1
1
MEHANIKA II
10. dio:D´Alembertov princip
Zakoni dinamike
2
Newtonovi aksiomi:
• I. aksiom: Zakon inercije
• II. aksiom: Zakon gibanja
• III. aksiom: Zakon akcije i reakcije
(ponavljanje iz statike)
3
I. Aksiom: Zakon inercije
Materijalno tijelo ili to�ka bez djelovanja vanjskih sila zadržava stanje mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok ga vanjske sile ne prisile da takvo stanje promijeni.
Gibanje materijalnog tijela bez djelovanja vanjskih sila naziva se gibanje po inerciji. 4
II. Aksiom: Osnovni zakon dinamike
Produkt mase i ubrzanja materijalnog tijela ili to�ke
kojeg tijelo (to�ka) dobiva djelovanjem sile jednak je
po intenzitetu toj sili. Pravac i smjer ubrzanja
podudara se s pravcem i smjerom sile.
→→
→
→⋅=⋅=
��
���
� ⋅= am
dtv d
mdt
vm dF
5
III. Aksiom: Zakon akcije i reakcije
Dva materijalna tijela (to�ke) djeluju jedan na drugi silama istih intenziteta, na istom pravcu djelovanja, ali suprotnog smjera.
6
Zadaci dinamike:
Prvi zadatak dinamike:Poznat je zakon gibanja materijalne to�ke potrebno je odrediti silu koja djeluje na materijalnu to�ku (F=?; D´Alembertov princip)
Drugi zadatak dinamike:Poznate su sile koje djeluju na materijalnu to�ku, potrebno je odrediti zakon gibanja materijalne to�ke [s=f(t) =?].
2
7
D’Alembertov principD’Alembert je uveo u mehaniku pojam
sile inercije Fin t.j. sile kojom se tijelo
odupire promjeni gibanja.
8
Sila inercije
jednaka je produktu mase m i ubrzanja
i usmjerena je u suprotnom smjeru od
smjera ubrzanja a materijalne to�ke.
)a(mF in→→
−⋅=
inF�
→a
9
( ) 0amam
0FF
)a(mF
aksiom) Newtonov (II. amF
in
in
=−⋅+⋅
=+
−⋅=
⋅=
→→
→→
→→
→→
10
D’Alembertov princip
• Dodamo li nekom sustavu sila i silu inerciju, sustav �e biti u ravnoteži.
• Time zadatak dinamike možemo rješavati pomo�u stati�kih uvjeta ravnoteže.
11
D’Alembertov principSlobodna to�ka:
• Vanjske sile koje djeluju na materijalnu to�ku u ravnoteži su sa silom inercije.
Neslobodna to�ka:
• Vanjske sile (aktivne i reaktivne-sile veza ) koje djeluju na materijalnu to�ku u ravnoteži su sa silama inercije.
0FF in =+→→
0FRF inreakakc =++���
12
Op�i zakoni dinamike materijalne to�ke:
• Zakon o promjeni koli�ine gibanja
• Zakon o promjeni kineti�ke energije
• Zakon o o�uvanju mehani�ke energije
• Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja
3
13
Op�i zakoni dinamike materijalne to�ke:
1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja
Promjena koli�ine gibanja jednaka jeimpulsu sile.
tFIvmvm 01 ⋅==⋅−⋅→→→→
14
Izvod:
? vmvm
? vmvm
01
01
=⋅−⋅
+⋅=⋅→→
→→
15
�=⋅−⋅� � ⋅=�
� ⋅�=⋅−⋅⋅�=
⋅� �=−�==⋅
⋅� �=�=⋅
�=⋅
→→→→→
→→→→→
→→→→→→
→→→→
→→
i01
t
0i
1
0
t
0i01i
t
0i0
1i
t
0i
10i
i
Ivmvm dtFKd
dtFvmvm dtFKd
dtFKK FdtKd
dt)vm( d
dtF K Fdt
vdm
Fam
16
Op�i zakoni dinamike materijalne to�ke:
2. Zakon o promjeni kineti�ke energije
Promjena kineti�ke energije jednaka je radu sila.
→→⋅==⋅−⋅
sFA2vm
2vm 2
021
17
Izvod: Pravac sile F i puta s se podudaraju
�→→
=⋅ iFam
1 cos 0 =α→=α �
18
dsFvdvm
Fvdsdv
m
sFvm21
vm21
Fdtds
dsdv
m
sF2v
m Fdtvd
m
dsFdvvm Fam
i
i
20
21i
si
vv
2
i
s
0i
v
vi
0
1
0
1
0
⋅�=⋅⋅
�=⋅⋅
⋅=⋅−⋅�=⋅⋅
⋅=⋅�=⋅
� ⋅�� =⋅⋅�=⋅
→→
→→
4
19
sFEEE AE 0k1kkk ⋅=−=∆=∆
sRsFEEE t0k1kk ⋅−⋅=−=∆20
Op�i zakoni dinamike materijalne to�ke:
3. Zakon o o�uvanju mehani�ke energije
Suma kineti�ke i potencijalne energije pri gibanjumaterijalne to�ke pod djelovanje konzervativnih sila
(bez trenja) je konstantna.
konstantan E E pk =+
0
20
1
21 hgm
2vm
hgm 2vm ⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅
21
2
vm
2
vm0EEE
22
kp00 ⋅
=⋅
+=+=
vm 21
0 hgmEEE 20kp ⋅=+⋅⋅=+=
2vm
2vm
sgmEEE20
2s
kp⋅=⋅+⋅⋅=+=
Iz kinematike vertikalan hitac: g
vh
⋅=
2
20
22
Op�i zakoni dinamike materijalne to�ke:
4. Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja
Promjena momenta koli�ine gibanja u vremenu
obzirom na neku to�ku jednaka je stati�kom
momentu sile obzirom na tu istu to�ku.
→→
→→
→→
×=���
����
� ⋅×= Fr
dt
vmr d M
dtLd
OO
23
→→→⋅×= vmrLO
24
Primjeri za:
• D´Alembertov princip• Zakone dinamike:
1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja 2. Zakon o promjeni kineti�ke energije3. Zakon o o�uvanju mehani�ke energije4. Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja
5
25
Primjer: D´Alembertov princip
Zbog vlastite težine tijelo M, bez po�etne brzine pada s visine h = 1 500 m uz otpor zraka. Ako je sila otpora jednaka polovici težine odredite:
a) ubrzanje tijela a = ?b) brzinu v nakon 5 sekundi od
po�etka padanja (v = ?) c) vrijeme padanja (T = ?).(Na tijelo djeluju konstantne sile pa �e se
ono gibati jednoliko ubrzano.)
Slobodan pad
26
0v ;0t 0 ==
Fw = 0,5 . Gs = H
2
w
win
y
sm
9,4g21
a 2
gmam
G21
G21
GFGam
0GFF
0F )a
==⋅=⋅
⋅=−=−=⋅
=−+
=�
27
Hs
ta21
tvss :put -
m/s 5,2459,40v
tav v:brzina- konst.a ; 0 a ubrzanje -
gibanje ubrzano jednoliko b)
200
0
=
⋅⋅+⋅+=
=⋅+=
⋅+==>
s 7,2434,6129,4500 12
T aH2
Tt
ta21
00H ta21
tvss :put )c 2200
==⋅=⋅==
⋅⋅++=⋅⋅+⋅+=−
28
Primjer: Kojom �e brzinom tijelo pasti na zemlju ako sezanemarimo otpor zraka, a vrijeme padanja iznosi 3,5 sekunde?
Po�etni uvjet: t = 0 s ; v0 = 0t1 = 3,5 s ; v1 = ?
Zakon o promjeni koli�ine gibanja
s/m 3,345,381,9tgv
tgvv
tgmmvmv
tGmvmv
tFvmvm
1
01
01
01
01
=⋅=⋅=⋅=−
⋅⋅=−⋅=−⋅=−
→→→
29
Primjer: Zaustavljanje automobila
Odredite za koji �e se vremenski interval zaustaviti automobil koji je po�eo ko�iti pri brzini 80 km/h? Koeficijent trenja kota�a na putu iznosi 0,25. 30
? = 0,25 = µ
=
===
t
0 v
m/s 22,223600
80000 km/h 80 v
1
0
�=�=4
1tit
4
1nin RR ; RR
GR RR .2
GR 0GR
0F .1
tnt
nn
y
⋅µ=→⋅µ==→=−
=�
3. Zakon o promjeni koli�ine gibanja
s 981,925,0
22,22g
vt
tGvgG
tGvm0
tRvmvm
0
0
0
t01
=⋅
=⋅µ
=
⋅⋅µ−=⋅−
⋅⋅µ−=⋅−⋅−=⋅−⋅
[ minus (-) jer su sila Rt i put su suprotnom smjeru ]
6
31
Primjer: KosinaSkijaš mase 80 kg iz stanja
mirovanja po�inje s vrha kosine klizati niz kosinu. Duljina kosine je 20 m a visina 1,5 m.
a) Odredite brzinu koju skijaš postigne pri dnu kosine ako koeficijent trenja iznosi 0,05
b) Odredite brzinu koju bi skijaš postigao pri dnu kosine uz pretpostavku da nema trenja (µ = 0)
32997,0cos
075,020
5,1lh
sin
=α
===α
Zadano:m = 80 kgµ = 0,05h = 1,5 ml = 20 m
33
cosGR
RR renja Zakon t2.
cosGR
0cosGR
0F .1
t
nt
n
n
y
α⋅⋅µ=⋅µ=
α⋅==α⋅−
=�
34
( )
( )
( )
m/s 14,3)997,02005,050,1(81,92)coslh(g2v
lcosgmhgm2vm
lcosgmhgm02vm
sinlh lRlsinG2vm
2vm
A2vm
2vm
1
21
21
t
20
21
20
21
=⋅⋅−⋅⋅=α⋅⋅µ−⋅⋅=
⋅α⋅⋅⋅µ−⋅⋅=⋅
⋅α⋅⋅⋅µ−⋅⋅=−⋅
α⋅=⋅−⋅α⋅=⋅−⋅
=⋅−⋅
3. Zakon o promjeni kineti�ke energije:
35
m/s 42,550,181,92hg2v
hgm02vm
hG2vm
2vm
1
21
20
21
=⋅⋅=⋅⋅=
⋅⋅=−⋅
⋅=⋅
−⋅
b) bez trenja µ = 0
Zakon o promjeni kineti�ke energije:
36
b) bez trenja µ = 0
ili Zakon o održanju mehani�ke energije:
)rješenje! (jednako m/s 42,550,181,92hg2v
hgm002
vm
hgm2
mvhgm
2
vm
EEEE
1
0
2
0
2
1
2
0p0k1p1k
1
01
=⋅⋅=⋅⋅=
⋅⋅+=+⋅
⋅⋅+=⋅⋅+⋅
+=+
0h ?v
m 5,1h 0v
11
00
====
7
/ 34 37
Primjer: Pad �ovjeka na bok
Odredite brzinu v1 kojom �ovjek pri padu iz uspravnog položaja padne na bok ako je zadano:- masa �ovjeka m = 100 kg- visina težišta �ovjeka u
uspravnom položaju h = 0,95 m- visina težišta pri padu na bok
hb = 0,15 m
/ 34 38
m/s 96,3696,15v
8,081,92hgm2v
hgm02vm
hG2vm
2vm
m 80,015,095,0hhh
0v ;0t
1
1
21
20
21
b
0
==
⋅⋅=∆⋅⋅⋅=
∆⋅⋅=−⋅
∆⋅=⋅−⋅
=−=−=∆
==
Zakon o promjeni kineti�ke energije:
39
Primjer: Tijelo mase m = 5 kg ba�eno je vertikalno uvis po�etnom brzinom od 25 m/s. Odredite:a) koju visinu dostigne tijelo (h = ?)b) potencijalnu energiju tijela u najvišem položaju (Ep1 = ?).
Zadano:m = 5 kgv0 = 25 m/s h0 = 0
a) v1 = 0 h1 = h = ?
b) Ep1= ?
40
Zadano:m = 5 kgv0 = 25 m/s h0 = 0v1 = 0 h1 = h = ?
a) Zakon o održanju mehani�ke energije:
m85,3181,92
25g2
vhh
2vm
mgh
02vm
mgh0
mgh2vm
mgh2vm
EEEE
220
1
20
1
20
1
0
20
1
21
0p0k1p1k
=⋅
===
⋅=
+⋅
=+
+⋅
=+⋅
+=+
J 5,156285,3181,95E
mghE
?E )b
1p
1p
1p
=⋅⋅=
=
=
41
4. Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja
Ovo je jedan od Keplerovih zakona.
→→
→→
→→
×=���
����
�⋅×
= Frdt
vmr d M
dtLd
OO
42
4. Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja
Primjer 1: Gibanje planeta oko Sunca i sila kojom Sunce privla�i planete
• Putanja planeta je elipsa a Sunce se nalazi u fokusu elipse – to je gibanje pod djelovanjem centralne sile kod koje pravac sile za cijelo vrijeme gibanja prolazi kroz jednu te istu to�ku O.
8
43 44
.konstvdvdvd.konstvd
.konstmvd
.konstsinmvrL
.konstvmrL
0dt
vmrd
dtLd
0FrM
BBAA
0
0
O
O
=⋅=⋅=⋅=⋅
=⋅=α⋅⋅=
=⋅×=
=��
���
� ⋅×=
=×=
→→→
→→→
→→→
To�ka O – Sunce
To�ka M – Zemlja
masa Zemlje m = konstanta
45
Površine moraju biti jednake !
brzina najve�av
brzina najmanja- v
N
A
−
.konstvd =⋅
46
Primjer 2: Prandtlov stolac
• Piruete kod klizanja.konstL
dtLd O ==
→→
0
konst. v mrL =⋅=
konst. v r =⋅
47
Primjer 3:
• Kuglica Mprivezana na nit koja se namotava na tanki vertikalni štap.
100 mvr mvr 1 ⋅=⋅
48
Primjer 4: Matemati�ko njihalo
lg
0lg
sin kut mali za 0sinlg
mgsin l dtd
l m
dinamike)zakon (4. MdtLd
mgsin l mgd Mdtd
l mdtd
lmlL
dtd
lr v;lr
Fr M vmrL
2
22
OO
O
2O
OO
=ω→=ϕ⋅+ϕ
ϕ≅ϕϕ=ϕ⋅+ϕ
⋅ϕ−=ϕ
=
⋅ϕ−=⋅−=
ϕ=ϕ⋅=
ϕ=ω⋅==
×=×=
••
••
→→
→→→→→→
9
49
Diferencijalna jednadžba (oscilacijskog) gibanja matemati�kog njihala:
0 2 =ϕ⋅ω+ϕ••
ti tr2
titr1
21
22
rtrt2rt2
2
rt2
ee ee
i r ir :Rješenja 0r
e:/ 0eer
0
er
21 ⋅ω−⋅ω
••
••
==ϕ==ϕ
⋅ω−=⋅ω==ω+
=⋅ω+⋅
=ϕ⋅ω+ϕ
⋅=ϕ
Rješenje u obliku:rte=ϕ
50
Op�e rješenje diferencijalne jednadžbe sastoji se od zbrojapojedina�nih rješenja pomnoženih konstantama:
Pošto je
te uz
Dobivamo op�e rješenje diferencijalne jednadžbe matemati�kognjihala:
Konstante A i B odre�ujemo iz po�etnih uvjeta gibanja.
ti 2
ti12211 eCeCCC ⋅ω−⋅ω ⋅+⋅=ϕ⋅+ϕ⋅=ϕ
tsintcose ti ω±ω=⋅ω±
tcosBtsinA ω⋅+ω⋅=ϕ
2121 CCB i CCA +=−=
51
Supstitucija za konstante A i B:
�sin RB� cosRA
⋅=⋅=
tcosBtsinA ω⋅+ω⋅=ϕ
( )α+ω⋅=ϕ t sinR