MATEMATIKA II odgovori na ustna vpraanja olsko leto 2007 / 2008 Izvajalec Gregor Dolinar Avtor dokumenta / UREJANJE DOKUMENTA VERZIJA 01 REVIZIJA 01 DATUM 21. 2. 2009 ZADNJI POPRAVLJAL / PREGLEDAL / OPOMBE POPRAVKI
www.stromar.si zbirka tudijske litarature na spletu
v dokumentu lahko obstajajo napake
Matematika 2 ustna vpraanja
Determinanta, poddeterminanta
Lastnosti determinante
Cramerjevo pravilo
Raunanje z vektorji, kot med vektorji
Skalarni produkt vektorjev
Vektorski produkt vektorjev
Meani produkt vektorjev
Cauchy-Schwarzova neenakost
Paralelogramska enaba
Enaba ravnine, enaba premice
Razdalja med tokama, razdalja med toko in premico
Razdalja med toko in ravnino, razdalja med premicama, razdalja med premico in ravnino
Raunanje z matrikami
Rang matrike
Inverzna matrika (definicija, lastnosti, izraun)
Posebne vrste matrik (simetrina )
Sistemi linearnih enab - osnovni izrek
Gaussova metoda za reevanje sistema linearnih enab
Vektorski prostor
Baza vektorskega prostora
Linearna neodvisnost vektorjev
Linearna preslikava
Lastne vrednosti, lastni vektorji matrike
Lastne vrednosti hermitskih, poevno hermitskih, unitarnih matrik
Funkcijska vrsta (definicija, definicijsko obmoje, konvergenca)
Potenna vrsta (definicija, konvergenca)
Odvajanje in integriranje potennih vrst
Taylorjeva vrsta funkcije f
Taylorjeva vrsta funkcij: )1log(,cos,sin, xxxex +
Binomska vrsta, binomski koeficienti
Fouriejeva vrsta (definicija, konvergenca)
1
Fourierova vrsta s poljubno periodo
Sinusna Fouriejeva vrsta, kosinusna Fouriejeva vrsta
Funkcija dveh spremenljivk (definicija, zveznost, limita, graf)
Odvod funkcije ve spremenljivk
Posredno odvajanje:
yx zz
yxvv
yxuu
vuzz
,
),(
),(
),(
=
=
=
Viji parcialni odvodi
Taylorjeva vrsta funkcije dveh spremenljivk
Izrek o implicitni funkciji
Ekstrem funkcije dveh spremenljivk
Hessejeva matrika
Vezani ekstrem funkcije dveh spremenljivk
Diferencialna enaba (definicija, zaetni problem, robni problem)
Diferencialna enaba z loljivimi spremenljivkami
Linearna diferencialna enaba 1. reda (homogena, nehomogena)
Bernoullijeva diferencialna enaba
Eksaktna diferencialna enaba
Vpeljava parametra v diferencialno enabo:
)'(
0)',(
yx
yxF
=
=
Ortogonalne trajektorije
Eksistenca in enolinost reitve diferencialne enabe 00 )(),,(' yxyyxfy ==
Splona reitev linearne diferencialne enabe drugega reda
Linearna diferencialna enaba drugega reda homogena s konstantnimi koeficienti
Determinanta Wronskega (linearna odvisnost funkcij)
Linearna diferencialna enaba s konstantnimi koeficienti, 2. reda, nehomogena
Nehomogena linearna diferencialna enaba 2. reda
Eulerjeva diferencialna enaba 2. reda
Reevanje nehomogene linearne diferencialne enabe s konstantnimi koeficienti vijega reda s
pomojo nastavka
Sistemi diferencialnih enab
2
@
U4{,eI|A!NAL 2-:--- -usTn4 vereasArta--
b.ff -\Nc\F j-uskryonqntuL1e-esdpe-luEug-c\'rs$nt-Attet \ i-, nl n--Slsyft-eyfx dj-3*e! {',lE ) --Pts\31=----- ip,r{qy11o _!n4s!if!q_o_-:
-n1L-)
\- \redncst o@\b?A- \ll9
2 .'+Z zgrlgncln0" -v-cle\e1m11qrr\L pali\)-bni- v r-$tc-i,sgslsl--etmilrc^r'\i -e'pq1qrpni .5>4dzncik tEnqFO\r-=\cr. - Zcr s\c\p,ee )
ff-ffE::-=oz^bqElntrlh' se\errn\n.+ll*1\-o*Er -dpbrnc Jdto, -dc V-
l \ . i t
A -\]t!qnt_-"t=et@-u\c U,$Sc- i-V ,
-Ln+:tr-brcrpel,-imenrtismc prqE\s-lqrnrngnto- - i\L-Ertpqcls\ 4
Scrrne\nic\mc
3-. -Dderrq$qn*p FlrlqaArne-_gskedorXVn tSl\co, ,-r---- -0""-p-.nn arrp__==+ecogevlbt liog '\enrer'l - i(abrqnq vr-dsg f-en.*k. vg\g-s dc\pce-L - tVe[cr [di c-brc^huz:]elnLclrZ5\c1Ut-ruc - _- r-
@- -Ld-v.rsJL, - -+-
f4L# 3
pdguenc\ko veho eldc,\p(sL--:_
r-^s- t E-l -_ _v x dncSl_ c\e+gr-p1rnqflk_ qO c^E+ _\--
kc+"rikc\f
_ l I - |cleTerrn\eorrts_ ER n Fplslllgnr, Cer\-r ' rlr l\_,\r Iti< >R__l-\, SDfglngn\ Jg-ff:f}-vi$rlen$qielnoue-gi.rtuK*"c;A"ri
.tdi*,rl.rr\illqqlllrMctt\e
tLot crbH crur :-s--zfr \-ede^l o..n i sis*gu.rc-,r. \tneo.t nlerrre b.
: Ltnccrn\e
MEb
ecrfrf-c\
b=\Ziflcr ve\
tdt-[6t-- -=rnGt--
, DE.\nIC_!&t ' Skelqf ni r:rcclr rk * r r^r^-r!
*.--L-a. taeC STA vl-rav-\rF _F \ r - -
I c(-E) : p(. td..g
NCSTi . rj c \ A( G.ei \o . , Tp d,i o^ - . r =o - \ k x - /1Pcarliu
\_r\ \
l r
LCI\CtrCY
i la i-e l \ r
tG.B lgl dl l
__ ld_Blz._lA-:t _
---_---
.
6
tI
III-:----I
r - '
2_.
I---1--I- -t-:III
f4#^;
II
7
osftEeer.
ZtBP:KA=-=' b-dcr-r' V=c ekc'ii
Zc\ar
F-i-I
c\cb\rn,c- l c -
r r l : d l L -l - + l < -pl :d B)z Z IBI
ar.-
@I
\ l \Fl
\a
t
II
'.
-@\=,
8
3 EnA i-ffi un \nE-, - E nA f, BA FK ern \ cE-
g--nox + lzg-loae= ",\- ) dT& . L-//-*,.J-; --
cL: o - rqunrrro R'r skpLr--K,O. r"hdrigu 'Vy --
C:O-)I( l \n1no\3pl \ {C\r \oZaq"Z, -o- I -PKes{\c.A v r>rcs\cru6- dckcCerno s tc-Stse-AJq4'qziftl--rn s srne.rnrrn veK*cyl*n . ToEk+ Jtl+5tz)- g-K:--, -
sJs@ F \eai ncr-J%-Prqn!c\,-e9$ -+-veitci \:-t* \z.f:cuecllrrr ve\ctc\nv - -' -- - i
- Encre\rcr \fu-mtc! u rJc\rtlrnlnCm aHlB\- - } - > r - \
F : r-e- -t t'I\
i l___+_erc{s-b -S
--i!I
3o---r'
In\
^rGun\rn.
CZ
pKErnrc4'
-_ Z. peErrntcr ou
I- - T -I =-
!0--92_ *-kj_r\ET
10
3- PfceL1\ cA:F^VnlnA
t-. - Rlt y- i"r \n c\-\n -PtsF-n \g- - V=Pzre.r:!1!-- epLe\ ^ -V-lf--
\zr-qrQrn-qu4^ ?--
n\c
II
iI:
. - - i - - - - 'I
I
i
i
bqE\\ \e1rs-.--t1'glnLq ue\tbeq'-+j --I.n1Y-t-- ts PfqVtkd-q j-- " . - = . \ - - . , - _ l .D I6l -o.Ueruer-Slerd---be$f!!-ro-:g
n ig rtn ttevrL - --i -- -M!s5td9- ve\ikcs*t-4X:f-frnenY$-
_ -FK/ftnsPsnltce{1e_.meirsts
__- J..,,,\.1). Kr d3 cznc\s1rn3__aZir:_fqrf" e;;=.l___
NlncZev^$,e M,q_TRn\
CU : CI,n bnA_t giebp
Lo=ryrrsr\ .
s
_1_m,ffi
12
It_I
I
i -r
+ rnvEr
'{F Kc \AA-PLE-KS\1E : -e-\ gnen\- \ . l
Ste\r tor
fncx\nkl A S: kcrn.,p\
' -a!S-IEM&-Ltt-\gns_r--rlH B-vttr=.,- lsrstern - \in. e^nc,ef,, )
gEb*ja-n =-rrg rruer--n "-^-?ncr CV:a nJ ZCTYTIe/D\C\r1^n3 urs\tci rn..\nk e
;, 2. ez erYrcrekrr___ _=_:__2._lg_Irnqeyr? 7 nen\Ee\n\rn- \ . osTe vr\crn
--r-_-1ry'-e--\t\p\\W\-ncr \-qer+e V I \a z. f\e.nf-ce\nry^n ste-ulbr-n, _--pornry)z1rnc Vrr*ic3l rno*vrk e
,- : 3. ee cd erncrZbe o\6\eierrn=l !=eBlr\+rk_de+_b__-- ---X
_5.2c_ LlneE\_\neL F=c!roalnc4r\{ cr(\ -+-r I
- . \ t l t :
_{ _: u\4 b4 + " -T t-;{y1 pyr. - - --;-.
\ l
l{p-c---bcrz. -(S-lcvr\c-e!
?r-nsrs-re vffit LASTnI VE-F--T-:R1 _G-_\J- rs_-__f4,\Tr.x
18
II
II
i
\-)13Ii
I
i
II
I
I
I
iI
:th.g,t-
f6Lt; 19
b run11(4-)=- >(x-L[
-R
ZREK1 N
.+g'clrcre tx--K &-+R).
tnlerua\a ( x^- - tK
t f I r , F
rG ao. uso.ki ni e\enny\t
ctenchc\ vrsfa eltverelrG.:X--K In X-X-t VIFtq \o.hKc Kcnvrqlrcr\i diver+ircr.
I
t \
l - - \ a \ l \ 1 ,
L Z U L / V
S(xl aueanl -fion
' "tr t l\ ')) J 2c {12 a,l( -
^1r . . )
C;_ . . _ . | ' ( : r ) r . i . - . ( _ ^; r . x J 7 . - ' - ; - \lp1 li :
+ lol I v-4I' + il"^'fo] r_x:?n it^f) 'u ' - { i c ' l
. I \ J T
-& s$tgi qd\ -Qn- S\cnd V L'o+ e -sQ_ne-1c$81 dd?esn]-a
Oo-
,Zcr:rrx_x?!, J< r wlcnJevAles-utunrsg fld
\ . . - - . r '\ -J J \ \ .
- ' - _ :
a\ -;'.: : ._,,
l, ', --, L -:, \ _ - , . : \ . 1
It
. t \ ! ^ :
)
+ TAYLCK\E.VA-
| ; L ' . ,
- -VK$TA FUnTrok et eL^x,I""5x, ?^" [4+ "I-
f-G) '-e-x
F\; l=: sr_ jfl|_(r)=e' t t"'(r) = '\
@ s\3q\i-. e.x -
r4#^; 22
C l l r - l - r - r t - . -
r ,, Ll:__brnt_iltq): ci l \; %
: r - l \ t . l r i r -
(cJ_^tft,) = -Sln x ' (c) - o
: CCSX " (c) -- -1t ' ( ^
ttt (x ) = S INX t t t (cJ: o
' +xt-t F,b)-4
t l(rr - -4 (4tx I-z f , , [" I : - l
:X-
*x(x ) - %n ( 4+x
?r\^ ( x-r a
")-- tn
Ii_ - - - - - -
_-@
23
II
I-_I
iI;
@V E%, -B\ [I Q \1OSEL-FO_Cf-K I9{\T- \B\NCMSKA
I
i
I- ! - _ - - -
l l
- 't
-D!C,2lf,:]- : -fL-'=.-! i-f--'--I
(m' --m(rn-+)trn-z)-- (m-n+a)--- iczno,Sc\_ \nJ - _nl-__ _ JebYnnsFt-s-trn\ccL:
Ker
--1? ): o zL usc^k n>rnrne Nl, _
S , \{+-" ffi 1.-, I \. ,, * r^"
'' '-*;r1t3-\ i -I E t t*-rf - -ls*r) I tqr- !x *n))-\ . \ krl-l- r
f.O.Soo= {pr-rn-.,\.r eq -Elp-cr.:Fv A] ,(, ! b: -[T ):t"t
\ l *a)m - : 1* tT}o * 7m \ z ,\ z lc l - t (Hld'VEL\z+ :- - - - ! ] - -
R:*Ax\ffi_[+$ffir:lffi'\-=4
4/^;
e--E^11)I
II
+.- --
24
GGsnaL- -E=ruu$rnur+lf-C:n -perr"drircsr. t=''*-p-"_l_- .R
T\
r t \vrs,-t_c rY11gn\+s4^ Q\nutne,,,
FourtenQ-uc.x ute*cx sqk r
-L---=----=_d_-. . _ \xj s_ Fg_r riI\a_Zn gnnorrrl i ir,t- ki t-rvn-\:ntr+ s-Npres\iko.\cr
iZV ce;tR-rvrkciic_r : b+K ^le aue v tctKt
>_p_pbs;hcrr* lqt J >c do$I x",\. I - {[x,q) I
P.qebeg porciq\Ucdvc4 funF.r$_{-pq_Es_e*nno\$uhi ?,RmcrK_ - . _ --f-:_--of-grs)=
foi*qd -I-l-
d*erenci cr\c\\ncr
-:r_ v tcekt (o,b)'ce ib:*q\c'\c^ pqrcio\ne dvcdcr-ql--
rJ-_":-$-[e--U-)-QgP+g-/
@-\eKqe- -d-f 1[xdxTQLT/tLN
e
74[/^; 28
(- .:r
.l \J \Jt -- - __qL:veFl?nc prcrv,(c I.-----..---._._-
Nc\l lrc funkcl\cr a:f(x, g ) c\ifererrrciobilno.,_s-p4rlEqr\ilvKlX tn U- f lo ncr i h-=l- , zrArr-r t , r ' i C..^u-, . . . ,
- - -P --
f:rsredncr tunkciJc^ \rorcrmetrc\- t 1U_1.+9.1IE!"dil
' t
xLt\ rw1Ith^ \ ^ . ^ _P'ctern x
7a - ( x-r a'x
I \ \, 'r
c\ t ' h+c h
x )Z+h+c
er sto. xLt cc\vec$ivi erfe11
t^,^^ #=tt@ rh hrn seo )cencr ctbi\nc,r \tr"n
- )c
z
tu'*-^--lt-
+-e{ru1 lcsr]-:lr4nl .J-L- -i - --* rScrOc\ tcd s\ec\i c\c,t #__ _
K-:-&-,r+d-:r-fig $ br)-
L+I}
L)
t >.J
)t*-t d x--_j_ t -..-
r\v c\ Y
: ++:+- + ::5., Qe * 5,. ev29
t-:? _V_rgJr FnSc\i\_LN\;elyaDL__ _ __ ,_ i_
,J \l I- - , , . . - , -1
- U@ f -{unkcite' c\v@h sle'rernenli\uk'-*-_; -d - -Qce n\erncl r:orcto-\no. cclvcdcr ;[s!:l.i*t*-t1*$q-:
- i-
*cr:e\ r:cxrc\
I : c5c)'.ct
, tctKr (o.,r,:) rlr nq$ vrc fCq,U_l :o !g[___-.
_ | ,\\",u) tO.,_cbstcSo.hn o&ec}$irqfuirK.\qL q:_\(4 __---+S .*K,^=_ I 7
I
i
Akrz -+ zBhK-r
3\ec\r- - - - \ " 'r -ca \ r n\- B->O f i - izrcrZ Fr:z* fverr , , r i_ T -
\.d V (o..,..\r) nn\n\rnuxlrn&-
bJ n
b-\a b:
na\ bcCcr
Pc* \]-\ V eLri
=-p--a=LLU*oU) )cS\Cer
t -@ rn\n\rnLrrn
det E hLl-.!-nqvsnrc
E:UNVEIS SPR ENL-\\V
UnKcito. c\eFtn\rcrno. rro. circbe err;e\cc-x n
rivu v b- \ezGn
F--; t\dz- Red d@{< ted n+$=N.?a rtunclcr
\ ' t ' | \ ' \ J t \ \
u A^ncL:,bi.------ng=:-Cuf . oncrbcx \- v
stc^ p=5l-r\rni t\-V=i
e. \e - :, (x l:c Z.cr Uso. otencnc eb cr url -+h:m{ r-rrcr c L:r
Y-\l C-,\
q :o:r.=-----.---.=-.-
\ r+UtA-
H1-- .''"- o.t rus-_*trpr.=uo ervrcreLc= f - r!?gLi ivi!.no.
1-W ctc^.Cx) g_: ?Sx ) _,fe\vrr-, ]]le*ccl-
35
@
---]E\\ATEA-Enq\6b)c clc\ik
II
Il --_]=_--| - r ^ - . - r ; - ' - - * T - - - '
I \o"Kc # nc\ leLi sfr.rnl _( Ugpr.lal_t__Nl(rrtr)du ) .
ffic
VtrrLJi+V Pi+reAMrrtrA__vDEE=trE\lc\a._Lh\u=
SE-BU\E M.nL\ lv
E=-----E \e3
E(u-___\J-,F (xr t r ' ) _o ; Vecrsl Iru,Wrn3 trcrttnOzrcre.i*i a x cbrah-tc Zrt^no X Z
: ) T l grrcrEb: c\i c\rorn-f lri?rnnc> g\S\rns\e r
ENr\EB,O :
d
t (
hrdrI tp) d
-hrt--Bqnrsrtr--S==, d{erer^tc\rcrrne,
37
Il__
gfttopnowcJr@u$ t +=..L---tc,rnn*rn\e v d.uo' -&Ei ltnc^K-f*-py1.qgyvtgtr- +-. .o-).q K"%lnerwr kcehc^e"rtt ylruc+y\e tsriuuuF i-
V dcrrni tceki
+ EKSTE ReS\rvE
!I
IIi
J _ _ -
\Yncr \S{t*s!,__nsek"Aqlr \!6nlJ ---'-g.\ \x> uq6\Yue
!EKs\s-rEN-dnt !ZSF\
l+*I_-{tta*g.
cr\,ur
$Er_kI-g-! L-t*g*l-Lt)Idt
--L\Ectlf_z2u Ppq+
c EncLtZncs_rr KeSrrvSC\
I u,6i{e^r zcmet
\e\errri Vsi yfoqc__6
L J I .re.ko. - l I \ - , I r v
"X.. - x^+ L*arCIN 'Jcl i\a o, blvr
Er
i@.,---,---:---+ sf_Le_a$4! EES_\I_EU_ L\\'rtrAKn'_E-_ ____ _b_1tr_EEEn qta]=ne__enaie_e_- lKu_qE_qA_sipaF-(x-'g, Ul,\:!"L:_q_- sp !? sn c\--lt prl eu 8__ -r4vaeel elrn$ bg dmernq fu nkql _ ' _
--\_-" Lrn_EAKb..\A fueunggA iSKI
Kce.r t citsnrl I-T -
.- Z' \e clc.r h3ryt,>:'rrrn e :
I
i
ftt^; 40
c\TE-v
CYY\PLEFSNI ee.StTvl: p+13 G- - t
- ^Yax (_e _=A__15r2_r:e :e
q uq,6i\eu'
{n ' * Ko-e
I ) -+ i-srn ga,,. )) + K
t>Xer . cc_s fax ) +-
Klt!_w_utrcnsK@4.!+--.-
----
_rufu nfrlgJS.^--d"1d"L,u"i c\etetrntnunl= urrcnskea cr
_- -\'--.... ... -_ _-rl
, -
untrS$ sh .-r c\ e*< r rn rn 4nclrU_
)+K
41
$r $- -Sz- [necr!oa?- qEV\ rtnr-
+-L-\nEAR\\{-U\rEsEn!!4Lln&-Elw-BA=S--K2rfl Af tr[Iy\i__K_3_ff]!rEItr\*_z.gED&
- -lrE\!_cl1aqLrys$bno u6-tear E*tnqel:e ,,F --
g)'ri*-r$"Gl-.dsl + &er)-grl)-rt -@--: -rgeU$ntdl$e-txl-pn egr4sr-p-guua$
RESUFE ENC\ALN
?EFIC\trNT\
iSe eruo
-4) f - r \> :cI' Uve e,+=.rdrri( t- l : '1o '* c 'J- $-gtx):
.DVEE
[x ) - Ca.Xa1 I G't",x - nle-
VEA
F ( cico- xl + G'Sn
-@
43
, t
-3ldRrudrferenEi-cr\rrh--SroqBb-Quq1cl---te-dq-?q-cNens-an:qyr-r -&nE -." F- -S I tx l-rn--S d1] -\e ? Le-.1 qL
jq* -- I e --I
i
T1
,bK-sr+et- " eEviu.r\ennttnn