Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 1 Metoda sila
rekapitulacija teorije Stepen statike neodreenosti odreujemo kao (
) 2o u s kn z z z z k = + + + , gdje su o u s kz z z z m + + + + -
broj nepoznatih reakcija oslonaca, reakcija ukljetenja,
aksijalnihsila u tapovima i momenata savijanja na krajevima tapova,
2k m + - broj uslova ravnotee vorova sistema. Osnovni sistem
dobijamo kada iz SNN-a uklonimon elemenata ije smo reakcijeveza
(promiljeno)
usvojilizastatikineodreeneveliine.Osnovnisistemmorabitistatikiodreen,apoeljnojedabude
lagan za rjeavanje.Stepenspoljanjestatikeneodreenosti( 2 ) 3s o u z
pn z z z z = + + istepenunutranjestatike neodreenosti( ) (2 3)u s
kn z z k = + definiukolikojemogudeuklonitispoljanjihiliunutranjih
elemenata,alinamnedajutaanpodataktadausvojimozastatikineodreeneveliine(neophodnoje
razmisliti,potounutranjustatikupreodreenostmoemonadoknaditispoljanjimvezama,aspoljanju
neodreenostsmanjitiuklanjanjemunutranjihveza).Usvajanjespoljanjihstatikineodreenihveliinaje
estojednostavnijejerjereakcijavezespoljanjegelementajednasila(reakcijaosloncailiukljetenja)a
unutranjegsudvijepresjenesile.Meutim,ukidanjemunutranjihvezaestomoemodobitiravnoteni
sistemsilanajednojkrutojploitonampojednostavljujepostupakrjeavanja,takodajetekodati
generalnu preporuku u vezi usvajanja spoljanjih ili unutranjih
statiki neodreenih. Stepen statike neodreenosti n predstavlja i
stepen kinematike stabilnosti posmatranog nosaa, tj.
'viak'uslovakompatibilnostiuodnosunabrojnepoznatihkomponentalnihpomjeranjavorovasistema
* *,i iu v . Taj 'viak' jednaina demo iskoristiti za odreivanje n
neodreenih statikih veliina. Princip linearne superpozicije piemo
kao 0 1 1 2 2 01...nn n i iiZ Z Z X Z X Z X Z Z X== + + + + = +.
Pomoduovogprincipabilokojiuticajustatikineodreenomnosaujeizraenkaozbir(n+1)-oguticajau
osnovnom sistemu:- usljed spoljanjeg opteredenja (0Z ) i- usljed
djelovanja statiki neodreenih1iX =(iZ ) pomnoenih sa stvarnim
vrijednostima iX . Generalisano pomjeranje odreujemo principom
virtuelnih sila kao T T j jjS SMM NN TT tk ds M N t ds C cEI EF GF
ho o o| | A | |= + + + + ||\ .\ .} },
gdjenadvueneveliinepredstavljajuuticajeusistemuusljedgeneralisanesile,anenadvuenesuuticajiu
sistemu usljed spoljanjeg opteredenja koje izaziva traeno
generalisano pomjeranje.
Generalisanapomjeranjakojatraimoodgovarajuusvojenimstatikineodreenimveliinama,a
njihova vrijednost je jednaka nuli (jer su to pomjeranja koja
odgovaraju krutoj vezi dakle, ne postoje).Tako formiranjem uslova
kompatibilnosti za ova pomjeranja dobijamo uslovne jednaine metode
sila: 11 12 1 1 1021 22 2 2 2001 2 00nnn n mn n nXXDXXo o o oo o o
ooo o o o ((( ((( (((+ = + = ((( ((( ,
gdjejeDmatricapomjeranja(fleksibilnosti),Xvektorstatikineodreenihveliinaao
vektorslobodnih lanova. Opti lan matrice fleksibilnosti iko
predstavlja pomjeranje na mjestui usljed dejstva jedinine sile na
mjestu k i raunamo ga kao i k i k i kikSM M N N TTk dsEI EF GFo| |=
+ + |\ .} Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 2 gdjesu,i i
iMN iT uticajiuosnovnomsistemuusljeddejstvastatikineodreene1iX =
a,k k kMN iTuticajiuosnovnomsistemuusljeddejstvastatikineodreene1kX
= .Matricafleksibilnostijesimetrina, tj. opti lan matrice
fleksibilnosti iko(pored opisanog) predstavlja i pomjeranje na
mjestu k usljed dejstva jedinine sile na mjestu i. Vektor slobodnih
lanova u optem sluaju se sastoji od etiri lana 0 opt t cto o o o
oA= + + +koje raunamo kao 0 0 0 i i ii optSM M N N TTk dsEI EF GFo|
|= + + |\ .} i Ti tSN t ds o o= } i t i TStM dsho oAA= } i c ji jj
C c o = gdjesu,i i iMN iT
(kaoikodmatricefleksibilnosti)uticajiuosnovnomsistemuusljeddejstvastatiki
neodreene1iX =a 0 0 0, MN iTuticaji u osnovnom sistemu usljed
dejstva spoljanjih sila; jiCje reakcija
osloncajuosnovnomsistemuusljeddejstvastatikineodreene1iX = ,a,jt t
i cA suzadani temperaturni uticaji i pomjeranja oslonaca.
Rjeavanjem uslovnih jednaina dobijamo stvarne vrijednosti statiki
neodreenih veliina, a potom primjenom principa linearne
superpozicije dobijamo stvarne uticaje u nosau. Napomena
Potosulanovimatricefleksibilnostiivektoraslobodnihlanovaveomamaleveliine(jersuto
pomjeranjaiobrtanja),obinoihuzadacimamnoimosanekomreferentnom(usvojenom)krutoduna
savijanje cEI , te dobijamo redukovane veliine *' '' '''cik c ik i
k i k i kc S S SIEI M M ds N N ds TT dsFo o = = + +} } } *0 0' ''
'''cc i k i k i k c i T c i T c ji jj c S S S S SI tEI M M ds N N
ds TT ds EI N t ds EI M ds EI C cF ho o o oA= = + + + + } } } } }
gdje smo cIdsI zamijenili sa' ds , cFdsF sa'' dsi cEIkGF sa''' ds .
Uvrtavajudi ih u uslovne jednaine dobijamo 000 /0c c cEI D X EI EID
Xoo + = + =
Daklevrijednostistatikineodreenihkojedobijamonaovajnainsujednakeonimdobijenimbez
redukovanja.Olakicakojudobijamoredukovanjemjeutometoimamorelativnozgodnebrojeveteje
manjaansadanastanegrekausljedzaokruivanja.Dakle,napoetkuzadatkaodmahodredimo
redukovaneduine ' cik ikikIl lI= i ''cik ikikFl lF=
(uticajtransverzalnihsilademouvijekzanemarivati),teu
postupkunumerikeintegracijekoristimoovakodefinisaneduinetapova.Obratitipanjudaprilikom
redukovanja slobodni lanovi usljed temperaturnih uticaja zadravaju
stvarnu duinu.
Prednostmetodesila(uodnosunapriblinumetodudeformacije)jejednostavanalgoritama
nedostatak je sloboda koju imamo pri izboru osnovnog sistema.
Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 3 Zadatak Za nosa na
skici: 1) metodom sila (zanemarujudi uticaj normalnih i
transverzalnih sila na deformaciju) sraunati sile u presjecima
usljed:) zadatog opteredenja, (0); b) temperaturne razlike du
poteza tapova 1-2-3-4, t=20o , (t); c) pomjeranja oznaenih
oslonaca, (c).
2) usljed zadatog opteredenja odrediti ugibe taaka 1 i 2.
3)odreditiuticajnulinijuzaugibtake2akosejedininasilakrededupotezatapova1-2-3-4,[v2].
b=0.5 mhc=1.2 mt= 10-5 1/ oCE= 30 GPa
1)sile u presjecima Osnovni sistem: 12.00 Statika kostrukcija 2
Metoda sila Primjer 4 Redukovane duine:
Dijagramimomenatausljedjedininihsilanamjestustatikihneodreenihveliina,uosnovnom
sistemu: Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 5 a)Optereenje:
Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 6
D-matrica fleksibilnosti X-vektor statiki neodreenih veliina
121.166 Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 7
b)Temperaturna razlika t = tu t0 > 0 = 432 [kNm2] Statika
kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 8 c)Pomjeranje oslonaca Statika
kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 9
Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 10 2) Odreivanje ugiba
taaka 1 i 2 Generalisana pomjeranja statiki neodreenih nosaa
odreujemo principom virtuelnih sila, pri emu jedininu virtuelnu
sili zadajemo u osnovnom sistemu nosaa. v1 = ?
v2 = ? Statika kostrukcija 2 Metoda sila Primjer 11 3)
Odreivanje uticajne linije za ugib take 2
Uticajnulinijuzakinematikeveliine,statikiodreenogineodreenognosaa,odreujemona
osnovuMaxwell-ovogstavaouzajamnostipomjeranja(Generalisanopomjeranjenamjestum
usljedjedininegeneralisanesilePnjednakojegeneralisanompomjeranjunamjestunusljed
jedinine generalisane sile Pm).
Uticajnulinijuzaugibtake2odredidemokaodijagramiugibasistemausljedjedininevertikalne
sile koja djeluje u voru 2. Fiktivni nosa: 12.00
