neodređeni integral

1. Pojam primitivne funkcije i neodređenog integrala

Definicija 1Neka je data funkcija f, definisana u nekom intervalu (a, b). Svaku funkciju F definisanu u intervalu (a,b), koja ima svojstvo F′(x) = f(x), ili, što je isto, dF(x) = f(x)dx , pri čemu x pripada intervalu (a,b), nazivamo primitivnom funkcijom za fun kciju f.

Interval (a,b) u ovoj definiciji može da bude i beskonačan, npr. (-∞, +∞) = R.

Operacija nalaženja primitivne funkcije naziva se integracijom. Ova operacija je inverzna operaciji diferenciranja, tj. nalaženja diferencijala. No, za razliku od diferenciranja, integracija nije jednoznačna operacija, Uopšte, ako je F primitivna funkcija date funkcije f, tada je i svaka funkcija F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta, takođe primitivna za f. Zaista, ako je F′(x) = f(x),tada je i ‹F(x) + C›′ = F′(x) = f(x),jer je izvod konstante C uvijek jednak nuli.

Definicija 2Neodređenim integralom funkcije f nazivamo skup svih njenih primitivnih funkcija i obolježavamo ga sa:∫f (x) dx.

Funkcija f(x) se naziva podintegralna funkcija, a f(x) dx je podintegralni izraz, x se naziva promjenjivom integracije, dok je C integraciona konstanta ili konstanta integracije.

Ukoliko je funkcija f neprekidna, tada postoji i ∫f (x) dx.

2. Svojstva neodređenog integrala

Ako funkcija f definisana u intervalu (a, b) ima neodređeni integral tada je d∫f (x) dx = f (x) dx, za x koje pripada intervalu (a,b)

Za svaku funkciju F diferencijabilnu u intervalu (a,b) važi ∫dF(x) = F(x) +C

Ako za funkcije f i g definisane u intervalu (a,b) postoje određeni integrali, tada i za njihov zbir, odnosno razliku postoji neodređeni integral i važi ∫‹f (x) ± g(x)›dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx.

Ako postoji neodređeni integral za funkciju f i ako K pripada R, i K≠0, tada i za funkciju Kf(x) postoji neodređeni integral i važi ∫Kf (x) dx = K ∫f (x) dx.

3. Rješavanje integrala uz pomoć Tablice osnovnih integrala

Osnovu za nalaženje neodređenih integrala široke klase funkcija čini tablica osnovnih integrala. Ona se formira neposredno na osnovu tablice izvoda.

2

3

4

4. Rješavanje integrala metodom zamjene

Nalaženje neodređenog integrala neposredno na osnovu tablice integrala i osnovnih pravila integracije uspjeva srazmjerno rijetko, stoga ćemo se sada upoznati sa metodom zamjene.

Metoda zamjene se sastoji u prelasku na novu promjenjivu integracije i to zamjenjivanjem prvobitne promjenjive integracije x nekom funkcijom od nove promjenjive integracije t.

5

6

7

5. Rješavanje integrala metodom parcijalne integracije

Sama metoda zamjene je nedovoljna za nalaženje neodređenih integrala.

Metoda zamjene se oslanja na pravilo o izvodu složene funkcije, dok se metoda parcijalne integracije oslanja na pravilo o izvodu proizvoda.

8

9

10

6. Zaključak

U ovom seminarskom radu su objašnjenj samo najjednostavnije metode integrisanja, i to putem

tablica, metodom smjene i parcijalnom integracijom.Navedenim postupcima se ipak ne mogu naći

neodređeni integrali svih elementarnih funkcija. Na primjer, ne mogu se naći sljedeći integrali:

pri čijem se rješavanju vrši integracija razvojem funkcija u Tejlorov red.

Takođe u literaturi se posebna pažnja posvećuje integraciji racionalnih funkcija, iracionalnih

funkcija i trigonometrijskih funkcija.

11

Literatura

1. Dr M. Obradović i dr Dušan Georgijević, Matematika sa zbirkom zadataka, Zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Beograd 1996

2. Nevanka Skakić i Ratko Kravarušić, Matematika 1, Ekonomski fakultet, Banja Luka, 2000

3. Kompendium izvora za predmet „Poslovna matematika“, College of M0odern Management, Banja Luka, decembar 2004

12

Sadržaj

1. Pojam primitivne funkcije i neodređenog integrala.........................................................................2

2. Svojstva neodređenog integrala.....................................................................................................2

3. Rješavanje integrala uz pomoć Tablice osnovnih integrala............................................................2

4. Rješavanje integrala metodom zamjene........................................................................................5

5. Rješavanje integrala metodom parcijalne integracije.....................................................................8

6. Zaključak......................................................................................................................................11

7. Literatura......................................................................................................................................12

13