neodređeni integral
1. Pojam primitivne funkcije i neodređenog integrala
Definicija 1Neka je data funkcija f, definisana u nekom intervalu (a, b). Svaku funkciju F definisanu u intervalu (a,b), koja ima svojstvo F′(x) = f(x), ili, što je isto, dF(x) = f(x)dx , pri čemu x pripada intervalu (a,b), nazivamo primitivnom funkcijom za fun kciju f.
Interval (a,b) u ovoj definiciji može da bude i beskonačan, npr. (-∞, +∞) = R.
Operacija nalaženja primitivne funkcije naziva se integracijom. Ova operacija je inverzna operaciji diferenciranja, tj. nalaženja diferencijala. No, za razliku od diferenciranja, integracija nije jednoznačna operacija, Uopšte, ako je F primitivna funkcija date funkcije f, tada je i svaka funkcija F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta, takođe primitivna za f. Zaista, ako je F′(x) = f(x),tada je i ‹F(x) + C›′ = F′(x) = f(x),jer je izvod konstante C uvijek jednak nuli.
Definicija 2Neodređenim integralom funkcije f nazivamo skup svih njenih primitivnih funkcija i obolježavamo ga sa:∫f (x) dx.
Funkcija f(x) se naziva podintegralna funkcija, a f(x) dx je podintegralni izraz, x se naziva promjenjivom integracije, dok je C integraciona konstanta ili konstanta integracije.
Ukoliko je funkcija f neprekidna, tada postoji i ∫f (x) dx.
2. Svojstva neodređenog integrala
Ako funkcija f definisana u intervalu (a, b) ima neodređeni integral tada je d∫f (x) dx = f (x) dx, za x koje pripada intervalu (a,b)
Za svaku funkciju F diferencijabilnu u intervalu (a,b) važi ∫dF(x) = F(x) +C
Ako za funkcije f i g definisane u intervalu (a,b) postoje određeni integrali, tada i za njihov zbir, odnosno razliku postoji neodređeni integral i važi ∫‹f (x) ± g(x)›dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx.
Ako postoji neodređeni integral za funkciju f i ako K pripada R, i K≠0, tada i za funkciju Kf(x) postoji neodređeni integral i važi ∫Kf (x) dx = K ∫f (x) dx.
3. Rješavanje integrala uz pomoć Tablice osnovnih integrala
Osnovu za nalaženje neodređenih integrala široke klase funkcija čini tablica osnovnih integrala. Ona se formira neposredno na osnovu tablice izvoda.
2
3
4
4. Rješavanje integrala metodom zamjene
Nalaženje neodređenog integrala neposredno na osnovu tablice integrala i osnovnih pravila integracije uspjeva srazmjerno rijetko, stoga ćemo se sada upoznati sa metodom zamjene.
Metoda zamjene se sastoji u prelasku na novu promjenjivu integracije i to zamjenjivanjem prvobitne promjenjive integracije x nekom funkcijom od nove promjenjive integracije t.
5
6
7
5. Rješavanje integrala metodom parcijalne integracije
Sama metoda zamjene je nedovoljna za nalaženje neodređenih integrala.
Metoda zamjene se oslanja na pravilo o izvodu složene funkcije, dok se metoda parcijalne integracije oslanja na pravilo o izvodu proizvoda.
8
9
10
6. Zaključak
U ovom seminarskom radu su objašnjenj samo najjednostavnije metode integrisanja, i to putem
tablica, metodom smjene i parcijalnom integracijom.Navedenim postupcima se ipak ne mogu naći
neodređeni integrali svih elementarnih funkcija. Na primjer, ne mogu se naći sljedeći integrali:
pri čijem se rješavanju vrši integracija razvojem funkcija u Tejlorov red.
Takođe u literaturi se posebna pažnja posvećuje integraciji racionalnih funkcija, iracionalnih
funkcija i trigonometrijskih funkcija.
11
Literatura
1. Dr M. Obradović i dr Dušan Georgijević, Matematika sa zbirkom zadataka, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd 1996
2. Nevanka Skakić i Ratko Kravarušić, Matematika 1, Ekonomski fakultet, Banja Luka, 2000
3. Kompendium izvora za predmet „Poslovna matematika“, College of M0odern Management, Banja Luka, decembar 2004
12
Sadržaj
1. Pojam primitivne funkcije i neodređenog integrala.........................................................................2
2. Svojstva neodređenog integrala.....................................................................................................2
3. Rješavanje integrala uz pomoć Tablice osnovnih integrala............................................................2
4. Rješavanje integrala metodom zamjene........................................................................................5
5. Rješavanje integrala metodom parcijalne integracije.....................................................................8
6. Zaključak......................................................................................................................................11
7. Literatura......................................................................................................................................12
13