Matriks
Oleh: Lailatul Husniah, S.ST
Page 2
Tujuan
Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu :Menjelaskan konsep MatrikMenunjukkan model matrik Identitas, Invers matrik, Transpose matrik, dan matrik Elementer, dan matrik dengan bentuk khusus
Page 3
TopikMatriks :
– Definisi matriks– Matriks Identitas– Invers matrik– Transpose matrik– Matrik Elementer
Page 4
Definisi Matriks
Sebuah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.
Bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks yang disebut skalar.
Semua entri adalah bilangan riel atau kompleks.
Ukuran Matriks dapat dinyatakan dengan banyaknya baris (garis horisontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.
Page 5
Notasi Matriks dan Terminologi(1/2)
Secara umum matriks A m x n
adalah entri dalam baris i dan kolom j dari matriks A. adalah bilangan riel yang disebut sebagai skalar.
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
...
... ...
21
22221
11211
ijij Aa or
ija
Page 6
Matriks A dengan n baris dan n kolom disebut matriks kuadrat berorde n (square matrix of order n), dan entri-entri dikatakan berada pada diagonal utama (main diagonal) dari A.
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
...
... ...
21
22221
11211
nnaaa ,,, 2211
Notasi Matriks dan Terminologi(2/2)
Page 7
Equality of Matrices
Dua Matriks dikatakan sama jika:– Mempunyai ukuran yang sama
– Entri-entri yang bersangkutan dalam dua matriks sama
Contoh:
– Jika x=5, maka A=B.– Untuk semua nilai x yang lain, maka A≠B.
– A ≠ C karena A dan C mempunyai ukuran berbeda itu juga berlaku untuk B ≠ C .
043012
,5312
,3
12CB
xA
Matriks Satuan(Identity Matrices)
Page 9
Definisi Matriks satuan = matriks berorde nxn, dimana
Contoh:
Jika A adalah matriks m×n, maka A = A and A = A Sangat mirip dengan peranan bilangan 1 dalam hubungan numerik : a x 1 = 1 x a = a .
nI mI
)( ijI
jiji
ij jika 0 jika 1
)(
Page 10
Contoh 1
mInIJadi : A = A dan A = A
A 100010001
dan
A 1001
Maka
Matriks
232221
131211
232221
1312113
232221
131211
232221
1312112
232221
131211
aaaaaa
aaaaaa
AI
aaaaaa
aaaaaa
AI
nmaaaaaa
A
Page 11
Contoh 2
810362143
100010001
810362143
dan
810362143
810362143
100010001
3n
Pada umumnya, jika B adalah sebarang matriks mxn dan C sebarang matriks nxr, maka: BI = B dan IC = C
Invers Matrik
Page 13
Suatu matriks A berorde nxn dikatakan tak singular (nonsingular) atau dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B sehingga AB = BA = I
Matriks B disebut invers perkalian dari A
Suatu matriks n x n dikatakan singular jika tidak memiliki invers perkalian.
Notasi:1AB
Definisi
Page 14
Contoh 1
IBA
IAB
AB
1001
3152
2153
dan
1001
2153
3152
Karena
3152
dari inversadalah 2153
Matriks
Page 15
Contoh 2
Jadi,
00
0001
:maka 2,2 matriks sembarangadalah jika Karena, invers. memilikiTidak
0001
Matriks
21
11
2221
1211
IBA
Ibb
bbbb
BA
B
A
Page 16
Apakah sebuah matriks yang dapat dibalik dapat memiliki lebih dari 1 invers?– Jawab : Tidak
Teorema yang mendukung:– Teorema 1
– Teorema 2
– Teorema 3
Page 17
Teorema 1
Jika B dan C kedua-duanye adalah invers dari matriks A, maka B=C Karena BA = I dan AC = I maka B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C Sehingga
IAAIAA dan 11
Page 18
Teorema 2
1
0 jikadibalik Dapat
Matriks
1
bcada
bcadc
bcadb
bcadd
acbd
bcadA
bcad
dcba
A
Page 19
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan ukurannya sama, maka AB dapat dibalik dan:
111 ABAB
Teorema 3
Page 20
Contoh
27
29
34
1123
23111
dan27
29
34)(A
23111
1123
:didapatkan 2, teoremadalam rumusn menggunakaDengan
8967
A 2223
3121
Matriks
11
111
AB
BBA
BBA
Teorema 3 terbukti
Page 21
Definisi
Jika A adalah matriks kuadrat dan k adalah bilangan bulat positif, maka:
Jika A dapat dibalik, maka:
IA
AAAAk
k
0
kali
....
kali
1111 ...)(k
kk AAAAA
Page 22
Jika A invertible matriks, maka :
Teorema 4
Page 23
Jika A adalah matriks kuadrat dimana r dan s adalah bilangan bulat positif, maka berlaku hukum eksponen berikut:
rssrsrsr AAAAA ,
Teorema 5
Page 24
Contoh
Page 25
Metode untuk mencari invers matriks
Untuk mencari invers sebuah matriks A yan invertible, maka harus mencari urutan OBE yang mereduksi matriks A ke matriks satuan dan melakukan Operasi yang sama pada In untuk mendapatkan A-1.
Contoh: carilah invers dari
801352321
A
Page 26
B2 = B2-2B1B3 = B3-B1Lihat elemen pada (2,2)? 1 Jika tidak Jadikan 1
B3 + 2B2
Contoh 2/3 Menggunakan OBE untuk mencari 1A
B3 = B3*(-1)
Next page
Page 27
Contoh 3/3 Menggunkan OBE Untuk mencari 1A
B1 = B1-3B3B2 = B2+3B3
B1 = B1-2B2B2 = B2+3B3
Page 28
ContohMatriks yang tidak memiliki Invers
Transpose Matriks
Page 30
Definisi
Transpose dari matriks A berorde m x n adalah matriks B berorde n x m dimana:
Dinyatakan oleh
ijji ab
TA
Page 31
Contoh
3221
maka ,3221
Jika
521232143-
maka ,521234123-
Jika
635241
maka ,654321
Jika
T
T
T
CC
BB
AA
Matriks C dikatakan Simetris Suatu matriks A dikatakan simetris jika atau aij = aji AAT
Page 32
Aturan2 Aljabar untuk Transpose
TTT
TTT
TT
TT
ABAB
BABA
kkAkA
AA
)( .4
)( .3
skalarbilangan adalah ,)( .2
)( .1
Ada 4 aturan yaitu:
Page 33
Jika A adalah invertible matriks ,maka adalah invertible dan
TT AA 11
TA
Teorema 6
Page 34
contoh
Matriks Elementer
Page 36
Definisi
Sebuah matriks n x n disebut matriks elementer jika matriks tersebut diperoleh dari matriks identitas n x n yaitu dengan melakukan Operasi Baris Elementer tunggal.
Contoh:
nI
100010001
100010301
0010010010000001
30
01
Kalikan baris 2 dr I2 dgn -3
Tukarkan baris 2 dan baris 4 dr I4
Tambahkan 3x baris 3 dr I3 ke baris 1
Kalikan baris 1 dari I3 dgn 1
Page 37
Operasi Invers pada Matriks Elementer
OBE pada I yang menghasilkan E OBE pada E yang menghasilkan IKalikan baris i dengan c ≠0 Kalikan baris i dengan 1/cTukarkan baris i dengan baris j Tukarkan baris i dengan baris j
Tambahkan c kali baris i ke baris j Tambahkan -c kali baris i ke baris j
Page 38
Contoh
Page 39
Teorema 7
Setiap matriks Elementer dapat dibalik (invertible), dan inversnya juga sebuah matriks elementer
Jadi, matriks elementer E0 adalah invers dari E
Matriks yang diperoleh dari matriks yang lain dengan urutan terhingga dari OBE disebut ekivalen baris (row equivalent)
IEEIEE 00 dan
Matriks Diagonal dan Segitiga
Page 41
Matriks Dengan bentuk Khusus
Matriks A(n n) bujur sangkar, artinya banyaknya baris A sama dengan banyaknya kolom A
Bentuk-bentuk khusus sebuah matriks bujur sangkar adalah :• Matriks diagonal D
• Matriks segi-3 atas
• Matriks segi-3 bawah
• Matriks simetrik
Page 42
Matriks Diagonal
Matriks diagonal D: aij = 0 untuk i j
Semua matriks diagonal adalah matriks segitiga atas dan metriks sigitiga bawah
nnn d
dd
d
a
aa
a
0000...............000000000000
0000...............000000000000
3
2
1
33
22
11
Page 43
Matriks segitiga 1/2
Matriks segitiga atas: aij = 0 untuk i > j
nn
n
n
n
a
aaaaaaaaa
...000...............
...00
...0
...
333
22322
1131211
Page 44
Matriks segitiga 2/2
Matriks segitiga bawah: aij = 0 untuk i < j
nnnnn aaaa
aaaaa
a
..................0...0...00...00
321
333231
2221
11
Page 45
Referensi
Leon, Steven J., ”Aljabar Linier dan Aplikasinya”, Edisi kelima, Jakarta: Erlangga, 2001
Anton, Howard, ”Elementary Linier Algebra”, 8th ed, United States of America: John Wiley and Sons, Inc, 2000
Anton, Howard; Rorres, Chris, “Elementary Linear Algebra.ppt”