Geometri
EuclidGeometri Euclid
Terdiri dari :
Dalam Bab Ini Kita Akan Membahas Tentang :
Dalam Bab Ini Kita Akan Membahas Tentang :
PENGERTIAN SISTEM AKSIOMATIK
MODEL
SIFAT SISTEM AKSIOMATIK
PENGERTIAN SISTEM AKSIOMATIK
Sistem aksiomatik adalah suatu sistem yang memuat
himpunan yang terdiri dari istilah-istilah yang
tidak didefinisikan atau primitif tetapi memiliki
arti yang bergantung pada interpretasi pembaca.
Sistem aksiomatik mengandung himpunan
pernyataan yang tidak perlu dibuktikan. Sistem
aksiomatik berbeda dengan aksioma, postulat,
definisi, dan teorema.
Macam-macam sistem aksioma
1. Istilah tak terdifinisi
2. Istilah terdifinisi
3. Aksioma atau Postulat
4. Teorema
contoh dari sistem aksiomatik.
Diberikan suatu sistem aksiomatik, dinamai dengan sistem
aksiomatik Fe-Fo, dengan istilah-istilah primitif : “Fe”,
“Fo”, dan relasi “termasuk pada”. Aksioma-aksiomanya
adalah :Aksioma 1. Terdapat tepat tiga Fe yang berbeda pada sistem
aksioma ini.
Aksioma 2. Dua Fe yang berbeda termasuk pada tepat
satu Fo.
Aksioma 3. Tidak semua Fe termasuk pada Fo yang sama.
Aksioma 4. Setiap dua Fo yang berbeda memuat paling sedikit satu Fe yang termasuk pada keduanya.
Istilah-istilah primitif “Fe”, “Fo”, dan “termasuk pada”
bisa saja diinterpretasikan bermacam-macam.
Sekarang, misalkan Fe diinterpretasikan sebagai
titik, Fo diinterpretasikan sebagai garis, dan
termasuk pada diinterpretasikan sebagai terletak
pada. Karenanya sistem aksioma Fe-Fo menjadi :
Aksioma 1. Terdapat tepat tiga titik yang berbeda
pada sistem aksioma ini.
Aksioma 2. Dua titik yang berbeda terletak pada tepat
satu garis.
Model
Aksioma 3. Tidak semua titik terletak pada garis
yang sama.
Aksioma 4. Setiap dua garis yang berbeda memuat
paling sedikit satu titik yang terletak pada keduanya.
Kalau kita perhatikan, aksioma-aksioma pada sistem
aksioma Fe-Fo di atas (dengan meninterpretasikan Fe
sebagai titik, Fo sebagai garis, dan termasuk pada
sebagai terletak pada) merupakan pernyataan-
pernyataan yang benar. Interpretasi yang demikian
disebut sebagai model.
Selanjutnya, misalkan Fe diinterpretasikan sebagai
buku, Fo diinterpretasikan sebagai rak, dan termasuk
pada diinterpretasikan sebagai terletak pada.
Akibatnya, sistem aksioma Fe-Fo dengan interpretasi
demikian menjadi :
Aksioma 1. Terdapat tepat tiga buku yang berbeda
pada sistem aksioma ini.
Aksioma 2. Dua buku yang berbeda terletak pada
tepat satu rak.
Aksioma 3. Tidak semua buku terletak pada rak yang
sama.
Aksioma 4. Setiap dua rak yang berbeda memuat
paling sedikit satu buku yang terletak pada
keduanya.
Aksioma 4 pada sistem aksioma Fe-Fo di atas (dengan
meninterpretasikan Fe sebagai buku, Fo sebagai rak,
dan termasuk pada sebagai terletak pada)
merupakan pernyataan yang salah. Interpretasi
seperti ini tidaklah dikatakan sebagai model.
Suatu sistem aksiomatik harus memiliki beberapa sifat :
Yang pertama, adalah konsisten. Suatu sistem
aksiomatik dikatakan konsisten jika dari aksioma-aksioma yang
ada tidak mungkin menghasilkan teorema-teorema yang
kontradiksi dengan aksioma-aksioma yang ada dan dengan
teorema-teorema yang telah dibuktikan sebelumnya.
Sifat kedua, yang harus dimiliki oleh suatu sistem
aksioma adalah setiap aksioma yang ada pada sistem tersebut
bukanlah merupakan turunan (deduksi) dari aksioma-aksioma
yang lain. Jadi antara aksioma yang satu dengan aksioma yang
lain saling bebas atau independen.
Sifat Sistem Aksioma
• Sifat terakhir yang harus dimiliki oleh suatu sistem
aksioma adalah lengkap. Maksudnya, tidaklah mungkin
manambahkan aksioma lain yang konsisten dan
independen tanpa menambahkan istilah-istilah primitif.
That’s all our Presentation,,,
Thank’s for Your Respon…!!!
That’s all our Presentatio,,,Thank’s for Your Respon…!!!
That’s all our Presentation,,,Thank’s for Your Respon…!!!