1
İNTEGRAL
KONU ANLATIMI
ÖRNEKLER
0
0n
2
Ġntegral almak , ‘’türevi verilen bir
fonksiyonu bulmak’’tır.
)(xfdx
dy , ),( bax
fonksiyonu olarak verildiğini ve
y=F(x) in istendiğini varsayalım.
ÖRNEK:
xdx
dy2 için y nin x cinsinden ifadesi:
y=x2 + C dir. ( C , herhangi bir sabit.)
)()(
xfdx
xdF
koĢulunu sağlayan y = F(x)
fonksiyonuna f(x) in x ‘e göre
integrali denir.
CxFdxxf )()(
biçiminde gösterilir.
( CxFdxxfxdF )()()( )
ÖRNEK:
23xdx
dy , dxxdy 23
Cxdxxy 323
( Cxxd 33 )( )
Cudu
duaadu
dvdudvdu )(
Cn
uduu
nn
1
1
( n 1 )
ÖRNEK:
Cxdx
ÖRNEK:
Cxxdx 2
2
1
ÖRNEK:
Cxdxxdxx 2
3
2
1
3
2
ÖRNEK:
Cxdxxdxx 3
4
3
1
3
4
3
ÖRNEK:
Cxdxxx
dx
22
1
ÖRNEK:
Cx
xxdxx
xx
22
265 35
2
24
ÖRNEK:
Cuu
duuduuuu
4
32
4
1
)1()1)(1(
ÖRNEK:
Cvvvdvvdvv
dvv
dvv
vdv
v
v
23
2
11
2
1
2
1
Cxxdx sincos
Cxxdx cossin
Cxxdx tansec2
Cxxdx cotcsc2
Cxxdxx sectansec
Cxxdxx csccotcsc
ÖRNEK:
Cxxdx 2sin2
12cos
Ca
baxFdxbaxf
)()(
3
ÖRNEK:
Cxx
dxxxdx
4sin4
1
2
1
)2cos1(2
1cos 2
ÖRNEK:
dxdxxxdx )tan1(tan 22
Cxxxdxxdx tantansec2
ÖRNEK:
Cxxxx
dxxxx
dxx
xxxxdx
x
x
234)1(
1
)1)(1(
1
1
23423
234
ÖRNEK:
Cxxdxxdxx
xsectansec
cos
sin2
ÖRNEK:
Cxxxdxxdx
dxxx
xx
xx
dx
cottancscsec
cossin
cossin
cossin22
22
22
22
TEOREM:
f, [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon ve
F(x) = x
a
dttf ).( , x[a,b]
ise F fonksiyonu (a,b) aralığında türevi
alınabilir bir fonksiyon olup
F’(x) = f(x) , x(a,b) dir.
)()( xfdttfdx
dx
a
ÖRNEK:
25
1
25 )sin1()sin1( xdttdx
dx
ÖRNEK:
2020
0
2020 )1()1( xxdtttdx
dx
TEOREM:
f , [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon
ve bir ilkeli F ise ;
b
a
aFbFdxxf )()()( dır.
ÖRNEK:
2
15
2
18
22
2
1
42
1
3 x
dxx
ÖRNEK:
2
7
)48(52
25
2)1(
)1()1)(1(
5
4
25
4
5
4
5
4
xx
dxx
dxxdxxx
y=f(x) eğrisi , x=a , x=b doğruları ve
x ekseni ile sınırlı bölgenin alanı :
b
a
dxxfA )( dir.
ÖRNEK:
4
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÖRNEK:
EK BİLGİ :
Parabol ve x ekseni ile sınırlı alan =
3
2Taban x Yükseklik=
3
324)).2(2(
3
2
ÖRNEK:
204)223
8(832
3
512
23)1(
1
)1)(1(
1
1
8
2
8
2
232
8
2
28
2
3
xxx
dxxx
dxx
xxxdx
x
x
UYARI:
Fonksiyon x=1 için TANIMSIZ (süreksiz)
olduğundan integral sınırları içinde olsaydı
integral alma iĢlemi yapılamazdı.
ÖRNEK:
y=2x3-2x eğrisi ve x ekseni ile sınırlı
bölgenin alanı kaç birim karedir?
2x3-2x=2x(x-1)(x+1)=0
x1=-1 , x2=0 , x3=1
10)12
1()1
2
1(0
)22(2
|22|)22(
1
0
3
0
1
24
1
0
3
0
1
3
dxxxxx
dxxxdxxxA
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
a
a
dxxf 0)(
f , [a,b] de sürekli bir fonksiyon ve
],[ bac için ;
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf )()()(
5
ÖRNEK:
?.1
2
0
dxx
1-x = 0 için x=1
1)12
1(220
2
11
22
).1().1(
.1.1.1
2
1
21
0
2
1
0
2
1
2
1
1
0
2
0
xxx
x
dxxdxx
dxxdxxdxx
ÖRNEK:
y = 2-x doğrusu ve y = x2 parabolü ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir ?
y = 2-x doğrusu ve y = x2 parabolü
2-x = x2 , x2+x-2=0 , x1=-2 ve x2=1
noktalarında kesiĢirler.
A = dxxx .2
1
2
2
1
2
2 ).2( dxxx
2
9
3
824
3
1
2
12
322
1
2
32
xxx
y=f(x) ve y=g(x) eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı ;
dxxgxf
b
a
.)()(
ÖRNEK:
y = x3 – x2 – 2x eğrisi ve x ekseni ile sınırlı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
0)2)(1(223 xxxxxx
x1=-1 , x2=0 , x3=2
dxxxxA .2
2
1
23
0
1
2
0
2323 ).2().2( dxxxxdxxxx
0
1
234
34x
xx2
0
234
)34
( xxx
12
374
3
841
3
1
4
10
6
ÖRNEK:
y = x2 – 1 ve y = 1 – x2 eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
1 x ve10)1)(1(2
02211
21
222
xxx
xxx
dxxxA .)1()1(
1
1
22
3
8
3
22).22(
1
1
1
1
32
x
xdxx
ÖRNEK:
y=|x| ve y=2-x2 eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2dir?
|x|=2-x2
x < 0 için ; -x-2+x2=0 , x1=-1
x0 için ; x-2+x2=0 , x2=1
dxxxA .2
1
1
2
0
1
1
0
22 )2()2( dxxxdxxx
1
0
230
1
23
232
232
xxx
xxx
3
7
6
7
6
7
ORTALAMA DEĞER TEOREMĠ:
f , [a,b] de sürekli bir fonksiyon iken ;
b
a
cfabdxxf )()()(
eĢitliğini sağlayan bir c[a,b] vardır.
ÖRNEK:
y = f(x) = x2 + 1 fonksiyonu için ;
[-2,1] aralığında ortalama değer teoremine
uygun c değerini bulunuz ?
623
81
3
1
3).1(
1
2
31
2
2
xx
dxx
121
2)(6)(3
)())2(1().1(
22
1
2
2
xx
cfcf
cfdxx
x1 = -1 , x2 = 1
UYARI:
Dikdörtgen dıĢında kalan taralı alanın ,
Dikdörtgen içinde kalan taranmamıĢ alana
eĢitliğine dikkat ediniz.
7
ÖRNEK:
xy ve 2xy eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir ?
01
2 xxx , 12 x
dxxxA ).( 2
1
0
3
1
3
1
3
2
3
1
3
21
0
32
3
xx
ÖRNEK:
xy sin ve xy cos eğrilerinin
4
x ,
4
5x aralığında sınırladığı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
4
5
4
).cos(sin
dxxxA
22sincos 4
5
4
xx
b
a
dyygyfA )]()([
ÖRNEK:
2yx ve 22
1 2 yx eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
222
11
22 yyy ve 22 y
2
2
2
2
2
22
2
12.2
2
1ydyyyA
3
16
3
44
3
44
6
12
2
2
3
yy
UYARI:
a
dxxfA0
1 ).( ve
b
dyyfA0
1
2 ).(
8
f , bir çift fonksiyon ise :
a
a
a
dxxfAAAdxxf0
).(22).(
f , bir tek fonksiyon ise :
a
a
AAdxxf 0).( dır.
ÖRNEK :
dxx
x
24
24
41
1
sin
değeri kaçtır?
41
sin)(
x
xxf
tek fonksiyon olduğundan
0.1
sin24
24
4
dxx
x
dır.
28011
sin24
24
24
24
4
dxdxx
x
ÖRNEK : 3xy ve 3 xy eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
0933 xxxx
11 x , 02 x , 13 x
dxxxdxxx ..
1
0
33
0
1
33
1
0
4
3
40
1
3
44
44
3
4
3
4
xxx
x
12
1
2
1
ÖRNEK :
y2+2y=4-y2 y1=-2 , y2=1
1
2
22 )].2()4[( dyyyyA
1
2
2 ).224( dyyy
1
2
32
3
24
yyy
93
1648
3
214
9
ÖRNEK :
dxx .
2
1
?
101 xx
010 xx
121 xx olduğundan ;
0
1
1
0
2
1
2
1
.1.0.1. dxdxdxdxx
01210
02
1
0
1
xx
ÖRNEK :
6 ; -2 < x < 1 için
)(xf -4 ; 1 < x < 3 için
5 ; 3 < x < 8 için
8
2
).( dxxf =?
1
2
3
1
8
3
8
2
.5.4.6).( dxdxdxdxxf
8
3
3
1
1
2546 xxx
35
1540)412()12(6
Nn için :
n çift iken ;
1
21
1
ndxx n
n tek iken ;
0
1
1
dxx n dır.
r pozitif rasyonel sayıları için :
1
1
0
11
0
dxxdxx rr
)()()()().( '''' bfafaafbbfdxxxf
b
a
Cxx
dx
arcsin
1 2 ( |x| < 1 )
Ca
x
xa
dx
arcsin
22 (a >0 , |x|<a)
10
ÖRNEK :
?94
3
2
02
x
dx
3
2
0 2
3
2
02
)9
4(9
94x
dx
x
dx
1243
10arcsin
2
1arcsin
3
1
2
3arcsin
3
1
9
43
1 3
2
0
3
2
0 2
x
x
dx
Cxx
dx
arctan12
Ca
x
aax
dx
arctan1
22 ( a 0 )
ÖRNEK :
1
12
x
y ve 2
2
1xy eğrileri ile sınırlı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
1
12x
2
2
1x x1=-1 , x2=1
dxxx
dxxx
A
1
0
2
2
1
1
2
2 2
1
1
12
2
1
1
1
3
1
26
1arctan2
1
0
3
xx
Cxx
dx ln
Cbaxabax
dx
ln1
( a 0 )
Cbxbaxdxbx
ax
ln)(
ÖRNEK :
Cxx
dx
75ln5
1
75
ÖRNEK :
Cxx
Cxxdx
x
x
dx
x
x
dxx
x
6
1ln
9
5
3
1
6
1ln
6
1
2
3
3
1
6
12
3
3
1
)6
1(6
)2
3(2
16
32
Cxfdxxf
xf )(ln
)(
)('
ÖRNEK :
Cxxdxxx
x
23ln
23
32 2
2
ÖRNEK :
CxCx
dxx
xdx
x
xdxx
seclncosln
cos
)(cos
cos
sin.tan
'
11
Cxdxx secln.tan
Cbx
ax
abbxax
dx
ln1
))((
(a b)
Cax
ax
aax
dx
ln2
122
(a 0)
ÖRNEK :
)3)(2(62 xx
dx
xx
dx
Cx
xC
x
x
3
2ln
5
1
3
2ln
)2(3
1
ÖRNEK :
222 3)2(94 x
dx
x
dx
Cx
xC
x
x
32
32ln
12
1
32
32ln
)3)(2(2
1
ÖRNEK : 4
2
4
2
58ln5
1
58t
t
dt
6ln5
1
12
2ln
5
12ln
5
112ln
5
1
ÖRNEK :
Cxdxx
xdxx sinln.
sin
cos.cot
Cxdxx sinln.cot
ÖRNEK :
)4)(1(43
0
3
2 yy
dy
yy
dy
2ln5
416ln
5
1
4ln5
1
4
1ln
5
1
4
1ln
)1(4
10
3
y
y
Cedxe xx
ÖRNEK :
Cxeedxee
dxe
eeedx
e
e
xxxx
x
xxx
x
x
22
23
2
1).1(
1
)1)(1(.
1
1
Ca
adxa
xx ln
ÖRNEK :
10ln.10
99
10ln
1010
10ln
1010
11
1
1
1
x
xdx
ÖRNEK :
14ln
14
4ln
)4(
)4(4
1
0
1
0
1
0
e
e
e
duedue
u
uuu
12
ÖRNEK :
3ln3
8
3ln
13
1
3ln
13
3ln
3
3ln
3
33).33(
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
xx
xxxx dxdxdx
duufdxxuxuf ).().('.)(
ÖRNEK :
dxxx .cos.sin3
dxxduxu .cossin
Cx
Cu
duudxxx
4
433
sin4
1
4.cos.sin
ÖRNEK :
dxx.sin 3
xxx sin.sinsin 23
xxxx 2222 cos1sin1sincos
dxxxdxx
dxxx
dxxxdxx
.sin.cos.sin
.sin).cos1(
.sin.sin.sin
2
2
23
dxxduxu .sincos
Cxx
Cux
duux
3
3
2
cos3
1cos
3
1cos
cos
ÖRNEK :
dxxx 32
dxduxu .332
)2(3
1 ux
duuudxxx .)2(9
132
Cxxxx
Cuu
duuu
32)32(27
432)32(
45
2
27
4
45
2
).2(9
1
2
2
3
2
5
2
1
2
3
ÖRNEK :
dxx.sec
dxxx
xxxdxx .
tansec
tansec.sec.sec
dxxx
xxx.
tansec
sectan.sec 2
xxxduxxu 2sectan.sectansec
Cxx
Cuu
du
tansecln
ln
Cxxdxx tansecln.sec
Cxxdxx cotcscln.csc
)(
)(
).().('.)(
bu
au
b
a
duufdxxuxuf
13
ÖRNEK :
dxx
xe
.ln
1
1ln
01ln1
ln
eex
x
x
dxduxu
2
1
2
1..
ln1
0
2
1
01
uduudxx
xe
ÖRNEK :
)1( xx
dx
x
dxduxu
2
CxCu
u
du
xx
dx
1ln21ln2
12
)1(
ÖRNEK :
3
1 )1( ss
ds
s
dsdusu
2
33
11
us
us
6432
1arctan3arctan2arctan2
12
)1(
3
1
3
1
2
3
1
u
u
du
ss
ds
duvuvdvu ..
ÖRNEK :
dxxx .sin.
dxxvdxxdv
dxduxu
.cos.sin
Cxxx
dxxxxdxxx
sincos.
.coscos..sin.
ÖRNEK :
dxx.ln
xvdxdv
x
dxduxu
ln
Cxxx
dxxxdxx
ln.
ln..ln
UYARI :
Ġntegrali alınacak ifade de ,
hangi fonksiyona ‘’u’’ , hangisine de ‘’dv’’
denileceğini kolaylaĢtıran bir yol :
‘’LAPTÜ’’ kelimesinde ;
L ; logaritma
A ; arcsin, arccos gibi ters trigonometrik
fonksiyonlar
P ; polinom fonksiyon
T ; trigonometrik fonksiyon
Ü ; üstel fonksiyon
olmak üzere iki değiĢik fonksiyondan önce
gelen fonksiyon ‘’u’’ , diğer kısım ‘’dv’’ ile
gösterilir.
14
ÖRNEK :
dxxx .ln.
2.
ln
2xvdxxdv
x
dxduxu
Cxxx
dxxxx
dxxx
22
2
4
1ln
2
1
.2
1ln
2.ln.
ÖRNEK :
1
0
.arctan dxx
21arctan
x
dxduxu
xvdxdv
2ln2
1
4
)1ln(2
11arctan
1arctan..arctan
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
x
x
xxxdxx
ÖRNEK :
dxex x
2
dxxduxu .22 xx evdxedv
dxexexdxex xxx
.222
xx evdxedv
dxduxu
Cexeex
dxexeex
xxx
xxx
22
2
2
2
ÖRNEK :
dxxxdxx .sec.sec.sec 23
xvdxxdv
dxxxduxu
tan.sec
.tan.secsec
2
dxxxxx .sec.tantan.sec 2
1sectan 22 xx
dxxdxxxx
dxxxxx
.sec.sectan.sec
.sec)1(sectan.sec
3
2
dxxxxdxx .sectan.sec.sec2 3
Cxxxxdxx tansecln2
1tan.sec
2
1.sec3
ÖRNEK :
dxbxeax .cos
a
evdxedv
dxbxbdubxu
axax
.sincos
).sin(cos.cos dxbxba
ebx
a
edxbxe
axaxax
dxbxea
b
a
bxe axax
.sincos
a
evdxedv
dxbxbdubxu
axax
.cossin
dxbxe
a
b
a
bxe
a
b
a
bxe axaxax
.cossincos
dxbxea
b
a
bxbe
a
bxe ax
a
axax
.cossincos 2
2
22
2 sincos.cos1
a
bxb
a
bxedxbxe
a
b axax
15
Cba
bxbbxaedxbxe axax
22
sincos.cos
Cba
bxbbxaedxbxe axax
22
cossin.sin
ÖRNEK :
dxxn .sin ( n=2,3,… )
dxxxnduxu nn .cos.sin)1(sin 21
xvdxxdv cos.sin
dxxxnxxdxx nnn .cos.sin)1(cos.sin.sin 221
xx 22 sin1cos
dxxndxxnxx nnn .sin)1(.sin)1(cos.sin 21
dxxnxxdxxn nnn .sin)1(cos.sin.sin 21
dxxn
nxx
ndxx nnn .sin
1cos.sin
1.sin 21
dxxn
nxx
ndxx nnn .cos
1sin.cos
1.cos 21
( n=2,3,….. )
ÖRNEK :
dxxxxdxx .sin4
3cos.sin
4
1.sin 234
dxxxdxx2
1cos.sin
2
1.sin 2
Cxxxxxdxx 8
3cos.sin
8
3cos.sin
4
1.sin 34
ÖRNEK :
dxxxxdxx .cos5
4sin.cos
5
1.cos 345
dxxxxdxx .cos3
2sin.cos
3
1.cos 23
Cxxxxxdxx sin15
8sin.cos
15
4sin.cos
5
1.cos 245
dxexnexdxex xnxnxn 1
ÖRNEK :
dxxeexdxex xxx
222
dxexedxxe xxx
Cexeexdxex xxxx 2222
dxxxnxxdxxx nnn .coscos.sin 1
dxxxnxxdxxx nnn .sinsin.cos 1
ÖRNEK :
dxxxxxdxxx .cos2cos.sin 22
dxxxxdxxx .sinsin.cos
Cxxxxxdxxx cos2sin2cos.sin 22
16
𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 𝑑𝑥
ġeklindeki integral iĢlemlerinde:
n tek ise:
dxxxxdxxx nmnm .cos.cos.sin.cos.sin 1
yazılır.
cos2x = 1-sin2x kullanılır.
m tek ise:
dxxxxdxxx nmnm .cos.sin.sin.cos.sin 1
yazılır.
sin2x = 1-cos2x kullanılır.
m ve n çift ise:
sin2x = 2
1(1-cos 2x) , cos2x =
2
1(1+cos 2x)
sin x.cos x = 2
1sin 2x kullanılır.
ÖRNEK:
𝑠𝑖𝑛4 𝑥. 𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑑𝑥
= 𝑠𝑖𝑛4 𝑥. 𝑐𝑜𝑠6𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
= 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 dersek 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 olur.
𝑠𝑖𝑛4 𝑥. 𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢4 1 − 𝑢2 3𝑑𝑢
= 𝑢4 1 − 3𝑢2 + 3𝑢4 − 𝑢6 𝑑𝑢
= 𝑢4 − 3𝑢6 + 3𝑢8 − 𝑢10 𝑑𝑢
=1
5𝑢5 −
3
7𝑢7 +
1
3𝑢9 −
1
11𝑢11 + 𝐶
= 1
5𝑠𝑖𝑛5𝑥 − 3
7𝑠𝑖𝑛7𝑥 + 1
3𝑠𝑖𝑛9𝑥 − 1
11𝑠𝑖𝑛11𝑥 + 𝐶
ÖRNEK:
𝑠𝑖𝑛 5𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 =
𝑠𝑖𝑛 4𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥
= 1−𝑐𝑜𝑠 2𝑥
2
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 dersek 𝑑𝑢 = − − 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 olur.
𝑠𝑖𝑛 5𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = −
1−𝑢2 2
𝑢𝑑𝑢
= − 𝑢4−2𝑢2+1
𝑈1 2 𝑑𝑢
= − 𝑢7 2 − 2𝑢3 2 + 𝑢−1 2 𝑑𝑢
= −2
9𝑢9 2 + 4
5𝑢5 2 − 2𝑢1 2 + 𝐶
= −2
9 𝑐𝑜𝑠𝑥 9 2 + 4
5 𝑐𝑜𝑠𝑥 5 2 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 2 + 𝐶
ÖRNEK:
𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥
= 1
8 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 2 𝑑𝑥
= 1
8 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠22𝑥 − 𝑐𝑜𝑠32𝑥 𝑑𝑥
=1
8𝑥 + 1
16𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1
8 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥 𝑑𝑥 − 1
8 𝑐𝑜𝑠32𝑥 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2 2𝑥 𝑑𝑥 = 1
2 1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = 1
2𝑥 + 1
8𝑠𝑖𝑛4𝑥
𝑐𝑜𝑠3 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
= 1 − 𝑠𝑖𝑛22𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 dersek 𝑑𝑢 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 olur.
𝑐𝑜𝑠3 2𝑥 𝑑𝑥 = 1
2 1 − 𝑢2 𝑑𝑢 = 1
2𝑢 − 1
6𝑢3
= 1
2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 1
6𝑠𝑖𝑛32𝑥
değerleri yerlerine yazıldığında:
𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥
= 1
16𝑥 − 1
64𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 1
48𝑠𝑖𝑛32𝑥 + 𝐶
17
ÖRNEK:
𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑑𝑥 = ( 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥)𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥
= 𝑡𝑎𝑛𝑥 (𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 1)𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 dersek 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 olur.
𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑢2 + 1 𝑑𝑢
= (𝑢5 2 + 𝑢1 2 )𝑑𝑢 = 2
7𝑢7 2 + 2
3𝑢3 2 + 𝐶
= 2
7 𝑡𝑎𝑛𝑥 7 2 + 2
3 𝑡𝑎𝑛𝑥 3 2 + 𝐶
ÖRNEK:
𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑐4 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑐6𝑥 − 𝑠𝑒𝑐4𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 dersek 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 olur. 𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢6 − 𝑢4 𝑑𝑢
= 1
7𝑢7 − 1
5𝑢5 + 𝐶
= 1
7𝑠𝑒𝑐7𝑥 − 1
5𝑠𝑒𝑐5𝑥 + 𝐶
ÖRNEK:
𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑠𝑒𝑐3𝑥 ve 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 dersek
𝑑𝑢 = 3𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 ve 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
olacağından;
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 kısmi integralinden
𝑠𝑒𝑐5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 olur.
Yerine yazıldığında; 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = 1
4𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1
4 𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = 1
2𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1
2𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶
𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐3𝑥 𝑑𝑥 = 1
4𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1
8𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1
8𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 +
𝐶
ÖRNEK:
𝑐𝑜𝑡3𝑥𝑐𝑠𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑡2 𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑥 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1 eĢitliği kulanıldığında;
= − 𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1 𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑 𝑐𝑠𝑐𝑥
= − 𝑐𝑠𝑐4𝑥 − 𝑐𝑠𝑐2𝑥 𝑑 𝑐𝑠𝑐𝑥
= −1
5𝑐𝑠𝑐5𝑥 + 1
3𝑐𝑠𝑐3𝑥 + 𝐶
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑑𝑥
ġeklindeki integral iĢlemlerinde;
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 = 1
2 𝑠𝑖𝑛 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑎 − 𝑏 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 = 1
2 𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 = 1
2 𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 𝑥
TersdönüĢüm formülleri kullanılır.
ÖRNEK:
𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 1
2 𝑠𝑖𝑛7𝑥 𝑑𝑥 − 1
2 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑑𝑥
= − 1
14𝑐𝑜𝑠7𝑥 + 1
6𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶
ÖRNEK:
𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 1
2 𝑐𝑜𝑠9𝑥 𝑑𝑥 + 1
2 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
= 1
18𝑠𝑖𝑛9𝑥 + 1
2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶
ÖRNEK:
𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑠𝑖𝑛6𝑥 𝑑𝑥 = 1
2 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 − 1
2 𝑐𝑜𝑠9𝑥 𝑑𝑥
= 1
6𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 1
18𝑠𝑖𝑛9𝑥 + 𝐶
18
𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 ( 𝑎 > 0 )
ġeklindeki integral iĢlemlerinde;
𝑥 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑢 − 𝜋2 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋
2 dersek;
𝑑𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 ve
𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎2 − 𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝑢 = 𝑎 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑢
= 𝑎 𝑐𝑜𝑠2𝑢 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑢 olduğundan
𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑎2 𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑑𝑢
𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑑𝑢 = 1
2 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑑𝑢
= 1
2𝑢 + 1
4𝑠𝑖𝑛2𝑢 + 𝑘 = 1
2𝑢 + 1
2𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑘
bulunur.
𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 1
2𝑎2𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 + 1
2𝑎2𝑢 + 𝐶
𝑠𝑖𝑛𝑢 =𝑥
𝑎 , 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑢 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝑢 = 1 −𝑥2
𝑎2 =1
𝑎 𝑎2 − 𝑥2
𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥
=1
2𝑥 𝑎2 − 𝑥2 +
1
2𝑎2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥
𝑎+ 𝐶
𝑎2 − 𝑥2𝑎
0𝑑𝑥
= 1
2𝑥 𝑎2 − 𝑥2 +
1
2𝑎2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥
𝑎 𝑎
0
=1
2𝑎2 arcsin 1 =
1
2𝑎2
𝜋
2 =
1
4𝜋𝑎2
UYARI
Belirli integral tanımından
𝑎2 − 𝑥2𝑎
0𝑑𝑥 ifadesi,
x2 + y2 = a2 çemberinin I. Bölgede
sınırladığı alanı verir.
ÖRNEK:
4 − 𝑥2 − 𝑥 2
0𝑑𝑥 integralinin sonucu
kaçtır? 1989 ÖYS
Ġntegral iĢlemi grafikte taralı daire diliminin
alanını verir.
𝐴 =1
8𝜋22 =
1
2𝜋
19
ÖRNEK:
8 − 𝑥2 −1
2𝑥2
2
−2𝑑𝑥
Ġntegrali;
𝑥2 + 𝑦2 = 8 çemberi ve
𝑦 =1
2𝑥2 parabolü ile sınırlı bölgenin
alanını verir.
8 − 𝑥2 −1
2𝑥2
2
−2𝑑𝑥
= 12𝑥 8 − 𝑥2 + 4𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥
2 2 2
−2− 1
6𝑥3 2
−2
= 2 + 𝜋 − — 2 − 𝜋 − 4
3− (−
4
3)
=4
3+ 2𝜋
𝑥2 + 𝑎2 𝑑𝑥
=1
2𝑥 𝑥2 + 𝑎2 +
1
2𝑎2𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2 + 𝐶
ÖRNEK:
𝑥2+𝑥+1
𝑥−1𝑑𝑥
𝑥2+𝑥+1
𝑥−1= 𝑥 + 2 +
3
𝑥−1
𝑥2+𝑥+1
𝑥−1𝑑𝑥 = 𝑥 + 2 𝑑𝑥 +
3
𝑥−1𝑑𝑥
=1
2𝑥2 + 2𝑥 + 3𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 𝐶
ÖRNEK:
𝑥2−1
𝑥2+1𝑑𝑥
𝑥2−1
𝑥2+1= 1 −
2
𝑥2+1
𝑥2−1
𝑥2+1𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 − 2
𝑑𝑥
𝑥2+1
= 𝑥 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶
ÖRNEK:
𝑥2+2
𝑥−2 𝑥+1 2 𝑑𝑥
𝑥2+2
𝑥−2 𝑥+1 2 =𝐴
𝑥−2+
𝐵
𝑥+1+
𝐶
𝑥+1 2
𝐴 =2
3 𝐵 =
1
3 𝐶 = −1
𝑥2−1
𝑥2+1𝑑𝑥 =
2
3
𝑑𝑥
𝑥−2+
1
3
𝑑𝑥
𝑥+1−
𝑑𝑥
𝑥+1 2
=2
3𝑙𝑛 𝑥 − 2 +
1
3𝑙𝑛 𝑥 + 1 +
1
𝑥+1+ 𝐶
20
ÖRNEK:
3𝑥2+𝑥+4
𝑥 𝑥2+2 2 𝑑𝑥
3𝑥2+𝑥+4
𝑥 𝑥2+2 2 =𝐴
𝑥+
𝐵𝑥+𝐶
𝑥2+2+
𝐷𝑥+𝐸
𝑥2+2 2
𝐴 = 1 𝐵 = −1 𝐶 = 0 𝐷 = 1 𝐸 = 1
3𝑥2+𝑥+4
𝑥 𝑥2+2 2 𝑑𝑥
= 𝑑𝑥
𝑥−
𝑥
𝑥2+2𝑑𝑥 +
𝑥
𝑥2+2 2 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥
𝑥2+2 2
= ln 𝑥 −1
2ln 𝑥2 + 2 −
1
2
1
𝑥2+2 +
1
4
𝑥
𝑥2+2 +
1
4 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑥
2+ 𝐶
ÖRNEK:
3𝑥
𝑥3−1𝑑𝑥
3𝑥
𝑥3−1=
𝐴
𝑥−1+
𝐵𝑥+𝐶
𝑥2+𝑥+1
𝐴 = 1 𝐵 = −1 𝐶 = 1
3𝑥
𝑥3−1𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑥−1+
−𝑥+1
𝑥2+𝑥+1𝑑𝑥
=𝑙𝑛 𝑥 − 1 −1
2𝑙𝑛 𝑥2 + 𝑥 + 1 + 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2𝑥+1
3+
𝐶
HACĠM:
y=f(x) eğrisi, x=a, x=b doğruları ve
x ekseni ile sınırlı R bölgesinin x ekseni
etrafında 360o döndürülmesiyle oluĢan dönel
cismin hacmi:
𝑉 = 𝜋 𝑦2𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = 𝜋 𝑓(𝑥) 2𝑏
𝑎
𝑑𝑥
x=g(y) eğrisi, y=a, y=b doğruları ve
y ekseni ile sınırlı R bölgesinin y ekseni
etrafında 360o döndürülmesiyle oluĢan dönel
cismin hacmi:
𝑉 = 𝜋 𝑥2 𝑑𝑦 = 𝜋 𝑔(𝑦) 2 𝑑𝑦𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
21
ÖRNEK:
𝑦 = 𝑟2 − 𝑥2 eğrisi ve x ekseni ile sınırlı
bölgenin x ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluĢan kürenin hacmi:
𝑉 = 𝜋 𝑦2𝑟
−𝑟𝑑𝑦 = 𝜋 𝑟2 − 𝑥2
𝑏
𝑎𝑑𝑥
= 𝜋 𝑟2𝑥 −1
3𝑥3 𝑟
−𝑟=
4
3𝜋𝑟3
ÖRNEK:
y=3-x2 eğrisi, y ekseni, y=1 ve y=2 doğruları
ile sınırlı bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluĢan dönel cismin hacmi:
𝑉 = 𝜋 𝑥22
1𝑑𝑦 = 𝜋 3 − 𝑦 𝑑𝑦
2
1
= 𝜋 3𝑦 −1
2𝑦2 2
1=
3
2𝜋
ÖRNEK:
𝑦 =𝑟
x doğrusu, x ekseni ve x=h doğrusu ile
sınırlı bölgenin x ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluĢan dönel cismin hacmi:
𝑉 = 𝜋 𝑦2
0𝑑𝑥 = 𝜋
𝑟2
2
0𝑥2
=1
3𝜋𝑟2
2. YOL:
y=mx doğrusunun Ox ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluĢan ( 0≤x≤h )
dönel cismin hacmi:
𝑉 = 𝐴(𝑥)
0
𝑑𝑥
y=mx doğru denkleminde m=𝑟
A(x)=𝜋𝑦2 = 𝜋𝑚2𝑥2 = 𝜋𝑟2
2 𝑥2
𝑉 = 𝐴 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋𝑟2
2
0
𝑥2
0
𝑑𝑥 =1
3𝜋𝑟2