المقاطع المستوية للسطوح
:المستهدفةالكفاءات اسطواني دوراني سطحتعيين معادلة -1 تعيين معادلة سطح مخروطي دوراني -2 تعيين مقاطع أسطوانية -3 تعيين مقاطع مخروطية -4 تمثيل مقاطع مجسم مكافئ -5 تمثيل مقاطع مجسم زائدي -6
درستصميم ال أنشطة
I – األسطوانة القائمة: II – المخروط الدوراني :
III – المجسم المكافئ : تكنولوجيا اإلعالم و االتصال
تمـارين و مشكالت الحـلــــــول
أنشطة
: النشاط
) في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k
)لتكن )s مجموعة النقط ( ); ;M x y z 2: من الفضاء بحيث 2 2x z y+ =
)و ليكن )p 1: المستوى الذي معادلتهz =
) عين مجموعة نقط تقاطع -1 )sو ( )p و لتكن ( )C
): المعرفة بالعبارة x ذات المتغير الحقيقي f نعتبر الدالة -2 ) 2 1f x x= +
( )fC تمثيلها البياني في المعلم ( ); ;A i j حيث :( )0;0;1A
) ثم أنشئ fادرس تغيرات )fC . استنتج إنشاء( )C. : الحل
)تعيين )1 )C : لدينا :( ) ( ) ( )C s p= ∩
) :و عليه )2 2 2
:1
x z yC
z + =
=): و عليه )
2 2 1:
1y x
Cz
= +
=
: fدراسة تغيرات ) 2
( ) 2 1f x x= + ، ] [;fD = −∞ +∞
( )limx
f x→−∞
= ) و ∞+ )limx
f x→+∞
= +∞
( )2 1xf xx
′ =+
)من أجل ) 0 : 0f x x′ > ] متزايدة تماما على f و عليه < و من أجل ∞+,0]
( ) 0 : 0f x x′ < متناقصة تماما على fو عليه >;0.
+∞ 0 −∞ x + - ( )f x′
+∞ .+∞ 1
( )f x
( ) 2
2
11 1lim lim lim 1 1x x x
xf x xx x x→+∞ →+∞ →+∞
+= = + =
( )2 2
2
1 1lim lim
1x x
x x x xf x x
x x→+∞ →+∞
+ − + + − = + +
2
1lim 01x x x→+∞
= =+ +
yإذن x= معادلة مستقيم مقارب مائل عند +∞
( ) 211
lim lim 1x x
xf x xx x→−∞ →−∞
− += = −
( )2 2
2
1 1lim lim
1x x
x x x xf x x
x x→−∞ →−∞
+ + + − + = + −
2
1lim 01x x x→−∞
= =+ −
yإذن x= ∞− معادلة مستقيم مقارب مائل عند − :الشكل
)استنتاج - )C :
2 2 11
y xz
= +
=2: لدينا 2 1y x= : و منه +
2 11
y xz
= +
= أو
2 11
y xz
= − +
=
)و عليه )C هو اتحاد المنحيين ( )fC و ( )gC الممثل لتغيرات الدالة g حيث :
( ) 2 1g x x= − +
): و لدينا )fC و ( )gCإلى المحور متناظران بالنسبة ( ); A i
): إذن ) ( ) ( )f gC C C= ∪
2 3 4-1-2-3-4
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
(Cf)
(Cg)
I – األسطوانة القائمة :
: 1تعريف ( )C دائرة من مستو ( )π
) و )D مستقيم ال يوازي ( )π نسمي مجموعة نقط المستقيمات التي
) توازي )Dو تستند على ( )C
) سطحا اسطوانيا دليله )C و منحنى
) مولداته منحنى )C.
: 2تعريف تقيم الذي يشمل مركز هذه الدائرة و يعامل نسمي محور دائرة المس
. مستويها : 3تعريف
نسمي سطحا اسطوانيا دورانيا كل سطح اسطواني دليله و مولداته مستقيمات توازي محور هذه الدائرة
.نصف قطر الدائرة هو نصف قطر األسطوانة : المعادلة الديكارتية لسطح أسطواني دوراني -
نسوب إلى معلم متعامد الفضاء م
) متجانس )O; , , i j k
) إذا كان محور األسطوانة هو – 1 )O ; k
( )δأسطوانة محورها ( )O ; k و نصف قطرها α
): لتكن ); ;M x y z نقطة من الفضاء و لتكن ( ); ;M x y o′
M’O
O’ M
(C)
(D)
)مسقطها العمودي على المستوي )O ; , i j و لتكن( )O 0 ; 0 , z′ المسقط
) على المحور Mالعمودي للنقطة ); O k
) نقطة من Mتكون )δ 2: إذا و فقط إذا كان 2 2OM OM′ = = α
): حيث ); ;OM x y o′ 2: أي 2 2OM x y′ = +
2: إذن 2 2x y+ = α هي معادلة األسطوانة التي محورها ( ) ; O k ونصف قطرها
α : مثال
)أكتب معادلة األسطوانة )δالتي محورها ( ); O k في الفضاء المنسوب 5 و نصف قطرها
)إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k
: الحل 2: معادلة األسطوانة هي 2 25x y+ =
) إذا كان محور األسطوانة هو – 2 ); O i و نصف قطرهاα فإن معادلة األسطوانة هي :2 2 2y z+ = α
: مثال في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد متجانس
( ); , , O i j k. اكتب معادلة األسطوانة الدائرية التي
) محورها ); O i 1 و نصف قطرها.
2: معادلة األسطوانة هي : الحل 2 1y z+ =.
) إذا كان محور األسطوانة هو – 3 ); O j
فإن معادلة األسطوانة αها و نصف قطر2: هي 2 2x z+ = α : مثال
) اكتب معادلة األسطوانة ذات المحور ); O j في 2 و نصف القطر
) معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.
2: طوانة هي معادلة األس: الحل 2 4x z+ = : مقاطع اسطوانية
)لتكن) 1 )δ اسطوانة دورانية محورها ( )D و نصف قطرها α
) و )p مستو يوازي( )D.
) نفرض أن المسافة بين )D و ( )p هيd
d إذا كان - > α فإن :( )p ال يقطع األسطوانة ( )δ.
d إذا كان - = α فإن :( )p مماس األسطوانة ( )δ في أحد
) مولداتها )∆.
d إذا كان - < α فإن :( )p يقطع ( )δوفق مولدين من
) مولداتها ) و∆( )′∆.
( )p يقطع ( )δ ( )p يمس( )δ ( )pال يقطع ( )δ
2 (( )δ أسطوانة دورانية محورها ( )D
) وα و نصف قطرها )p مستو
) يعامد )D .
) المستوى )p يقطع ( )δ وفق دائرة
) محورها )Dو نصف قطرها α.
(D)
( )δ
PP P
P
(D)
: تعيين التقاطع تحليليا ) لتكن )δ 2: أسطوانة دورانية معادلتها 2 2x y+ = α في الفضاء
) المنسوب إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k
) و ليكن )p مستو يوازي أحد المحاور اإلحداثية .
)إذا كانت معادلة ) 1 )p : z = λ فإن :
( ) ( )2 2 2
:x y
pz
+ = αδ
= λ): ليه و ع∩ ) ( )pδ .هو دائرة ∩
)إذا كانت معادلة ) 2 )p : y = λ فإن :
( ) ( )2 2 2
:x y
py
+ = αδ
= λ∩
): و عليه ) ( )2 2 2
:x
py
= α − λδ
= λ∩
2: إذا كان - 2λ > α فإن :( ) ( )pδ = ∅∩
2: إذا كان - 2λ = α فإن :( ) ( )pδ هي مستقيم وهو أحد ∩
) مولدات )δ .
2 إذا كان - 2λ < α فإن :( ) ( )pδ هي اتحاد مستقيمين ∩
) وهذين المستقيمين من مولدات األسطوانة )δ.
)إذا كانت معادلة ) 3 )p هي :x = λ فإن :
( ) ( )2 2 2
:x y
px
+ = αδ
= λ : و عليه ∩
( ) ( )2 2 2
:y
px
= α − λδ
= λ∩
2ا كان إذ - 2λ > α فإن :( ) ( )pδ = ∅∩
2إذا كان - 2λ = α فإن :( ) ( )pδ ) هي مستقيم و هو أحد مولدات ∩ )δ.
2إذا كان - 2λ < α فإن :( ) ( )pδ . هي اتحاد مستقيمين ∩
) وهذين المستقيمين هما من مولدات األسطوانة )δ.
II – المخروط الدوراني :
: 1 تعريف ( )C دائرة .ω نقطة ال تنتمي إلي مستوى
ى مجموعة نقط المستقيماتتسم. هذه الدائرة ) و تستند على ωالتي تشمل )C سطحا
) و دليله ωمخروطيا رأسه )C و يستند ωو كل مستقيم يشمل
)على )C هو مولد لهذا السطح المخروطي . : 2 تعريف
)نسمى سطحا مخروطيا دورانيا كل سطح مخروطي دليله دائرة )C
) ينتمي إلى محور ω و رأسه )C. .ط الدوراني و هو محور تناظر لهذا السطح محور الدائرة يسمى محور المخرو- كل المولدات تعين مع المحور زوايا حادة متقايسة و تسمى كل زاوية من هذه الزوايا نصف زاوية -
.الرأس للسطح المخروطي الدوراني يكون السطح المخروطي الدوراني معينا إذا علم رأسه و محوره-
. و قيس لنصف زاوية رأسه : ديكارتية للمخروط الدوراني المعادلة ال
)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.
ω
(C )
)ومحوره θو نصف زاوية رأسهOإذا كان رأس المخروط )1 );O k . لتكن
( ); ;M x y z نقطة من الفضاء و لتكن( )0;0;p z مسقطها العمودي على( );O k
) لدينا ); ;OM x y z ، ( )0;0;1k
.: نقطة من المخروط إذا وفقط إذا كان M تكون . cosOM k OM k= α
OM.: لكن k z=
.: و منه .cosOM k zα =
2: و عليه 2 2 1 cosx y z z+ + × × θ =
): و بالتربيع نجد )2 2 2 2 2cosx y z z+ + θ =
: أي 2
2 2 22coszx y z+ + =θ
): أي )2 2 2 2 21 tanx y z z+ + = + θ
2: و عليه 2 2 2tan 0x y z+ − θ =
)و هي معادلة المخروط الذي محوره ); O k و رأسه O و نصف زاوية رأسه θ و هي
2: من الشكل 2 2 2 0x y a z+ − = : مثال
)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.ادلة المخروط الذي اكتب مع
و نصف زاوية رأسه Oرأسه2π
) و محوره ); O k .
2: معادلة المخروط : الحل 2 2 2tan 02
x y z π+ − =
2: أي 2 2 0x y z+ − =
2: أي 2 2z x y= .ادلة المخروط هي مع+
)إذا كان محور المخروط الدوراني ) 2 ); O i و نصف 0 و رأسه
2: فإن معادلته : θ زاوية رأسه 2 2 2 0y z x tan+ − θ =
)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس : مثال ) ; , , O i j k معادلة المخروط اكتب
)الدوراني الذي محوره );O i و رأسه O
و زاوية رأسه 3π
2: معادلة المخروط هي : الحل 2 2 2 06
y z x tan π+ − =
: أي 2
2 2 2 3 03
y z x
+ − =
2: و منه 2 21 03
y z x+ − =
نصف زاوية الرأس هي ( 6π
(
)إذا كلن محور المخروط الدوراني ) 3 ); O j و رأسه O
2: فإن معادلته θ و نصف زاوية رأسه 2 2 2 0x z y tan+ − θ = : مثال
)امد متجانس الفضاء منسوب إلى معلم متع ); , , O i j k . أكتب معادلة المخروط الدوراني
)الذي محوره );O j و رأسه O و زاوية رأسه 2π
: الحل 2: معادلة المخروط هي 2 2 2tan 0x z y+ − θ =
2: أي 2 2 2tan 04
x z y π+ − 2: ه و من= 2 2 0x z y+ − =.
: مقاطع مخروطية
)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.
) ليكن )δ 2: قطع مخروطي دوراني ذو المعادلة 2 2 2 0x y a z+ − =
) . ∋a*: حيث )p مستو يوازي أحد المحاور اإلحداثية .
) إذا كانت معادلة -1 ):z p= λ ، λ∈فإن ( )p يوازي
( ); , O i jو يكون التمثيل الديكارتي لـ :( ) ( )pδ : كما يلي ∩
2 2 2 2 0x y a z
z + − =
= λ2: و عليه 2 2 2 0x y a+ − λ =
2إذا كان - 2 0 : 0x y+ = λ =
): و منه ) ( ); ; ; ;x y z O O O= و عليه :( ) ( ) { }p Oδ =∩
0λ إذا كان - : فإن ≠2 2 2 2x y az
+ = λ
= λ و هو التمثيل الديكارتي
): لدائرة و منه ) ( )pδ . هي دائرة ∩
) إذا كانت معادلة -2 ) ( إن : ( p: ف y p= λ يوازي ( ); , O i k
)ومنه ) ( )pδ : يقبل تمثيال ديكارتيا من الشكل ∩22 2 2x a z
y − = −λ
= λ
0λ: إذا كان - ): فإن = )( ) 0x az x az− + =
0x: و منه az− 0x أو = az+ = )و منه ) ( )pδ : هو اتحاد مستقيمين معرفين كما يلي ∩
0x azy− =
= λ: أو
0x azy+ =
= λ
)و هما مستقيمين من مولدات )δ.
2 فإن 0λ: إذا كان 2 2 2 x a z− = −λ هي معادلة قطع زائد في المستوي الذي
)يوازي ); , O i k و عليه :( ) ( )pδ إذا كانت معادلة -3. هو قطع زائد∩
( ):x p= λ أي ( )p يوازي ( ); , O j k فإن( ) ( )pδ تقبل تمثيال ∩
: ديكارتيا من الشكل 2 2 2 2y a zx
− = −λ
= λ
:إذا كان - 0λ = 2 2 2 0
0y a zx
− =
= : و عليه
( )( ) 0
0y az y az
x − + =
=
: إذن 0
0y azx− =
= أو
00
y azx+ =
=
. و هما تمثيلين لمستقيمين
)إذن ) ( )pδ ) هو اتحاد مستقيمين من مولدات ∩ )δ
0λإذا كان -2 2 2y a zx
− = −λ
= λ2: ، لدينا 2 2 2y a z− = −λ
) هي معادلة قطع زائد في المستوى الذي يوازي ); , O j k
III – المجسم المكافئ :
)لم متعامد متجانس في الفضاء المنسوب إلى مع: تعريف ) ; , , O i j k تكون معادلة
2: المجسم المكافئ من الشكل 2z x y= +
: مقاطع مجسم مكافئ -
) الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k.
( )pحداثية مستو يوازي أحد المستويات اإل.
( )Z 2: مجسم مكافئ معادلته 2z x y= +
)إذا كانت معادلة) 1 )pهي :z = λفإن:( ) ( )2 2
:x y
p Zz
+ = λ
= λ∩
0λإذا كان - =: ( ) ( ) }{p z O=∩
0λإذا كان - <: ( ) ( )p z = ∅∩
0λإذا كان - >: ( ) ( )p z∩ هو دائرة.
)إذا كانت معادلة ) 2 )p هي :y = λ فإن :
( ) ( )2 2
:z x
p Zy
= + λ
= λ): و عليه ∩ ) ( )p z∩ هو قطع مكافئ.
) إذا كانت معادلة - )p هي :x = λ فإن :( ) ( )2 2
:z y
p zx
= + λ
= λ و عليه ∩
:( ) ( )p z∩ هو قطع مكافئ
IV – المجسم الزائدي : : 1تعريف
z.: معادلته x y= في معلم متعامد متجانس ( ) ; , ,O i j k
: مقاطع مجسم زائدي -
)الفضاء منسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k
( )pمستو يوازي أحدالمستويات اإلحداثية .
( )H مجسم زائدي معادلته :.z x y=
)إذا كانت معادلة )1 )p هي :z = λ
): فإن ) ( ) .z x yH p
z=
= λ∩
): و عليه ) ( ) .x yH p
z= λ
= λ∩
0λ إذا كان - ): فإن = ) ( )H p∩ هو اتحاد مستقيمين.
0λ إذا كان - ): فإن ≠ ) ( )H p∩ قطع زائدهو.
)إذا كانت معادلة 2 )p هي :y = λ فإن :
( ) ( ) .:x y z
H py
= = λ
) :و منه ∩ ) ( ) :z x
H py= λ
= λ∩
): و عليه ) ( )H p∩ هي مستقيم .
) إذا كانت معادلة 3 )p هي :x = λ فإن :
( ) ( ) .:x y z
H px
= = λ
) :و منه ∩ ) ( ) :z y
H px= λ
= λ∩
): و عليه ) ( )H p∩ هي مستقيم .
تكنولوجيا اإلعالم و االتصال
scientific workplace 3.0: باستعمال البرمجية
z=x^2+y^2 :أنشئ التمثيل البياني للمجسم المكافئ : الحل
ى تتحول إلف ةننقر على اإليقون) 1 z=x^2+y^2نكتب المعادلة ) 2 فنحصل ةننقر على اإليقون) 3
:لى الشكل المقابل ع بالنقر المزدوج على الصورة) 4
يظهر على الصورة إيقونتان اإليقونة السفلى تسمح بالتحكم) 5
... في مجال القيم و الوحدة اإليقونة العليا تسمح بتحريك) 6
من أي زاوية نشاء و هذا بالنقر على الشكل دون ترك الشكل ورأيته . الفأرة و تحريكها
الشكل السابق عند رؤيته من) 7 الجهة السفلى إلى العلى في اتجاه
) المحور )OZيظهر كما يلي :
تمـارين و مشكالت
. 1التمرين
. أمام كل مجلة خاطئة ×لة صحيحة و العالمة أمام كل مج√ضع العالمة األسطوانة الدورانية هي جمموعة نقط مستقيمات -1
. . موازية متاما ملستقيم ثابت يف الفضاء
اجلملة -22 2 9
1x yz
+ =
= . طوانة دورانية هي متثيال الس
. . . كل مستو قاطع ألسطوانة يقطعها وفق دائرة-3 املساقط العمودية لكل نقط األسطوانة الدورانية -4
. . حمور األسطوانة تشكل دائرة وفق منحىن يوازي
2 املعادلة -5 2 9x y− هي معادلة اسطوانة= . . دورانية يف الفضاء
): املعادلة -6 )( ) 24 4 9x x z− + + هي معادلة = . . أسطوانة دورانية يف الفضاء املخروط الدوراين هو جمموعة نقط من الفضاء -7
. . تبعد بعدا ثابتا عن مستقيم ثابت 2: المعادلة -8 2 23 0x y z+ − ي معادلة ه=
. . لمخروط دوراني في الفضاء 2: المعادلة -9 2 24 0x y z+ + هي معادلة =
. . لمخروط دوراني في الفضاء
): المعادلة -10 )2 2 212
z x y= هي معادلة +
. . لمخروط دوراني في الفضاء 2: المعادلة -11 2 1x y+ هي معادلة مجسم =
. . مكافئ في الفضاء .: المعادلة -12 5x y هي معادلة مجسم=
. . زائدي في الفضاء . 2التمرين
) الفضاء منسوب إىل معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.
) حمورها أكتب معادلة األسطوانة اليت ); O u و نصف قطرها α يف كل حالة مما يلي :
1 (u i= ، 3α = ، 2 (u j= ، 5α =
3 (u k= ، 35
α =
3التمرين
)الفضاء منسوب إىل معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.
( )δ أسطوانة حمورها ( ); O i و تشمل النقطة ( )1 ; 0 ; 2ω −
( مستقيم معرف بتمثيله الوسيطي ∆(
1 2
2
xyz
= − + λ = λ = − λ
)أكتب معادلة -1 )δ.
) عين نقط تقاطع -2 )δ و ( )∆
4التمرين
)في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k .
)نعتبر النقطة )1 ; 2 ; 4A ) و الشعاع − )1 ; 0 ; 3u −
) أكتب معادلة األسطوانة الدورانية – 1 )δ التي محورها ( ) ; O j
.A و تشمل النقطة
) أكتب معادلة المستوى-2 )π الذي يشمل Aو u شعاع ناظمي له .
) عين نقط التقاطع -3 )δ و ( )π.
5التمرين
)يف الفضاء املنسوب إىل معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.
)نعتبر النقطتين )2 ; 2 ; 1A ) و − )2 ; 2 ; 3B −
)أكتب معادلة الكرة -1 )s التي قطرها [ ]AB
)أكتب معادلة األسطوانة -2 )δ اليت حمورها ( );o k 5 و نصف قطرها
)عين نقط تقاطع -3 )s و ( )δ.
6التمرين
) يف الفضاء املنسوب إىل معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k.
)أكتب معادلة المخروط الدوراني )R و محوره 0 الذي رأسه ( ) ; O u
: في كل حالة مما يلي Aو يشمل النقطة
1 (u i= و ( )2 ; 3 ; 1A −
2 (u j= و ( )1 ; 1 ; 1A −
3 (u k= و ( )0 ; 1 ; 2A −
7التمرين
)الفضاء منسوب إىل معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.
) اكتب معادلة المخروط الدوراني -1 )R و محوره 0 الذي رأسه ( ) ; O j و يشمل النقطة
( )1 ; 1 ; 2A
) اكتب معادلة األسطوانة -2 )δالتي محورها ( ); O j و نصف
.2 قطرها
) عين نقط تقاطع -3 )δ و( )R.
8التمرين
)يف الفضاء املنسوب إىل معلم متعامد متجانس ); , , O i j k.
)نعتبر النقط )1 ; 1 ; 1A − ، ( )0 ; 1 ; 1B ، ( )1 ; 0 ; 1C − ،
( )2 ; 1 ; 2D.
)أكتب تمثيال وسيطيا للمستوي -1 )ABC.
)أكتب معادلة المخروط الدوراني -2 )R الذي رأسه O و محوره ( ) ; O k و
Dيشمل النقطة
)عين نقط تقاطع -3 )ABC و ( )R.
9التمرين
) المستوى منسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k.
) أكتب معادلة سطح الكرة – 1 )s التي مركزها ( )0 ; 2 ; 0A .1 و نصف قطرها
) أكتب معادلة سطح األسطوانة – 2 )δ التي محورها ( ) ; O j
)ة بالكرة و محيط )s
) اكتب معادلة سطح المخروط -3 )R الذي محوره ( ) ; O j و محيط بالكرة ( )s.
) عين نقط التقاطع – 4 )δ و ( )R
10تمرينال
)المستوى منسوب إلى معلم متعامد متجانس ) ; , , O i j k .
( )R ومحوره 0 مخروط دوراني رأسه ( ); O k و زاوية رأسه2π
.
) اكتب معادلة – 1 )R.
)عادلة األسطوانة اكتب م– 2 )δ التي محورها ( ) ; O k و تشمل النقطة
( )3 ; 4 ; 5A.
) عين معادلة سطح الكرة – 3 )s و تشمل 0 ذات المركز A.
) عين نقط تقاطع -4 )s و ( )R.
الحـلــــــول 1التمرين
1 ( √ 2 ( × 3 ( × 4 ( √ 5( × 6 ( √ 7 ( × 8 ( √ 9 ( × 10( √ 11 ( × 12 ( ×
2التمرين : معادلة األسطوانة
1 (u i= ، 3α = : 2 2 9y z+ =
2 (u j= ، 5α = : 2 2 5x z+ =
35 (u k= ، 35
α = : 2 2 925
x y+ =
3التمرين ) معادلة – 1 )δ : 2 2 2y z+ = α
)و بما أن )ω∈ δ فإن :( ) ( )2 2 20 2+ = α
2: و منه 4α 2: و عليه معادلة األسطوانة هي = 2 4y z+ =
) تعيين نقط تقاطع – 2 ) و ∆( )δ : : نحل الجملة
2 2 41 2
2
y zxyz
+ = = − + λ
= λ = − λ
): فنجد )22 2 4λ + − λ =
2: و منه 24 4 4λ + − λ + λ = 22: إذن 4 0λ − λ ): و عليه = )2 2 0λ λ − 0λ: إما = = 2λ: أو =
): و عليه ) ( ); ; 1 ; 0 ; 2x y z = −
) أو ) ( ); ; 3 ; 2 ; 0x y z =
): و منه ) ( ) { }; Bδ ∆ = ω∩
): حيث )1 ; 0 ; 2ω ) و − )3 ; 2 ; 0B
4التمرين
) معادلة األسطوانة – 1 )δ : 2 2 2x z+ = α
): و بما أن )A∈ δ فإن :( ) ( )2 2 21 4− + = α
2: إذن 17α ) و عليه معادلة = )δ 2: هي 2 17x z+ =
) معادلة المستوى – 2 )π : 0. 3 0x y z c− + + + =
)وبما أن )A∈ π 1:فإن 0 2 3 4 0c 13: و عليه 0c+ 13C: و منه = = −
)إذن معادلة )π 3: هي 13 0x z− + − =
) تقاطع – 3 )δ و( )π : نحل الجملة :( )( )
2 21 ... 172 ... 3 13 0
x zx z
+ =− + − =
)) : 2(من )3 ... 3 13x z= − : فنجد ) 1(في ) 3( بقيمتها من xنعوض
( )2 23 13 17z z− + =
2: و منه 29 78 169 17 0z z z− + + − = 210: أي أن 78 152 0z z− + =
25 39 76 0z z− + =
( ) ( )( )239 4 76 5 1∆ = − − = 0∆ 2: و منه للمعادلة حلين < 1,z z حيث :
1 239 1 38 39 13,8 ; 4
10 10 10z z− +
= = = = =
: نجد ) 3(بالتعويض في 3,8z: لما ): فإن = )3 3,8 13 1,6x = − =
4z: لما ): فإن = ) ( )3 4 13 1x = − − = −
): و منه )δ و( )π يتقاطعان وفق مستقيمين تمثيليهما الوسيطيين :
1,6
3,8
xyz
= = λ =
،
1
4
xyz
= − = λ =
5التمرين )الكرة معادلة – 1 )s : مركز الكرة هو منتصف[ ]AB و لتكن ω :
2 2 2 2 3 1; ;2 2 2
− + − + + ω
): و منه )0 ; 0 ; 2ω
) ، Aωنصف قطر الكرة هو ) ( ) ( )2 2 22 0 2 0 1 2Aω = − − + − + −
4 4 1 9 3Aω = + + = =
)و منه معادلة سطح الكرة )s :
( )22 2 2 9x y z+ + − =
2: معادلة األسطوانة – 2 2 5x y+ =
) نقط تقاطع – 3 )s و ( )δ :
): نحل الجملة )22 2
2 2
2 95
x y zx y
+ + − =
+ =
): و منه )25 2 9z+ − ): و عليه = )22 4z − = 2: و بالتالي 2z − 2 أو = 2z − = −
4z: و منه 0z أو = =
: إذن إما 2 2 5
0x yz
+ =
= أو
2 2 54
x yz
+ =
=
.و هما معادلتي دائرتين )إذن )s و ( )δ يتقاطعان في دائرتين .
6التمرين
)معادلة المخروط )R :
1 ( 2 2 2 2tan 0y z x+ − θ =
): تنتمي إلى المخروط فإن Aأن و بما ) ( )2 2 23 1 4tan 0+ − θ =
2: إذن 10 5tan4 2
θ = =
)و منه معادلة المخروط )R : 2 2 25 02
y z x+ − =
)معادلة المخروط ) 2 )R : 2 2 2 2tan 0x z y+ − θ = )و بما أن )A R∈ فإن :( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 tan 0+ − − θ =
2tan: و منه 2θ ) و عليه معادلة = )R 2: هي 2 22 0x z y+ − =
)معادلة المخروط ) 3 )R : 2 2 2 2tan 0x y z+ − θ =
)و بما أن )A R∈ فإن :( ) ( ) ( )2 2 2 20 1 2 tan 0+ − − θ =
2: و منه 1tan4
θ ) و عليه معادلة = )R 2: هي 2 21 04
x y z+ − =
7التمرين
) معادلة – 1 )R : 2 2 2 2tan 0x z y+ − θ =
)و بما أن )A R∈ فإن :( ) ( ) ( )22 2 21 2 1 tan 0+ − θ =
2tan: و منه 3θ ) و عليه معادلة = )R 2: هي 2 23 0x z y+ − =
) معادلة األسطوانة – 2 )δ :2 2 4x y+ =
) نقط تقاطع -3 )R و ( )δ :
: نحل الجملة 2 2 2
2 2
3 04
x z yx z
+ − =
+ =
24: بالتعويض نجد 3 0y− 2: و منه = 43
y : و عليه =23
y =
أو 23
y −: إذن =
2 33
y أو =3 33
y −=
: و عليه
2 2 4
2 33
x z
y
+ =
=
أو
2 2 4
2 33
x z
y
+ =
= −
.و هما تمثيلين لدائرتين )إذن )R و ( )δ يتقاطعان وفق دائرتين .
8التمرين
)التمثيل الوسيطي للمستوى -1 )ABC :
): لدينا )1 ; 0 ; 0AB ، ( )0 ; 1 ; 0AC −
) و عليه ليس لهما نفس الحاملAC و ABالشعاعان ) ; ; A AB AC معلم
)للمستوى )ABC
) لتكن ); ; M x y z نقطة من الفضاء .
) نقطة من المستوى Mتكون )ABC إذا وفقط إذا كان :
AM AB AC= λ + µ
: ه و من
111 0
xyz
+ = λ − = −µ − =
: و عليه
11
1
xyz
= λ − = − µ =
)هو التمثيل الوسيطي للمستوى )ABC
) معادلة المخروط – 2 )R: 2 2 2 2 0x y z tan+ − θ =
): و بما أن )D R∈ فإن :( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 2 0tan+ − θ =
2: و منه 54
tan θ =
) إذن معادلة المخروط )R : 2 2 25 04
x y z+ − =
)تعيين نقط تقطع – 3 )R و ( )ABC:
: نحل الجملة
2 2 25 04
11
1
x y z
xyz
+ − = = λ − = − µ
=
: نه و م2 2 25 0
41
x y z
z
+ − = =
: إذن2 2 5
41
x y
z
+ = =
و نصف قطرها O و هي دائرة مركزها 5
2
9التمرين
)معادلة سطح الكرة – 1 )s : ( )22 22 1x y z+ − + =
)ح األسطوانة معادلة سط– 2 )δ : نصف قطر األسطوانة هونصف قطر الكرة و منه معادلتها :2 2 1x z+ =
) معادلة سطح المخروط -3 )R : 2 2 2 2 0x z y tan+ − θ =
: لدينا ATtanOT
θ : ومنه =1tanOT
θ =
T2: القائم في OATولدينا في المثلث 2 2OA AT OT= +
2: و منه 2 2OT OA AT= 2: أي أن − 4 1 3OT = − =
3OT: و عليه و منه =1 3
33tanθ = =
)عادلة المخروط و عليه م )R 2: هي 2 21 03
x z y+ − =
) تعيين نقط تقاطع -4 )δ و ( )R :
: نحل الجملة
2 2
2 2 2
11 03
x z
x z y
+ =
+ − =
: و منه 2
2 2
11 03
1
y
x z
− = + =
: إذن 2
2 2
31
yx z
=
+ =: إذن
2 2 1
3
x z
y
+ =
=: أو
2 2 1
3
x z
y
+ =
= −
)إذن )δ و ( )R يتقاطعان وفق دائرتين .
10التمرين
) معادلة – 1 )R :
لدينا زاوية الرأس هي 2π
و منه نصف زاوية الرأس هي 4π
)معادلة )R : 2 2 2 2 04
x y z tan π+ − =
2: و منه 2 2 0x y z+ − =
) معادلة -2 )δ : 2 2 2x y c+ =
): و بما أن )A∈ δ فإن :( ) ( )2 2 23 4 c+ =
2: إذن 25c ) و منه معادلة = )δ 2: هي 2 25x y+ =
) معادلة الكرة – 3 )s ذات المركز O و تشمل A : 2 2 2 2x y z+ + =
): و بما أن )A s∈ فإن :( ) ( ) ( )2 2 2 23 4 5+ + =
2: إذن ) و منه معادلة =50 )s 2: هي 2 2 50x y z+ + =
) تعيين نقط تقاطع - 4 )s و ( )R :
: نحل الجملة ( )( )
2 2 2
2 2 2
50... 10... 2
x y zx y z
+ + =
+ − =
22: نجد ) 1(من ) 2(بطرح 50z 2: و منه = 25z =
5z: و عليه 5z: أو = = − 2: نجد ) 1(ويض في بالتع 2 25x y+ =
: و منه 2 2 25
5x yz
+ =
= أو
2 2 255
x yz
+ =
= −
.و هما تمثيلي دائرتين