Lineære ligningssystem; Gauss- ogGauss-Jordan-eliminasjon
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag
September 21, 2010
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Lineære ligningssystem
Vi har et ligningssystem av m ligninger med n ukjente x1, ..., xnsom kan skrives:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
................ ...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Vi vil finne alle løsninger (x1, ..., xn).Ligningssystemet sies vre konsistent hvis det har minst én løsningog inkonsistent hvis det ikke har noen løsninger.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Eksempler
Eksempel 1. Vi vil løse systemet:
2x1 − x2 = 53x1 + 2x2 = 4
+×2
Det er ekvivalent med systemet
2x1 − x2 = 57x1 = 14
Fra den nederste ligningen har vi x1 = 2.S̊a gir den første ligningen x2 = 2x1 − 5 = 4− 5 = −1.
Svar: x1 = 2, x2 = −1.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Eksempler
Eksempel 1. Vi vil løse systemet:
2x1 − x2 = 53x1 + 2x2 = 4
+×2
Det er ekvivalent med systemet
2x1 − x2 = 57x1 = 14
Fra den nederste ligningen har vi x1 = 2.S̊a gir den første ligningen x2 = 2x1 − 5 = 4− 5 = −1.
Svar: x1 = 2, x2 = −1.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Eksempler
Eksempel 1. Vi vil løse systemet:
2x1 − x2 = 53x1 + 2x2 = 4
+×2
Det er ekvivalent med systemet
2x1 − x2 = 57x1 = 14
Fra den nederste ligningen har vi x1 = 2.S̊a gir den første ligningen x2 = 2x1 − 5 = 4− 5 = −1.
Svar: x1 = 2, x2 = −1.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Eksempler
Eksempel 1. Vi vil løse systemet:
2x1 − x2 = 53x1 + 2x2 = 4
+×2
Det er ekvivalent med systemet
2x1 − x2 = 57x1 = 14
Fra den nederste ligningen har vi x1 = 2.
S̊a gir den første ligningen x2 = 2x1 − 5 = 4− 5 = −1.
Svar: x1 = 2, x2 = −1.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Eksempler
Eksempel 1. Vi vil løse systemet:
2x1 − x2 = 53x1 + 2x2 = 4
+×2
Det er ekvivalent med systemet
2x1 − x2 = 57x1 = 14
Fra den nederste ligningen har vi x1 = 2.S̊a gir den første ligningen x2 = 2x1 − 5 = 4− 5 = −1.
Svar: x1 = 2, x2 = −1.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Eksempler
Eksempel 1. Vi vil løse systemet:
2x1 − x2 = 53x1 + 2x2 = 4
+×2
Det er ekvivalent med systemet
2x1 − x2 = 57x1 = 14
Fra den nederste ligningen har vi x1 = 2.S̊a gir den første ligningen x2 = 2x1 − 5 = 4− 5 = −1.
Svar: x1 = 2, x2 = −1.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Eksempler
Eksempel 2.2x1 − x2 + x3 = 5
3x1 + 2x2 − 3x3 = 4
Eksempel 3.2x1 − x2 = 5−4x1 + 2x2 = 4
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Eksempler
Eksempel 2.2x1 − x2 + x3 = 5
3x1 + 2x2 − 3x3 = 4
Eksempel 3.2x1 − x2 = 5−4x1 + 2x2 = 4
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Matriser
Koeffisientmatrisen til ligningssystemet og høyresidevektoren er
A =
a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n... ... ... ...
am1 am2 ... amn
, b =
b1b2...bm
.Totalmatrisen til ligningssystemet er
[A | b] =
a11 a12 ... a1n b1a21 a22 ... a2n b2... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn bm
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Gauss og GaussJordan- eliminasjon
Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en”enkel” matrise ved hjelp av radoperasjoner.
Løsninger til ligningssystemet blir ikke forandret vedradoperasjoner!
I Hva er radoperasjoner?
I Hva mener vi med en ”enkel” matrise?
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Gauss og GaussJordan- eliminasjon
Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en”enkel” matrise ved hjelp av radoperasjoner.
Løsninger til ligningssystemet blir ikke forandret vedradoperasjoner!
I Hva er radoperasjoner?
I Hva mener vi med en ”enkel” matrise?
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Gauss og GaussJordan- eliminasjon
Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en”enkel” matrise ved hjelp av radoperasjoner.
Løsninger til ligningssystemet blir ikke forandret vedradoperasjoner!
I Hva er radoperasjoner?
I Hva mener vi med en ”enkel” matrise?
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Gauss og GaussJordan- eliminasjon
Vi løser ligningssystemet ved å omforme totalmatrisen til en”enkel” matrise ved hjelp av radoperasjoner.
Løsninger til ligningssystemet blir ikke forandret vedradoperasjoner!
I Hva er radoperasjoner?
I Hva mener vi med en ”enkel” matrise?
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Elementære radoperasjoner i en matrise
1. Multiplisere en rad med konstant c 6= 0 (cRj)
2. Bytte om to rader (SWAP(Rj , Rk) / Rj ↔ Rk)3. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (cRj + Rk)
Radekvivalente matriserTo matriser kalles radekvivalente hvis en kan omformes til andreved hjelp av elementære radoperasjoner.
Teorem Dersom to ligningssystem har radekvivalentetotalmatriser, s̊a har ligningssystemene samme løsninger.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Elementære radoperasjoner i en matrise
1. Multiplisere en rad med konstant c 6= 0 (cRj)2. Bytte om to rader (SWAP(Rj , Rk) / Rj ↔ Rk)
3. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (cRj + Rk)
Radekvivalente matriserTo matriser kalles radekvivalente hvis en kan omformes til andreved hjelp av elementære radoperasjoner.
Teorem Dersom to ligningssystem har radekvivalentetotalmatriser, s̊a har ligningssystemene samme løsninger.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Elementære radoperasjoner i en matrise
1. Multiplisere en rad med konstant c 6= 0 (cRj)2. Bytte om to rader (SWAP(Rj , Rk) / Rj ↔ Rk)3. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (cRj + Rk)
Radekvivalente matriserTo matriser kalles radekvivalente hvis en kan omformes til andreved hjelp av elementære radoperasjoner.
Teorem Dersom to ligningssystem har radekvivalentetotalmatriser, s̊a har ligningssystemene samme løsninger.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Elementære radoperasjoner i en matrise
1. Multiplisere en rad med konstant c 6= 0 (cRj)2. Bytte om to rader (SWAP(Rj , Rk) / Rj ↔ Rk)3. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (cRj + Rk)
Radekvivalente matriserTo matriser kalles radekvivalente hvis en kan omformes til andreved hjelp av elementære radoperasjoner.
Teorem Dersom to ligningssystem har radekvivalentetotalmatriser, s̊a har ligningssystemene samme løsninger.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Elementære radoperasjoner i en matrise
1. Multiplisere en rad med konstant c 6= 0 (cRj)2. Bytte om to rader (SWAP(Rj , Rk) / Rj ↔ Rk)3. Addere et multiplum av en rad til en annen rad (cRj + Rk)
Radekvivalente matriserTo matriser kalles radekvivalente hvis en kan omformes til andreved hjelp av elementære radoperasjoner.
Teorem Dersom to ligningssystem har radekvivalentetotalmatriser, s̊a har ligningssystemene samme løsninger.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Echelonmatrise
Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
En matrise kalles echelonmatrise hvis
1. Eventuelle nullrader st̊ar nederst.
2. Lederelementet i hver ikkenullrad st̊ar til høyre forlederelementer i raden over.
Anta at totalmtrisen til et ligningssystem er en echelonmatrise.Hver kolonne untatt den siste tilsvarer til en ukjent.En ukjent som tilsvarer til en kolonne med et lederelement kallesen ledende variabel. Andre ukjente kalles frie variabler.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Echelonmatrise
Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
En matrise kalles echelonmatrise hvis
1. Eventuelle nullrader st̊ar nederst.
2. Lederelementet i hver ikkenullrad st̊ar til høyre forlederelementer i raden over.
Anta at totalmtrisen til et ligningssystem er en echelonmatrise.Hver kolonne untatt den siste tilsvarer til en ukjent.En ukjent som tilsvarer til en kolonne med et lederelement kallesen ledende variabel. Andre ukjente kalles frie variabler.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Echelonmatrise
Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
En matrise kalles echelonmatrise hvis
1. Eventuelle nullrader st̊ar nederst.
2. Lederelementet i hver ikkenullrad st̊ar til høyre forlederelementer i raden over.
Anta at totalmtrisen til et ligningssystem er en echelonmatrise.Hver kolonne untatt den siste tilsvarer til en ukjent.
En ukjent som tilsvarer til en kolonne med et lederelement kallesen ledende variabel. Andre ukjente kalles frie variabler.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Echelonmatrise
Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
En matrise kalles echelonmatrise hvis
1. Eventuelle nullrader st̊ar nederst.
2. Lederelementet i hver ikkenullrad st̊ar til høyre forlederelementer i raden over.
Anta at totalmtrisen til et ligningssystem er en echelonmatrise.Hver kolonne untatt den siste tilsvarer til en ukjent.En ukjent som tilsvarer til en kolonne med et lederelement kallesen ledende variabel. Andre ukjente kalles frie variabler.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Gausseliminasjon for ligningssystem
Gausseliminasjon:
1. Omforme totalmatrisena11 a12 ... a1n b1a21 a22 ... a2n b2... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn bm
til en echelonmatrise ved hjelp av elementære radoperasjoner.
2. Hvis echelonmatrisen inneholder en rad
0 0 ... 0 |b
med b 6= 0 s̊a har systemet ingen løsning.3. Ellers kan vi løse systemet med tilbakesubstitusjon.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Redusert echelonmatrise
Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
En matrise kalles redusert echelonmatrise hvis
1. Eventuelle nullrader st̊ar nederst.
2. Lederelementet i hver ikkenullrad st̊ar til høyre forlederelementer i raden over.
3. Lederelementet i hver ikkenullrad er 1.
4. Hver lederelement er eneste element som ikke er lik 0 i sinkolonne.
1-2: Echelonmatrise1-4: Redusert echelon matrise
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Redusert echelonmatrise
Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
En matrise kalles redusert echelonmatrise hvis
1. Eventuelle nullrader st̊ar nederst.
2. Lederelementet i hver ikkenullrad st̊ar til høyre forlederelementer i raden over.
3. Lederelementet i hver ikkenullrad er 1.
4. Hver lederelement er eneste element som ikke er lik 0 i sinkolonne.
1-2: Echelonmatrise1-4: Redusert echelon matrise
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Redusert echelonmatrise
Første element i en rad som ikke er null kalles lederelementet.
En matrise kalles redusert echelonmatrise hvis
1. Eventuelle nullrader st̊ar nederst.
2. Lederelementet i hver ikkenullrad st̊ar til høyre forlederelementer i raden over.
3. Lederelementet i hver ikkenullrad er 1.
4. Hver lederelement er eneste element som ikke er lik 0 i sinkolonne.
1-2: Echelonmatrise1-4: Redusert echelon matrise
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Gauss-Jordaneliminasjon for ligningssystem
Gausse-Jordaneliminasjon:
1. Omforme totalmatrisena11 a12 ... a1n b1a21 a22 ... a2n b2... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn bm
til en redusert echelonmatrise ved hjelp av elementæreradoperasjoner.
2. Hvis redusert echelonmatrisen inneholder en rad
0 0 ... 0 |1
s̊a har systemet ingen løsning.
3. Ellers kan vi løse systemet med tilbakesubstitusjon.
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Semesterprøve oppgaver, 2007
Oppgave Bestem redusert echelonform for matrisen 0 1 2 −13 4 0 11 2 −3 4
A :
1 0 0 −10 1 0 10 0 1 −1
B : 0 1 0 11 0 0 −1
0 0 1 −1
C :
1 0 −7 60 1 2 −10 0 1 −1
D : 1 0 0 −10 1 1 0
0 0 0 0
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Semesterprøve oppgaver, 2007
Oppgave Hvilken av matrisene er p̊a redusert echelon form?
A :
1 1 1 00 1 0 00 0 0 0
B : 1 0 0 30 1 0 2
0 0 0 1
C :
1 2 3 50 0 0 00 0 0 0
D : 1 1 0 00 0 0 1
0 0 0 1
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9
Semesterprøve oppgaver, 2007
Oppgave Hvilken av matrisene er p̊a redusert echelon form?
A :
1 1 1 00 1 0 00 0 0 0
B : 1 0 0 30 1 0 2
0 0 0 1
C :
1 2 3 50 0 0 00 0 0 0
D : 1 1 0 00 0 0 1
0 0 0 1
E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3, Forelesning 9