1
ELEKTROTEHNIKA I ELEKTRI ČNI
STROJEVI
LITERATURA:
A - ELEKTROTEHNIKA: Essert, Walter: Osnove elektrotehnike, SNL Zagreb, 1990. C - ELEKTRIČNI STROJEVI I POGONI: Skalicki, Grilec: Električni strojevi i pogoni, FSB Zagreb, 2005. LABORATORIJSKE I AUDITORNE VJEŽBE: Vježbe iz elektrotehnike, elektronike i električnih strojeva,
skripta FSB, 2008.
A – OSNOVE ELEKTROTEHNIKE
SADRŽAJ:
Električna svojstva tvari Elektrostatika Istosmjerne struje Elektromagnetizam Prijelazne pojave Izmjenične struje i trofazni sustav
2
ELEKTROTEHNIKA I ELEKTRONIKA - Z
LITERATURA:
A - ELEKTROTEHNIKA: Essert, Walter: Osnove elektrotehnike, SNL Zagreb, 1990. B - ELEKTRONIKA: Grilec, Zorc: Osnove elektronike, Školska knjiga Zagreb, 2002. LABORATORIJSKE I AUDITORNE VJEŽBE: Vježbe iz elektrotehnike, elektronike i električnih strojeva,
skripta FSB, 2008.
A – OSNOVE ELEKTROTEHNIKE
SADRŽAJ:
Električna svojstva tvari Elektrostatika Istosmjerne struje Elektromagnetizam Prijelazne pojave Izmjenične struje
3
I. ELEKTRI ČNA SVOJSTVA TVARI
Atom Bohrov model
jezgra, ljuske
- staze elektrona su kvantizirane
- apsorbiranje ili emitiranje energije
promjena staze Nabojska ravnoteža atoma
Q0 = 1,6 * 10 -19 [C]
mp = 1,67 * 10 -27 [kg]
me = 9,11 * 10 -31 [kg]
4
Vanjski energetski utjecaji 1. uzbuñeni atom – neutralan
elektron apsorbira energiju
elektron emitira energiju
Iznos emitirane energije:
h – Planckova konstanta h = 6,623 * 10-34 [Js]
f – frekvencija zračenja [Hz]
Wp – razina energije više kvantne staze [J]
Ws – razina energije niže kvantne staze [J]
Elektroni u zadnjoj ljusci (valentni elektroni) su najslabije
vezani za jezgru i o njima najviše ovise kemijska i električna
svojstva tvari. Gubitkom elektrona dobije se ionizirani atom.
2. ionizirani atom – poremećena nabojska ravnoteža
Rad ionizacije H : 2,17 * 10-18 [J]
Ioni, «elektronski plin» električna struja
s
p
J
h * f = W p - Ws
5
Svojstva vodi ča, izolatora i poluvodi ča
Valentni elektroni sudjeluju u voñenju struje
Vodiči :
metali: ionska rešetka + slobodni elektroni
elektroliti: spontana disocijacija, anioni (-), kationi(+)
ionizirani plin: struju vode pozitivni ioni i elektroni
Izolatori :
Potrebna je velika energija za ionizaciju
Čvrsta atomska veza (kovalentna)
Poluvodi či :
Energija ionizacije Ge 0,75 eV
Si 1,2 eV
1 eV = 1,6 * 10-19 [J]
4 elektrona u vanjskoj ljusci.
6
Si
Si
Si
SiSi
Generiranje parova elektron – šupljina ( 1012 : 1 )
Vlastita vodljivost poluvodiča je mala i ovisna o temperaturi,
povećava se 3 i 5 valentnim primjesama.
II. ELEKTROSTATIKA
Elektrostatika razmatra statička nabijena tijela
Okolina nabijenog tijela – posebno stanje prostora
Električno polje Ev
je vektorsko polje sila [V/m]
Linije polja – silnice Osnovni efekt električkog polja: sila na naboj
Sila Fv
na naboj Q koji se nalazi u električnom polju Ev
Fv
= Q ⋅ Ev
[N]
7
Fv
Fv
Ev
Q
Ev
Zakon toka
Gustoća naboja dA
dQD =
2m
As
+Q
+Qi-Qi
-Q
dA
dQ
Ev
Ev
8
dADQA∫=
D opisuje influencijsko djelovanje, ovisi i o smjeru te
poprima vektorski karakter: Dv
je kolinearan sa Ev
.
Dv
= vektor ( gustoće ) elektičnog pomaka
Za zatvorene plohe – zakon toka
Nabijene paralelne ploče: A
QD = (homogeno polje!)
Nabijena kugla:
Q
R R0
Dv
Adv
QAdDA
=∫vv
9
∫ =A
QAdDvv
simetrija (D=konst.)!
QdADA
=∫ ∫ =A
RdA 24π
Za R = R0 204 R
QD
π=
Za R < R0 D = 0 jer je Q = 0 unutar kugle.
Zakon omjera i dielektri čka konstanta
ε=E
Dv
v
Za vakuum: 12
0 10854,8 −⋅== εε
m
F
Dielektrička konstanta za neku tvar: rεεε ⋅= 0
m
F
Elektri čni potencijal
+QA
B
WA
WB
WC
s
dllll sdvαααα
Ev
sdFdWv
v
= sdEQdWv
v
=
24 R
QD
π=
10
∫∞
=A
dsQEW αcos ∫∞
−=A
A dsEQW αcos
∫ ∫−=−== dsEEdlVQ
WsA
A [ ]V električki potencijal
dl
dVE −=
Ekvipotencijalne linije ( plohe ): WA, WB, WC
Razlika potencijala = napon UAB = VA - VB
Potencijalna energija naboja
Iz ∫−= αcosdsQEW i ∫−= αcosdsEV dobivamo
potencijalna energija naboja Q u točki s potencijalom V Razlika potencijala – napon
A B
VA VB
ds
d
DEvv
,
dvije paralelne ploče = homogeno polje!
QVW = [ ]J
11
+Q -Q
d
-+U
DEvv
,
ε
[ ]VdEdsEUVVB
A
ABBA ∫ ===− αcos
=m
V
d
UE
Rad naboja pri kretanju u homogenom polju
∫=B
A
dsQEW αcos ∫=B
A
dsEU αcos
1eV = 1,6 • 10-19 [J]
Kondenzatori
ε⋅== EA
QD dEU ⋅=
Ud
AAEADQ ⋅⋅=⋅⋅=⋅= εε
Kapacitet [ ]Fd
AC ⋅= ε UCQ ⋅=
Simbol kondenzatora:
Jedinice: pFnF, µF, ( 10-6 F, 10-9 F, 10-12 F )
Svojstvo akumulacije naboja (nabijanje i izbijanje)
[ ]JUQW =
12
PARALELNI SPOJ KONDENZATORA
Isti napon na kondenzatorima U = U1 = U2 = U3
Q1 = C1U Q2 = C2U
Q3 = C3U Qp = CpU
Qp = Q1 + Q2 + Q3
UCCC ⋅++=⋅ )(U Cp 321
SERIJSKI SPOJ KONDENZATORA
Isti tok naboja kroz sve kondenzatore
Qs = Q1 = Q2 = Q3
1
11 C
QU =
2
22 C
QU =
3
33 C
QU =
S
SS C
QU = uz U = U1 + U2 + U3
3
3
2
2
1
1
C
Q
C
Q
C
Q
C
Q
S
S ++=
+
-
UC1 C2 C3
Q1 Q2 Q3
+++
∑= nC CP
+ U
C1 C2 C3
Q1 Q2 Q3
+++
-
U1 U2 U3
∑=nS CC
11
13
MJEŠOVITI SPOJEVI KONDENZATORA
SSP CCC 21 ||=
PS CCC )(1 −−=
SCC =
ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA
duCdQ ⋅=
duuCudQdW ⋅⋅=⋅=
[ ]∫ =⋅⋅=
U
JCU
duuCW0
2
2
+ U
C1
C2 C3
-
C4 C5
C1S
C2S
C1 Cp C
+ U- + U
-
Cp
14
III. ISTOSMJERNA STRUJA
Struja: usmjereno gibanje naboja
trenutni iznos – označavanje malim slovima
- za struju je neophodno: električko polje i slobodni naboji
Smjer struje je po definiciji smjer električnog polja
Za trajnu struju
potrebno je trajno polje ( napon ) iz izvora napona.
Idealni naponski izvor Idealni strujni izvor
Efekti elektri čne struje:
- zagrijavanje vodiča – Joulova toplina
- stvaranje magnetskog polja
- prijenos tvari u elektrolitima
- svjetlosno zračenje pri prolazu kroz plin
dt
dQi =
[ ]At
QI =
15
Ohmov zakon
U napon na krajevima vodiča
R otpor vodiča, G vodljivost, ρρρρ specifični otpor materijala
A I
llll
+ -U
∫ ⋅==−=B
A
BA lEdlEVVU
I R
U-+
→ proporcionalnost
napona i struje
otpor je konstanta za
većinu materijala
I
U
R1
R2
RIUR
UI
A
lR
RG
⋅==
== ρ1
16
TEMPERATURNA OVISNOST ELEKTRI ČNOG OTPORA
Povećanje otpora R s temperaturom izražava se pomoću
temperaturnog koeficijenta otpora - α .
Povećanje otpora:
( ) CRR o20000=−⋅⋅=∆ ϑϑϑαϑ
Ukupni iznos otpora Rϑ kod 0ϑϑ >
( )[ ]
( ) [ ]Ω∆⋅+⋅⋅=
−+=∆+=
ϑαρ
ϑα
ϑ
ϑϑϑ
1
20100
AR
RRRR
l
ELEKTRIČNI IZVORI
1. KEMIJSKI – kemijska energija pretvara se u električku
(galvanski elementi i akumulatori)
2. GENERATORI – mehanička radnja
(princip elektromagnetske indukcije)
3. TERMOELEMENTI – toplinska energija
4. FOTOELEMENTI – svjetlosna energija
17
ELEKTROKEMIJSKE POJAVE
Elektrolit
+ -
METALNE ELEKTRODE + ELEKTROLIT + NAPON U
ELEKTROLITI: otopine soli i kiselina – dogaña se
spontana elektrolitička disocijacija. Prolaz struje preko:
(+) kationa – vodik (H+) i atomi metala
(-) aniona – kisik (O--) i ostaci kiselina
Primjena:
- GALVANOSTEGIJA: oplemenjivanje površine radi
zaštite ili ukrasa
- GALVANOPLASTIKA: nanošenje tanke presvlake od
metala na površinu
- DOBIVANJE I ČIŠĆENJE METALA: izvodi se u
elektrolitskim kupkama
- IZRADBA IZVORA EMS: galvanskih elemenata i
akumulatora (ponovo punjivih elemenata)
18
FARADAYEVI ZAKONI ELEKTROLIZE
govore o taloženju tvari na elektrodama
I. zakon
aaaa – elektrokemijski ekvivalent
⋅⋅= −
Askg
n
Aa 8100365,1
A – atomska masa
n – valencija tvari
Q – naboj
G - masa
II. zakon
[ ]kgQaG ⋅=
2122
11
2
1
2
1 QQuznA
nA
a
a
G
G===
19
PRIMARNI GALVANSKI ELEMENTI
A) Leclancheov element
U= 1,5V
B) Alkalna baterija
elektrolit je kalijev hidroksid
U= 1,5V, – veći kapacitet
Naboj Q [Ah] = I * t (“kapacitet”)
SEKUNDARNI GALVANSKI ELEMENTI Olovni akumulator (U= 2V)
422 2 SOHPbPbO ++ −+
pun
prazan
OHPbSOPbSO 244 2++ −+
MnO 2
C
Zn
Amonijev klorid
NH4Cl
MnO2
KOH
Zn
H2SO4
PbO
2Pb
AK
Trošilo
20
Vrste akumulatora: olovni (2V), Ni-Cd (1.2V), NiMH (1.2V) ,
Li-ion (3.6V)
Svojstva baterija: radni napon, kapacitet, samopražnjenje,
energija/ volumen, energija/ težina, broj ciklusa
JEDNOSTAVNI STRUJNI KRUG
izvor
trošilo R
sklopka
-pojednostavljena shema:
E R UT=IR
I
TTi UQEQ ⋅=⋅ Ti QQ =
naponapadRIR
EIRIEUE T −⋅=→⋅==
Realno UT < E zbog otpora izvora RU i otpora vodova RV
21
KIRCHHOFFOVI ZAKONI (K.Z.)
- element: izvor, otpornik, kondenzator
- stezaljke elemenata: 2
- čvorište: spoj ≥ 3 stezaljke
- grana: veza 2 čvorišta pomoću elementa
- serijski spoj elemenata: po 2 stezaljke spojene
- paralelni spoj elemenata: > 1 grana izmeñu 2 čvorišta
- mreža: skup čvorišta i grana
- petlja: zatvorena linija
I K. Z. za čvorište
∑ = 0I
54321 IIIII ++=+
II K. Z. za bilo koju petlju
∑ ∑ ⋅= RIE
I1
I2
I3
I4
I5
22
Primjer: rješavanje mreža
Zadano:
E1, E2, R1, R2, R
I1, I2, I = ?
a) primjena I K.Z. na jednom čvorištu
1. pretpostavljaju se smjerovi struja
2. ∑ = 0I (1. jednadžba)
b) 2x primjena II K.Z. za dvije petlje
1. smjer obilaženja petlje (po volji)
2. smjer djelovanja EMS (prema obilaženju)
3. predznak padova napona (prema struji)
4. ∑ ∑ ⋅= RIE (2x 2. i 3. jednadžba)
5. interpretacija predznaka struje
I1 + I2 - I = 0
I1R1 - I2R2 = E1 – E2
I2R2 + IR = E2
E1 E2
R1 R2
R
I1
I2
I
I1I2
I
23
SPAJANJE OTPORNIKA
Serijski spoj (ista struja kroz sve elemente):
R1 R2
U
R3
U2U1 U3I
U
RS
I
Ω . Z.: U1=IR1 U2=IR2 U3=IR3
II K.Z. : U = I ( R1 + R2 + R3 )
U = I RS
RS = R1 + R2 + R3
Paralelni spoj (isti napon na svim elementima):
I
R1R2R3
I3 I1I2
U RP U
I
I K.Z. : I = I1 + I2 + I3
Ω . Z. : 1
1 R
UI =
22 R
UI =
33 R
UI =
32 R
U
R
U
R
U
R
U
P
++=!
∑=i
iP GG
∑=i
iS RR
∑=i iP RR
11
24
Vanjska karakteristika realnog naponskog izvora
( ) ?IfU =
URIEU ⋅−=
1=+
UR
EI
E
U
Struja kratkog spoja:
UK R
EI =
U
I
U
I
RU
E
I
U
I
U
E
IK
idealni izvor napona
25
a) prazni hod EU,I ==→ 0
b) normalni pogon EURI U ≈→≈> 00,
c) normalni pogon EURI U <→>> 00,
d) kratki spoj 0=+ VT RR
UK R
EIU == ,0
Osigurači štite u slučaju kratkog spoja
REALNI STRUJNI KRUG
RT
E
I
U UT
RU
2VR
2VR
22VV
V
RRR += , TT UIR = , UIRE U =−
TVU IRIRIRE ++= (II K.Z.)
TVU RRR
EI
++=
26
SPAJANJE IZVORA EMS
SERIJSKI SPOJ IZVORA:
R1 R2 R3 Rn
E
I
E2 EnE1E3
nEEEEE ++++= K321 (daje veći napon)
nIIIII ===== K321 (struja je ista)
niU RRRRRuzRnR =====⋅= K321
PARALELNI SPOJ (jednakih) IZVORA:
E1 E2 En
I1 I2 In
I
E
nIIIII ++++= K321 (daje veću struju)
nEEEEE ===== K321 (naponi trebaju biti isti)
nii
U RRRRRuzn
RR ====== K321
27
DJELITELJ NAPONA (POTENCIOMETAR)
ILI:
ATB
TBekv RRR
RRE
R
EI
++⋅
==.
( )TB
TBTBT RR
RRIRRIU
+⋅⋅=⋅= ||
koristi se za regulaciju snage na trošilu
MJERENJE NAPONA I STRUJE
Instrument s pomi čnim svitkom i trajnim magnetom Računanje i/ ili mjerenje:
I, U, R, P …….
Galvanometar skala, kazaljka, otklon α
Mjerno područje max α
Primjer: Ig = 3mA, Rg = 20 Ω
Ug = IgRg = 60 mV
E
RA
RB RTUT
I
E R
RT
x=0
x=1
RgIg
Ug=RgIgG
28
Mjeri napon ili struju
Mjerenje struje
kAA KKµ
A
I
RA 0
AMPERMETAR SE SPAJA SERIJSKI U STRUJNI KRUG
Mjerenje napona
IV 0
Univerzalni instrument ima više područja za mjerenje
napona i struje (istosmjerno/ izmjenično) te mjerenje otpora
VOLTMETAR SE SPAJA PARALELNO U STRUJNI KRUG
AI
RA,UAU RT
V
RTRV
VU
IV
IT
29
4132 RRRR ⋅=⋅
MJERENJE OTPORA
Metode:
U-I metoda, Omometar, izvorom konstantne struje, W. most
Wheatstone most
21
2
RR
RUU A +
=
43
4
RR
RUU B +
=
+−
+⋅==−
43
4
21
2
RR
R
RR
RUUUU ABBA
Izmeñu A i B spoji se galvanometar, zatim se promjenom
jednog od otpora postigne ravnoteža
RAD I SNAGA ISTOSMJERNE STRUJE
[ ]JUQW ⋅= Rad
R1
R2
R3
R4
A BU
→→= ravnotežaUAB 0
→⋅= tIQ [ ]JtIUW ⋅⋅=
30
t
WP = Snaga
Pomoću Ω - zakona na otporniku
[ ]
[ ]WR
URIP
JtR
UtRIW
22
22
=⋅=
⋅=⋅⋅=
Korisnost električkih ureñaja:
PT – korisna snaga trošila
PG – snaga gubitaka
Pretvorba električne energije:
- mehanički rad (motori)
- toplina (Jouleova toplina)
- kemijska energija (akumulator, proizvodnja aluminija,..)
- svjetlosna energija (rasvjeta), itd…
[ ]WIUP ⋅=
GT
T
Utrošeno
Korisno
PP
P
P
P
+==η
31
IV. ELEKTROMAGNETIZAM
Naboj u gibanju stvara naročito stanje prostora
magnetsko polje
Osnovni učinci magnetskog polja:
1) sila na naboj u gibanju
2) elektro-magnetska indukcija
Jakost magnetskog polja Hr
= polje sila [ ]mA
desni!
I
H
I
I
Ulazi u ravninu
Iz ravnine premapromatraču
32
∫ ∑=l
IldHvv
Zakon protjecanja
Zakon protjecanja
21 IIldHl
−=∫vv
0
1
=∫l
ldHvv
Polje ravnog vodi ča
I1 I2
lr
d
l
Hr
l1
dl1
I
H
Rx
H
llll
33
=m
A
x
IH
π2
Polje izvan vodi ča
Simetrija (H = konstanta)
Polje unutar vodi ča
homogena
struje, gustoću
aprotjecanj z.2
2
2
ππ
π
xJI
R
IJ
IxH
Rx
x
x
⋅=
=
=⋅<
∫ =⋅→= → IxHIdlH π2
Rx >
Rx
Ix
Hx
llll
⋅=m
A
R
xIH
22π
34
H
xR
m
A
[ ]m
R
I
π2
Polje prstenastog svitka
∫ ⋅=
=
NIHdl
lRπ2
Polje je homogeno
Nehomogeno polje postoji kod ravne zavojnice:
R
N
H
I
llll
⋅=m
A
l
NIH
35
Magnetska indukcija B
[ ]
=⋅=2m
VsTHB
vv
µ permeabilitet
HBvakuumvv
⋅= 0µ:
=
= −
Am
Vs
m
H70 104πµ
za bilo koja tvar: HB r
vv
⋅⋅= 0µµ
∫ ∫==ΦA A
dABAdB αcosvv
magnetski tok
llll
A
Bv
Av
d
αααα
36
samo za homogeno polje (B= konstanta):
[ ]
AB
WbAB
Φ=
⋅=Φ= :0α
Magnetski tok Φ je ukupni tok silnica kroz neku površinu,
magnetska indukcija B je gustoća toka
Magnetsko polje nastaje u:
- vodičima – zbog gibanja naboja (unutar i izvan vodiča)
- izolatorima – zbog posmačnih struja
- kod trajnih magneta – zbog elementarnih struja
- zemljinoj kugli (polovi N S)
37
Djelovanje magnetskog polja - sila na naboj u gibanju, npr. sila na vodič kroz koji teče
struja (primjena u elektromotorima)
- pojava elektro-magnetske indukcije – inducira se napon
ako se vodič giba u stalnom magnetskom polju ili je pod
utjecajem promjenjivog magnetskog polja (primjena u
generatorima i transformatorima)
1. Sila na naboj u gibanju
αsinBvQF ⋅⋅=
Pravilo lijeve ruke
)( BvQFv
vv
×=
B
Fv
Q+ α Bv
Fv
vv
38
Sila na vodi č protjecan strujom
t
lvtIQ =⋅= ,
αsin⋅⋅⋅= BlIF
2. Elektro-magnetska indukcija
Sila na naboj:
)( BvQFv
vv
×=
Grupiranje naboja
- elekt. polje (inducirano):
BvE
EQFv
vv
vv
×=⋅=
e= inducirani napon (EMS)
B
I
F
BlIFvvv
×=
F
Bv
β
α
l
+
-
βα
βαβ
cossin
cossincos
lBveFF
l
uQEQF
BvQFF
=→′′=′
⋅=⋅=′′
⋅=⋅=′
39
Pravilo desne ruke:
B
lv
Inducirana EMS promjena magnetskog toka
BlvlBve =⋅×=vv
v
)(
Površina A se smanjuje za
ldxdA =
tok se mijenja za
BdAd −=Φ
→==Φ−
−=−=Φ→
evlBdt
d
dtvlBdxlBd
lBvevv
v ⋅×= )(
iiii
A
llll
B
dx
[ ]Vdt
de
Φ−=
40
Mogućnosti za indukciju napona:
- gibanje vodiča
- gibanje magnetskog polja (vodič miruje)
- promjena iznosa toka (vodič i polje miruju)
Lenz-ovo pravilo – smjer inducirane struje uvijek je takav
da se suprotstavlja uzroku koji ju je proizveo.
Struja što bi je potjerao napon e stvara dodatni magnetski
tok koji je suprotan primarnoj promjeni toka ,Φd pa ju
želi kompenzirati.
Samoindukcija
- induciranje EMS zbog promjene vlastite struje (toka)
Koeficijent samoindukcije:
D
llll
iiii
e N
A
dt
di
l
ANe
l
iNHHB
ABdt
dNe
s
s
⋅−=
=⋅=
⋅=ΦΦ−=
2µ
µ
dt
diLes ⋅−=
see =
==A
sVH
l
ANL
2µ
41
Magnetska energija zavojnice
za stvaranje polja dtiedW ⋅=
[ ]∫∫∫⋅====
ITT
JIL
diiLdtdt
diiLdteiW
0
2
00 2
Meñuindukcija – magnetska veza dvaju zavojnica
dt
diM
dt
di
l
ANNe 1121
2 −=⋅−= µ
meñuinduktivitet
Primjena meñuindukcije - transformacija napona:
llll
A
iiii1111
llll1N1
iiii2222
llll2N2
µµµµ
td
d 1111ΦΦΦΦ
l
iNH
HB
ABdt
dNe
111
11
11
122
=
⋅=⋅=Φ
Φ−=
µ
[ ]Hl
ANNM 21µ=
42
Induciranje harmoni čkog napona
za 0=ϕ kroz svaki zavoj prolazi mφ
dlBABm =⋅=φ
za tωϕ =
tmm ωφϕφφ coscos ==
)sin( tdlBNeNdt
de ωωφ −−=→−=
[ ]VtEtdlBNe m ωωω sinsin ==
dt
dNe
dt
dNe
122
111
Φ−=
Φ−=
2
1
2
1
N
N
e
e =
N
d
llll
B
ωωωω
ϕϕϕϕ
( )φφφφtdt
d
zavojaN
dlA
ϕϕω →=
⋅=
43
Magnetska svojstva tvari
U elektrostatici vektori: DiEr→
U magnetizmu vektori: HiBrv
Vakuum:
⋅== −
m
H
H
B 700 104πµµ
Ostale tvari: rH
B µµµ 0==
- vakuum i nemetali: 1=rµ
- dijamagnetski materijali: ( )99990
1
,:Cur <µ
- paramagnetski materijali: ( )000021
1
,:Alr >µ
- feromagnetski materijali: ( )K,,, NiCoFer 1>>µ
kod feromagnetskih materijala rµ je velik ali zavisi o:
iznosu polja H, prethodnom magnetiziranju, temperaturi
afrekvencijT
f
periodT
1
2
=
=ωπ
T
Em
[ ]Ve
[ ]st
44
Krivulja (prvog) magnetiziranja Fe materijala
Više teorija za objašnjenje feromagnetskih svojstava:
- teorija elementarnih magneta
- teorija domena
Elementarne kružne struje u kristalnoj strukturi tvore
slučajno orijentirana polja koja se pod djelovanjem
vanjskog polja usmjeruju. Kad su sva polja domena već
usmjerena na isti način nastupa zasićenje.
0 1 2 3 4
1
B
H
Fe-Si lim
permaloy
lijevano željezo
[ ]T
m
A310
Hv
45
Krivulja histereze feromagnetskog materijala
Struja i stvara polje:
Za povećanje indukcije za dB treba uložiti rad:
lAdBH
N
lHi
ABdt
de
dtiedW ⋅⋅=⋅=
⋅=
=
== φ
φ
Po jedinici volumena ( )VlA =⋅
dBHV
dWdW ==1
Za jedan ciklus proñe se čitava petlja histereze – utrošena
energija proporcionalna je površini petlje histereze:
iiii e
N
llll
A
~
H
Hc
Br
B
H
dB
l
NiH
⋅=
46
= ∫ 31 m
JdBHW
.
Ukupni gubici: [ ]WmBfkP mh ⋅⋅⋅= 21
PRIJELAZNE POJAVE
Obuhvaćaju dogañaje u strujnom krugu od ukapčanja do
stacionarnog stanja.
Ukapčanje R-L spoja
Konačna vrijednost I= E/R
E
S
R
Les
i(t)
ICitza
CIi
C
Ii
tL
R
C
Ii
CtL
RIi
dtL
R
dt
di
R
LiI
IR
ERiR
dt
diLE
iReE
tL
R-
tL
R-
s
−=→==+=
=−
−=−
+−=−
−=
⋅=−
=⋅=−
⋅=+
∫
0;0
e
e
exp/ln
ln)ln(
/I-i
di
varijabli
separacija/
,:/
i
t
0,63I
Lττττ
I
47
[ ]AeIit
L
R
−⋅=
−1
vremenska
konstanta
za Iit L ⋅=→= 630,τ
za Iit L ≈→⋅≥ τ5
Iskapčanje R-L spoja
Po Lenzovom zakonu zavojnica generira takav es da se protivi smanjenju struje Može se pokazati da je:
[ ]sR
LL =τ
−⋅=
−L
t
eIi τ1
E
S
R
L
i(t)
es
R
LeIi L
t
L =⋅=−
ττ ;
i
t
0,37I
Lττττ
I
48
Ukapčanje R-C spoja
Kondenzator se poste-
peno nabija na napon E
preko otpornika R.
CRCR duCdQdt
dQiRiuuuE ⋅==⋅=+= ;;:supst.|
dobije se:
Cττττ = vremenska
konstanta
E
S
R
CuC
uR
i(t)
R
uEiuERi C
C
−=−=⋅
E
t
0,63E
Cττττ
uc
CRC ⋅=ττττ
−⋅=
−⋅=
−−C
t
RC
t
C eEeEu τ11
49
Iskapčanje R-C spoja
Konedenzator se
izbija preko otpor-
nika.
UCQdt
dQiRiuuu RCR ⋅==⋅=+= ,,:supst.|0
dobije se:
Cττττ = vremenska
konstanta
E
S
R
CuC
uR
i(t)
CReEeEu C
t
RC
t
CC ⋅=⋅=⋅=
−−ττ
E
t
0,368E
Cττττ
uc
50
( )/2cos121
sin/sin 2 xxtEe m −== ω
V. IZMJENI ČNE STRUJE
tEe m ωsin=
fT
ππω 22 ==
Efektivna vrijednost izmjeni čne struje E
daje isti toplinski efekt kao istosmjerna struja
TR
EW ⋅=
2
Posebno za sinusni napon:
e
Em
t
T
ER
Re
∫⋅=T
dteT
E0
21
∫=T
dtR
eW
0
2
51
Dobije se: Instrumenti baždareni su na efektivne vrijednosti Efektivne vrijednosti pišu se bez indeksa!
mm E
EE 7070
2,==
Faza i razlika faza
0=== etEe m 0, tzasinω tω fazni kut ili faza KKK °°° 7203600
vrijeme 0, T, 2T, …
( ) ( )
0zaa
sin0zasin
==
−==−=
it
IittIi mm
ωϕ
ϕϕω
Struja i zaostaje za kut ϕ prema naponu e ϕ : razlika faza ili fazni pomak
[ ] [ ]AI
IVE
E mm
22== ;
e
Em
t
E
52
e,iEm
e
i
i′
tωϕϕ ′ ππ2
( )ϕω ′+′= tIi m sin' - struja prethodi naponu za ϕ ′
Metode ra čunanja s harmoni čkim veli činama
1. grafička
2. vektorska
3. simbolička
4. analitička
• -Kirchhoffovi zakoni vrijede za trenutne vrijednosti i za
vektore/ kompleksne brojeve
• -Ohmov zakon ZU
I = za impedancije i za trenutne
vrijednosti na otporu
Primjer zbrajanja: ( )111 sin ϕω += tEe m
( )222 sin ϕω += tEe m
53
a) grafička metoda
e = e1 + e2
e1
e2
e
tω1ϕϕ2ϕ
)sin( 1 ϕϕω ++= tEe m ϕimE se odrede mjerenjem
b) vektorska metoda
ϕimE se odrede mjerenjem ϕϕω ++ 1t
2ϕω +t
1ϕω +t
ϕEm1
Em2
Em
54
Uobičajena pojednostavljenja:
1. efektivne vrijednosti umjesto maksimalnih
2. promatra se jedan trenutak
3. jedna od veličina je referentna (tj. u apscisi za t = 0)
4. zbrajanje trokutima vektora umjesto paralelogramom
5. označavanje vektora velikim slovima sa strelicom
c) simbolička metoda - primjenom kompleksnog broja za
prikaz vektora
( ) ϕϕϕ ϕ ∠==+⋅=+= ZZejZjXR jsincosZ
Zbrajanje:
2E
1E
E
2ϕϕ
|ZZZZ|=Z
ϕ Re
Im
R
X
ϕϕ
ϕ
sincos
argument
modul
1122
2
⋅=⋅=
=
+==
−=−=
ZXZRR
Xarctg
XRZ
jj
Z
( ) ( )212121
222111
XXjRR
jXRjXR
++++++
===
ZZ
ZZ
55
Re
i
Množenje i dijeljenje je lakše s oblikom ϕ∠Z
( )
212
1
22
11
2
1
2121221121
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
−∠=∠∠
=
+∠=∠⋅∠=⋅
Z
Z
Z
Z
ZZZZ
Z
Z
ZZ
U simboličkoj metodi isti su oblici rezultata (zakona) kao
kod istosmjerne struje (Ohmov i Kirchhoffovi zakoni).
Jednostavni izmjeni čni strujni krug a)
Nema pomaka faze izmeñu napona i struje!
u
i
( )
R
EI
R
EI
tIR
tE
R
ei
Rie
mm
mm
z
==
===
⋅= Ω
ωωsin
sin
iznosetrenutneza
I ε
0=ϕ
56
Les
e
ib)
Struja zaostaje za naponom za 90 stupnjeva!
- idealna zavojnica!
c)
( )
( )
[ ]AtIi
otporX
tX
Ei
tL
Ei
diLdttE
dt
diLeee
m
L
L
m
m
m
s
−=
→
−=→
−=
=
=−=+
∫
2sin
induktivni
2sin
cos
/sin
00
πω
πω
ωω
ω
mL
m
L
IX
E
XfLL
=
== πω 2
u
i
Im
ε
e
i
C
+=
+=
==
==
2
21
πω
πω
ω
ωω
ω
tIi
t
C
Ei
tCEdt
dQi
tCECeQ
m
m
m
m
sin
sin
cos
sin
57
Usporedba:
Otpornik: otpor radni−⋅=→= RRIEIR
Em
m
Zavojnica: otpor jalovi−⋅=→= LLmL
m XXIEIX
E
Kondenzator: otpor jalovi−⋅=→= CCmC
m XXIEIX
E
Serijski RLC spoj
mC
m
C
IX
E
XC
=
=ω
1 Im
ε
RI
EL
C
LL IXE =
IRER =
CC IXE =
ϕ
I
ECL XX >
58
Ohmov zakon za izmjeni-
čnu struju
( )22CLS XXRZ −+= impedancija serijskog spoja
Napon prethodi struji (zbog CL XX > ) za:
R
Xarctg
RC
Larctg
E
EEarctg
R
CL =−
=−= ωω
ϕ
1
Za CL XX =
CLCL
⋅=→= 11 ω
ωω
serijska rezonancija
444 3444 21
S
22
Z
1
−+⋅=C
LRIEω
ω
2
222 1
⋅−+=
CILIRIE
ωω
LC EE =
EER = I
59
Paralelni RLC spoj
impedancija paralelnog
RLC spoja
R
XL
E
XC
IR
IL
IC
pZ
EI =
ϕR
EI R =
E
CC X
EI =
LL X
EI =
2
2
111
1
−+
=
CL
P
XXR
Z
2
2
22222
111
)(
−+⋅=
−+
=−+=
CL
CLCLR
XXREI
X
E
X
E
R
EIIII
−=−
=−= CL
arctgR
R
EC
E
L
E
arctgI
IIarctg
R
CL ωω
ωωϕ 11
60
Paralelna rezonancija:
Serijski RLC spoj (simboli čka metoda)
( )CL
CCCCCC
LLLLLL
RR
XXjIIR
jEjIXXIXI
jEjIXXIXI
ERIRI
s −+=⋅
−=−=−∠⋅=⋅−∠⋅∠=⋅=
==∠⋅=∠⋅∠=⋅=
∠=∠⋅=⋅∠=⋅=
ZJ
XJ
XJ
RJ
220
220
000
ππ
ππ
ε
εε
LCXX CL
1== ω
R L C
JJJJ
ZsZsZsZs
ε ε
JJJJ
Cε
ϕ
Lε
ε
Rε JJJJ
sZ⋅= Jε CLR εεεε ++=
.. ZΩ ... ZKII
61
R
L
C
JJJJR
JJJJL
JJJJC
εJJJJ
trokut impedancije
Za: 0>→> ϕCL XX : napon prethodi struji
(induktivni karakter spoja)
0<→< ϕCL XX : struja prethodi naponu
(kapacitivni karakter spoja)
Za: 0=→= ϕCL XX : Rs =Z
serijska rezonancija
LCC
L11 =→= ω
ωω
Paralelni RLC spoj (simboli čka metoda)
( )CL XXjRs −+=Z
( )22CLs XXRZ −+=
R
XXarctg
E
EEarctg CL
R
CL −=
−=ϕ
R
jXL
-jXC
ϕ
ZZZZs
εRR
ε=J
LL
X
ε=J
CC
X
ε=J
pZZZZ
ε=J
ϕ
62
Paralelna rezonancija:
CLR JJJJJJJJJJJJJJJJ ++=
CL jXjXRp
−++== εεεε
ZJJJJ
−+
=−
++=
LC
CL
XXj
R
pjXjXRp 111
11111Z
Z
22111
1
−+
=
LC
p
XXR
Z
R
XXarctg
I
IIarctg CL
R
CL
1
11 −=−=ϕ
RZLC
XX
p
CL
=
=→= 1ω
63
Snaga izmjeni čne struje
( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]
[ ] Tperiodu u Radcos
/2coscos
coscos21
2
/coscos21
sinsin/
sin2
sin2
0
JTIEW
dttEIdW
dtttttEIdW
dtiedW
tIi
tEe
T
⋅⋅⋅=
−−=
−+−+−⋅=
+−−=
⋅⋅=−=
=
∫
ϕ
ϕωϕ
ϕωωϕωω
βαβαβα
ϕωω
prosječna snaga:
[ ] snaga radnacos WIEPT
WP ϕ⋅⋅==
Faktor snage, radna, jalova i prividna snaga
IE ⋅ prividna snaga
ϕcos faktor snage
[ ][ ][ ] prazna snaga, jalova sin
snaga prividna
prava snaga, radna cos
VARIEP
VAIEP
WIEP
Q
S
ϕ
ϕ
⋅=⋅=
⋅=
64
trokut snage:
22
QS PPP +=
trenutna snaga:
0 1cos za =→= ϕϕ
tIEp ωϕϕ 2900 sincos ⋅⋅−=°== , za
prosječna snaga P = 0
ϕ
PS
P
PQ
( )[ ]ϕωϕ −−⋅⋅== tIEdt
dWp 2coscos
t
e
i
p
ϕcos⋅⋅= IEP
[ ]tIEp ω2cos1−⋅⋅=
t
e
i p+ +
--
65
Za istu radnu snagu P, pri većem kutu ϕ raste PQ, PS, te
struja I. Time rastu gubici u vodovima.
Popravak cosϕ kompenzacija
Problemi distribucije električne energije
plaća se
ne plaća se
3280950
95018
,),(arccos
,cos
==°
tg
Dodaje se kondenzator paralelno induktivnom trošilu radi
popravka cosϕ
ϕ EIR
IIL
PQ
P
PS
°=18ϕP,W
PPQ %8,32≤
66
Dodatak 1
TROFAZNI SUSTAV
Prednosti: - ušteda bakra za vodove - konstantan dotok energije - rotirajuće magnetsko polje
Simetri čni trofazni sustav - jednaki naponi
- jednake razlike faza
°==
===
1203
2321
πα
ffff EEEE
( )
−=
−=
=
3
4sin2
3
2sin2
sin2
3
2
1
πω
πω
ω
tEe
tEe
tEe
f
f
f
αα
α
Ef3
Ef2
Ef1
67
Nevezani trofazni sustav Generator se sastoji od tri nezavisna statorska namota razmaknuta °120
R1(Z1)
R3(Z3)R2(Z2)
e3
e2
e1
i1
i3
i2
6 vodiča!
Uz: R1= R2= R3 i1+ i2+ i3=0 (Z1= Z2= Z3)
Uz:
( )
−−=
−−=
−=
3
42
3
22
2
3
2
1
πϕω
πϕω
ϕω
tIi
tIi
tIi
f
f
f
sin
sin
sin
1321
321
ϕϕϕϕ ===
=== ffff IIII
( ) 03
4sin
32
sinsin2
321
=
−−+
−−+−=
=++=
πϕωπϕωϕω tttIi
iiii
f
( ) βαβαβα sincoscossinsin −=−
68
Dokaz tvrdnje: i1+ i2+ i3 a) grafički za
t
i i1 i2 i3
02
T T
b) vektorski: 0≠ϕ
I1+ I2+ I3=0
∑ ==
t svaki za 0
0
i
ϕ
I3+I2
I3
I1
I2
E1
E2
E3
ϕ
69
Vezani trofazni sustav a) Zvijezda spoj
e1
e3
e2
b) Trokut spoj
e1
e3
e2
Uobičajeno: generator spojen u
trošila spojena u ili
70
Nulvodi č
R1 R2
R3
e1
e3
e2
i3
i1
i2
i0
0
R0
0V ′0V
0′
( )
321
00
0321321
00000
321321
00
0
Trošilo
fff EEE
VV
iiiiiii
RVVVV
RRRRRR
≠≠′≠
=−++=++≈′≅′=
≠≠==
nulvodičabez
nonesimetričsimetrično
71
Fazne i linijske veli čine
U namotajima generatora induciraju se fazni naponi i
njima teku fazne struje.
E – linijski napon
I – linijska struja
Ef – fazni napon
If – fazna struja
Na otporima trošila
postoje fazni naponi i
njima teku fazne struje
22
222
3
)120cos(2
f
ffff
EE
EEEEE
=
°−+=
I
I
I
If
Ef If
Ef If
Ef IfA
C
B
E
EE
1fE2fE
3fE
B
A
C
E
1fE
2fE
3fE
°120
fE⋅= 3E
72
Zvijezda Trokut
f
f
II
EE
=
= 3
f
f
II
EE
3=
=
Snaga trofaznog sustava
( )
−−=
−−=
−=
=
=
==
++=
3
4sin2
3
2sin2
sin2
3
4sin
3
2sin
sin2sin
3
2
1
3
2
1
332211
πϕω
πϕω
ϕω
tIi
tIi
tIi
πωt-Ee
πωt-Ee
ωEωtEe
ieieiep
f
f
f
mf
mf
fmf t
snaga trenutna
ff I,E
ff I,E
73
( ) ( )( )( ) βαβαβα
βαβαβα
sinsincoscoscos
coscossinsin
+=−
+−−=2
1
ϕcos3 ff IEp= trenutna snaga p ne ovisi o vremenu!
[ ][ ] veličine linijske
veličine fazne
WUIP
WIEP ff
ϕ
ϕ
cos3
cos3
=
=
<kraj dijela A>
10.7.2011