7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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KISS ELEMR
MATEMATIKAI
KINCSEK
Bolyai nos
KZIRATOS
H A G Y A T K B L
A K A D M I A I
KIAD TypoT
E
X K f t .
BUDAPEST BUDAPEST
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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M e g j e l e n i :i M g y a r T udm anys A k a d m i a
tmogatsval
A
b o r i t l
tervezte
DEBRE
FERENC
C S I Z M A D I A i i R / s i ' ; n i i r
Szmtgpes t ip o g r r t n
JUHSZ LEHEL
I S l i N %3 05
7612
0. I S B N
93
91 .1243 8
K i i i d J H
a/ . A k ; i d c m i ; i i K i a d
1117
B u d a j j c M . P r i e l l e
K o r n l i a
u .
4 .
s
;i l y p o l c x
Kinik'i
1024 B u t l a p c M ,
Retek u.35.
Ki ss l i l c m c r ,
M i n d e n
jo g F e n n U i r t v n . belcrivc asofeszorosBs, .'i n y i l v l n o s
c l n dl s ,
n r i d i t s t o l e v i z i n d S s ,
v a l a m i n t
a f o r d t s
j o g t , n/ .
egyes T e j e s e t e k i i l l e t e n is .
I ' r i m e d
n
H u n g a r y
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S z l e i m
KISS I S T V N (1904-1996)
&
C S E D O BERTA
(1904-1985)
e m l k r e
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Tartalomjegyzk
Elszhelyett 1 1
1 .BolyaiJnoslettja s a Tr tudomnya 15
1 . 1 .
B e v e z e t s z a v a k 1 5
l
.2 . B o l y a i J n o s
l e u t j n a k
l l o m s a i 1 6
l
.3. A
B o l y a i a k
a l a k j a
a
s z p i r o d a l o m b a n
2 5
l
. 4 . A T r
a b s z o l t
i g a z t u d o m n y a 2 6
1 . 5 .
A
R e s p o n s i o
3 2
l .6 . P r i o r i t s ikrdsek 33
2 .
A
B o l y a i l d k
45
2 . 1 . A k z i r a t o s h a g y a t k s o r s a 45
2 .2 . B o l y a i J n o s f e l j e g y z s e i 4 8
2 . 3. M i r t j e g y z e t e l t B o l y a i J n o s ? 5 1
2.4.
U t i n a m
G a u s s
superstes esset
5 4
2 . 5 . M a t e m a t i k a i t e rm s ze t i ra t ok 56
2.6. M i l y e n n y e l v e n r t B o l y a i ? 5 8
2 .7 . B o l y a i J n o s j e l r e n d s z e r e 5 9
3.
BolyaiJnos matematikai olvasmnyai
6 1
3 . 1 . B o l y a i m a t e m a t i k a i m v e l t s g e 6 1
3.2. A z a l k o t s r m e i s g y t r e l m e i 7 0
3 . 3 . M o r z s k .
7 2
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T A R T A L O M J E G Y Z K
4. Bolyai Jnos szmelmleti
vizsgldsai
73
4.l . N h n y sz a s z m e l m l e t r l 73
4 .2 . B o l y a i J n o s s a s z m e l m l e t 7 3
4.3.
A k is
F e r m a t t t e l
7 7
4.4. A
M e r s e n n e f l e
szmok
87
4 .5 . F e r m a l k a r c s o n y i t t e l e
88
4.6.
A
F e r m a t f l e
s z m o k 97
4 . 7. W i l s o n t t e l e
1 0 0
4 .8 . B o l y a i J n o s
b v s
n g y z e t e
1 0 2
4 . 9 . N h n y m s t e r m s z e t s z m e l m l e t i f e l a d a t 1 0 4
5.A
prmtan
107
5 . 1 .
A
B o l y a i k u t a t s e g y i k f e h r
f o l t j a
1 0 7
5 .2 . G a u ss s a k o m p l e x
egszek 1
0 8
5.3 . A k o m p l e x egszek a r i t m e t i k j a B o l y a i k z i r a t a i b a n 1 0 9
5 .4. B o l y a i k o m p l e x s z m o k k a l
k a p c s o l a t o s
e l m i e t e 1 1 3
5 .5 . B e fe je z gon d o l a t ok 23
6 .Az
algebrai
egyenletek e l m l e t e 127
6 . l . A z a l g e b r a i e g y e n l e t e k m e g o l d h a t s g r l
1 27
6.2. B o l y a i J n o s k s r l e t e i
129
6.3. A R u f f i n i A b e l t t e l m e g f o g a l m a z s a 13 8
6.4.
A
k l a s s z i k u s a l g e b r a a l a p t t e l n e k
tiszta" a l g e b r a i b i z o n y t s a 142
7. A kt
Bolyai
matematikai
tartalm
leveleibl
1 45
7 . 1 .
N h n y m o n d a t a l e v e l e k r l 1 4 5
7 . 2 . B o l y a i J n o s l e v e l e a p j h o z 1 4 9
7 . 3 . B o l y a i J n o s l e v e l e a p j h o z 1 5 4
7 . 4 . B o l y a i J n o s l e v e l e a p j h o z 1 5 6
7. 5 . B o l y a i J n o s l e v e l e a p j h o z
1 5 7
7 . 6 . B o l y a i
J n o s
l e v e l e a p j h o z
160
7 .7 . B ol y a i J n os l e v e l e a p j h oz
162
7 .8 . B ol ya i
F a r k a s
l e v e l e
f i h o z ,
J n o s h o z 163
7.9. B o l y a i F a r ka s l e v e l e
f i h o z ,
J n o s h o z
1 6 5
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T A R T A L O M J E G Y Z K
7 . 1 0 .
B o l y a i J n o s l e v e l e a p j h o z 1 6 8
7 . 1 1 . B o l y a i J n o s l e v e l e a p j h o z
1
6 9
7 . 12 . B o l y a i J n o s l e v e l e a p j h o z 1 7 2
7 . 1
3 .
B o l y a i J n o s l e v e l e a p j h o z
1 7 8
7 . 1 4 . B o l y a i J n o s l e v e l e a p j h o z 180
7.15. B o l y a i Farkas l e v e l e
f i h o z ,
J n o s h o z
1 8 4
7 .1 6. B o l y ai J n o s l ev ei e ap j ho z 1 85
7 .
1
7 . B o l y a i F a r k a s l e v e l e f i ho z, J n o s h o z 1 8 6
7 . 1 8 .
B o l y a i J n o s l e v e l e a p j h o z
1 8 8
7 . 1 9 .
B o l y a i J n o s levele a p j h o z 192
8.Bolyai l t a l hasznltmszavaksjellsek
195
Irodalom 2 0 1
Nvmutat
. . . 2 1 1
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Elsz
helyett
B O L Y A I J N O S
a
magyar
s az
egyetemes
t u d o m n y egyik l e g n a g y o b b a l a k j a .
A
magyar
n p s z e l l e m i
a l k o t k p e s s g e ,
a t u d o m n y t e r n , l e g m a g a s a b b f o k o n
b e n n e l t t t t e s t e i . l e t t s m u n k s s g t s z m o s m m l t a t t a , s o k a n s
s z er en
csre
s o k a t
r t a k r l a .
A z
e l l i n k
j r k szorgos
m u n k j n a k
k s z n h e t e n m a
m r
k n y v t r n y i B o l y a i r ss a l re n d el ke z n k.
R a n g o s
m o n o g r f i k ,
s o k
t u d o m
n y o s d o l g o z a t s n p s z e r s t
c i k k i s m e r t e t i
l e t t j t , a
g e o m e t r i b a n e l r tkor
s z a k a l k o t f e l f e d e z s t
s a
m o d e r n m a t e m a t i k a k i a l a k t s b a n j t s z o t t s z e r e p i .
B O L Y A I
J N O S ,
a m a t e m a t i k u s
r g e s r g e n
e l f o g l a l t a m l t h e l y i a t u d o
m n y b a n . N e m c s a k
m i, m a g y a r o k , de az egsz v i l g i s m e r i , b e c s l i a B o l y a i
n e v e t .
A
csillagszok
H E L L M I K S A , E T V S L O R N D ,
N E U M A N N J N O S m e l
l e t t r l a is
e l n e v e z t e k
egy krtert a H o l d o n ,A M a r s s J u p i t e r k z l t i z n b a n
k e r i n g
k i s b o l y g k e g y i k e s z i n t n
B O L Y A I J N O S nevt
v i s e l i . A m i k o r
a z els
m a g y a r r h a j s a v i l g r b e n
j r t , B O L Y A I
J N O S f m v n e k
e g y i k
e r e d e t i pl
d n y a i i s m a g v a l v i l i .
Ezzel j e l e z t e ,
h o g y a z A p p e n d i x a
magyar
t u d o m n y
l e g r a g y o g b b
26 o l d a l a .
V a l a h n y s z o r
a
n e v t e m l t j k , s z i n t e m i n d i g g e o m e t r i a i er e d m n y e i t
h e l y e z
z k e l t r b e .
E z
t e l j e s e n i n d o k o l t , h i s z a z a b s z o l t
g e o m e t r i a
m e g a l k o t s v a l v a
l b a n e g y e d l l l e r e d m n y t r t e l . j a b b a n s o k s z e s i k t r s a d a l m i , f i l o z f i a i
nzeteirl, s t a l n
a
R e s p o n s i o
is e g y r e
i s m e r t e b b
v l i k a matematikatrtnet
ben.
L t e z i k a z o n b a n
B O L Y A I
J N O S n a k
m g
egy,
kevsb
i s m e r i f o n t o s m v e .
E z a h a l l a k o r
r n k
m a r a d t
k z i r a t o s h a g y a t k a .
A
t b b
ezer o l d a l n y i
B o l y a i
ereklye
l a p j a i r e j t i k a z o k a t
a
g o n d o l a t o k a t ,
a m e l y e k e t
r j u k l e t n e k m s o d i k
f e l b e n m a g n y o s a n , s i v r
k r n y e z e tb e n j e g y z e t t
fl.
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]2
ELSZHELYETT
A B o l y a i h a g y a t k f e l t r s a m i n t e g y 1 0 0 v v e l e z el t t k e z d d t t m e g. P A U L
S T C K E L t t r m u n k j n a k k s z n h e t , h o g y
a
t u d o m n y o s
v i l g a
szzadfor
d u l i d e j n
m e g i s m e r h e t t e
B O L Y A I J N O S
t b b . k z i r a t b a n m a r a d t
m u n k j t . A
k s b b i
B o l y a i k u t a t s
l e g t b b s z r csak
S T C K E L
s z r e v t e l e i r e
s
m a g y a r z a
taira tmaszkodott.
v a l b a n j e l e n t s
m u n k l
vgzett,
de
mi n d en t f e l le lni
s
v a l s a n
r t k e l n i n e m
t u d o t t . K n y v e
a
b en n e
f e l l e l he t
p o n tat l an s g o k
s egyes
h i b k
e l l e n r e
ma is a l e g r s z l e t e s e b b ,
l e ga l a p o s a b b B o l y a i m o n o g r f i a .
Lehete
m g j a t
m o n d a n i
a z
A p p e n d i x t u d s
s z e r z j r l ?
V a n n a k e
m a ,
1997ben fehr foltok
a
B o l y a i r a v o n a t k o z i s m e r e te i n k t r k p n ?
k r d e z h e t
j k
tei jes
j o g g a l .
A z
e l m l t
v t i z e d e k b e n ,
v e k b e n
m e g s e j t v e ,
ho g y B O L Y A I
J N O S
k z i r ata
i n a k
l a p j a i m g rejtenek
r tk e s
m a t e m a t i k a i
t t e l e k e t ,
e g y r e
t b b en s r g e t t k ,
s r g e t i k
a
B o l y a i h a g y a t k
t v i z s g l s t . B r
s z m o s a n for ga t t k
m r a
k z i
r a t o k a t , m g i s k l n s , h o g y
t b b m i n t
e g y
v s z z a d
a latt n e m a k a d t e g y e t l e n
m a g y a r s z a k e m b e r ,
aki ezek
r e j t e l m e i b e
n h n y , tk p p en g eo metr i a i
ered
m n y
v i z s g l a t n
t l
t z e t e s e n b e h a t o l j o n . P e d i g n a g y s z e r f e l a d a t f e l k u t a t n i
a z t , h o g y n a g y m v n e k m e g a l k o t sa u t n m i v
f o g l a l k o z o t t
a t b b s z r c s a l
d o tt , meg n em r tet t
B O L Y A I
J N O S . E f e l a d a t e l l v i s z o n t
k i t r n i
n em
s z a b a d ,
me r t
k t e l e s s g n k h a g y o m n y a i n k f el t r sa , n y i l v n t a r t s a
s
k z z t tel e .
V a j o n
igaze,
ho g y
B O L Y A I
J N O S
z i g v r i g
g e o m t e r
s eredeti gondolatai
i s
m i n d i g g e o m e t r i a i
t a r t a lm a k ? A z
e d d i g
m e g j e l e n i
m o n o g r f i k s z er z i u g y a n
megemltik,
hogy Bolyainak szndkban llt" vagy
remlte"
b i z o n y o snem
g e o m e t r i a i f e l a d a t o k meg o l d s t ,
d e
arra
a
k r d s r e , h o g y v a l j b a n
kereselte
s
ta l l te
a m a g a l l a l k i t z t t
k r d s e k r e v l a s z t ,
m r n e m a d n a k
fe le letet .
Kulturlistudomnyos
r k s g n k f e l t r s n a k s en n ek ker et b en a B o l y a i
p o r t r m i n l
t e l j e s e b b ,
i g a z a b b t te l n ek i g n y e s z t n z tt ar r a, ho g y to l
v a s s a m , k i b e t z z e i n a m
ros
v s r h e l y i TelekiBolyai
K n y v t r b a n r z t t
so k
ezer
o l d a l n y i B o l y a i k z i r a t o t
s
m e g v i z s g l j a m ,
m it
v g z e tt
a z
a b s z o l t g e o m e t
r ia
m e g a l k o t j a
a m a t e m a t i k a m s t e r l e t e i n . N e m
v l l a l k o z h a t t am
l e g a l b b i s
eg y el r e
a
B O L Y A I l t a l
k u t a t o t t
m i n d e n p r o b l m a f e lt r s r a . E d d i g c s u p n
a z o k r a
a v i z s g l a t o k r a
s s z p o n t o s t o t t a m
f i g y el memet, amel y ek s o r n
B O L Y A I
J N O S
a l g e b r a i
s s z m e l m l e t i
k r d s ek meg o l d s t ker es i .
A z
r s o k v a l s g
g a l l e n y g z t e k , s gy r z e m , ho g y m a k a c s , a p r l ko s m u n k m j u t a l m a k n t a
B o l y a i l d k " t b b
j,
e d d i g
i s m e re t i e n
t i t k t , t v l at t s i ker l t f e l f ed n em. V a l
la tra
f o g v a
e z e k e t a z r s o k a t
k i r a j z o l d o t t
a z e d d i g
i s mer tn l
eg y r n y a l t a b b ,
te l jeseb b ,
s z n e s e b b
B o l y a i k p ,
K n y v e m b e n
f e l h a s z n l v a
s
k i e g s z t v e
a mr
m e g j el en t r s z l e t t a n u l m
n y a i m a t B O L Y A I J N O S n a k a
k z i r a t o s h a g y a t k b a n
r e j t z
o l y an
f e l f e d e z s e
irl
s z e r e t n k t u d s t a n i ,a m e l y e k r l a z eddigi igen
t e k i n t l y e s
B o l y a i i r o d a l o m
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ELSZ
H E L Y E T T 13
s e m m i t
s e m
t u d . C l o m
a
B o l y a i k u t a t s b a n
m g
m i n d i g l t e z f e h r f o l t o k
k
zl n h n y a t e l t n t e t n i s msokat is felfedez
tr a
b u z d t a n i .I g y e k e z t e m a k o
r b b i
s z a k i r o d a l o m t v e d s e i t k i i g a z t a n i s f e l h a s z n l v a a k i a d a t l a n d o k u m e n t u
m o k a t ,
m i n d e n
r v e l s e m e t
B O L Y A I
J N O S
s z a v a i v a l a l t m a s z t a n i .
M u n k m s o r n ,
a h o l
c s ak l e he tt em , m i n d v g i g e l k e r l t e m a m s o d v a g y h a r
m a d l a g o s f orr s ok a t , s c s a k a z e l s d l e g e s e k b l , a z a z a k z i r a t o k b l s z e r e z t e m
a z
i s m e re t e k e t .
S o k
e s e t b e n t a p a s zt a l t a m , h og y i g e n
h a s z n o s a z
ered eti forrsok
a l a p j n
e l l e n r i z n i
m s s z e r z k l l t s a i t .
I gaz , h o g y a h a g y a t k b a n n e m
t a l l u n k
a T r t u d o m n y h o z h a s o n l t h a t m
ve t , d e h a t r e l m e s e k v a g y u n k s e l g m l y r e s u n k , a k k o r f e l f e d e z z k , h o g y
a
B o l y a i k z i r a to k m g s o k m e g l e p e t s t t a rt o g at n a k s z m u n k r a . F r a d o z s ai n k r t
b v e n k r p t o l n a k a zok a k i n c s e k s g o n d o l a t g y n g y k , a m e l y e k e t
f e l s z n r e
h o z h a t u n k .
R e m l e m ,
h o g y e sorok o l v a s j a is a n n a k t e k i n t i m a j d B O L Y A I J
N O S n a k
a z o k a t
a z s z r e v t e l e i t ,
a m e l y e k
eddig a T e l e k i T k a p o l c a i n h e v e r v e
n e m v l t a k i s m e r t t a m a t e m a t i k a i i r o d a l o m b a n , d e a m e l y e k e t k s b b , v t i z e d e k
k e l z s e n i l i s matematikusunk
h a l l a
u t n , m s o k j ra f e l f e d e z t e k s k l n b z
f o l y i r a t o k b a n k z l t e k .
B O L Y A I J N O S
k z i r a t o s h a g y a t k n a k
l a p j a i n
g y
i d zi
d e s a p j a
v l e m n y t
az r s r l : , , . . . Atyinknt tn mr
tbb
az r, mint az.olvas, s
szinte
mr az
rdeme emlket
ki ugyan
kpes lvn olvasni
s
rni
is,
fontos
s
nyoms
ok
nlkl r nem lesz, "
Bj
t r e z t e m s m e g f o n t o l t a m B O L Y A I FARKAS b l c s
s z a v a i t , so k t p r e n g s s
h a b o z s
u t n e l h a t r o z t a m , h o g y m g i s m e g p r b l o k
r"
lenni. gy
r z e m ,
h og y m os t
fonlos s
nyoms" okom v an
erre.
A z u t b b i
v e k b e n
B O L Y A I
J N O S e l s z r t a n h e v e r t j e g y z e t e i t ,
p a p r s z e l e t k
it s s z e s p r v e szmos
o l y a n ,
e d d i g r e jt z k d g o n d o l a t t s i k e r l t n a p v i l g r a
h o z n o m , a m e l y e k
ha
m e g k s v e
is
m e g r d e m l i k , h o g y
t a n u l m n y o k k
da
g a d j a n a k . B O L Y A I
m o s t o h a
so rsa m i a t t
s a j t r s a i b l m i n d s s z e
c s a k 2 6 o l d a l t
o l v a s h a t o t t n y o m t a t s b a n . E z r t a k v e t k e z k b e n g ya k ra n h a g yom
b e s z l n i
a
s z v e g e k e t , h o g y m i n d a n n a k t r e d k t , a m i t m r egyszer le rt , de nem t u d o t t
k z r e a d n i ,
m o s t
k z s e n j u t t a s s u k
el az
o l v a s h o z .
K s z n e t t e l
t a r t o z o m m i n d a z o k n a k , a k i k b t o r t v a k u t a t m u n k m a t r o k o n
s z e n v v e l s s e g t k s z s g g e l l l t a k m e l l m .
A z a u t o g r f B o l y a i i r a t o k a ta Te le k i T k b a n
t a n u l m n y o z h a t t a m ,
A k n y v
t rm i n d e n d o l g o z j n a k h l s v a g y o k l l a n d seg t sg rt . M u n k m s o r n v g i g
r e z te m , h o g y t e v k e n y s g e m e t s z i n t e e g y t t r z s se l k v e t t k , s r v e n d t e k a z
e l r t
e r e d m n y e k n e k.
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H E L S Z H E L Y E T T
S o k a t j e l e n t e t t s z m o m r a a z o k n a k a f o l y i r a t s z e r k e s z t k n e k a
b t o r t s a ,
a k i k k z i r a t a i m a t e l s z r f o g a d t k e l k z l s r e . K l n s e n
STA A R
G Y U L A ( a Ter
m s z e t
V i l g a
f s z e r k e s z t j e ) s
M A U R E R
L
G Y U L A
(a M a t h e m a t c a P a n n o n i c a
fszerkesztje)
karoltk fel
elsksrleteimet.
N a g y o t
l e n d t e t
m u n k m o n
a
M a g y a r T u d o m n y o s s g
K l f l d n
a k a d m i a i
program
keretben
meghirdetett Domus
Hungarica Scientiarum
t
Artium
sz
t n d j r e n d s z e r n e k t m o g a t s a , a m e l y n e k s e g t s g v e l h o s s z a b b
i d t
t l t h e t t e m
Budapesten
H ott is folytathattam kutatsaim at .
K l n s
h l v a l t a r t o z o m
D r.
S ZEND REI
J N O S n a k s
D r.
V E K E R D I
L S Z
L na k , a
kzirai
lektorainak.
szrevteleikkel jelentsen h oz z j r u l t a k ahhoz,
h o g y
a
k n y v
r t k e s e b b
v l j k .
V g l
n h n y
szt
a z
I r o d a l o m j e g y z k b e n
t a l l h a t
m u n k k r a v a l h i v a t
kozsokrl, [l] az l e s m u n k r a v a l h i v a t k o z s t j e l e n t i ;
[l,
159 old.] az l e s
m u n k b a n
a 15 9 e s
o l d a l r a ,
[l, 4 ]
p e d i g
az l s 4
m u n k k r a v a l h i v a t k o z s t
jelenti . Ha egy tbb ktetes m u n k r a
utalok,
akkor p l d u l a [10, 3:76]tal azt
f o g o m
j e l l n i , h o g y
a 10es
m u n k a
3 . k t e t n e k . 7 6 .
o l d a l r a
h i v a t k o z o m .
Mivel B O L Y A
J N O S [18]kziratoshagyatkra
nagyon
sokszorhivatkozom,
azrt
e z t
e l h a g y o m ,
a
m e g f e l e l o l d a l s z m o t
e g y s z e r e n c s a k z r j e l b e t e s z e m .
A (982/8") p l d u l n [18]ban t a l l h a t 982/8as
jelzet
laphts,
pros
oldalt
j e l e n t i . M e g j eg y z e m
m g , h o g y a M a r o s v s r h e l y e n t a l l h a t h a g y a t k b a n m i n
d en o l d a l t e g y t r t s z m j e l l . A 982/8 j e l z e t a 900as d o s s z i
82es
s z m o z s
l a p j a i
k z l
a 8 . o l d a l t j e l e n t i . A ( 2 . 3 . ) h i v a t k o z s
p e d i g
a z t
m u t a t j a ,
h o g y
a
k n y v
2 .
f e j e z e t n e k
3 .
p a r a g r a f u s r a
u t a l o k .
S a j t k i e g s z t s e i m e t , s z
s
s z v e g m a g y a r z a t a i m a i ,
l a t i n
k i f e j e z s e k f o r
d t s a i t
s t b . k a p c s o s z r j e lb e
{ }
f o g o m
t e n n i . B O L Y A I
J N O S s z a v a i , v a g y i s
a
k z i r a t o k b i i d z e t t
rszletek
a
k n y v b e n
vgig
d l t b e t k k e l j e le nne k me g .
Marosvsrhely, 1997. december 15n, B O L Y A I
J N O S
szletsnek
195,
v
f o r d u l j n .
Kiss
Elemr
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Bolyai
Jnos
lettja
sa Tr
tudomnya
1.1.
Bevezetszavak
M u n k n k e ls
r s z b e n
f e l i d z z k B O L Y A I J N O S
l e t t j n a k n h n y , s i k e re k b e n
s z e g n y , c s a l d s o k b a n g a z d a g l l o m s t .
S z t
e j t n k g e o m e t r i a i
f e l f e d e z srl
s
egyb
k u t a t s a i r l . E l e t n e k
ezek
a
m o z z a n a t a i ,
a
m r t a n b a n
s a
k o m p l e x
s z m o k e l m l e t b e n e l r t e r e d m n y e i s z l e s k r b e n i s m e r te k .
M g s e m k e r l h e t
jk el a l e g s z k s g e s e b b l e t r a j z i a d a t o k f e l e m l t s t s m u n k s s g n a k v z l a
to s b e m u t a t s t , m e r t ezekre a k s b b i e k s or n is t b b s z r f o g u n k u t a l n i . H a
az i t t k v e t k e z s o r o k b a n n e m i s t u d u n k so k
ja t
m o n d a n i o l v a s i n k n a k , h i sz
B O L Y A I r l m r
s z m o s k i v l k n y v
s
rs j e l e n t
m eg ( P A U L
S T C K E L , D V I D
L A J O S ,
B E N K S A M U ,
S Z N S S Y
B A R N A .
W E S Z E L Y
TIBOR,
T O R
TIBOR,
TTH
I M R E ,
SARLSKA
ERN. VEKERDI
L S Z L
s
m s ok t o l l b l) , m g i s
t r e k e d n i
f o g u n k
a rra , h og y a z i s m e rt a da t ok a i t b b
h e l y e n
k i e g s z t s k a
k z i r a t o k b a n
f e l
l e l h e t ,
d e
eddig
m g n e m k z l t B o l y a i v a l l o m s o k k a l .
F e l h as z n lv a
a z u t b b i
i d b e n m e g j e l e n t t b b s z a k d o l g o z a t o t
[61.
9 4 , 1 1 4 ,
1 1 5 ,
128], g e o m e t r i a i r e n d
s z e r n e k i s m e r t e t s h e z i s f z n k
n h n y
j a b b a d a t o t .
S z m o s a n
v l e k e d n e k g y , h o g y
a
p r i o r i t s i v i t k l t a l b a n t e r m k e t l e n e k .
S a j n o s
egyes
m a t e m a t i k a t r t n s z e k p o n t a t la n m u n k lk o d sa n y o m n
B O L Y A I
J N O S f e l f e d e z s v e l k a p c s o l a t b a n
o l y a n
t v e s e s z m k
i s b e h a t o l t a k a k z t u
d a t b a , a m e l y e k e t n e m h a g y h a t u n ksz n l k l . g y r e z z k , h o g y a k i h v s o k r a
s z k s g e s
fe l e l ete
a d n u n k .
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_ 1 6
l . B O L Y A I J N O S
K L E T I J T J A
s A T R T U D O M N Y A
1.2.
Bolyai
Jnoslettjnak llomsai
N h n y v m l v a f o g u n k m e g e m l k e z n i B O L Y A I J N O S sz l e t sn e k 20 0. v for
d u l j r l ,
a k i
B O L Y A I
F A R K A S
(17751856)
f iaknt
1802.
d e c e m b e i
1
1 5 n
s z l e
tett
K o l o z s v r o n . H l a a p j a
k z l k e n y s g n e k , j l
i s m e r j k J n o s g y e r m e k k o r t .
M r
e b b e n a z i d b e n f e l t n t s o k i r n y s z e l l e m i t e h e t s g e s a m a t e m a t i k a i r n
t i r e n d k v l i f o g k o n y s g a .
A fira
b s z k e
ap a
rgi b a r t j h o z ,
C . F .
G A U S S H O Z
(17771855)
rott lev elb en [101,
8687
old.],
r sz l etesen
b e s z m o l
Jnos
k l n
leges k p e s s g e i r l .
E l m o n d j a , h o g y
a k i s f i
j t k b l
a z
g b o l t sok c s i l l a g n a k
n e v t
m e g t a n u l t a ,
i s m e r t b b g e o m e t r i a i a l a k z a t o t . A z rsolvasst
h a t v e s
k o
rban szinte
magtl
sajttottael, r egy
vre
kezdte t a n u l n i anmet nyelvet s
a
h e g e d j t k o t .
A
k z i r a t o k a t o l v a s v a B O L Y A I J N O S n a k o l y a n f l j e g y z s e i r e
i s
t a l l h a t u n k ,
a m e l y e k b e n i s m e r t n l e t r a j z i
rsa
m e l l e t t sa j t
maga
is b e sz l r d e k e s g y e
r e k k o r i g o n d o l a t a i r l .
Mr kisgyermek
koromban r ja
a
k z i ra t o s h a g y a t k
1 21 4/2es
s z m o z s l a p j n fltenem magamnakakrdst, hogy
vgtelen
sok
prmszm ltezike?".
A r r l , h o g y
B O L Y A I
J N O S b a n igen korn j e l e n t k e z i k a
m a t e m a t i k a
i r n t i
s z e n v e d l y e s
r d e k l d s ,
e d d i g c s a k
B O L Y A I
F A R K A S
l e v e l e i b l
r t e s l h e t t n k .
A
fent e m l t e t t f l je g y z s b e n v i s z o n t m a g a j e l e n t i
k i,
h o g y
m r
g y e r m e k k o r b a n
f o g l a l k o z t a t t a a s z m e l m l e t e g y i k f o n t o s k r d s e . D e l t e z n e k m g m s . e h h e z
h a s o n l v a l l o m s a i
is . A
h a g y a i k 13 89/1 o l d a l n
g y r : mg
els f iatal, st
gyermekkoromban
magamtl
is talltam,
tlttam,rmenteni",
h o g y
/ k\ >
l i m
(141
=**.
m*oo
B e i s m e r i , h o g y e l e i n t e
a z
i m a g n r i u s m e n n y i s g e k f o g a l m a
n e m
v o l t
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v i l g o s
s z m r a , d e k s b b m e g p i l l a n t v a a z
'
="? k p l e t e t , r d e k l d s e
m i n d
j r t e z e k f e l
a s z m o k
f e l f o r d u l t :
Az
integrlskor
nha logaritmust is . . . de
akkor
mg az aluti
nyikrl
{ i m a g i n r i u s m e n n y i s g e k )
nekem sem
lvn ill vilgos kpzetem, inkbb
ir
tzva s hasztalan resnek vve
elfordultam
s unnyibnhagytnm. nem is
mertem
akkor
tovbbnyomozni (mint
it A
tant
is
legelbb
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szrevve)
mg vgre
/
V ~ T
megJttam ; i
< J
l =e ... mi ltal vgre flhvn
rzem magamat minde
nekeltt
a
f
n
aluti
nyikrl tiszta
fogalmat szerezni. .." ( 3 8 9 / 1 " ) .
J n o s t 9 ves k or ba n a p j a k e z d t e
t a n t a n i .
M a t e m a t i k r a a l i g k e l l e t t o k t a t
n i a , m e r t
e g y
p i l l a n a t
a l a t t
f e l f o g t a
s
t l t t a
a z
j o n n a n
h a l l o t t
t t e l t
s
a z o n n a l
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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1 . 2 .
B O L Y A I J N O S
B L E T U T . I A N A K
L L O M S A I
1 7
E n i l k l h l u B o l y a i
J n o s
t e m e s v r i l u k h / n ( K i s s
I'iiter
felvtele)
t u d t a a b i z o n y t s ti s . 13ves k or ba n m r t u d l a t i n u l . F a r k a s 1816 . p r i l i s 10 n
[ 1 0 1 , 9 9
o l d . ] r t a G A U S S n a k :
. . .
f el n tt t a n t v n y a i m m a l e g y t t n y i l v n o s a n
igen d i cs re te s e n v i z s g z o t t d e k u l . . . " .
1817ben
o s z t l y a l e g j o b b j a k n t a m a
r o s v s r h e l y i R e f o r m t u s K o l l g i u m b a n l e t e s z i a m a i g i m n z i u m i r e t t sgi n e k
m e g f e l e l v i z s g l .
B O L Y A I
F A R K A S
a z t
s z e r e t t e v o l n a ,
h a
r e n d k v l t e h e t s g e s
f ia
G t t i n g e n b e n
G AU S S n l f o l y t a t n t a n u l m n y a i t . E z t
me g i s
rta
G A U S S n a k [ 1 0 1 , 99100
old.],
d e
i f j k o r i
ba r t j a n em v l a s z o l t a l e v e l r e .
Ezrt
h o s s z a s t p r e n g s u t n g y
h a t r oz ot t ,
h o g y
f it a b c s i h a d m r n k i a k a d m i r a k l d i
t o v b b t a n u l n i ,
J n o s
B c s b e n
1 8 1 8 a u g u s z t u s b a n s i k e r r e l l e t e tt e n m e t n y e l v e n a
f e l v t e l i
v i z s g t , s
ezzel megkezddtt kat o n ai plyafutsa.
A n a g y
t r a d c i v a l
r e n d e l k e z b c s i a k a d m i a s z n v o n a l a s i s k o l n a k s z
m t o t t . B c s i t a n r a i t l a z o n b a n B O L Y A I
J N O S
k u t a t s a i h o z l e g f l j e b b b t or
t st k a p h a t ot t ,
d e
i r n y t s t ,
s e g t s g e i
n e m
l l ap t j a
m e g
S z N S S Y B A R N A
(19131995). E z t a l n i ga z . d e ne f e l e d k e z z n k m eg arrl se, h ogy a H a b s b u r g
b i r o d a l o m b a n a
X I X .
szzad
e l e j n K r ol y
f h e r c e g
k a t o n a i
r e f o r m j a i
s z e l l e m
b en
k o r s z e r s t e t t k
a z
egsz
t i sz t k p z st s a k a t on a i t a n i n t z e t e k be n , e l s sor
ban
p e d i g
a b c s i c s .
k i r . m r n k a k a d m i n
a z
oktat s k z p p o n t j b a
a
m a t e
m a t i k a
k e r l
[3, 9
o l d . ] . S A R L S K A ERN [95] t a n u l m n y b l
az t
is
m e g t u d h a t
j u k ,
h o g y B O L Y A I
J N O S Bcsben
eg y t g h o r i z o n t v i l g b aj u t o t t ,
a m e l y b l
k
s b b
se l p e t t ki s o h a [123].
SARLSKA
rja VEKERDI
L S Z L
azA k a d m i a i
K n y v t r K z i r a t t r b a n r z t t gazdag
k z i r a t o s a n y a g g o n d o s
t a n u l m n y o z
sa
s orn j u t o t t arra
a
m e g g y z d s r e , h ogy B O L Y A I J N O S s z o k s o s m e g t l s e
leves, k i v l t , a m i a m v e m e g a l k o t s a s z e m p o n t j b l o ly fontos
i f j i
v e i t s k a
t o n a i
s z o l g l a t t
i l l e t i .
E g y
n a g y . r a c i o n l i s , j i n d u l a t
s e m b e r s g e s
r e n d sz e r
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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jj>
l .
B O L Y A I J N O S L E T T J A s A
T R
T U D O M N Y A
m k d s t k a n y a r t j a a g o n d o l a t a i v a l
v i a s k o d
J n o s kr, a m e l y v d t e i n k b b ,
m i n t s e m
g t o l t a
a
k e r e t e i b e s z k s g k p p e n
n e h e z e n b e i l l e s z k e d
l n g e l m t
[9 ,
4 1
o l d . ] .
J n o s
m i n d i g
j
t a n u l v o l t,
s ami a
le g f on t os a b b , h og y
h a d m r n k i
aka
d m i a i
v e i
a l a t t is ren dsz eresen
f o g l a l k o z o t t m a t e m a t i k v a l . J e g y z e t e i b e n
m r
e k k o r f e l v i l l a n n a k eredeti
t l e t e i n e k
szikri .
M echan i kai f e ladat o k megoldst tartalmaz
a k a d m i a i
jegyzetfzetben
(1563/r
1
, 2 ' ' ) t a l l h a t b r k m e l y e k
felett
a
P a r a l l e l a r t i m T h e o r ia
c m
o lv a s h a
t a z t
i g a zol j k , h og y
m r
b c s i d i k o s k o d s a idejn, 1820 k r l
f o g l a l k o z t a t
tk a
p r h u z a m o s o k
p o s z t u l t u m v a l
k a pc s ola t os
k r d s e k
a n n a k e l l e n r e ,h o g y
e b b e n a z i d b e n a pj a a
m a g a
s r k n y t l v j a
11
ves
fit"
{NMETH L S Z L I .
B O L Y A I J N O S
u g y a n e b b e n a z
v b e n ,
a h a d m r n k i
a k a d m i a
t a n u l j a k n t ,
e g y
n e v e z e t e s k o r i p r o b l m v a l ,
a
s z g h a r m a d o l s s a l
is
f o g l a l k o z o t t ( t e t s z l e
g e s szg
h r o m
e g y e n l
rszre v a l o s z t s a
k r z s
b e os zt s n l k l i e g y e n e s
v o
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h a s z n l a t v a l } .
H a g y a t k b a n
f e n n m a r a d t
e g y p a p r l a p ( l 1 1 4 / 2
1
' ) , a m e l y r e
i g e n s z k s z a v a n , m e g o k o l s n l k l
v z o l t a
fe l
s ze rk e s zt s t .
A s z e r k e s z t s t
kr
z s
v o n a l z s e g t s g v e l
v g e z t e e l , de
e m e l l e t t
m g
i g n y b e v e s z i
a z
e g y e n l
o l d a l h i p e r b o l a e g y i k gt is . Jnos fl jegyzsrl P A U L S T C K E L ( l
8621919)
is
beszmolt
[106,
1:235236].
B O L Y A I
e l j r s n a k
h e l y e s s g t
S z K E FALV i
NAGY
G Y U L A (18871953) b i z o n y t o t t a
b e a [ 1 1 8 ] d o l g o z a t b a n . A
s zgh a rrm i
d o l s n a k e g y e n l o l d a l h i p e r b o l v a l v a l e l v g z s v e l m r a r g i grg m a
t e m a t i k u s o k is
f o g h i l k o z t u k , s
u t n u k
m s ok
is, de a f e l a d a t n a k B O L Y A I J N O S
s z e r k e s z t s n a l a p u l k e r e s z t l v i t e l e
ez ek
k z l
a
l e g e g y s z e r b b jegyzi
m e g
d o l g o z a t a v g n
S z K E F A L v i N A G Y G Y U L A .
T a n u l m n y a i t
Jnos 1823ban fe jezte be, s r v i d e s e n
T e m e s v r o n
t a l l j u k . A
p a r a l e l k r l
B c s b en
e l k e z d e t t t b b
m i n t
h r o m v e s
t p r e n g s e i
i t t
rtek
b e .
Alig
rkezett
m e g
T e m e s v r r a ,
rnr
m e g v i l g o s o d o t t b e n n e
v i l g r a s z l
f e l f e de z s
n e k d n t g o n d o l a t a .
I n n e n
r j a d e s a p j n a k M a r o s v s r h e l y r e n o v e m b e r 3 n ,
nem
e g s z e n 2 1 v e s k o r b a n , a z i m m r m a t e m a t i k a t r t n e t ij e l e n t s g f i l e v e l t
( 1 5 6 5 / 1 ,
l " ) ,
a m e l y b e n r tes t i
a z
e l s n e m e u k l i d s z i
g e om e t r i a a la pk ple t r i e k
az u n . p r h u z a m o s s g i
szg
s p r h u z a m o s s g i t v o l s g
k z t t
f e n n l l s s z e
f g g s f e l f e d e z s r l .
T O R
TIBOR
k e z d e m n y e z s r e 1993. n o v e m b e r 3 . ta t n y e l v e m l k t b l a
j e l l i
T e m e s v r o n
a n n a k
a
h z n a k
a
h o m l o k z a t t , a h o l
B O L Y A I
d o l g o z o t t
s
f e l
fedezte
a z t a z
a l a p v e t
s s z e f g g s t ,
a m i t
iztn a z
A p p e n d i x
2 9 .
p a r a g r a f u s b a n
rt le:
1 1
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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l .2 . B O L Y A I J N O S
L E T T J N A K
L L O M S A I 1 9
T
a h ol
PT=x. m(TPQ
f ) = u
az
x t v o l s g h o z
t a r t oz
p r h u z a m o s s g i szg,
e
a z
Eulerfle
szm (e=2,
7 1 8
. . . ) , k pedig egy, a teret
j e l l e m z
p o z i t v v a l s
s z m .
B O L Y A I J N O S
az
a b s z o l t g e o m e t r i a a l a p j a i t
T e m e s v r o n
e l t l t t t ve i a l a t t
(18231826) f o g a l m a z t a m e g s fogla l ta ssze egysges re nd s ze rbe . T e h t i lye n
rte le m be n a te m e s vr i i d s za k letben s g e o m e t r i a i r e n d s z e r n e k m e g a l a p o
z s b a n
d n t f o n t o s s g n a k b i z o n y u l t . 1825 e l e j n h a z a l t o g a t v a M a r o s v s r
h e l y r e m e g m u t a t t a a p j n a k a mr
k i d o l g o z o t t
e l m l e t t . F j d a l o m m a l ll a p t o tt a
m e g, h ogy a pja a k k o r mg nemv o l t kpes a n n a k l n y e g l s j e l e n t s g i
f e l f o gni .
82
p r i l i s b a n
B O L Y A I l
Ara d ra
h e l y e z t k ,
itt
rte
e l a f h a d n a g y i r e n d
f o k o z a t o t . T u d o m n y t r t n e t i s z e m p o n t b l n a g y j e l e n t s g e s e m n y , h o g y eb
ben az vben tadott
J O H A N N W O L T ER
v on E C K W E H R (17911857) s z z a d o s n a k ,
k z v e t l e n p a r a n c s n o k n a k
s
v o l t b c s i
m a t e m a t i k a t a n r n a k eg y
kzrsos rte
k e z s t , a m e l y b e n a d d i g i n e m e u k l d s z i ge o m e t ri ai v i z s g l a t a i e r e d m n y e i tfog
l a l ta s s ze . Sa jnos , e nne k a k z i r a t n a k n y o m a v e s ze t t, d e
B O L Y A I J N O S n a k
egy
k s b b i f
l
j e g y z s b el
k t s g k v l k i o l v a s h a t j u k
az
ta d s tnyt
s
id po n t j t .
WoLTE R n er ki mint derk
nyitansz
r ja B O L Y A Isklns eleven kpze
letse
ltal
jelesen
;i z
rtani
rajztan
vagy
dessin geometritlban
ppen klnsn
jrtas egyn, a csszri kirlyi mrnk vagy
ingneur
akadmiban tanultamkor
is kt zben is nagyon kedves s tisztelt tantm volt s kinekjelleme tisztasga
s
irntami
jindulatjban
tvul legyen, hogyktkedni akarnk mar, vagy
mg az
1826vben tadtam:
honnan is
azonban
ki
tudja
mi trtnet ltal, a
nagy tisz
teletet
kirdcmeit W O L T E R / J e A '
akaratja
ellen
is
szivroghatott vagy vetdhetett
Isten tudja hova e]." ([9],els bor tjna k b e i s o l d a l n ) .
B O L Y A I J N O S
a r a d i s z o l g l a t a
a latt
i s m a t e m a t i k u s v o l t . A r ad r a c m z e t t k t
k i t e r t e t t
l e v l b o r t k o n a m e l y e k
k z l
e gyi k 182 7.
mrc .
11i
k e l t e z s ( a l i
h a t fl je gyzs e k
t a n s t j k ,
hogy a fiatal k a t o n a t i s z t m r a bba n a z i d be nrdek
l d i k
a
m a ga s a bb fo k a l ge br a i e gye nle te k m e gold s a i rnt . Mi nd k t bor tk on
u g y a n o l y a n
j e l l s e k k e l
a
h a r m a d f o k e g y e n l e t m e g o l d s t t r g y a l j a
a
d i s z k r i
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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2 0 l . B O L Y A I J N O S L E T T J A s A T R T U D O M N Y A
m i n n s e l j e l t l f g g e n . T b b ,
a
k o m p l e x s z m o k k a l k a p c s o l a to s s s z e f g g s
is t a l l h a t a kt b or t kon ( 1 2 1 3 / 1 2 " ) .
K t s g t e l e n , h o g y B O L Y A I J N O S szmra az 1820as v e k
a ? .
A p p e n d i x ki
d o l g o z s n a k
jeg y b en tel tek
e l . le t ra jz na k
v a l a m e n n y i
r j a
e z t
h a n g o z t a t ja .
F e l j e g y z s e i k z t t
azon b an ol y an r sokat i s
l a l l u n k
m i n t
p l d u l
a z A r a d r a
c m z e t t
k t
b o r t k
, a m e l y e k
arra
u t a l n a k ,
hogy
a
g e o m e t r i a m e l l e t t
m r e b
ben az
i d b e n
a
m a t e m a t i k a
m s
gai
is
f o g l a l k o z t a t t k .
A z
a lgebra m e l l e t t
a
k o m p l e x s z m o k e l m l e t e is l e k t t e a f i g y e l m t .
A z ixnaginSrius mennyis
gek
tanai r ja
kis
hjn
negyed vszzaddal
ezeltt, amikor
az n
igen fon
tos Tr Tudomnyommal
foglalkoztam,
m r
kigondoltam" ( 5 8 7 / 1 ) . I d e t a r t o z i k
a z ( 1 5 4 6 / 1 ) o l d a l is , a m e l y r e a z (5.3.
)ban u t a l u n k
m a j d . H o g y
B O L Y A I
J
N O S m i l y e n a l a p o s a n
t a n u l m n y o z t a
az 1 8 2 0 a s v e k b e n G A U S S
D i s q u i s i t i o n e s
a r i l h m e l i c a e c m m v t , k i t n i k a p j n a k G A U S S h o z r t , 1 8 3 1 . j n i u s 2 0 n k e l t
l e v e l b l : F i a m n a k s z n d k a
v o l t ,
h o g y
a T e p o l y g o n e l m l e e d e t n m e t l , a
k i s e b b k a l i b e r e l m k n e k v a l a m i v e l k n n y e b b e n h o z z f r h e t m d o n a d ja k i . "
1 1 0 1 , 103104 o ld .] .
1831 elejn L e m b e r g b e
v e z n y e l l e k , s
od au tazt b a n fel ker este Ma r osv s r
h e l y e n
d e s a p j t . E z a t a l l k o z d n t h a t s
v o l t
a z
A p p e n d i x m e g j e l e n s r e ,
m e r t
a m i n t
k s b b
le r ja : ha
trtnetesen
akkor...
az atym n em
sztnztt
s
mondhatni
erltetett volna
ahirtelen
lersra
hihetleg
azon Appendix
tartal
ma sem ltott volna m g napfnyt" B O L Y A I
F A R K A S n a k
teht fon tos
s z e re p e
v o l t az
A p p e n d i x l t r e j t t b e n
s
m e g j e l e n t e t s b e n
[III,
III
old.]. A
k z v
l e m n y b e mg
P A U L
S T C K E L hatsra e l g m l y e n
b e f s z k e l t e
m a g t az a
h i e d e l e m , h o g y B O L Y A I F A R K A S nem rtette m e g a z A p p e n d i x e t . P e d i g a z a pa
m r az 1830as
v e k
l e g e l e j n
f o k o z a t o s a n
meg b ar tkozott a f ia
l ta l a l k o t o t t
j
g e o m e t r i v a l .
1831 e l s fe l b en
a mg meg sem j e l e n t
m u n k r l
ez t
r t a e g y i k
v o l t
t a n t v n y n a k :
O r i g i n l i s
n a g y m u n k a ; m a g y a r
t o l l b l
o l y a n m a t e m a t i k u s
m u n k a n e m
j t t .
...". K l n b e n B O L Y A I F A R K A S n a k
eg y et l en ol y an ,
1831 utn
n y o m t a t s b a n
m e g j e l e n t rsrl
s e m t u d u n k ,
m e l y b e n
n e d i c s r t e v o l n af iam u n
kjt . E g y e t r t h e t n k t e h t
S Z N S S Y
B A R N v a l , ak i
s ze r i nt :
Bi z t o san l l t h a t ,
h o g y ha az apa nem
v e z e t t e v o l n a
b e
fit
a
p a r a l e l k k r d s k r n e k
i s m e r e t b e .
. . . ,
v a l a m i n t ,
h a n e m s r g e t t e
v o l n a e r e d m n y e i l e r s r a
s
kzz t tel r e,
a k
k or a m a t e m a t ik a i i r o d a l o m eg y k o r s z a k o s j e l e n t s g m v e l ,a m a g y a r s g p e d i g
taln
le g je le nts e bb
t u d s v a l l e n n e
m a
s z e g n y e b b . " [ 1 1 6 ,
14
old.].
l832 p r i l i s b a n B O L Y A I J N O S I
egy
j a b b r e n d e l k e z s
O l m t z b c
szl totta.
I tt
k a p t a
m e g a m s o d o s z t l y k a p i t n y i r en dfokozatot .
1832ben Jnos
fher
c e g h e z
( a
b c si h a d m r n k i a k a d m i a f ig a z g a t j a ) f o l y a m o d o t t h r o m v i
szol
g l a t m e n t e s s g e t k r v e , hogy a m g k i n e m d o l g o z o t t m a t e m a t i k a i v i z s g l a t a i t
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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l . 2 B O L Y A I J N O S L E T T J N A K L L O M S A I 2 1 _
befejezhesse.
E l u t a s t o t t k .
1833.
j n i u s 16i ha t l l y a l s a j t
krsre
n y u g l l o
mnyba
helyeztk. Az
elz
vekben
tbbszr
betegeskedett. Mr
aradi
tartz
kodsa a l a t t k e z d t e k j e l e n t k e z n i k l n f l e b e t e g s g e i n e k e l s
t n e t e i .
G y a k r a n
v o l t
m a l r i s .
f e l t e h e t ,
h o g y
z l e t i
g y u l l a d s t
i s
szerzett .
183lben
Lernberg
be
menve
r ja egy k s b b i l e v l b e n ([12],
K23/8687)
Besztercn
a
cholcrt
legelbb
kiltottam", a m i k o r
O l m t z b e
u t a z o t tszekere f e l b o r u l t , a f e j n m e g s
r l t ,
a g y r z k d s a
i s
v o l t .
K z b e n ,
1 8 3 2 b e n
m e g j e l e n i k B O L Y A I
J N O S
k o r s z a k a l k o t m v e ,
a T r a b
s z o l t
i g a z t u d o m n y a , vagy i s m e r t e b b n e v n a z A p p e n d i x [14].
Szokss v l t ,
hogy B O L Y A I
rtekezst i n k b b A p p e n d i x c m en e m l t j k .
A
l e g t b b s z r
m a
g a i s g y n e v e z i m e g a m e g j e l e n s k o r
Sdemia
S p a t i i , n m e t k z i r a t b a n p e d i g
a
R a u m l e h r e
( 3 8 0 / 1 )
c m e t v i s e l
m u n k j t.
E z a
nagy
j e l e n t s g m
B O L Y A I
F A R K A S T e n t a i n e n [ 1 0 ] c m k n y v e els k t e t n e k f g g e l k e k n t k e r l t k i a
i n a r o s v s r h e l y i R e f o r m t u s K o l l g i u m n y o m d j b l , d e k l n l e n y o m a t a i m r
e g y v v e l h a m a r b b , 1 8 3 1 p r i l i s b a n e l k s z l t e k [13].
B O L Y A I
F A R K A S
a z A p
p e n d i x
k l n l e n y o m a t t
1 8 3 1 . j n i u s 20n k l d i e l G A U S S n a k . M i v e l J n o s
m u n k j a
t k z b e n
e l k a l l d o t t , a z t 1 8 3 2 . j a n u r 1 6 n j b l m e g k l d i b a r t j
n a k e g y
j a b b
l e v l
k s r e t b e n , a m e l y b e n
e z t
r ja : Fiam tbbre b e c s l i
a T e
tletedet,
m i n t
egsz E u r p t. " [ 1 0 1 , 1 0 7 o ld . ] .
G A U S S
1832.
m r c i u s
6 n v l a s z o l
[ 1 0 1 ,
108113
o l d .] .
L e v e l n e k e g y i k
m o n d a t a : h a f i a d m u n k j t m e g d i c s r e m , e z a z t j e l e n t e n , h o g y m a g a m a t d i
c s r n m " k z i s m e r t . A ktes r t k d i c s r e t
B O L Y A I
J N O S I m l y e n l e s j t o t t a ,
e l k e s e r t e t t e .
Becsapott,
m e g c s a l t e m b e r n e k r e z t e m a g t , a n n a k e l l e n r e , h o g y a
l e v l h v s h a n g j a d a c r a i s m l y e l i s m e r s t f e j e z k i .
G A U S S
e m b e r i h o z z l l s t
mr
sokan elemeztk,
prbltk
megmagyarzni. N e h z megrteni viselkedsi.
F u k a r k e z e k k e l " m r t , d e h i s z e n n a g y r " volt.
K l n s , h o g y
G A U S S , aki a
B O L Y A I
F A R K A S n a k r t
l e v l b e n i g e n f u k a r u l
b n t
a d i c s r s z a v a k k a l , m a g n b e s z l g e t s b e n s C H . L .
G E R L I N G
(17881864)
m a r b u r g i m a t e m a t i k u s n a k r t
l e v e l b e n
v i s z o n t m s k p p e n
n y i l a t k o z o t t . Z E Y K
JZSEF
G t t i n g e n b e n
t a n u l i f j , s z l e i n e k k l d t t l e v e l b e n e lb e s z l i , h o g y m i
k o r G A U S S n a k t a d t a J n o s m u n k j t s G A U S S e l o l v a s t a a z t , g y szlt: Igen
k i t n f e j , v a l b a n i g e n k i t n . . . " .
E l g o n d o l k o z t a t
a G E R L N G h e z 1832. feb
r u r 1 4 n ( t e h tcsak h r o m h t l e l
a
B O L Y A I F A R K A S n a k k l d i t l e v l e l t t )
r t
l e v e l n e k n h n y m o n d a t a :...
a
n a p o k b a n M a g y a r o r s z g r l e g y ,
a
n e m e u k l i d
s z i g e o m e t r i t t r g y a l k i s m v e t k a p t a m . . . S z e r z je , a k i n ag y o n fi a t a l o s z tr k
k a t o n a t i s z t ,
f i a
e g y i k
i f j k o r i
b a r t o m n a k .
. . .
E z t a f i a t a l
g e o m t e r t ,
B o L Y A l t ,
e l s r a n g l n g s z n e k t a r t o m . " [ 2 2 ,
387
old.].
M i r t
G E R L I N G n e k
r t G A U S S
e l s r a n g lngszrl
s
m i r t
n e m B O L Y A I
F A R K A S n a k ,
v a g y m i r t
n e m
t e t t e k z h r r
B O L Y A I
J N O S f e l f e d e z s t
a
G t t i n
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
18/224
2 2 ]. B O L Y A I J N O S L E T T J A s A T K T U D O M N Y A
gni T u d o m n y o s r t e s t b e n ? M a g a t a r t s a m g m i n d i g r t h e t e t l e n s z m u n k r a .
A n ag y fe jedel em" sokszor m sokkal sem v o l t e g y e n e s . I smer t , hog y hason
lan
b n t
el
Ni ELS A B E L l e l (18021829), C A R L J A C O B i v a i
(18041851) is
[ 1 27,
2930
o ld .] .
B O L Y A I
J N O S
n y u g a l o m b a v o n u l s a utn 1833 j n i u s b a nv i s s z at r t Ma ros
v s r h e l y r e s egy v e n t a p j n l
l a k ot t , m a j d 1 8 34b en el kl tztt
e g y
t v o l i
f a l u b a . D o m l d r a . I t t lt e l s z i g e t e l t e n 1 8 46ig . l etr a jz r i eg y et r ten ek ab b an ,
hogy
D o m l d o n
n e m v g z e t t k o m o l y m a t e m a t i k a i k u ta ts ok a t . Ezt a v l e m n y t
is
h e l y e s b t e n n k k e l l .
A d o m l d i
tar t zkod s
n e m
v o l t
se m
ter m ket l en "
[106,
1:99] . sem m e d d " [127 , 4 5
o l d . ]
a m a t e m a t i k a i k u t a t s o k
s z e m p o n t j b l .
T u d
j u k , h o g y erre a z idre esik p l d u l m sik n ev ezetes mv e, a R e s p o n s i o megrsa,
a m e l l y e l
a
l i p c s e i J a b l o n o w s k i T r sa s g p l y z a t i f e l h v s r a
v l a s z o lt
1837ben.
Sajn os a k o m p l e x s z m o k r l k s z l t , m l y s e r e d e t i g o n d o l a t o k a t is t a r t a l m a z
d o l g o z a t t
a p l y a b r k n e m rtettk meg, s gy egy j a b b n a g y
c s a l d s
rte.
i s m t
e l m a r a d t a m e g r d e m e l t e l i s m e r s .
E m e l l e t t m g m s k r d s e k is f o g l a l k o z t a t t k D o m l d o n . c s a k h o g y e r r l a
B o l y a i i r o d a l o m m g n e m
t u d .
m e
n h n y b i z o n y t k .
A
k z i r a t o s h a g y a t k
e g y i k
l a p j n ( 1 4 3 / 3 ) a k v e t k e z k e t r j a : ,,...
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1837ben fordtottam klns
figyelmemet
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."Ez
a
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a
m a g a s a b b f o k a l g e b r a i e g y e n l e t e k
m e g o l d h a t s g n a k
krdse, a m e l l y e l a z ar adi t a p o g a t z s o k u t n . l e h a t D o m l
d o n k e z d e t t
k o m o l y a n f o g l a l k o z n i .
Erre u t a l n a k azok az rsai i s , a m e l y e k e t k
l n b z
l e v l p a p r o k r i z t e k m e g s z m u n k r a , g y p l d u l a z t d f o k a l g e b r a i
e g y e n l e t g y k e i n e k
p e r m u t c i j v a l
s s z e f g g f l j e g yz s e k e t o l v a s h a t u n k e g y
1842. m r c i u s
1n
Dom l dr a c mzett l ev l r esen hag y ott r szein (438/2") . A z
t d fok
e g y e n l e t
m e g o l d h a t s g v a l k a p c s o l a t o s g o n d o l a t a i t r g z t i eg y ol y an
l e v l b o r t k o n , a m e l y e n a p j a k v e t k e z c m z s e l l :
P e n s i o n a t u s
M . K a p i t n y
B o l y a i
B o l y a i
Jnos
r n a k a t y a i szeretettel
Domldon
G o n d o l a t s o r t e z e k k e l a s z a v a k k a l z r ja : elg gynyr elem.
( 1 9 8 / 1 " ) .
A l
g eb r ai ter m szet
j e g y z e t e k e t
p i l l a n t h a t u n k
m e g e g y
h i v a t a l o s
o k m n y o n
i s ,
a m e l y e t K e r e l s z e n t p l r l k l d t e k n e k i 1842. szeptember 27n. Az irat k l n
ben a h i v a t a l v l a s z t t a r t a l m a z z a
B O L Y A I
J N O S eg y f o l y a m o d v n y r a . L n y e
g e ,
hogy krs tel jestse
l e h e t e t l e n "
( 1 0 1 3 / 1
r
) .
A
h a r m a d f o k a l g e b r a i e g y e n l e t
k o m p l e x
g y k e i v e l kapc sol atos f l jeg y z seket ta l l un ke g y 1842. mjus I l n
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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1 .2 . B O L Y A I J N O S L E T T J N A K L L O M S A I
2 3
k e l t e z e t t l e v l e n ( 1 1 3 0 / 1
u
' } . D o m l d r )
k l d i
ap j n ak v a l a m i k o r 1844. s z e p t e m
ber 2a ut n azt a szp l e v e l e t a m e l y b e n m u n k j r l s t e rve i r l s z m o l b e:
, J Z n
elhatrozm
magamban
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. . . ,
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... bocsssak elre
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Kolosvrrl
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magyarul
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terjedelm munkt ... A; integrlis
tanban
is tmrdek j,knny,
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1
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A
l e v l b e n n a g y t e r j e d e l e m b e n
k a p
helyet
a z
a l g e b r a i
e g y e n l e t e k m e g o l d s n a k
a
k r d s e .
M s
r s ai , p l d ul a?. 1842. p r i l i s 24 n
U o m l d r a
c m z e t t le
v l
b o r t k o n
t a l l h a t
j e g y z e t e k t a n s t j k , h o g y
remetes
g e " i d e j n s z m e l m l e t i p r o b l m k k a l is
b a j l d o t t .
E g y i k
r s on ,
a m e l y 1 8 4 1 .
februr
2n kezddt s a
rla
val gondols,
reksziils
s elszns az
eltti
j
jel
. . . "
( 7 5 9 / 1 ) ,
o l y a n p r b l k o z s o k a t
t a l l u n k ,
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F
A
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=
2 + 1
F e r m a t
fle s z m o k p r m v o l t n a k v i z s g l a t h o z k t d n e k(759/12"). T eh t
a
d o m l d i
tar t z ko d s i d e j r e es n ek ez ek a ku tat s o k is .
F o n t o s d t u m
B O L Y A I
J N O S letbe n 1848. ok tb er
17 .
E k k o r j u t o t t
N Y I K O L A J
I V A N O V I C S LOBACSEVSZKJJ
(17931856)
1 8 40 b en B er l i n b en meg j e
lent
G e o m e t r i s c h e U n t e r s u c h u n g e n
z r
T h e o r i e d r P a r a l l e l l i n i e n
c m
k n y v
hez. r t h e t e n
m e g
v o l t d b b e n v e az A p p e n d i x t a r t a l m v a l v a l m e g e g y e z s t l .
N e m n e h z e l k p z e l n i , m i l y e n i z g a l o m m a l o l v a s t a s j e g y e z t e l e a k n y v
tarta l
m v a l k a p c s o l a t o s v l e m n y i .
L O B A C S E V S Z K I J
m u n k j r l
a
l e g n a g y o b b e l i s
m e r s s e l n y i l a t k o z o t t .
s z r e v t e l e i b l i s j e l l e m n e k t i s z tas g t s m l y i g a z s g
s z er etet t
o l v a s h a t j u k k i .
E z z e l k a p c s o l a t b a n
a
k v e t k e z m o n d a t o t s z e r e t n n k
i d z n i :
Mg oly szp. j s
nemes
irny vagy trekvx nyiani ( m a t e m a t i k a i )
lngelme
van
OroszHonban, mznLOBACSEWSZKU:addig
mr
csuk azrt
is
elg
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legjobb
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venni"
(9 3/ 1 ) .
B O L Y A I J N O S az s z r e v t e l e k e t n e m a n y i l v n o s s g s z m r a , h a n e m s a
j t
m a g n a k
ksztette. A
s z z a d f o r d u l
i d e j n
a z o n b a n
P A U L S T C K E L
s
K R S C H K JZSEF (18641933)
en n ek l n y eg es eb b
rs ze i t a
[105] do lgozatb an
k z l t k . A j e g y z e t e k b e n t e r m s z e t e s e n v a n n a kB O L Y A tn ak L O B A C S E V S Z K I J mii
vvel
k a p c s o l a t o s a n m e g j e g y z s e i s k i f o g s a i is . E z e k k e l n a g y r s z t S T C K E L is
e g y e t r t . V a n a z o n b a n e g y e r s e b b h a n g b r l a t a i s , a m e l y a G e o r n e l r i s c h e U n
t e r s u c h u n g e n
2 7 .
p a r a g r a fu s r a v o n a t k o z i k . S z e r in te
L O B A C S E V S Z K I J szarvashi
bt" kvet e l . E zt S T C K E L s k s b b V . F . K A G A N (18681953) sem fogadta e l.
WE S2 E L Y
TiBOR
a z rd e m , a k i na gy h o z z r t s s e l m e g v i z s g l v a a 2 7 .
c i k k e l y t
m e g l l a p t j a , h o g y
B O L Y A I
J N O S
n em b r l t
a l a p t a l a n u l "
[127, 302319
o l d . ]
s [128, 32 o l d . ] .
A
s z a b a d s g h a r c
u t n i e l n y o m a t s v e i b e n J n o s v a l s g g a l b e z r k zo t t.
S o
k a t
b e t e g e s k e d v e e g y e d l l t . E n n e k e ll e n r e ll a n d a n d o l g o z o t t .
1850
k r l
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2 4 l . B O L Y A I J N O S L E T T J A s A T R T U D O M N Y A
kezdelt
f o g l a l k o z n i
a
R a u m e h r e v e l ,
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be fe je ze t le n,
d e
s z m o s eredeti e l g o n
dolst s
megltsttartalm az
m u n k v a l.M r
D V I D L A JO S(18811962)
[34,2 1
old.]
s z r e v e t t e , h o g y B O L Y A I e b b e n az rsban a fl v s z z a d d a l k s b b
meg
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s
n a g y o n n a g y j v j
m a t e m a t i k a i
d i s z c i p l n a ,
a
t o p o l g i a
a la p ja i t
l a k t a
le.
A
f e l t r t k z i ra t o k a r r l r u l k o d n a k , h o g y t u d o m n y n a k
m s
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sem
h a g y
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n y u g o d n i . K n y v n k b e n
ezek
kzl most csak a s z m e l m l e t i s
a l g e b r a i
t e r m s z e t
e r e d m n y e k k el f o g l a l k o z u n k . K s b b i
f e l a d a t u n k n a k
t e k i n t j k m u n
knk kiter jesztst B O L Y A I J N O S n a k azokra
a
v i z s g l d s a i r a
is . a m e l y e k sorn
a
r a c i o n l i s t r t f g g v n y e k e l e m i t r t f g g v n y e k r e v a l
f e l b o n t s v a l , a so
ro k k o n v e r g e n c i j v a l ,integrlszmtssal,a z
e r a l o s z th e n s z i
s z i t a m d s z e r n e k
m e g j a v t s v a l
stb.
f o g l a l k o z o t t
mg.
A k zir atokb an u i .
sok,
a f e l s orol t
p r o b l
m k h o z
k a p c s o l d
j e g y z e t e t t a l l u n k .
B O L Y A I J N O S letrajzri kzl tbben (gyP. STCKEL i s ) a z t a v l e m n y t
han go z t at j k,
amel y szer in t Jnos a l k o t k p e s s g e m r kor n kimer l t ,
l a n y h u l t
r d e k l d s e a
m a t e m a t i k a i krdsek i r n t .
A
j e l e n t s
m a t e m a t i k u s o k r l1990
ben kiadott l e x i k o n [85. 64
o l d . ]
r v i d s z c i k k b e n szinte csak azt tart ja fon
tosn ak meg r n i , h o g y B O L Y A I J N O S I { gy, hosszii
o v a l )
lete vgn
an y j t l
r k l t betegsge
sokat
k n o z t a .
B z o m
a b b a n ,
h o g y k n y v e m
ezeket a feltte
l ez seket te ljesen s zer tefosziat ja . A m in t a k sb b i fe jezetekb en l t n i fog ju k a z
1850es
v e k r e e s n e k
B O L Y A I J N O S
n a g y o n f o n t o s s z m e l m l e t i
k u t a t s a i .
A z
ert
e r e d m n y e k
az t
b i z o n y t j k , h o g y
u tols
v e i b e n
is
t iszta fejje
s
tr et l en
o p t i m i z m u s s a l dol g ozott m a t e m a t i k a i p r o b l m k o n ,
a
k ut a t s r m i a k k o r
is l
v e z t e . Igen
szoros
k a p c s o l a t o t
tartolt
d es a p j v a l , a k i v e l k i c s e r l h e t t e
g o n d o l a t a
i t .
M e g m e g l t o g a t t a id s ap j t s meg szapor odn ak a z e g y m s n a k r tm a t e m a t i k ai
t r g y l e v e l e k .
S z m u n k r a
k l n s szerencse, hogy n e m c s u p n m e g b e s z l l e k ,
h a n e m l e v l b e n i s r g z l e l t k g o n d o l a t a i k a t ,
g y
m a r a d h a t t a k m e g a zo k n a p j a i n
kig s meg g y z en m ul a t j k, ho g y
B O L Y A I
J N O S I k o r a m a t e m a t i k j n a k m i n d e n
ga
rdekelte.
A
t r s a d a l m i k r d s e k
b o n c o l g a t s a k e d v r t n e m h a g y t a
abba
a
m a t e m a t i k a i m u n k l k o d s t .
T e r m s z e t e s ,
hogy nem
mon dott
l e t u d o m n y n a k
m v e l s r l az az ember, ak i
, , . . .
leinek alfja s megja a matematika" , s
a k i
gy t a r t o t t a , hog y m in d en f l e emb er i i sm er etn ek ez a tu do m n y b iztos t
m e g i n g a t h a t a t l a n
a l a p o t .
S z p s ge
u t o l r h e t e t l e n ,
a
b e n n e v a l
e l m l y l s a l e g
m a g a s a b b l v e z e l s g y n y r s g " [6, 43 old.]. T b b s z r is t o l v a s v a az
eg s z
k zir atos
h a g y a t k o t
s z m u n k r a i n k b b a m a t e m a t i k u s
B O L Y A I
ker l t e l t r b e
az
d v t a n
szerzjnek htrnyra.
Ezrt
gy
m dos tan m B E N K
SAMU
e g y i k
m o n d a t t
[6, 273
o ld .] :
, ,A
m a t e m a t i k a
fe j e z e t e i n
t p r e n g v e
l e t e v g i g
megr
izte
a
g o n d o l k o d s r m t . "
1856
n o v e m b e r
20n
n y o l c v a n e g y
v e s
korban apja bevgz
fldi
nagy
xzcr levkenysgt".
Az ids professzor
hal l akor J n os v e s z t e t t
a
l e g t b b e t .
Most
m r
sen ki
sem maradt ,
a k i v e l e g a l b b b e s z l g e t h e t e t t v o l n a .
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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1.3.
A
B O L V A I A K A L A K J A
A S Z P I R O D A L O M B A N 25
1 8 5 7 s z t l k e zdve o
i s
f o l y t o n b e t e g e s k e de t t , s z i n t e
l l a n d a n
gyban fe
k d t , de gy is
d o l g o z o t t ,
f l e g m a t e m a t i k v a l
f o g l a l k o z o t t . 1860
j a n u r j b a n t
d g y u l l a d s t k a p o t t ,
s a
h n a p v g n
a
m a r o sv s r h e ly i r e f o r m t u s e g y h z a n y a
k n y v b e a z a k k o r i
e s p e r e s
f e l j e g ye zt e , h og y 1 8 60. j a n u r
27n
B O L Y A I
J N O S
n y g . Ingenieur
k a p i t n y
agy
s
t d g y u l l a d s b a n vgleg lezrtaszemeit.
1.3.
A B o l y a i a k a l a k j a aszpirodalomban
B O L Y A I J N O S
e m l k t
a s z p sz m e s t e r e i , i r o d a l m u n k n a g y j a i is m e g r k t e t
tk. K l t i n k , r i n k h a n e m i s t u d n a ka z a b s z o l t g e o m e t r i a v i l g b a n B O L Y A I
J N O S
g o n d o l a t a i n y o m b a s z e g d n i v e r s s e l , p r z v a l
t i s z t e l e g t e k
emberi, e r
k l c s i n a g ys g a e l t t .
A
k l t i
m r c t
BABITS
M I H L Y
h e l y e z t e i g e n m a g a s r a
m g a
szzad e le j n ,
1 9 1
l b e n
a F o g a r a s o n r t B O L Y A I
c m s z o n e t t j v e l .
A D Y
E N D R E k l t i l t o m s a u t n
M e g n y l t a k l n g o l n
e l t t n k
A B o l y a i s Csere srok"
a B O L Y A l a k i r o d a l m i h s k k n t i s b e v o n u l t a k a
k z t u d a t b a .
P R 1 L Y L A J O S A F e j e d e l e m h e z c m , B e t h le n G b ort d i cst d j b a n (1922)
a
B e t h l e n k o l l g i u m
e g y k o r i
d i k j a i
k z t t
f e l v o n u l t a t j a
B O L Y A I
FARKAS
is :
s j n T u d s o d , a s z m ok r i s a ,
s h l t l e r n i , m , e l e d b e l p ,
a
s z m l l h a l a t l a n
c s i l l a g o k b l
h o z z a
a v g t e l e n s g s z e n t
d v z l e t t . "
Kortrs
kltink
kzl S Z I L G Y I D O M O K O S , S Z K E L Y J N O S ,
T T H
I S T V N ,
M A N D I C S
G Y R G Y * M .
VERESS
ZSU ZSAN N A s s ok a n m s ok
l l t o t t a k
r k em
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B O L Y A I
J N O S n a k .
N M E T H
L S Z L
d r m b a n
e l e v e n t i
fl a kt
B O L Y A I
a l a k j t ,
K O C S I S I S T V N p e d i g
m o n o d r m b a n i d z i B O L Y A I J N O S I .
S a j n o s
B O L Y A I J N O S
( s F a rk a s ) e m b e ri m a g a t a rt s t
t b b ,
s ze n z c i ra hes
szerz e l n y t e l e n s z n b e n t n t e t i f e l . E z e k
e g y
rsznek
a
ha t sra
a
k z t u d a t b a n
e l m l y l t e k
a z o k a k i t a l l t fer d t sek, a m e l y e k m l t a t l a n o k k t t u d s u n k e m l
k h e z . Egyes r e g n y r k ( a k i k n e k . . m u n k j t " e l k e l l e n e m r
f e l e d n i
s ne m j
r a m e g j ra k i a d n i ) k l t i s z a b a d s g j o g u k k a l v i s s z a l v e a f e l s z n e n r v n y e s l
( v a g y
m g
i n k b b k p z e l ) t u l a j d o n s g o k a t
d r a m a t i z l j k .
K r , h o g y
P .
S T C K E L
n a g y o n f o n t o s k n y v b e n
i s
t a l l k o z u n k
o l y a n s z r e v t e l e k k e l , a m e l y e k
n e m
h a s z n l t a k
B O L Y A I e m b e ri m e g t l s b e n . A z o l y a n m o n d a t o k , m i n t p l d u l a
[106, l : 9 6 ] o n o l v a s h a t k , k t s g t e l e n l
t p l l t k a
r o s s z i n d u l a t m e n d e m o n d k
t e r j e d s t .
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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26
l .
B O L Y A I
J N O S
L E T T J A s A TR T U D O M N Y A
1.4.
A Tr abszolt igaz
tudomnya
A k v e t k e z k b e n
t t r n k
a m a t e m a t ik a i i ro d a l o m e g y i k l e g k i e m e l k e d b b a l
k o t s n a k ,
B O L Y A I
J N O S
e g y e t l e n
nyomtatsban
m e g j e l e n t m v n e k , a z A p p e n
d i x n e k r v i d
m l t a t s r a . A
s z a k i r o d a l o m
g a z d a g a z
A p p e n d i x i s m e r t e t s b e n
s r t k e l s b e n .Eis r s z l e t e z b e m u t a t s a J O H A N N E S FRI SCHAU F (18371924)
o s z t r k m a t e m a t i k u s t l s z r m a z i k , aki az 1 8 7 1 / 7 2 . t a n v b e n m r k u r z u s s z e r f l
e l a d s t t a r t o t t
a
g r a z i e g y e t e m e n
a n e m c u k l i c i s z i
g e o m e t r i k r l , f l e g
a z A p
p e n d i x b l
m e r t v e a n y a g t [110] . FRISCHAUF e ladst 1872ben k n y v a l a k j
b an is k i a d t a [44]. I t t h o n V L Y I G Y U L A (18551913) ak o l o z s v r iegyetem t a n r a
i s m e r t e t t e e l s z r
B O L Y A I
J N O S
m u n k j t .
V L Y I a k o l o z s v r i e g y e t e m t a n r e n d
je
szer in t
a z
1 8 9 1 / 9 2 .
t a n v
I I .
f l v b e n
h i r d e t t e
m eg e l s z r a
B O L Y A I J N O S
A p p e n d i x r l " c .
k o l l g i u m o t ,
s e zt c s a k n e m v l t o z a t l a n f or m ba n n g y v e n k n t
t b b s z r
m e g i s m t e l t e [110, 122].
A
szzad
e le jn,
1906ban ROBERTO B O N O
L A ( 1 8 7 4 1 9 1 1 ) r t e g y s i k e r e s k n y v e t a n e m e u k l i d s z i
g e o m e t r i r l ,
a m e l y b e n
t e r m s z e t e s e n b e m u t a t j a B O L Y A I m v t
is [21],
S z p s z m m a l t a l l u n k m a g y a r
n y e l v
i s m e r t e t s e k e t
is
[32,
3 3 , 5 3 ,
5 9 ,
60, 61, 93 , 108,
109,
10 ,
122,
127].
E z r t
i t t n em szksges
r s z l e t e k b e b o c s t k o z n u n k .
A g e o m e t r i t t u d o m n n y a grg m a t e m a t i k u s o k f e j l e s z t e t t k .
E l s
i s m e r e
t e i k e t
a
t a p a s z t a l a t
u t j n sz e r e z t k .
A z
i l y e n
t u l a j d o n s g o k k a l v a l b e h a t f o g
l a l k o z s r v e z e t t e ket arra a f e l i s m e r s r e , h o g y a p u s z t a s z e m l l e t m g n e m
s z l h e t b i z t o s i s m e r e t e k e t . R j t t e k a b i z o n y t s
szksgessgre.
A
f e j l d s E U K L I D S Z m v b e n ,
a z
E l e m e k b e n r t e
e l
c s c s p o n t j t .
EU KL I DSZ e b b e n a m u n k b a n a g e o m e t r i a o l y a n f e l p t s t a d t a , a m e l y
n a p j a i n
kig m i n t u l
szolgl
v a la m e l y
deduktv
t u d o m n y megalkotshoz. E n n e k lnyege
a b b a n l l , h o g y
a
t r g y a l s a l a p j u l k i v l a s z t u n k b i z o n y o s s z m a l a p f o g a l m a t
s
e g y s z e r
l l t s t ,
a z
a x i m k a t v a g y p o s z t u l t u m o k a t ,
s
m i n d e n t o v b b i f o g a l
m a t
s
t t e l t e z e k b l
a
l o g i k a s z a b l y a i s z e r i n t l ev e z e t v e p t j k
fel a g e o m e t r i t .
EUKLIDSZ a l a p t t e l e i k z l a p r h u z a m o s s g r l szl
f z
V .
p o s z l u l t u m ,
vagy
egyes k i a d s o k b a n a X I . a x i m a )
elgg
b o n y o l u l t f o g a l m a z s a
m i a u
m r
a z k or ba n m a g r a v o n t a a m a t e m a t i k u s o k f igye lmt . A l e gr gi bb b r l k n e m
it tk
elgg
s z e m l l e t e s n e k "
v a g y
elgg
e g y s z e r n e k " , a m i t v i s z o n t e g y axi
m t l
l t a l b a n e l v r u n k . E l e i n t e e z r t m e g k s r e l t k e g y s z e r b b e n h a n g z a x i
m v a l h e l y e t t e s t e n i . E z a k r i t i k a i p e r i d u s n e m s o k jat hozott, m g
csak
a
f e l s z n e n m o z g o t t , l n y e g e s
fe j l d sr e
n e m v e z e t e t t .
rdekes e r e d m n y e k e t
s z o l g l t a t t a k a z ok a rgi t r e k v s e k , a m e l y e k b i z o
n y t a n i a k a r t k a z V . p o s z t u l t u m o a t b b i a l a p t t e l b l . E z e k a k s r l e t e k a k k o r
m l y l l e k e l , a m i k o r a X V I I I . s z z a d v g t l i n d i r e k t t o n p r b l t k a b i z o n y
tst,
vagyis a m i k o r a m a t e m a t i k u s o k e l l e n t m o n d s tk e r e s t e k a z V .
p o s z t u l t u m
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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l
. 4 . A T R A B S Z O L T
I G A Z T U D O M N Y A
27
t a g a d s a s a z e u k l i d e s z i g e o m e t r ia t b b i a x i m j b l s z r m a z t t e le k k z t.
Sok volt a h i bs
bizonytsi
ksrlet is, de az
e l lentmondsraval kvetkeztets
s e h o g y se m s i k e r l t . F u r c s a , a s z e m l l e t s z m r a s z o k a t l a n l t e l e k a d d l a k , d e
e z e k
e g y m s s a l
s z e m b e n n e m m u t a t t a k f e l
e l l e n t m o n d s t .
A X I X . szzad elejn
j
g o n d o l a t k e zd e ti m e g f o g a n n i .
A m a t e m a t i k u s o k eb
b e n a z idben i s gy j r t a k e l .
m i n t X V I I I . s z z a d i
e l d ei k,
v a g y i s
a g e o m e t r i a
a x i m a r e n d s z e r b e n
a
p r h u z a m o s s g i a x i m t
a
t a g a d s v a l h e l y e t t e s t e t t k ,
s
e b b l a z a x i m a r e n d s z e r b l i g y e k e z t e k m i n l t b b j
t t e l t
l e v e z e t n i , d e mo s t
m r
n e m a z z a l a c l l a l , h o g y e l l e n t m o n d s r a j u s s a n a k , h a n e m a z rt , h o g y
i l y e n
m d o n e g y j g e o m e t r i t a l k o s s a n a k . E z t a c l t s i k e r l t e l r n i , a m i a z t is j e l e n t e t
te , h o g y a z V . p o s z t u l t u m f g g e t l e n a
t b b i t l ,
s ezen s z k s g e s re h i v a t k o z n i
a z
e u k l i d e s z i g e o m e t r i a f e l p t s b e n .
B O L Y A I
J N O S
v o l t az , aki i d b en
l e g e l s z r
o l y a n
l t a l n o s
g e o m e t r i t p
tett fl, amely az V. po sz t ult umo t sem n em lltja, sem n em tagadja, hanem
m e l l z i :
g y r t e l m e z v e a
p r h u z a m o s s g o t ,
h o g y e g y b e f o g l a l j a a z V . p o s z l u l
t u m l l t s n a k s
t a g a d s n a k
a l e h e t s g t . E s z e r in t e n n e k a z l t a l n o s ,BO L Y A I
l t a l
a b s z o l t n a k
n ev ez ett g eo metr i n ak s a j to s esele m i n d a z e u k l i d e s z i ( aV"
r en dszer ) , m i n d
a
n e m e u k l i d s z i v a g y
m s
n v e n h i p e r b o l i k u s
( a z
S r e n d s z e r )
g e o m e t r i a . B O L Y A I n ag y r d eme ab b an l l t , ho g y f l p tet te az ab s z o l t g eo met
rit
s a z on b e l l a h i p e r b o l i k u s g e o m e t r i t .
T
b r n k o n b o c s s s u n k / " b i ara e gy c m e r l e g e s t . A p r h u z a m o s s g i a x i
ma n l k l az
e u k l i d e s z i
geometria
a x i m i
alapjn kvetkezik, h o g y c metszi
at,
s
P b e n
a
c r e emel t m e r l e g e s
n em
m e t s z i a L
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28 i .
B O L Y A I
J N O S L E T T J A
s A T R
T U D O M N Y A
A
c
merlegest forgassuk
a
P
pont k rl
az
r a m u t a t j r s v a l e l lenkez
irnyban. A / i lyen
mdon forgatott egyenes eleinte metszi
az
a egyenest,
az
e l f org a t ot t
c
e g y e n e s v a l a m e l y
p i l l a n a t b a n
e ls zr
n em
metszi ot.
K t
eset
le h e ts ge s .
E z a p i l l a n a t p p e n a k k o r k v e t k e z i k b e, a m i k o r c egybeesik b v e l . E z v a l
su l m e g a z e u k l i d e s z i
g e o m e t r i b a n .
V an
a z o n b a n
egy
m s i k lehelsg
is .
E l f o r d u l h a t ,
s ezt a
ge om e tr i a tb b i
a x i m i megengedik, hogy m r e lbb be k ve tk e zi k ez a p i l l a n a t , v a l a m e l y
PQ
h e l y z e t b e n . Ha ezt m e g e n g e d j k , akkor s z i m m e t r i a o k o k b l P n k e re s ztl k e l l
l t e z n i e
mg eg y i l y e n t u l a j d o n s g PQ' e gye ne s ne k is, ha cte l le nk e z i rnyb a
f org a t j u k .
B O L Y A I
J N O S
a
P Q
s
PQ'
e g y e n e s e k e t
ne ve zi
a
P n
k e re s ztl
a
hoz h z o t t p r h u z a m o s o k n a k . E b b en az esetben P Q az elforgatott
cvel
az
w
h e g y e s s z g e t zrja be, a m e ly fgg
Pnek
atl
v a l x
t v o l s g t l .
B O L Y A I nem fo glal l l st e kt lehetsgei i l leten, s i l ye nfo rm n oi y a n tte
l e k h e z
ju t
el,
a m e l y e k e g y a r n t r v n y e s e k m i n d a z e u k l i d e s z i ( ha az els lehe
ts ge t foga d ju k e l ) ,
m i n d
a
h i p e r b o l i k u s g e o m e t r i b a n
(ha a
m s od i k le h e ts g
mellett dntnk). Ezrt nevezi a z l a la fe l fe d e ze tt ge om e tr i t a bs zol t
geomet
r i n a k .
S z e m l l t e s s k
a z
e l m o n d o t t a k a t
e g y
p l d n .
A z
l ta lnos h r o m s z g r e
v o
n a t k o z s z i n u s z t t e l
a z
a b s z o l t g e o m e t r i b a n
a
k v e t k ez ( A p p e n d i x
2 5 . ) :
O
O b < > <
sinA sinB sinC'
a h ol
B O L Y A I O o v a l
az a s u g a r k r k e r l e t t j e l l i .
A z
e u k l i d e s z i g e o m e t r i b a n
Oa= 2na. Ha ezt a fenti s s z e f g g s b e
helyet
tes t jk
s
2; rvel
e g y s z e r s t n k ,
m e g k a p j u k
a
sz in uszt tel
i smert alakjt:
a
b
c
sinA sinB
A h i p e r b o l i k u s g e o m e t r i b a n O tt2rrksi . a h o l
k
egy,
a
teretjellemz
K
p o z i t v v a l s s z m . E zt b e h e l y e t t e s t v e s 2 7 r - v a l e g y s z e r s t v e m e g k a p j u k a
h i p e r b o l i k u s ge om e tr i a s z i nu s z tte lt :
rt* rtf _i
sinA sinB sinC
| 2 1 . 10 4 old.].
7/25/2019 Matematikai kincsek - Bolyai Jnos.pdf
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1.4. A T R A B S Z O L T I G A Z T U D O M N Y A 2 9
r j u k fe l
i s m i
a
h i p e r b o l i k u sg e o m e t r i a a l a p s s z e f g g s t , a m e l y
a
p r h u z a
m o s s g i szg s p r h u z a m o s s g i t v o l s g k z t t f e n n l l ( 1 . 2 . ) :
u '
etg=e*.
E s z e r i n t a k p i t s z e r i n t , h a
x
* 0, a k k o r / / > . H a s o n l k p p e n , h a
k>ou, a k k o r is K * . A z e u k l i d e s z i g e o m e t r i b a n a p r h u z a m o s s g i
szg
n =
b r m e l y
.re,ezrt
a fenti k t e r e d m n y gy r te l mez het: ah i p e r b o l i k u s
s ko n . . k i c s i b e n " (x * 0) k z e l t l e g az e u k l i d e s z i g e o m e tr ia r v n y e s l , s az
S
r e n d s z e r g e o m e t r i j a k z e l e d i k
a
r e n d s z e r h e z ,