Kompiuterinė lazerių fizika
ĮVADAS
Konspektai
http://web.vu.lt/ff/v.pyragaite/
Skyrelis TEACHING
Laboratoriniai
311 aud., du pogrupiai, kas antra savaitė
Matlab kalba
8 laboratoriniai – užduotys, surašytos interneto puslapyje
Istorija
LASER – light amplification by stimulated emission of radiation
Lazerio principas kilo iš maser’io principoMASER – microwave amplification by stimulated emissionMaseris buvo pasiūlytas: Basov ir Prokhorov (1954-1955) bei Townes (1954).Schalow ir Townes perkelė jo principą į matomą spinduliuotę.
Maseris – perėjimai tarp molekulinių lygmenųLaseris – perėjimai tarp atomo elektrono lygmenų.
Lazerio sandara
•Rezonatorius•Aktyvoji terpė•Kaupinimo šaltinis
Bėganti e.m. banga:Rezonatoriuje – stovinčios e.m. bangos
Rezonatoriaus ilgis lygus sveikam pusbangių skaičiui.
Lazerio sandara
Aktyvioji terpė – šuoliai tarp elektroninių lygmenų. Užpildos inversija – lazerio generacijos sąlyga.
Lygmenų schemos.
Trijų lygmenų schema: Keturių lygmenų schema:
3 3
Kaupi-nimas
Nespindulinisperėjimas 2
2Lazerinisperėjimas
1
1 0
Pvz.: rubino lazeris Pvz: neodimio stiklo lazeris
Lazerio spinduliuotės savybės:
•Didelės galios (1010 W)•Kryptingumas •Monochromatiškumas (δν/ν=10-15)•Koherentiškumas (300000 km – koherentiškumo ilgis)•Ultratrumpieji impulsai (fs)
Lygmenų išplitimas
Dėl įvairių priežasčių lazeriniai lygmenys išplitę:Lorenco (baigtinė gyvavimo trukmė)Gauso (susidurimai tarp molekulių)
Lazerio aprašymas
•Rate equations - fenomenologinė teorija.•Pusiau klasikinė teorija – atomas aprašomas kvantmechaniškai, šviesa –klasikinė, elektromagnetinė banga.•Kvantinė lazerio teorija – ir atomas, ir šviesa kvantiniai. Paaiškina spontaninįspinduliavimą.
Pradžioje panagrinėsime fenomenologines lygtis.
Lazerio aprašymas – rate equations
Dviejų lygmenų schema, neįskaitomas spontaninis spinduliavimas.
Fotonų skaičiaus kitimo greitis
Greitis, kuriuosužadintas atomasgeneruoja/sugeria fotoną
Viršutinio lygmensužpilda, priverstinisspinduliavimas
Apatinio lygmensužpilda, priverstinėsugertis
Praradimai rezonatoriuje
Lazerio aprašymas – rate equations
Tikimybė pereiti išviršutinio lygmensĮ apatinį (pvz. susidūrimai)
Viršutinio lygmens užpildos kitimo greitis
Tikimybė pereiti išapatinio lygmens į viršutinį(dėl kaupinimo)
Priverstinis spinduliavimasbei sugertis
Lazerio aprašymas – rate equations
Analogiškai apatiniam lygmeniui:
Sudėję turime
Taigi, bendras atomųskaičius – nekintantisdydis
Lazerio aprašymas – rate equations
Pažymėję
Galime išreikšti
Tuomet
Lazerio aprašymas – rate equations
Pažymime
vadinsime neįsotintaInversija (bus aišku, kodėl)
Gauname
bei
Tai yra dvi sukabintos diferencialinės lygtys. Bendru atveju analiziškaijos nesisprendžia. Panagrinėsime pradžiai stacionarius sprendinius.
Lazerio aprašymas – rate equations
Stacionarus atvejis
Matome, kodėl buvo įvestas terminas ‘neįsotinta inversija’. Kai fotonų skaičiusmažas, D lygus D_0.
Lazerio aprašymas – rate equations
Fotonų skaičiui stacionariuoju atveju turime
Ši lygtis turi du galimus sprendinius:
ir
Panagrinėkime šiuos sprendinius išsamiau.
Lazerio aprašymas – rate equations
-Nėra lazerio generacijos(neįskaitytas spontaninis spind.)
Kai , galimas tik nulinis sprendinys.
Kai
galimas sprendinys.Tai yra lazerio generacijos sąlyga.Kaupinimas turi būti pakankamas,kad būtų sukompensuoti nuostoliai.
Lazerio aprašymas – rate equations
Stacionarųjį sprendinį
Galima apytiksliai perrašyti
Tardami, kad D lėtai kintair įrašę į:
Gauname
arba
Lazerio aprašymas – rate equations
Startuodami iš bet kokios pradinės sąlygos,sprendinys suvažiuoja į nulį
Sprendinys artėja link n_0
Užduotis: sumodeliuoti šią lygtį Runge-Kutta metodu abiem atvejaisesant skirtingom pradinėm sąlygoms.
Lazerio aprašymas – rate equations
a=1b=1
a=-1b=1
Oilerio metodai
I Oilerio metodas
Teiloro eilutė iki pirmos eilės išvestinės
Oilerio metodai
II Oilerio metodas
Tarpinė reikšmė:
Galutinė
Tai atitinka Teiloro eilutės skleidinį iki antros eilės išvestinės.
Oilerio metodai
II Oilerio metodas
Įrodymas
Oilerio metodai
Runge-Kutta metodas
Tai atitinka Teiloro eilutės skleidinį iki ketvirtos eilės išvestinės.
Oilerio metodai
Runge-Kutta metodas
Įrodymas
Oilerio metodai
Runge-Kutta metodas
Įrodymas
Paliekami nariai tiktai iki ketvirtos eilės mažų narių.
Oilerio metodai
Runge-Kutta metodas
Įrodymas
Oilerio metodai
Runge-Kutta metodas
Įrodymas
Oilerio metodaiRunge-Kutta metodas
Įrodymas
Sudėjus
Oilerio metodai
RK 4 metodo įrodymo nereikės per egzaminą.
Runge Kutta metodas su Matlab
Funkcija [t,y]=ode45(@func, [tprad tgal],[y0]);
Funkcija func aprašoma to paties pavadinimo faile func.mMatlab Help:ODE::defined
Piesimas:
plot(t,y);
Paviršinė vandens banga = išilginė b.+ skersinė b.
Bangų matematinis aprašymas
Kaip aprašyti bangą matematiškai?
atsilenkimas nuo pusiausvyros padėtiesξPažymėkime:
Dabar nesvarbu, ar tai atsilenkimas išilgai bangos sklidimo krypties (išilginė banga),ar statmenai bangos sklidimo krypties (skersinė banga).
Jei yra bet kokia funkcija f nuo argumento:
vxt /− vxt /+arba
tai ji nusako bangos sklidimą greičiu v, X ašies kryptimi arba priešinga kryptim.t – laikas.
ξ
Iš tikrųjų: vdtdxconstxvt =⇒=− /
Kodėl v yra bangos greitis?
(Kai funkcijos argumentas pastovus, tai ir funkcijos reikšmė pastovi.)
Bangų matematinis aprašymas
Taigi, funkcijos
)/(),()/(),(
vxtftxvxtftx
+=−=
ξξ aprašo bangos sklidimą X ašies kryptimi
aprašo bangos sklidimą prieš X ašį
Harmoninės bangos
])/[cos(),( vxtatx −= ωξ ω - ciklinis dažnis
Iš periodiškumo sąlygų:
- periodasTωππω /22 =⇒=∆ Tt
- bangos ilgisvTvvx ==⇒=∆ ωπλπω /22/ λ
Kadangi ν/1=T - virpesių dažnisν
tai νλ /v=
Bangų matematinis aprašymas
Užrašysime kosinuso argumentą simetrine forma:
kxtvxt −=− ωωω /
ČiaTvvk /2/ πω ==
arbaλπ /2=k - banginis skaičius
Taigi harmoninė banga gali būti užrašyta taip:
)cos( kxta −= ωξ
Bangų matematinis aprašymas
)cos( kxta −= ωξ
Bangų matematinis aprašymas
Šios funkcijos aprašo plokščias bangas: bangos frontas (vienodos fazės paviršius) yra plokštuma, statmena X ašiai. Banga, sklindantibet kokia pasirinkta kryptimi, aprašoma tokia lygtim:
)/( vnrtf vr−=ξ
nr - vienetinis vektorius, aprašantis bangos sklidimo kryptį
Harmoninės bangos atveju
)cos( rkta vv−= ωξ
kr
- banginis vektorius
Bangų matematinis aprašymas
Banginės lygtys
Turėjome
)/(),( vxtftx −=ξ
Pažymėkime fazę: vxt /−=ϕ
Raskime išvestines pagal laiką ir koordinatę:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−•
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
•∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
vxx
tt1
1
ϕξϕ
ϕξξ
ϕξϕ
ϕξξ
Iš čia seka
tvx ∂∂
−=∂∂ ξξ 1 Tai yra pati paprasčiausia
banginė lygtis
Bangų matematinis aprašymas
Bangai, sklindančiai priešinga kryptimi, atliksime pakeitimą
vv −⇒
Tuomet
tvx ∂∂
=∂∂ ξξ 1
Taigi, kiekviena iš dif. lygčių aprašo bangą, sklindančią viena arbapriešinga kryptim. Išvesime diferencialinę lygtį, kurios sprendiniai bus dviejų tokių bangų superpozicija.
Bangų matematinis aprašymas
Tuo tikslu raskime antrąsias išvestines:
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
111ϕξϕ
ϕξ
ϕξξ
ϕξ
ϕξξξ
∂∂
=∂∂
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−=∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=∂∂
vxvxvx
tttt
Iš čia gauname banginę lygtį:
2
2
22
2 1tvx ∂
∂=
∂∂ ξξ
Jos bendrasis sprendinys
)/()/( 21 vxtfvxtf ++−=ξ
Bangų matematinis aprašymas
Trimačiu atveju banginė lygtis atrodo taip:
2
2
2
1tv ∂
∂=∆
ξξ
Sferinėje koordinačių sistemoje, jeigu sprendinys nepriklauso nuo erdviniųkampų, ši lygtis atrodo taip:
)(1)( 2
2
22
2
ξξ rtv
rr ∂
∂=
∂∂
Jos bendrasis sprendinys:
rvtrf
rvtrf )()( 21 +
+−
=ξ
Tai yra išsieinančios ir susieinančios sferinių bangų superpozicija.
Bangų matematinis aprašymas
Kompleksinis atvaizdavimas.
Pagal Eulerio formulę:
)sin()cos()exp( ααα ii +=
Skaičiavimuose patogu plokščią bangą atvaizduoti kompleksinėjeformoje:
])[exp( ϕωξ −−−= rktiA
amplitudė fazė
Animacijų kurimas su Matlab
Animacija
Animacijų kurimas su Matlab
Matlab kodas
Banginės lygties modeliavimas
xv
t ∂∂
−=∂∂ ξξ
Banginės lygties modeliavimas
Diskretizavimas:
),(),( tjxitx ∆∆⇒ ξξ
i, j – sveikų skaičių seka
ji ttjxxi =∆=∆ ,Pažymime:
)()0,( 0 xtx ξξ ==Mes turime pradinę sąlygą:
,...,, 321 tttUždavinys: rasti bangos pavidalą sekantiems laiko momentams:
jt
tt j ∆+
0 x∆ x∆2 Nxx
Banginės lygties modeliavimas
Žinodami , galima rasti pagal Teiloro formulę:),( jtxξ ),( 1+jtxξ
ij xxttjiji t
ttxttx==∂
∂∆+=∆+
,
),(),( ξξξ
Teiloro eilutėje įskaitomi tik du pirmieji skkleidimo nariai,toks artinys vadinamas pirmuoju Oilerio metodu.
Išvestinę paimam iš banginės lygties:ij xxttt ==∂
∂
,
ξ
ijij xxttxxtt xv
t ==== ∂∂
−=∂∂
,,
ξξ
Banginės lygties modeliavimas
ij xxttx ==∂∂
,
ξ radimas
2
22
,
2
22
,
2)(),(),(
2)(),(),(
xx
xxtxtxx
xx
xxtxtxx
ij
ij
xxttjiji
xxttjiji
∂∂∆
+∂∂
∆−=∆−
∂∂∆
+∂∂
∆+=∆+
==
==
ξξξξ
ξξξξ
Iš pirmo lygties atimam antrąją, gauname
)2/()},(),({,
xtxxtxxx jiji
xxtt ij
∆∆−−∆+=∂∂
==
ξξξ
Banginės lygties modeliavimas
Taigi, gauname
)2/()},(),({),(),( xtxxtxxtvtxttx jijijiji ∆∆−−∆+∆−=∆+ ξξξξ
Kraštinės sąlygos.
Kai , mes nežinome, kam lygusmaxii = ),( max ji txx ∆+ξ
Kai , mes nežinome, kam lygusminii = ),( min ji txx ∆−ξ
Banga sklinda teigiama X ašies kryptimi, todėl kairiajame krašte reikia užduotišaltinį, pavyzdžiui sinuso funkciją. Dešiniajame krašte užrašome:
xtxtxxtvtxttx jijijiji ∆−∆−∆+=∆+ /)},(),({),(),( maxmaxmaxmax ξξξξ