quantizzata: .2 2

z

z

L m

L mE

I I

Risolviamo l'equazione agli autovalori z m m

m

m

L m

i m

y y

y y

deve avere un solo valo2

re

y

im

m

e

Altre conseguenze di zL i