2/13/2019
Limit Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis
Jika ε > 0 > 0
L)y,x(flim)b,a()y,x(
=→
berlaku( ) ( ) −−−22
byax0 −L)y,x(f
x
y
z
(a,b)
Z =f(x,y)
L
L+ε
L–ε
2/13/2019
Catatan
L)y,x(flim)b,a()y,x(
=→
ada jika L)y,x(flim)b,a()y,x(
=→
kurva yang melalui (a,b).
untuk sembarang
Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 yang melalui
kurva, maka dikatakan )y,x(flim)b,a()y,x( →
berbeda untuk masing-masing)y,x(flim)b,a()y,x( →
(a,b) dengan nilai
tidak ada.
. (a,b)
2/13/2019
Contoh
Buktikan bahwa limit 22)0,0(),(lim
yx
xyyx +→
Jawab
22),(
yx
xyyxf
+= terdefinisi di Df = R2 – {(0,0)}
Di sepanjang garis y = 0, kecuali x = 0, maka nilai f adalah
00
0.)0,(
22=
+=x
xxf
Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah
00
0.lim)0,(lim
22)0,0()0,()0,0()0,(=
+=
→→ x
xxf
xx
berikut tidak ada
2/13/2019
Contoh (Lanjutan)
Di sepanjang garis y = x, maka nilai f adalah
2
1.),(
22=
+=
xx
xxxxf
Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah
2
1.lim),(lim
22)0,0(),()0,0(),(=
+=
→→ xx
xxxxf
xxxx
Karena ),(lim)0,(lim)0,0(),()0,0()0,(
xxfxfxxx →→
maka
22)0,0(),(lim
yx
xyyx +→
tidak ada
2/13/2019
Latihan
1.22
22
)0,0()y,x( yx
yxlim
+
−
→
2.24
2
)0,0()y,x( yx
yxlim
+→
Buktikan bahwa limit berikut tidak ada
3.62
43
)0,0()y,x( yx
yxlim
+
+
→
2/13/2019
KekontinuanDefinisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika
ada)y,x(flim)b,a()y,x( →
i. f(a,b) terdefinisi
ii.
)b,a(f)y,x(flim)b,a()y,x(
=→
iii.
Teorema:
1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm
2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada Df asalkan q(x,y) ≠ 0
3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b), maka f0g kontinu di (a,b), didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y))
2/13/2019
Contoh KekontinuanSelidiki kekontinuan fungsi berikut:
1. f(x,y) =)x4y(
y3x22 −
+
2. f(x,y) = )yxy4xcos( 22 +−
Kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4x
Misal g(x,y) = x2-4xy+y2 (Polinom) → g kontinu dimana-mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R.Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang
2/13/2019
Turunan Parsial
Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi duapeubah x dan y.
1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagaiberikut
h
)y,x(f)y,hx(flim)y,x(f
0hx
−+=
→
2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut
h
)y,x(f)hy,x(flim)y,x(f
0hy
−+=
→
2/13/2019
Contoh:
1. 23 xy4yx)y,x(f +=
Tentukan fx dan fy
Jawab
fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2
fy(x,y) = x3 + 8 xy
2. )yxcos(y)y,x(f 22 +=
3. =y
xdttsinln)y,x(f
Jawab
fx(x,y) = –2xy sin(x2 + y2)
fy(x,y) = cos(x2+y2)– 2y2 sin(x2+y2)
Jawab
fx(x,y) = – ln(sinx)
fy(x,y) = ln(siny)
2/13/2019
Latihan1.
2.
3( , ) cos( ) sin(2 )f x y x x y y xy= + +
=y
x
tdteyxf cos),(
Tentukan fx dan fy
1. xzzyxyzyxf 3),,( 2 ++=
2. xyzyxzyxf 2)cos(),,( +−=
Tentukan fx, fy dan fz
2/13/2019
Turunan Parsial Kedua
2
2
),(x
f
x
f
xyxfxx
=
=
2
2
),(y
f
y
f
yyxfyy
=
=
xy
f
x
f
yyxfxy
=
=
2
),(
yx
f
y
f
xyxfyx
=
=
2
),(
2/13/2019
Contoh
1. f(x,y)= x y3 + y3x2
Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx
Jawab
fx(x,y) = y3 + 2xy3
fy(x,y) = 3xy2 + 3x2y2
fxx(x,y) = 2y3
fxy(x,y) = 3y2 + 6xy2
fyy(x,y) = 6xy + 6x2y
fyx(x,y) = 3y2 + 6xy2
2/13/2019
Contoh
2. f(x,y) = xy sin(x2+2xy+y3)
Jawab
fx(x,y) = y sin(x2+2xy+y3) + xy(2x+2y) cos(x2+2xy+y3)
fy(x,y) = x sin(x2+2xy+y3)+xy(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3)
fxx(x,y) =y(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)+(4xy+2y2)cos(x2+2xy+y3)
fxy(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+y(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3)
fyy(x,y) =(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)+(2x2+9xy2)sin(x2+2xy+y3)
fyx(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+x(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)
– xy(2x+2y)2 sin(x2+2xy+y3)
+(2x2+4xy)cos(x2+2xy+y3)–xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)
–xy(2x+3y2)2 sin(x2+2xy+y3)
+(4xy+3y3)cos(x2+2xy+y3)–xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)
2/13/2019
LatihanTentukan fxx, fyy ,fxy, fyx
1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y
2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3)
3. f(x,y) = tan-1(y2/x)
4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2)
5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)
2/13/2019
Arti Geometri Turunan Parsial
Perpotongan bidang y = b dengan fungsipermukaan f(x,y) berupa sebuah kurva(lengkungan s) pada permukaan tersebut.
Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik(a,b) merupakan gradien garis singgungterhadap kurva s pada titik (a,b,f(a,b)) dalamarah sejajar sumbu x.
z
x
y
(a, b)
s
y konstan
0 0( , )x gs
zf x y m
x
= =
2/13/2019
Arti Geometri Turunan Pertama (2)
Perpotongan bidang x = a dengan fungsipermukaan f(x,y) berupa sebuah kurva(lengkungan s) pada permukaan tersebut.
Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik(a,b) merupakan gradien garis singgungterhadap kurva s pada titik (a,b,f(a,b)) dalamarah sejajar sumbu y.
z
x
y(a, b)
s
x konstan
0 0( , )y gs
zf x y m
y
= =
2/13/2019
Soal 1Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan
36 z= 4x2 + 9y2 dengan x = 3 di titik (3,2,2)
Jawab:
yy
zyxfy
2
1),( =
=
Turunan parsial terhadap y adalah
Sehingga didapat 1)2,3( =
=y
zfy
. Bilangan ini adalah
menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurvatersebut di (3,2,2)yaitu 1/1.
Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehinggapersamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah
x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t
Soal 2
Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan
2z =(9x2+9y2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2))
Jawab:
36992
9
36994
18),(
2222 −+=
−+=
=
yx
x
yx
x
x
zyxfx
Turunan parsial terhadap x adalah
Sehingga didapat (2,1) 3x
zf
x
= =
. Bilangan ini adalah
menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurvatersebut di (2,1,(3/2)) yaitu 3/1.
Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehinggapersamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah
x = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t
2/13/2019
Latihan
1. Permukaan 3z = 36 − 9𝑥2 − 4𝑦2 dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, 11/3)
2. Permukaan 4z =5 16−x2 dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5 3/4)
Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva
perpotongan
2/13/2019
Vektor GradienMisalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2
• Definisi
Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D, didefinisikan sebagai
j)y,x(fi)y,x(f)y,x(f yx +=
adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positif
Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)
j,i
Definisi
Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah
k)z,y,x(fj)z,y,x(fi)z,y,x(f)z,y,x(f zyx ++=
adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positifk,j,i
2/13/2019
Contoh
Tentukan ),( yxf
dan )1,1( −−f
dari xyexyxf =),(
xyxyx xyeeyxf +=),(
Jawab
xyy exyxf 2),( =
eeefx 2)1,1( =+=−−
efy =−− )1,1(
( ) jexixyeeyxf xyxyxy ˆˆ),( 2++=
jeief ˆˆ2)1,1( +=−−
Sehingga diperoleh:
2/13/2019
Latihan
I. Tentukan f
dari
1.yx
yxyxf
+=
2
),(
2. 22ln),( yxyxf +=
3. ( )yxyxf 23sin),( =
4. )ln(),( yxxyyxf +=
II. Tentukan f
di titik yang diberikan
1. 22),( xyyxyxf −=
2. )4ln(),( 323 yxyxyxf +−=
3.y
xyxf
2
),( =
di P (– 2,3)
di P (– 1, 1)
di P (2, –1)
5. zxeyxzyxf −= 2),,( 6. 2( , , ) secyf x y z xe z−=
2/13/2019
Aturan RantaiMisalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t
dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t))
Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan
didefinisikan sebagaidz z dx z dy
dt x dt y dt
= +
Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka
( )iz z x z y
s x s y s
= +
( )iiz z x z y
t x t y t
= +
2/13/2019
Contoh
1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukandt
dw
Jawab:
dw w dx w dy
dt x dt y dt
= +
= 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t)
= 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t)
= 2t3. t6. 3t2+3 t6. t4. 2t
= 6t11+6 t11 = 12 t11
2/13/2019
Contoh
2. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2s +7t dan y = 5st,
z
t
Jawab:
z z x z y
t x t y t
= +
= 42 (2s +7t) – 50 s2t
= 6x.7 + (–2y) 5s
tentukanz
s
dan
z z x z y
s x s y s
= +
= 12 (2s+7t) – 50 st2
= 6x.2 + (–2y) 5 t