1

UVOD

KIBERNETIKA je nauka o upravljanju.

Kibernetika je počela da se razvija posle drugog svetskog rata. Veoma brzo se

razvila i danas pokazuje veliki uticaj na metode istraživanja i načine rešavanja praktičnih

zadataka u najrazličitijim oblastima nauke i tehnike. U osnovi kibernetike leži ideja o

mogućnosti opšteg prilaza u razmatranju procesa upravljanja u sistemima različite

prirode.

Rađanje kibernetike vezano je sa objavljivanjem knjige Norberta Vinera pod

nazivom ''Kibernetika ili upravljanje i komunikacija kod živih bića i mašina'' (1948).

U njoj su prvi put jasno pokazani putevi stavranja opšte teorije upravljanja.

Takođe, su postavljene osnovne metode proučavanja problema upravljanja kao i veze za

različite sisteme sa zajedničke tačke gledišta.

Kibernetika ne proučava upravljanje sistemima u statičkom stanju, već u

njihovom kretanju i razvoju, tj. pročava dinamčke sisteme.

DINAMIČKI SISTEM je sistem koji u toku vremena menja svoje stanje.

Promena stanja sistema u vremenu naziva se proces.

Kada govorimo o upravljanju mislimo na upravljanje procesom ili, što je isto, na

upravljanje dinamičkim sistemom.

Kibernetika, kao nauka o upravljanju, izučava samo upravljane sisteme. Jedna

od katrakterističnih osobina upravljanjog sistema je sposobnost da menja svoje kretanje,

da prelazi u različita stanja pod uticajem raznih dejstava

Na primer, automobil može da zauzme različite položaje u prostoru, može da se

kreće u različitim pravcima i sa različitom brzinom, a u zavisnosti od toga kako se njme

upravlja.

Proces kretanja aviona od jednog aerodroma sdo drugog je proces kojim se

uprtavlja..

Sistem upravljanja se sastoji od upravljajućeg sistema i upravljanog sistema.

TEORIJA SISTEMA razvila se u više pravaca:

- Opšta teirija sistema

- Matematička teorija sistema

- Složeni sistemi.

Inžinjeri, ekonomisti i stručnjaci drugih profila nailaze na zadatke čije rešavanje

zahteva sistemski prilaz.

Teorija sistema se može interpretirati kao šitra oblast od teorije upravljanja.

Međutim, u praksi analiza sistema je skoro uvek povezana sa problemima upravljanja.

Po svojoj suštini teorija sistema je multidisciplinarnog karaktera (uključuje

različite oblasti nauka). Ona je podjednako korisna inženjerima, ekonomistima i

stručnjacima drugih profila.

2

Teorija sistema ne može da zameni specijalizovana znanja neophodna u svakom

datom slučaju, ali je vrlo korisna kao platforma za integralno sagledavanje okvira u

koima se javljaju realni zadaci urravljanja.

Istorijski gledano teorija upravljanja je u velikoj meri generalizacija znatno

prostijeg problema projektovanja regulatora koji je danas rešen.

Opšta teorija upravljanja je mnogo šira. Postoji veliki broj upravljačkih problema

u industriji, ekonomici, poslovnim sistemima, transportu, javnim službama gde je cilj

upravljanja znatno složeniji nego kod regulacije. U svakom takvom slučaju treba rešiti

upravljački zadatak imajući u vidu postavljeni cilj. Zajednička crta upravljačkih zadataka

u raznim oblastima tehnike, ekonomije i raznim organizacijama nije isti cilj već

optimalno odlučivanje u odnosu na usvojeni kriterijum.

SISTEM je skup entiteta (npr. ljudi i mašina) između kojih postoje interaktivne

veze da bi se postigao jedan ili više ciljeva.

Vozilo, električni motor, avion, i dr su primeri sistema.

Sistem ima dva svojstva:

1. Međusobne veze između komponenti koje su sardžane unutar sistema.

2. Granice sistema koje dele komponente unutar sistema od komponenti

okruženja.

ZNAČAJ INFORMACIJE U PROCESU UPRAVLJANJA

Električni signal nosi informaciju. Kod dinamičkih sistema brzina selekcije

optimalne odluke treba da odgovara trenutku stanja objekta. Ako to nije slučaj dolazi do

greške.

Opis kompletnog upravljačkog zadatka zahteva poznavanje sledećih elemenata:

1. Objekat iupravljanja

2. Cilj upravljanja

3. Ograničenja

4. postupak za selekciju optimalne odlike

5. Usklađivanje dinamike odlučivanja sa dinamikom objekta.

Svi gore navedeni elementi su neophodni za formiranje praktičnog upravljačkog zadatka.

Ako bilo koji od njih nije odredjen, vrednost donete odluke može biti lišena svakog

smisla.

Kod dimnamičkih sistema brzina selekcije optimalne odluke mora da odgovara

trenutnom stanju objekta. Zakasnele odluke, donete na osnovu prevaziđenog stanja

sistema, najčešće donose više štete nego koristi. Stoga, problem optimalnog upravljanja

uvek podrazumeva realno vreme, odnosno, usklađivanje vremena selekcije optimalne

trajektorije i dinamike kretanja sistema.

3

Smisao optimalnog upravljanja je sledeći: upravljanje dinamičkom sistemom

znači prevođenje objekta iz nekog početnog u zadato stanje. Uvek postoji neki skup

kretanja iz koga se vrši izbor kretanja kome se daje prednost ako se govori o upravljanju

sistemom. Gde nema izbora tamo nema upravljanja. Međutim, ako su svi putevi

prevođejnja objekta iz početnog u krajnji položaj ekvivalentni, teško je govoriti o

upravljanju.

Postoje tri osnovne kategorije upravljanja sa stanovišta apriorne informacije o

objektu:

1. Najprostiji slučaj za formalnu teoriju predstavlja situacija kada je informacija o

dinamici objekta unapred data, poznata i nepromenljiva. Sve raspoložive analitičke

metode projektovanja upravljančkih sistema bave se uglavnom ovom vrstom problema.

2. U drugu kategoriju spadaju zadaci sa nedovoljnom apriornom informacijom.

Na početku upravljanja se ne raspolaže sa kompletnom informacijom o dinamici objekta

ili se ona menja tokom upravljanja. Kod ovih zadataka postavlja se pred upravljački

sistem dvostruki zadatak. Sa jedne strane treba odabrati optimalnu trajektoriju u realnom

vremenu, a sa druge strane mora se tokom upravljanja prikupljati dodatna informacija o

objektu i na osnovu toga menjati polazni model. U ovom slučaju govori se o adaptivnom

upravljanju.

3. Treća kategorija upravljačkih problema rešava se pod uslovima prekomerne

informacijwe o objektu. Radi se o složenim sistemima čije se kompletno stanje opisuje

velikim brojem koordinata. Ova vrsta zadataka predstavlja najteži slučaj za formalnu

teoriju upravljanja. Informaciona barijera koja sprečava upravljača da prati u realnom

vremenu dinamiku složenog sistema ne može da se savlada principom povretne sprege.

Stoga se upravljanje mora organizovati na više nivoa. Viši nivoi upravljanja primaju

samo selektivne podatke od nižih nivoa. Kod složenih sistema problem je još teži jer

podsistemi imaju sve osobine jedne celine, uključujući lokalne ciljeve. Tako se pored

višenivojskog upravljanja pojavljuje problem dekompozicije na podsisteme, problem

agregacije podsistema u složene celine i problem koordinacije.

UPRAVLJANJE sistemom znači sledeće:

1. Osmotriti stanje sistema;

2. Porediti realno stanje sistema sa željenim stanjem;

3. Na osnovu rezultata poređenja doneti odluku;

4. Delovati na sistem u pravcu smanjenja razlike između realnog i željenog stanja.

Na primer: Vozač automobila predstavlja upravljajući sistem, a njegov automobil

upravljani sistem, odnosno proces kretanja automobila duž puta.

U datom slučaju, vozač osmatra stanje automobila, odnosno brzinu kretanja i

pravac kretanja automobila, kao promenljive stanja, poredi realno stanje sa željenim,

donosi odluku i deluje na papučicu za gas, odnosno na kočnicu u cilju postizanja željene

brzine, i na volan u cilju postizanja pravca kretanja.

Isti proces upravljanja prisutan je i u drugim slučajevima, kao na primer kod

upravljanjea kretanjem aviona, upravljanja poslovnim sistemima.

4

U opšem slučaju proces upravljanja sastoji se iz sledeća četiri elementa:

1. Dobijanje informacija o zadacima upravljanja;

2. Dobijanje informacija o rezultatima upravljanja tj. o ponašanju objekta

upravljanja;

3. Analiza dobijenih informacija i donošenje upravljačkih odluka;

4. Izvršenje upravljačke odluke, tj. ostvarenje upravljačkih dejstava.

Ova četiri elementa predstavljanju osnov svakog upravljanja.

Ukoliko isključimo jedan od četiri navedena elementa, tada upravljanje nije moguće.

Na prinmer, ako zavežemo oči vozaču, ili ruke, tada upravljanje automobilom nije

moguće.

Za realizaciju procesa upravljanja potrebno je imati:

1. Izvor informacija o zadacima i rezultatima upravljanja;

2. Uređaj za analizu dobijenih informacija na bazi koje će biti donete odluke;

3. Izvršni uređaj kojim se ostavruje upravljanje objektom.

Kao što se može videti:

- upravljenja nema bez informacije

- u procesu upravljanja važnu ulogžu igra vreme.

Na primer, u procesu vožnje automobilom, vozač mora na vreme da osmotri stanje

sistema, na vreme da odluči tj. na vreme da izvrši odluku.

Pri upravljanju važnu ulogu ima vreme, tj. brzina odvijanja upravljačkih operacija.

Međutim, u mnogim slučajevima čovek kao upravljajući sistem nije u stanju da

blagovremeno i tačno uzvršava izvesna upravljačka dejstva. U takvim slučajevima u

znatnoj meri pomažre nam elektronika, koja velikom brzinom obradjuje dobijene

informacije i omogućava adekvatno izvršavanje upravlačkih dejstava.

Savrermena elektronska sredstva koriste se u automatizaciji upravljanja procesima.

Pomoću njih se vrši automatizacija osmatramnja, automatizacija dobijanja informacija,

automatizacija prenosa informacija, automatizacija obrade podataka, automatizacija

izvršenja i dr.

Promenljiva kojom se upravlja često nije električna veličina. U tom slučaju, u procesu

automatizacije, prinenom elektronskih sredstava ona se pretvara u električnu veličinu,

koja se naziva električni signal.

Pored pretvarača neelektrične veličine u električni signal, razlikujemo i druge

električne sisteme (pojačavači, uobličavači i drugi elektronski sistemi vezani za prenos

električnih signala na daljinu i obradu električnih signala).

Električni signal nosi informaciju.

5

Oblast elektronike kojom se prenosi informacija na daljinu naziva se telekomunikacije.

Telekomunikacije, pored prenosa govora i slke, obuhvataju i:

- telemerenja

- telesignalizaciju

- teleupravljanje

VRSTE UPRAVLJANJA

Postoje tri vrse upravljanja, a to su:

1. PROGRAMSKO (NEAUTOMATSKO) UPRAVLJANJE – upravljajne koje

obezbeđuje unapred zadati zakon promene stanja objekta, pri čemu se ne vodi

računa o rezultatima upravljanja (npr. semafor).

2. POLUAUTOMATSKO UPRAVLJANJE – upravljanje koje se realizuje

kombinacijom čovek – mašina (računar), tada svaki učesnik radi svoj deo posla,

pri čemu čovek u interakciji sa računarom odlučuje.

3. AUTOMATSKO UPRAVLJANJE – upravljanje koje se ostavruje odgovarajućim

uređajima, bez neposrednog učešća čoveka (npr. autopilot)

Definicije pojmova koji se odnose na upravljajnje

sistemom

Upravljana promenljiva je veličina koja se meri. to je izlaz sietema, y(t).

Upravljajuća veličina,u(t), je veličina koja se modifikuje od strane kontrolera,

to je ulaz sistema.

Upravljanje se odnosi na merenje vrednosti upravljane promenljive sistema i na

promenu upravljajuće promenljive u cilju korekcije devijacije izmerene vrednosti od

željene vrednosti.

Proces je neprekidna operacija ili razvoj označen sa nizom uzastopnih promena

koje slede jedna za drugom na relativno fiksan način i vode ka posebnom cilju.

Proses je bilo koja operacija koja bi bila upravljana.

Sistem je kombinacija komponeneti koje dejstvuju zajedno i izvršavaju neki cilj.

Sistem nije ograničen samo na fizički sistem. Koncept sistema se može primeniti na

apstraktni dinamički fenoimen takav kao što se često sreće u ekonomiji.

6

Pojam sistema treba da bude interpretiran da obuhvati kako tehničke, tako i

fizičke, biološke, saobraćajne , složene sisteme i dr.

Poremećaj je signal koji teži da utiče suprotno na vrednost izlaza sistema.

Ako je poremećaj generisan unutar sistema. tada se on naziva interni, dok je

eksterni poremećaj generisan (spolja) izvan sistema i on je na neki način jedan od ulaza u

sistem.

NAČINI UPRAVLJANJA

U globalu postoje dve vrste upravljanja:

1. Upravljanje sistemima u otvorenoj sprezi

Ovi sistemi upravljanja šematski se mogu prdstaviti na sledeći način:

Ulaz ili upravljanje, u(t), je izabrano u zavisnosti od zadatih ciljeva, vezano za

analizirani sistem i svih apriornih (prethodnih) saznanja o sistemu. Ulaz u(t) nije

podvrgnut uticaju od strane izlaza y(t) (Ovaj način upravljanja karakteriče nezavisnost

ulaza od izlaza). Nedostatak ovakve vrste upravljanja je taj da ako dođe do poremećaja u

sistemu oni ne mogu da se otklone, pa izlaz sistema (odziv) neće se ponašati onako kako

se očekuje.

Primer: raskrsnica.

Zakon

upravljanja Sistem u(t) ciljevi

poremećaj

y(t)

ulaz

7

Zakon

upravljanja

Primer: Sistem zagrevanja vode(kao primer sistema i otvorenoj sprezi).

Ovde je kontroler prekidač koji određuje kada je grejač ukljućen u cilju zagrevanja vode

na neku specificiranu temperaturu.

Svakog dana zagrevanje vode nije strogo definisano, ono zavisi od jačine struje, od

dužine perioda zagrevanja, od ambijetalne okoline i dr.

2. Upravljanje sistemima sa povratnom spregom

Sistemi upravljanja sa povratnom spregom mogu se prikazati na sledeći način:

Kod sistema sa povratnom spregom upravljanje u(t) je na neki način

modifikovano informacijom o ponašanju izlaza sistema. Ulaz u(t) je podvrgnut uticaju od

strane izlaza y(t).

Kontroler (Prekidač)

Grejač

Rezervoar

ulaz

Informacije (Uključeno/isključeno)

Zagrevanje Zagrejana voda

izlaz

ulaz (dotok vode)

Sistem u(t) ciljevi

y(t)

poremećaj

senzori

greška merenja

ulaz

8

Sistemi sa povratnom spregom su u stanju da savladaju neočekivane poremećaje oko

dinamike ponašanja sistema.

Sistem sa povratnom spregom je onaj sistem kod koga je ulaz funkcija izlaza.

Ovi sistemi uglavnom koriste računare koji se nalaze unutar sistema čija je uloga da

modifikuju dinamike sistema u cilju dobijanja zadovoljavajućeg odziva sistema.

Blok šema ovih sistema se može prikazati i na sledeći način:

Proces kojim se upravlja naziva se sistem.

Senzor meri odziv sistema koji se zatim poredi sa željenim odzivom. Razlika tih signala

inicira dejstvo koje rezultuje da stvarni odziv bude približno jednak željenom odzivu, i

time se razlika signala približava nuli.

Ukoliko je ulaz sistema jednostavno razlika željenog i stvarnog odziva tada nastaje

neprihvatljivi odziv sistema. Stoga je potrebno da razlika signala bude filtrirana pomoću

drugog fizičkog sistema koji se naziva KOMPENZATOR (drugi naziv za kompezator

jeste KONTROLER ili jednostavno FILTAR).

Jedan od važnih problema vezano za upravljanje sistemom jeste specifikacija

KOMPENZATORA.

Primer: Upravljanje saobraćajrm na raskrsnici kao sistemom sa povratnom

spregom.

Kontroler Kompenzator

Filtar

Sistem

Senzor

Razlika signala ulaz

Izlaz (stvarni odziv)

+

Željeni odziv (referentni

signal)

9

Primer: zagrevanje vode kao sistem sa povratnom spregom.

Sistem grejanja vode može se pretrvoriti u sistem sa povratnom spregom, tako što ćemo

meriti temperaturu vode (izlaz) i taj signal (merenje) vratiti natrag i na taj način če uticati

na kontroler, tako što će modifikovati informaciju prekidača (uključeno/isključeno)

Kada se dese varijacije u performansi zbog modifikacije sistema ili promene u uslovima

ambijenta, efekat na izlazu sistema biće redukovan zbog prisustva povratne sprege. To

znači da je sistem sa povratnom spregom manje osetljiv na variajacije koje su zavisne od

različitih uslova.

Kao primer sistema sa povratnom spregom posmatraćemo

slučaj pilota koji prizemljuje avion.

ovde je sietem - avion

Ulazi u sistem su manipulacije pilota.

Pilot je senzor, sa svojim osećajem ravnoteže itd.

Željeni odziv je zamisao pilota da ostvari željenu putanju leta.

Kompenzacija je naćin na koji pilot koriguje uočene greške u putanji aviona.

Kod ovog sistema, od strane pilota izvršavaju se sledeće funkcije:

kompenzacije,

senzora

genertisanje željenog odziva.

Kontroler (Prekidač)

Grejač

Rezervoar

ulaz

Informacije (Uključeno/isključeno)

Zagrevanje Zagrejana voda

izlaz

ulaz (dotok vode)

termometar

10

Očigledno je da kompenzacija mora da bude funkcija dinamike sitema, tj. aviona.

Takođe, senzor može da bude odgovarajući merni instrument, a da se funkcija

kompenzacije izvršava pomoću računara.

Sistem poseduje odgovarajuću dinamiku i mi programniramo računar tako da on oponaša

dunamiku iste prirode kao što ima i sistem.

Sistem automatskog prizemljenja aviona prikazan je na sledećoj slici:

Slika 1. Sistem automatsko prizemljenja aviona

Sistm se sastoji iz tri glavna dela:

Avion

Radarska jedinica

Upravljačka jedinica.

Za vreme funkcionisanja ovog sistema upravljanja radarska jedinica meri aproksimativno

vertikalne i bočne položaje ( nagib i naginjanje) aviona, koji se onda prenose

upravljačkoj jedinici. Na osnovu tih merenja upravljačka jedinica izračunava

odgovarajuće komande visine (nagiba) i bočni položaj (naginjanje), koje se zatim

prenose do autopilota (aviona), a koje ustvri iniciraju saglasno tome „odgovor“ aviona.

Upravljačka jedinica ovde je računar. Sistem bočnog upravljanja koji upravlja bočnim

položajem aviona (naginjanjem) i sistem vertikalnog upravljanja koji upravlja visinom

aviona (nagibom), su nezavisni (dekuplovani , razdvojeni) sistemi.

Komanda naginjanja je ulazno dejstvo samo na bočni položaj aviona, a komanda nagiba

je ulazno dejstvo samo na visinu aviona.

11

1.

KLASE

SISTEMA

SISTEMI SA RASPODELJENIM PA

RAMETRIMA

(za opis se koriste parcijalne

diferncijalne jednačine)

SISTEMI SA KONCENTRISANIM

PARAMETRIMA (za opis se koriste obične

diferencijalne jednačine ili algebarske

jednačine)

STOHASTIČKI SISTEMI

(sadrše parametre koji se

opisuju odgovarajućom

raspodelom verovatnoća)

DETERMINISTIČKI SISTEMI

( njihovo ponašanje u budućnosti je

potpuno odredjeno)

VREMENSKI

KONTINUALNI SISTEM

(opisuju se diferencijalnim

jednačinama; promenljive

stanja se menjaju

kontinualno u vremenu)

VREMENSKI

DISKRETNI

SISTEMI (opisuju se

diferencnim

jednačinama;

promenljive stanja se

posmatraju u

određenim trenucima

vremena)

NELINEARNI SISTEM

(jedna ili više elementarnih

jedančina je nelinearna)

LINEARNI SISTEM (sve

elementarne jedančine su

linearne. Važi princip

superpozicije)

VREMENSKI

NEPROMENLJIVI (sve

elementarne jednačine se mogu

opisati skupm vrednosti

konstantnih parametara. To je

sistem čije karakteristike ne

variraju sa vremenom)

VREMENSKI PROMENLJIVI

(jedan ili više parametara varira

sa vremenom prema poznatom

zakonu promene)

NEHOMOGENI SISTEMI

(postoje ulazna dejstva)

HOMOGENI SISTEMI

(nema ulaznih dejstava)

KLASIFIKACIJA

SISTEMA

12

LINEARNI SISTEM

Pojam linearnosti sistema se može objasniti pomoću principa superpozicije.

Ako svi ulazi deluju istovremeno tada je odziv y(t) tog sistema jednak sumi odziva

svakog ulaznog signala koji deluje pojedinačno.

NELINEARNI SISTEM je onaj kod kog ne važi ovaj princip superpozicije. Svi

sistemi su po prirodi nelinearni. Ipak, kod većine sistema moguće je izvršiti linearizaciju.

MATEMATIKI MODELI SISTEMA. MODELIRANJE SISTEMA

Veza između realnog sistema i matematičke teorije je proces MODELIRANJA.

Jedan od prvih koraka u bilo kom upravljačkom zadatku je razvoj matematičkog modela.

Modeliranje sistema znači uspostavljanje veze između realnog sistema i moedela.

Matematički model sistema predstavlja opis procesa na osnovu koga se mogu

donositi zaključci o nekim aspektima ponašanja originala sprovođenjem formalne

procedure nad njenim opisom. Služi za proveru šta će se desiti kada upravljamo na neki

način jer nema mogućnosti eksperimentisanja. Matematički modeli su različitog oblika:

diferencijalne jedančine, grafovi, jednačine prelaza iz jednog stanja u drugo, algebarske

jedančine i dr.

Modeli sistema se mogu razvijati pomoću dva različita metoda :

1. ANALITIČKO MODELIRANJE – sastoji se u primeni osnovnih fizičkih zakona

vezano za komponente sistema i međusobnih veza između njih.

2. EKSPERIMENTALNO MODELIRANJE – na osnovu merenja ulazno – izlaznih

podataka utvrđuje se matematička relacija pomoću koje se vrši aproksimacija

(fitovanje) dobijenih merenih podataka; određuje se kriva koja verodostojno

predstavlja podatke

Linearni

sistem

u1(t) y1(t)

SISTEM u1(t)

u2(t)

u3(t)

n

i

i tyty1

)()(

ulaz izlaz (odziv)

1. u1(t) y1(t)

2. u2(t) y2(t)

3. )(22)(11 tuCtuC )(22)(11 tyCtyC

SISTEM JE LINEARAN

13

Definisanje granice sistema

Kod posmatranja sistema mora se definisati granica koja razdvaja sistem od okruženja.

PRIMER:

Proizvodni proces možemo prikazati na sledeći način:

Porudžbine mogu da budu ulaz iz okruženja (/porudžbine su ekserna promenljiva)

Ako želimo da ispitamo efekat reklamnih oglasa, u tom slučaju porudžbine su interna

promenljiva.

sistem merenje

merenje

okruženje sistem

granica

Proizvodni

sistem

izlaz

sistem

okruženje

porudžbine

EKSTERNA PORUDŽBINA

Odgovor

na reklame

Proizvodni

sistem porudžbine

izlaz

cena reklame

INTERNA PORUDŽBINA

izlaz ulaz

Spoljašni efekti

Sistem

14

Skica analitičkog prilaza za modeliranja

Pri rešavanju ovakvih problema potrebno je uraditi sledeće: Cilja modela → definisanje

granica → definisanje strukture sistema → specifikacija promenljivih koje su od interesa

→ razvoj matematičkog opisa za svaki element sistema →- primena odgovarajućih

fizičkih zakona → manipulisanje jednačinama → konačni oblik matematičkog modela →

analiza i poređenje sa realnim sistemom → modifikacija modela ako je potrebno.

VRSTE MODELA

U izučavanju sistema koriste se više vrsta modela.

Ta podela najpre je na fizičke i matematičke modele.

1. Fizički modeli zasnivaju se na nekoj analogiji.

2. matematički modeli koriste simboličku notaciju i matematičke jednačine za

predstavljanje sistema.

Fizički i matematički modeli se dele na statičke i dinamičke.

3. Statički modeli prikazuju vrednosti atributa sistema kada je on u ravnoteži.

4. Dinamički modelui predstavljaju sisteme čije se stanje menja u toku vremena.

Dalja klasifikacija bila bi na determinističke i stohastičke modele.

5. Deterministički modeli opisuje ponašanje sistema kako u prošlosti, tako u

sadašnjosti i u budućnosti.

6. Stohastički modeli su modeli na osnovu kojih možemo odrediti ponašanje

sistema u prošlosti, ali ne možemo u sadašnjosti i u budućnosti. Stofhastički

karakter vezan je za postojanje slučajnih faktora kako u samom objektu, tako i

u njegovom okruženju.

A

B

C

SISTEM

Podsistemi između kojih

postoji veza

15

7. Simulaciomi modeli Ukolko se sistemi ne mogu rešavati samo pomoću analitičkih i numeričkih

metoda onda se pribegava simulaciji sistema, koja se uglavnom realizuje na

računaru. Simulacioni modeli mogu da budu svrha sami sebi. tj. da se pomoću

njih ispituje ponačanje sistema.Takođe, simulacioini modeli mogu da posluže

kao baza za primenu nekih drugih metoda vezano za anlizu ponašanja sistema,

bez ekperimentsanja na realnom sistemu.

JEDNAČINE ZA OPIS SISTEMA. VRSTE JEDNAČINA

Zakoni fizike definišu relacije između fundamentalnih veličina i obično se

prdedstavljanaju pomoću odgovarajućih jednačina.

Skalarna verzija II Njutnovog zakona (sila inercija) glasi da ako je sila veličine f

primenjena na masu od M jedinica, tada se ubrznje mase (a) povezuje sa silom, na

osnovu jednačine:

f = Ma

Sa druge starne, Omov zakon glasi da ako se napon veličine u priključi na otpornik R

tada je struja i kroz otpornik povezana sa naponom jednačinom

u = Ri

Jedna klasa jednačina koja ima široku primenu u opisivanju fizičkih zakobna jesu

diferencijalne jednačina.

Postoje obične i parcijalne diferencijalne jednačine.

1. Obične diferencijalne jedančine (sadrže jednu ili više zavisno promenljivih, ali

imaju samo jednu nezavisnu promenljivu i jedan ili više izvoda zavisno

promenljive po nezavisno promenljivoj)

)()(

)()(...)()(

0

)(

01

)1(

1

)(

tkxdt

tya

tkxtyadt

tya

dt

tya

n

ii

i

i

n

n

nn

n

n

2. Parcijalne diferencijalne jednačine (sadrže jednu ili više zavisno promenljivih

i imaju dve ili više nezavisnih promenljivih zajedno sa parcijalnim izvodima

koji su funkcija nezavisno promenljivih)

16

Na primer: difuziona jednačina

t

Tk

x

T

- je parcijalna diferencijalna jednačina

T – zavisna promenljiva zavisi od (x) i od (t).T predstavlja koncentraciju neke

količine(npr. primese u poluiprovodniku) na nekom mestu (x) i u nekom vremenu

t).

k – koeficijent

x – mesto posmatranja (nezavisna promenljiva)

t – predstavlja vreme posmatranja(nezavisna promenljiva)

Diferencijalne jednačine su korisne za povezivanje promena promenljivih i

drugih parametarta.

Primer:

Drugi Njutnov zakon može se alternativno napisati kao odnos između sile f,

mase M i odnosa promene brzine mase (v) sa vremenom (t),tj.

dt

dvMf

Dalje, isti zakon možemo izraziti tako što ćemo ubrzanje izraziiti kao drugi

izvod pređenog puta (x) u vremenu (t), tj.

2

2

dt

xdMf

Primer:

Omov zakon može se alternativno napisati kao odnos između napona (u),

otpornosti R i iznosa protoka naelektrisanja kroz otpornost dt

dq, tj.

dt

dqRu

Vremenski promenljive diferencijalne jedančine su jedančine kod kojih

jedan ili više članova eksplicitno zavise od nezavisne promenljive t. Na primer,

)()()(

2

22 txty

dt

tydt

Ovde je eksplicitna zavisnost od vremena t izražena preko koeficijenta 2t , jer bi

bez njega ova diferencijalna jednačina bila vremenski nepromenljiva.

17

Vremensski nepromenljiva diferencijalna jednačina je jednačina u kojoj

nijedan od članova ne zavisi eksplicitno od nezavisno promenljive t (ovde je u

pitanju implicitna zavisnost). To znači da proces koji je opisan ovakvom

jednačinom ne varira sa vremenom. Tako, jednačina oblika

m

jj

j

j

n

ii

i

idt

xdb

dt

yda

1

)(

1

)(

gde su koeficijenti ai (i=0,1,2,....), bj (j=0,1,2,3, ....) konstantni, jeste vremenski

nepromenljva diferencijalna jednačina, jer ona zavisi implicitno od vremena (t),

preko zavisno promenljivih x i y i njihovih izvoda.

Diferencijalna jednačina koja se sastoji od sume linearnih članova jeste

linearna diferencijalna jednačina.

Linedarni član je onaj kada je nezavisno promenljiva ili njeni izvodi prvog

stepena. Primer linearne diferencijalne jednačine

m

jj

j

j

n

ii

i

idt

xdb

dt

yda

1

)(

1

)(

Sve druge jednačine su nelinearne diferencijalne jednaline.

Primeri nelinearnih diferencijalnih jednačina:

0

2

y

dt

dy (Ovde je član

2

dt

dynelinearan).

0cos2

2

ydt

yd (Ovde je član cosy nelinearan član).

PREDSTAVLJANJE SISTEMA

Matematički model sistema koji se često zadaje odgovarajućim jedančinama

obično se predstavljai blok – dijagramima.

Nasuprot apstraktnijem matematičkom predstavljanju blok dijagarami ukazuju realnije na

stalni proces koji se odigrava u sistemu. Za čitav sistem je relativno lako formirati

globalni dijagram jednostavnim kombinovanjem blokova za svaku pojedinačnu

komponentu sistema, ili deo sistema.

18

G(D) e c=G(D)e Blok sa operacijomG(D) predstavlja simbol za

množenje

Elementi blok dijagrama su:

1. KOMPARATOR – Važan element kod predstavljanja sistema jeste komparator.

To je elemet koji služi za poređenje željenog i stvarnog (upravljačkog) signala, pri

čemu se dobija greška koja se dalje šalje na ulaz sistema. Šematski se predstavlja

na sledeći način

U slučaju kada je upravljana promenljiva c direktno dovedena na komparator tj.

predstavlja direktnu povratnu spregu, tada se radi o JEDINIČNOJ NEGATIVNOJ

POVRATNOJ SPREZI.

2. ELEMENT UPRAVLJANJA – dreugi element kod predstavljanja sistema je

element uprvljanja. To je deo sistema koji se nalazi između signala dejstva e i

upravljane promenljive c. Ako sa G(D) označimo operacije upravljačkog

elementa, tada se element upravljanja može grafički predstaviti na sledeći način

U ovom slučaju izlaz sistema (c) dobija se kao proizvod funkcije G(D) sa ulaznom

veličinom (e), tj. c = G(D)*e

Sa kružnim elementima koji predstavljaju tačke sumiranja i sa blokovima, koji ukazuju

na odgovarajuća množenja, bilo koji linearni matematički izraz može da bude

predstavljen preko notacije blok dijagramima.

3. Kombinovanjem navedenih grafičkih predstavljanja dobija se potpuni blok

dijagram za elementarnu jediničnunegativnu povratnu spregu sistema upravljanja.

r + e = r-c

-

c

G(D) r +

-

c

c

SISTEM *

r – referenti ulaza

c – signal povratne veze

(upravljana promenljiva)

e – signal dejstva

– je simbol koji kazuje na

sumiranje signala

Elementarna jedinična povratna sprega

dobija se ako iskombinujemo

komparator i element upravljanja. Izlaz

c se bez posrednika vraća na

komparator. Ovaj sistem je u stanju da

sam sebe koriguje.

19

Često puta, kada se upravljana promenljiva (c) vraća natrag na komparator, obično je

potrerbno da konvertujemo oblik upravljane promenljive (c) na oblik koji je pogodan

za komparator. Na primer: ako je fizička veličina upravljane promenljive (c) struja, a

fizička veličina referentnog signala (r) napon, tada je potrebno da konvertujemo

veličinu upravljane c promenljive u napon.

Ovakva konverzija se ostvaruje pomoću elementa povratne sprege H(D).

4. generalni blok dijagram za sisteme upravljanja sa povratnom spregom bio bi:

ELEMENT POVRATNE SPREGE – konvertuje upravljani signal c radi pogodnijeg

poređenja sa referentnim signalom r.

Signal povratne sprege (b) jednak je proizvodu funkcije H(D)*c

Elementi upravljanja predstavljeni sa G(D) su elementi direktne grane, jer je

njihova lokacija u direktnoj grani dela petlje.

Elementi predstavljeni sa H(D) nazivaju se elementi povratne sprege zato što su

oni locirani u delu povratne sprege upravljanja.

Dejstvujući signal (e) je mera ili indikacija greške i jednaka je razlici referentnog

signala i signala povrane sprebe:

e = r – b

Pojam sistema upravljanja sa povratnom spregom je opšti pojam koji se

primenjuje na bilo koji sistem u kome se upravljan promenljiva meri i vraća natrag da bi

bila poređena sa referentnim ulazom.

G(D)

H(D)

c

b=H(D)*c

e = r-b r + Klasišna povratna sprega se dobija

kada se u granu elementarne

povratne sprege doda element

povratne sprege H(D) preko koga se

upravljani signala (c) vraća natrag

na komparator, i ako je potrebno

konvertuje u pogodan oblik.

20

Primer: čovek u hodu

Željena brzina sa kojom čovek želi da se kreće je referentni ulaz.

Stvarna brzina sa kojom se čovek kreće je upravljana brzina,

Ukoliko čovek želi da se šeta kroz park, tada je željena brzina mala.

Kada je čovek u žurbi, željena brzina ja tada veća.

Komparator poredi referentni ulaz (željena brzina) sa upravljanom promenljivom (stvarna

brzina) i kao rezultata daje razliku ovih veličina.

Mozak čoveka služi kao komparator. Signal greške ide do nogu čoveka u cilju da on

ubrza kretanje ili da ga uspori. Cilj je da se greška svede na nulu, tj. da stavrna brzina

bude jednaka željenoj.

Slika: Čovek u hodu kao sistem sa povratnom spregom

Primer: Sistem regulisanja dotoka vode u rezervoar

Ciljn ovog sistema je da se održi nivo tečnosti na željenoj visisni H. Veličina toka koji

izlazi iz rezervoara Qiz varira sa zahtevom. Operator otvara ili zatvara ventil da bi

regulisao iznos toka u rezervoaru Qul i time održava željenu visinu tečnosti u rezervoaru.

Čovek

Upravljana promenljiva (stvarna brzina hodanja)

+

Željena brzina (referentna

brzina hodanja)

Mozak (čovek)

21

Slika: Sistem regulisanja dotoka tečnosti u rezervoaru.

Ako ovakvim sistemom upravlja čovek, onda bi blok dijagram sistema bio:

Slika: blok dijagram sistema sa povratnom spregom

Ruke i ventil

Tečnost u rezervoaru

Oči

Stvarni nivo

Željeni nivo

Čovekov mozak

H

Qul

Qiz

Tečnost

22

Kod ovog sistema:

- čovekov mozak igra ulogu kontrolera

- ruke operatera zamenjuju pneumatski ventil

- oči čoveka predstavljaju senzor (plovak)

Posao operatera u ovom slučaju jeste naporan. Sistem se može automatizovazi, tako da

umesto operatera posao odrađuje kontroler i pneumatski ventil. Šematski dijagram ovog

sistema je prikazano na slici

Sistem regulisanja nivoa tečnosti u rezervoaru pomoću pbneumatskog ventila

Ovde automatski kontroler podržava novo tečnosti poređenjem stvarnog novoa sa

željenim nivopom (H) i ispravlja bilo koju grešku podešavanjem otvaranja pneumatskog

ventila.

Blok dijagram ovakvog sistema upravljanja prikazan je na slici

Pneumatski ventil

Kontroler

Opadanje tečnosti

Dotok tečnosti

Tečnost

23

Pneumatski ventil

Tečnost u rezervoaru

Plovak (senzor)

Stvarni nivo

Željeni nivo

Kontroler