Triangolo rettangolo
i
C2
ipotenusaCateto minore
Le parole della matematica
C1
C2
Cateto maggiore
Verifichiamo il teorema di Pitagora
Enunciato:In un triangolorettangolo l’area delquadrato costruitosull’ipotenusa è ugualesull’ipotenusa è ugualealla somma delle areedei due quadraticostruiti sui cateti.
Pitagora genialematematico greco vissutonel VI secolo a.C.
• Pitagora fu un filosofo, unoscienziato, matematico greco;nacque a Samo nel 570 a.C.successivamente emigrò a Crotone,dove fondò una scuola filosofico-religiosa che dovette lasciare per laperdita dell’aristocrazia locale.
Biografia
perdita dell’aristocrazia locale.
• Alla fine si ritira a Metaponto, anchese la tradizione gli attribuisce altriviaggi in Egitto, a Creta e aBabilonia. Muore tra il 497 e il 496a.C
Q1= 25 cm²Q3 = 9 cm²
Q2 = 16 cm²
Q
Q1
•Ma il Teorema di Pitagora funziona solo se un triangolorettangolo ha i lati che misurano 3-4-5?
•Vediamo questa seconda dimostrazione
In unquadratocostruiamo
Teorema di Pitagora: un’altra dimostrazione
Q2
costruiamodue quadratiqualsiasiQ3
La somma delle aree dei quadrati Q1 e Q2 è equivalenteall’area del quadrato Q3?
Q2
Si, perché i triangoli rossi e celesti che si trovano intornoai quadrati Q1 e Q2 sono equivalenti ai triangoli che si
trovano intorno al quadrato Q3.
Q1Q3
Possiamo affermare che:
• In un triangolo rettangolo il quadratocostruito sull’ipotenusa è equivalente allasomma dei quadrati costruiti sui due cateti.
Ovvero:Ovvero:
• In un triangolo rettangolo l’area delquadrato costruito sull’ipotenusa è ugualealla somma delle aree dei quadraticostruiti sui due cateti.
Applicazioni del teorema di Pitagoraalle figure piane
RettangoloQuadratoTriangolo IsosceleTriangolo equilateroTriangolo equilateroRomboTrapezio RettangoloTrapezio isoscele
Applicazioni del teorema di Pitagora: triangoloisoscele
• Si può applicare il teor. di Pitagoraal triangolo isoscele?
• Si può ricavare in questa figura untriangolo rettangolo?
• Basta tracciare l’altezza.
ll
h
b
Il lato obliquo del triangolo isoscelecorrisponde all’ipotenusa del triangolorettangolo. Lo si può trovare con la formula:
2
2
2
bhl
b/2
b
Altre relazioni:
2
2
2
bh l
2 2
2
bl h
Applicazioni del teorema di Pitagora: triangoloequilatero
• Si può applicare il teor. di Pitagora al triangoloequilatero?
• Si può ricavare in questa figura un triangolorettangolo?
• Basta tracciare l’altezza.
ll
h
l
•Il lato del triangolo equilatero corrisponde all’ipotenusa deltriangolo rettangolo.
• Possiamo utilizzare il teor. di Pitagora per trovare l’altezza, che sipuò trovare con la formula:
2
2
2
llh
l/2
l
Applicazioni del teorema di Pitagora: triangoloequilatero
Sviluppiamo la relazione2
2
2
llh
2 2 2 2 22 2 4 3 3
2 4 4 4 2
l l l l lh l l l
Per si assume il valore approssimato di 0,866 per cui si ha:3
2
0,866
hl 0,866h l
2 4 4 4 2
Applicazioni del teorema di Pitagora: quadrato
• Si può applicare il teor. diPitagora al quadrato?
• Si può ricavare in questafigura un triangolo rettangolo?
• Traccia la diagonale ld
La diagonale del quadrato corrisponde all’ipotenusa del triangolorettangolo. La si può trovare con la formula:
22 lld
l
Applicazioni del teorema di Pitagora: quadrato
l
ld
2 2 22 2d l l l l
lPoiché avremo:2 1,414
1,414d l 1, 414
dl
Applicazioni del teorema di Pitagora: rettangolo
• Si può applicare il teor. di Pitagoraal rettangolo?
• Si può ricavare in questa figura untriangolo rettangolo?
b
ad
La diagonale del rettangolo corrisponde all’ipotenusa del triangolorettangolo. La si può trovare con la formula:
22 abd
b
Applicazioni del teorema di Pitagora: rombo
• Si può applicare il teor. di Pitagora alrombo?
• Si può ricavare in questa figura untriangolo rettangolo?
• Se si stracciano le due diagonaliotteniamo 4 triangoli rettangoli
l
d1
d2
Il lato del rombo corrisponde all’ipotenusa del triangolo rettangolo. Lasi può trovare con la formula:
2
2
2
1
22
ddl
d2
Applicazioni del teorema di Pitagora:trapezio rettangolo
• Si può applicare il teor. diPitagora a questo trapezio?
• Si può ricavare in questafigura un triangolo rettangolo?
• Basta tracciare l’altezza.l
l
h
b2
a la
D C
•Il lato obliquo del trapeziocorrisponde all’ipotenusa deltriangolo rettangolo. Lo si puòtrovare con la formula:
22 HBal
Bb1A H
Nota: HB è la differenza tra le basi: 1 2HB b b
Applicazioni del teorema di Pitagora:trapezio isoscele
• Si può applicare il teor. diPitagora al trapezioisoscele?
• Si può ricavare in questafigura un triangolo
2
2
2
bhll
l
h
D C
afigura un triangolorettangolo?
• Basta tracciare l’altezza.
• Il lato obliquo del trapezio isoscelecorrisponde all’ipotenusa deltriangolo rettangolo.
• Lo si può trovare con la formula:
b1
b
22 HBal
A BH
Nota: HB è la differenza tra le basi: 1 2
2
b bHB