ix
PERSAMAAN KUADRATIK
• Jika ax2 + bx + c = 0,
x = –b ± b2 – 4ac2a
• Penyempurnaan kuasa dua p(x + q)2 + r = 0
• Jika punca bagi ax2 + bx + c = 0ialah α dan β, maka
hasil tambah punca
= α + β = – ba
hasil darab punca = αβ = ca
• b2 – 4ac > 0 : Dua punca berbeza
b2 – 4ac = 0 : Dua punca sama b2 – 4ac < 0 : Tiada punca
nyata
INDEKS DAN LOGARITMA
• Indeks am × an = am+n
am ÷ an = am–n
(am)n = amn
• loga N = x ⇔ N = ax
• Logaritma loga xy = loga x + loga y
loga xy
= loga x – loga y
loga x p = p loga x
logab = logc blogc a
GEOMETRI KOORDINAT
• Jarak
= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)
2
• Titik tengah
= � x1 + x2
2,
y1 + y2
2 �• Titik yang membahagi suatu
tembereng garis: Koordinat titik P pada AB dengan keadaan AP : PB = m : n ialah
P = � nx1 + mx2
m + n,
ny1 + my2
m + n �• Luas segitiga
= 12 |
x1
y1 x2
y2 x3
y3 x1
y1|
= 12
[(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1)
– ( y1x2 – y2x3 – y3x1)]
• Kecerunan, m = y2 – y1
x2 – x1
• Bagi dua garis lurus yang selari, m1 × m2
• Bagi dua garis lurus yang berserenjang, m1 × m2 = –1
STATISTIK
• Min, x = ∑xN
= ∑ fx∑ f
RUMUS
WTMTRumus(ix-xi).indd ixWTMTRumus(ix-xi).indd ix 9/1/12 10:57:22 AM9/1/12 10:57:22 AM
26
TIN
GK
ATA
N
4
3.1 Fungsi Kuadratik dan Grafnya
1 Bentuk am satu fungsi kuadratik ialah f (x) = ax2 + bx + c dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan a ≠ 0.
2 Graf fungsi kuadratik berbentuk parabola. 3 Jika a > 0, f(x) mempunyai nilai minimum dan grafnya berbentuk
Paksisimetri
Titik minimum
4 Jika a < 0, f(x) mempunyai nilai maksimum dan grafnya berbentuk
Paksisimetri
Titik minimum
5 Bentuk dan kedudukan graf fungsi kuadratik, f (x) = ax2 + bx + c, bergantung kepada nilai a dan nilai b2 – 4ac.(a) b2 – 4ac > 0: Graf bersilang dengan paksi-x pada dua titik.
x xataua > 0 a < 0
(b) b2 – 4ac = 0: Graf menyentuh paksi-x pada satu titik.
x
x
ataua > 0 a < 0
(c) b2 – 4ac < 0 : Graf tidak bersilang dengan paksi-x.
x
x
ataua > 0 a < 0
Tingkatan 4
FUNGSI KUADRATIK
WTMT4_03_(26-37).indd 26WTMT4_03_(26-37).indd 26 1/11/11 10:57:04 AM1/11/11 10:57:04 AM
3 Fungsi Kuadratik 27
4
TIN
GK
ATA
N
Cari julat nilai k jika lengkung f (x) = 10 – 3x – (k – 1)x2
(a) bersilang dengan paksi-x pada dua titik,
(b) tidak bersilang dengan paksi-x.
1
Penyelesaian(a) a = –(k – 1), b = –3, c = 10 b2 – 4ac > 0 (–3)2 – 4(–k + 1)(10) > 0 9 + 40k – 40 > 0 40k > 31
k > 3140
(b) a = –(k – 1), b = –3, c = 10 b2 – 4ac < 0 (–3)2 – 4(–k + 1)(10) < 0 9 + 40k – 40 < 0 40k < 31
k < 3140
Klon Klon SPM
Klon
‘10
Rajah berikut menunjukkan graf bagi fungsi kuadratik y = f(x).
2 7
y
x
(a) Selesaikan persamaan y = f(x) = 0.(b) Nyatakan persamaan paksi
simetri bagi fungsi tersebut.
Penyelesaian(a) Selesaikan persamaan f(x) = 0
bermaksud mencari nilai x apabila y = 0.
Maka, x = 2 dan 7 apabila f(x) = 0.
Nota: Nilai x juga dinamai punca bagi persamaan kuadratik.
(b) Persamaan paksi simetri
x = 2 + 72
= 92
Klon SPM
Suatu fungsi f ditakrifkan oleh f (x) = 2(x – 5)(3x + 1).(a) Tentukan bentuk graf f (x).(b) Tentukan kedudukan graf
f (x).(c) Lakar graf f (x) pada paksi-x.
Penyelesaian(a) f (x) = 2(x – 5)(3x + 1) f (x) = 6x2 – 28x – 10 Nilai a = 6 > 0, maka bentuk
graf f(x) ialah .
(b) a = 6, b = –28, c = –10 b2 – 4ac = (–28)2 – 4(6)(–10)
= 1024 > 0. Maka, graf f(x) menyilang
paksi-x pada dua titik.
(c)
x
‘10
WTMT4_03_(26-37).indd 27WTMT4_03_(26-37).indd 27 1/12/11 11:35:12 AM1/12/11 11:35:12 AM
3 Fungsi Kuadratik34
TIN
GK
ATA
N
4
Klon
Klon Klon SPM ‘09, ‘10
Cari julat nilai p jika persamaan kuadratik 2p – (p – 1)x2 = 0 tidak mempunyai punca nyata.
Penyelesaian– (p – 1)x2 + 2p = 0a = –p + 1, b = 0, c = 2p
b2 – 4ac < 002 – 4(–p + 1)(2p) < 0 (4p – 4)(2p) < 0 8p (p–1) < 0
10
Maka, julat nilai p ialah 0 < p < 1.
x2 – 12x + 20 ≤ 0 (x – 10)(x – 2) ≤ 0 2 ≤ x ≤ 10
102
Gabungkan kedua-dua ketaksamaan
–8 2 10
2 ≤ x ≤ 10
x
x ≥ 8
Maka, julat nilai x yang memenuhi kedua-dua ketaksamaan ialah 2 ≤ x ≤ 10.
3 Cari julat nilai k jika lengkung x2 + (1 – k)x = k tidak bersilang dengan paksi-x.
4 Diberi lengkung f(x) = x2 + 2px + p2 – 5p – 3 menyilang paksi-x pada satu titik sahaja. Cari nilai p.
5 Graf bagi fungsi kuadratik f(x) = 2x2 + 8x + k bersilang dengan paksi-x pada dua titik berbeza. Cari julat nilai k.
3.1 Fungsi Kuadratik dan Grafnya
1 Tentukan kedudukan graf bagi fungsi-fungsi berikut apabila f(x) = 0.(a) f(x) = 3x2 + 5x – 7(b) f(x) = x(3 – x) + 2x + 10
2 Persamaan kuadratik mx2 – 4mx + 4m – 5 = 0 tidak mempunyai punca nyata. Cari julat nilai m.
3PRAKTIS SPMKertas 1
WTMT4_03_(26-37).indd 34WTMT4_03_(26-37).indd 34 1/11/11 10:57:09 AM1/11/11 10:57:09 AM
KER
TAS
MO
DEL S
PM
341
1 Rajah 1 menunjukkan graf f(x) = 3|1 – x| bagi domain –1 ≤ x ≤ 2.
Rajah 1
Nyatakan(a) nilai a,(b) objek bagi 6,(c) julat bagi f(x) yang sepadan dengan domain yang diberi,(d) jenis hubungan bagi fungsi di atas. [4 markah]
2 Diberi fungsi f : x → x2 – 1
2 dan g : x → 5 – 2x, cari
(a) fg–1(1),(b) nilai-nilai x dengan keadaan gf(x) = –3. [4 markah]
3 Diberi fungsi v : t → t2 + 3 dan s : t → 8t + k dengan keadaan k ialah pemalar. Cari nilai-nilai k yang mungkin jika vs–1(–2) = 4. [3 markah]
Jawab semua soalan.
Masa: 2 jamKERTAS 1 [80 markah]
WTMT_KM(341-353).indd 341WTMT_KM(341-353).indd 341 31/10/11 4:18:04 PM31/10/11 4:18:04 PM