1 Polinomi
Zadatak 1.1 Odrediti kolicnik K i ostatak r pri dijeljenju polinoma P sa poli-nomom Q ako je
1. P (x) = x3 − 2x2 + x− 1 i Q(x) = x2 − x− 1,
2. P (x) = 2x4 + x3 − 2x2 − 3x + 2 i Q(x) = x2 + 3x + 2,
3. P (x) = x5 + 3x3 − x2 − 1 i Q(x) = x2 − x + 4,
4. P (x) = x4 + 5x3 − 3x2 + x− 6 i Q(x) = x2 + 1,
5. P (x) = x4 − 3x2 − 2 i Q(x) = x3 + x + 1,
6. P (x) = x5 − x4 + x3 − x2 + x− 1 i Q(x) = x2 + 2x− 1,
7. P (x) = x5 − x i Q(x) = x− 1.
Zadatak 1.2 Koristeci Hornerovu semu odrediti kolicnik K i ostatak r pri di-jeljenju polinoma P sa monomom Q ako je
1. P (x) = 2x3 + x2 + 4x− 5 i Q(x) = x− 1,
2. P (x) = x3 − 3x2 − 6x + 1 i Q(x) = x + 2,
3. P (x) = 4x4 − 2x3 + x2 + 2x− 6 i Q(x) = x− 8,
4. P (x) = x4 + 6x2 − 6x + 1 i Q(x) = x− 3,
5. P (x) = x4 − 3x2 + 2 i Q(x) = x + 1,
6. P (x) = x5 + x3 + x i Q(x) = x− 1,
7. P (x) = x5 − 1 i Q(x) = x− 1,
Zadatak 1.3 Odrediti ostatak pri dijeljenju polinoma P sa monomom Q akoje
1. P (x) = x3 − 2x2 + x− 2 i Q(x) = x− 3,
2. P (x) = x4 + x3 − 2x2 + x− 2 i Q(x) = x + 1,
3. P (x) = x5 + x3 − 2x i Q(x) = x + 2,
Zadatak 1.4 Polinom P pri dijeljenju sa x− 1 daje ostatak 3, a pri dijeljenjusa x− 2 ostatak 4. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P sa (x− 1)(x− 2)?
Zadatak 1.5 Polinom P pri dijeljenju sa x− 1 daje ostatak 3, a pri dijeljenjusa x + 1 ostatak 1. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P sa x2 − 1?
Zadatak 1.6 Sastaviti polinom (sa koeficijentom 1 uz najstariji clan) cije sunule
1
1. x1 = −1, x2 = 1 i x3 = 5,
2. x1 = 1, x2 = x3 = −2,
3. x1 = 3, x2 = 2 +√
3 i x3 = 2−√3,
4. x1 = −2, x2 = 1− 2i i x3 = 1 + 2i,
5. x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 i x4 = −3,
6. x1 = −1, x2 = 2, x3 =√
5 i x4 = −√5,
7. x1 = 1, x2 = 3, x3 = 2 + i i x4 = 2− i.
Zadatak 1.7 Rastaviti polinom P na faktore
1. P (x) = x3 + 2x2 − x− 2,
2. P (x) = x3 − 4x2 + x + 6,
3. P (x) = −x3 + 6x2 − 11x + 6,
4. P (x) = x3 + 4x2 − 11x + 6,
5. P (x) = x3 + x− 2,
6. P (x) = x4 + x3 − x2 + x− 2,
7. P (x) = x4 + 4x3 + 3x2 − 4x− 4,
8. P (x) = x3 − 2x2 − 7x + 2,
9. P (x) = x3 − 3x2 − 5x + 7,
10. P (x) = 2x3 + 3x2 − 11x− 6,
11. P (x) = 3x3 + x2 − 6x− 2,
12. P (x) = 2x3 − 3x2 + 6x + 4.
Zadatak 1.8 Odrediti vrijednost parametra α ∈ R tako da x1 bude jedna nulapolinoma P, pa za tako dobijenu vrijednost parametra α odrediti ostale nulepolinoma P ako je
1. P (x) = x3 + αx2 − 5x− 6 i x1 = 2,
2. P (x) = x3 + αx2 − 2x + 24 i x1 = −2.
Zadatak 1.9 Zadanu racionalnu funkciju rastaviti na parcijalne razlomke
1. R(x) = 5x+1x3+2x2−x−2 ,
2. R(x) = 2x2−8x−72x3+x2−13x+6 ,
2
3. R(x) = −2x2+5x−4x3−4x2+5x−2 ,
4. R(x) = 3x2−7x+8x3−3x2+4 ,
5. R(x) = x2−x−1x3−x2 ,
6. R(x) = 2x2+xx3−2x2+x−2 ,
7. R(x) = x2+2x−3x3+x2+3x+3 ,
8. R(x) = 4x2+x+5x3+2x−3 ,
9. R(x) = x3+x2−2x+3x2+x−2 ,
10. R(x) = 2x4−3x3+x2+5x−32x2−3x+1 .
2 Matrice i determinante
Zadatak 2.1 Izracunati αA + βB ako je
1. A =(
1 −2 40 −1 −3
), B =
( −1 3 −52 −2 0
), α = 2 i β = 3,
2. A =
2 0−1 −4
7 −31 1
, B =
1 1−2 −4−3 7−2 0
, α = 3 i β = −2,
3. A =
−1 6 −3
2 −2 10 −1 4
, B =
2 0 −21 −1 36 2 −3
, α = −2 i β = −1.
Zadatak 2.2 Izracunati (ako postoje) proizvode AB i BA ako je
1. A =
−1 1
3 −84 −2
i B =
( −2 1 2 −3−4 2 −5 −1
),
2. A =( −1 0 2
1 1 −3
)i B =
−1 1 0 2
0 2 −3 −11 2 −2 −1
,
3. A =
1 −13 2
−2 4
i B =
(0 −2 0
−1 3 0
),
4. A =(
3 −3 5)
i B =
2 −2 1−1 5 2
3 −3 2
,
3
5. A =
2−1
5
i B =
( −2 1 −5),
6. A =(
5 4−1 1
)i B =
(1 −32 −2
),
7. A =
−2 2 5
1 0 −13 −2 3
i B =
3 −2 1−5 4 −1
2 0 2
,
8. A =
−1 2 −2
1 3 10 5 2
i B =
−1 2 0
1 1 1−4 6 −2
.
Zadatak 2.3 Izracunati sljedece determinante
1.∣∣∣∣
3 −21 4
∣∣∣∣ ,
2.∣∣∣∣
x 22 x
∣∣∣∣ ,
3.∣∣∣∣
sin x cos x− cosx sin x
∣∣∣∣ ,
4.
∣∣∣∣∣∣
2 −1 33 1 1
−1 2 5
∣∣∣∣∣∣,
5.
∣∣∣∣∣∣
0 2 −31 0 −12 −2 4
∣∣∣∣∣∣,
6.
∣∣∣∣∣∣
2 1 43 −1 5
−2 2 −6
∣∣∣∣∣∣,
7.
∣∣∣∣∣∣
−3 5 62 −1 −43 −3 5
∣∣∣∣∣∣.
Zadatak 2.4 Odrediti (ako postoji) inverznu matricu zadane matrice
1. A =(
1 4−2 −7
),
2. A =( −2 −3−5 −8
),
4
3. A =(
2 −3−5 6
),
4. A =
−1 1 4−2 0 5
1 4 3
,
5. A =
1 2 −22 6 −1
−1 −1 3
,
6. A =
−2 1 −2−2 2 −7−2 −1 9
,
7. A =( −1 4
2 −8
),
8. A =
−1 2 −3
2 1 −23 4 −7
.
Zadatak 2.5 Rijesiti sljedece matricne jednacine
1.(
2 −3−5 8
)X =
(1 0 −12 3 2
),
2. X
1 −1 30 2 32 1 10
=
(1 0 −12 3 2
).
Zadatak 2.6 Izracunati rang sljedecih matrica
1. A =
−1 3 2 −21 2 −1 −22 −1 −3 0
,
2. A =
−1 2 −21 3 2−1 7 −2
,
3. A =
−2 1 0 9 −9 24 −2 0 −18 18 −42 −1 0 −9 9 −2
,
4. A =
1 a −1 22 −1 a 51 10 −6 1
(u zavisnosti od parametra a ∈ R)
5
3 Sistemi linearnih jednacina
Zadatak 3.1 Rijesiti sljedece sistema linearnih jednacina
1.2x −y = 3−3x +2y = −6
2. 2x −y = 3−4x +2y = −6
3. x −y = 2−2x +2y = −3
4.x +4y +3z = −14x +15y +17z = −105x +18y +22z = −14
R: (−2, 1,−1)
5.x −2y +2z = 44x −12y +5z = 134x −16y +3z = 11
R: (2, 0, 1)
6.x +6y −2z = −17−3x −16y +9z = 535x +28y −12z = −85
R: (−1,−2, 2)
7.x −2y +z = −22x −3y −z = −6−3x +5y +z = 9
R:(−1, 1, 1)
8.x −y +2z = 83x −2y +5z = 20x +2z = 7
R: (1,−1, 3)
9.x −2y +4z = −5−2x +5y −13z = 193x −7y +18z = −26
R: (1,−1,−2)
10.x −2y +z = −63x +2y −3z = 16x −2y +4z = −15
11.2x −y −z = 43x +4y −2z = 113x −2y +4z = 11
6
12.x +y +z = 4x +2y +3z = 8x +3y +4z = 11
13.2x +2y +2z = 03x +2y +2z = 14x −3y +4z = −14
14.3x +2y +2z = 14x −3y +2z = −84x −3y +4z = −14
15.x +2y −z = 22x −y +z = 43x +y = 6
16.x −y = 1−x +y = −1−x +z = −2
17.12x −3y −2z = −1−x −y +z = 32x −4y +2z = 8
R: (t, 2t− 1, 3t + 2), t ∈ R
18.−x −3y −z = −2x −y −z = 02x −4y −3z = −1
R: (t,−t + 1, 2t− 1), t ∈ R
19.2x −3y −z = −1−x +3y −z = 2x +3y −5z = 4
R: (2t− 1, t, t− 1), t ∈ R
20.2x −2y +3z = −4−x +y −z = 23x −3y −5z = −6
R: (t− 1, t + 1, 0), t ∈ R
21.2x +3y −z = 44x −y −2z = 1−2x −5y +z = −6
R: (t, 1, 2t− 1), t ∈ R
22.x −y −2z = 4−x +y +z = −3−2x +2y +z = −5
R: (t, t− 2,−1), t ∈ R
7
23.2x +y +z = 23x +y +z = 07x +2y +2z = 4
24.x +3y −2z = 12x +6y −4z = 3−x −3y +2z = 0
Zadatak 3.2 U zavisnosti od parametra a ∈ R rijesiti sistem linearnih jednacina
1.ax +y +z = 1x +ay +z = 1x +y +az = 1
2.ax +y +z = 12x +2ay +2z = 3x +y +az = 1
3.(a + 3)x +y −z = 1x +(a + 3)y −z = a + 2−x −y +z = 1
4.(a + 3)x −y −z = 1−x +(a + 6)y −z = a + 2x +y −z = 1
5.−x +y +z = 1−x −y +(a + 3)z = a + 2−x +(a + 6)y −z = 1
6.ax +y −z = −1x +ay +z = −1x +y +(a− 4)z = −1
7.(a− 5)x +y −z = 2x +(a− 5)y +z = 2x +y +az = 2
8.(a− 1)x +y +z = −2x +(a + 1)y +z = −1x +y +(a− 1)z = −2
9.(a + 1)x −y +z = 1−x +(a− 1)y +z = a− 1x +y −z = 1
8
4 Granicna vrijednost funkcije
Zadatak 4.1 Izracunati
1. limx→∞
3x5 − x4 + 2x3 − x2 + x− 6x4 + x3 + x2 + x + 1
,
2. limx→∞
x4
x3 − x2 + 2x− 9,
3. limx→∞
3x4 + 2x3 − x2 − x− 12x4 − x2 + 6
,
4. limx→∞
4x3 − x2 + 2x− 32x3 + x
,
5. limx→∞
x3 − x2 + x− 1x4 − 1
,
6. limx→∞
2x
x2 + 1,
7. limx→∞
(x2 + 4x + 12)3(2x− 3)4
(x2 + 2x + 2)5,
8. limx→∞
√4x− 1√
x + 2√
x + 1,
9. limx→∞
2x + 53√
8x3 + 2√
x− 1.
Zadatak 4.2 Izracunati
1. limx→2
x2 + x− 6x2 − x− 2
,
2. limx→1
x3 + x2 + x− 3x2 − 1
,
3. limx→−3
x3 − 7x + 6x3 + 3x2 + x + 3
,
4. limx→ 1
2
2x3 − 3x2 + 5x− 22x2 + 5x− 3
,
5. limx→−1
2x3 + 3x2 − 1x2 + 2x + 1
.
Zadatak 4.3 Izracunati
1. limx→0
sin 2x
3x,
9
2. limx→0
sin 3x
sin 6x,
3. limx→0
tan 3x
x,
4. limx→0
sin 3x− sin x
sin 2x,
5. limx→0
1− cosx
x2,
6. limx→0
1− cos2x
x sin x.
Zadatak 4.4 Izracunati
1. limx→∞
(x− 2x + 3
)2x
,
2. limx→∞
(x− 1x + 4
)−x
,
3. limx→∞
(x + 5x− 1
)x
,
4. limx→∞
(x + 3x− 4
) 3x4
,
5. limx→∞
(x + 4x + 2
) x−1x+1
.
5 Izvod funkcije
Zadatak 5.1 Koristeci se tablicom izvoda i pravilima diferenciranja izracunatiizvod zadane funkcije (u bilo kojoj tacki)
1. y = x3 + 2x2 − 6x + 5− 4√
x + x−2 + 3x−4,
2. y =x5
5− 2x3
3+
(1− x2
2
)2
+1x
+1
2x2+
16x3
,
3. y = 6 3√
x2 − 4 4√
x +(
1− 13√
x
)2
+84√
x− 6
3√
x,
4. y = 5x + 4,
5. y =2x
3− 4
5,
6. y =3x
2,
10
7. y =2x− 1
3,
8. y =x4 − 2x2 + 4
√x− 3
x
3x2 − 2x + 1,
9. y =x2 + 3x + 4√
x− 2x
,
10. y = (2x2 + 3x− 1)3x,
11. y = (x4 + 2x3) exp (x),
12. y = (√
x− 4√
x) log4 x,
13. y =2x− 3
5ln x,
14. y =3x− 1
3x,
15. y =log2 x
x− 1,
16. y =1 + ln x
x,
17. y =exp (x)(2x + 3)
(x + 1) ln x,
18. y =x4x
4x− 3,
19. y = 2x +(
12
)x
20. y = 2−x + 3−x
21. y = exp (−x) + exp (−2x) +√
exp (x)
22. y = x2 cos x,
23. y = x2 exp (x),
24. y = x2 cot x− x + sin x +tan x√
x,
25. y = tan x,
26. y = cot x,
27. y =cosx
1 + 2 sin x,
11
28. y =cosx
1− sin x,
29. y =√
1− x2 arcsin x,
30. y = exp (−x) arcsin x,
31. y = x arctan x,
32. y =arctanx
1 + x2,
Zadatak 5.2 Koristeci se pravilom za izvod slozene funkicje izracunati izvodzadane funkcije (u bilo kojoj tacki)
1. y = (2x− 3)12,
2. y =
√4x + 3
5,
3. y = exp (2x− 1),
4. y = exp (6x),
5. y = exp (−x),
6. y = exp(x
4
),
7. y = exp(
4x− 33
),
8. y = ln(
2x + 34
),
9. y = lnx
2,
10. y = sin (ax + b),
11. y = tanx
4,
12. y = arcsin (x + 3),
13. y = arctan ax,
14. y = (x2 + 2x− 1)14,
15. y = 4√
1− x2,
16. y =1
arctanx,
17. y = ln2 x,
12
18. y =√
cos x,
19. y = exp (− tanx),
20. y = log4 (arctan x),
21. y = sin 2x,
22. y = sinx2
2x + 1,
23. y = cos√
x,
24. y = tan x2,
25. y = arctanx
x + 1,
26. y = 4
√1 + cos2
2x
3,
27. y =√
1− sin 2x +√
1 + sin 2x,
28. y =1
(2 + cos3 2x)4,
29. y =x2 − 1√
ln 2x,
30. y = x√
x3 + 2,
31. y = lnx2
1− x2,
32. y = ln
√x + 1x− 1
,
33. y = ln(tan
(π
4+
x
2
)),
34. y = lnx2
√ax2 + bx + c
,
35. y = ln(√
x +√
x + 1 +√
x + 2),
36. y = ln(sinx +
√1 + cos 3x
),
37. y = ln 4
√sin 2x
1 + sin2 x2
,
38. y = exp (−x2),
13
39. y =√
x
x− 1exp
(√x
2
),
40. y = exp (sin 2x) + cos (2 exp (−x)),
41. y = ln[exp (ax) + x exp (−x)
],
42. y =exp (x) + exp (−x)exp (x)− exp (−x)
,
43. y = ln
√exp (ax)
exp (ax) + 1.
Zadatak 5.3 Detaljno ispitati zadanu funkciju, a zatim skicirati njen grafik
1. f(x) =x2 − 5x + 4
x− 5,
2. f(x) =(x− 3)2
x− 5,
3. f(x) =x2 − 7x + 10
x− 6,
4. f(x) =x2 − 3x
x− 4,
5. f(x) =x2 − 2x− 4
x− 4,
6. f(x) =x2 + x− 6
x2 + x,
7. f(x) =x2 + 5x
x2 + 5x + 4,
8. f(x) =x2 − x− 6x2 − x + 1
,
9. f(x) =x2 + 3x− 4x2 + 3x + 1
,
10. f(x) =x2 − 5x
x2 − 5x + 9,
11. f(x) =x2 + x
x2 + x− 6,
12. f(x) = (x− 2) exp (3x),
13. f(x) = (3− x) exp (x),
14
14. f(x) = (2x + 1) exp (2x),
15. f(x) = (3x− 2) exp (−x),
16. f(x) = (5− 2x) exp(−x
2
),
17. f(x) = x ln x,
18. f(x) = (x + 2) ln (x + 2),
19. f(x) = (3− 2x) ln (3− 2x),
20. f(x) =x
2ln x,
21. f(x) = x lnx
3.
6 Neodredeni integral
Zadatak 6.1 Izracunati sljedece neodredene integrale
1.∫
5x4dx,
2.∫
8.3x−0.17dx,
3.∫
(3x + 1) dx,
4.∫ (
x5 − 4x3 + 2x− 1)dx,
5.∫
dx
x2,
6.∫ (
3x2 − 2x +3x−√x + 2 4
√x3
)dx,
7.∫
dx7√
x5,
8.∫ (
2x
+x
2
)dx,
9.∫
3√
x 3√
xdx,
10.∫
(x− 2) (√
x + 1)x2
dx,
15
11.∫
4√
x− 8√
x5
9√
x4dx,
12.∫
3x exp (x)dx,
13.∫
5 · 4x + 4 · 5x
4xdx,
14.∫
ax
(1 +
a−x
3√
x2
)dx,
15.∫
exp (−x)(
1 +exp (x)√
x5
)dx,
16.∫
4x − 6x
12xdx,
17.∫
cos 2x
cos2 x sin2 xdx,
18.∫
dx
cos2 x sin2 x,
19.∫
tan2 xdx,
20.∫
1 + sin3 x
sin2 x,
21.∫ (
sinx
2− cos
x
2
)2
dx,
22.∫
x2
x2 + 1dx,
23.∫
x2 + 2x2 + 1
dx,
24.∫
x3 + x− 2x2 + 1
dx,
25.∫
x4
x2 + 1dx.
Zadatak 6.2 Medodom zamjene izracunati sljedece integrale
1.∫
(3x− 2)14 dx,
2.∫
4√
2x + 8,
16
3.∫
dx
7√
(3x + 5)4,
4.∫
exp (2x− 9)dx,
5.∫
exp (−x)dx,
6.∫
exp(
3x− 54
)dx,
7.∫
exp(−x
3
)dx,
8.∫
sin 2xdx,
9.∫
dx
cos2 (−x + 1),
10.∫
dx
x− a,
11.∫
dx
5x + 6,
12.∫
dx
(5x− 4)2 + 1,
13.∫
dx√−x2 + 4x− 3,
14.∫
dx√2x− x2
,
15.∫
dx
exp (−x) + exp (x),
16.∫
exp (x)dx
1 + exp (2x),
17.∫
(ax + b)n,
18.∫
dx
x2 + 4,
19.∫
dx
x2 + 6,
17
20.∫
dx√3− x2
,
Zadatak 6.3 Medodom zamjene izracunati sljedece integrale
1.∫
2xdx
x2 + 1,
2.∫
(2x− 3)dx
x2 − 3x + 6,
3.∫
tan xdx,
4.∫
cot xdx,
5.∫
sin xdx
cosx− 6,
6.∫
dx
x ln x,
7.∫
xdx
x2 − 2,
8.∫
(x2 + 1)dx
x3 + 3x− 9,
9.∫
exp (2x)dx
exp (2x)− 4,
10.∫
dx
(x2 + 1) arctan x,
11.∫
xdx
(x2 + 6)4,
12.∫
(x2 + 2)dx5√
x3 + 6x− 1,
13.∫
cosxdx
sin4 x,
14.∫
5√
x4 + 2x3 − 6(2x3 + 3x2
)dx,
15.∫ √
ln xdx
x,
16.∫
(arctanx)3 dx
1 + x2,
18
17.∫
cos4 x sinxdx,
18.∫
sin (x2 + 3)xdx,
19.∫
x2dx
cos2 x3,
20.∫
2x + arctan x
1 + x2dx,
21.∫
2x + 3√
arcsin x√1− x2
dx,
22.∫
dx
x ln4 x.
Zadatak 6.4 Metodom parcijalne integracije izracunati sljedece integrale
1.∫
x exp (x)dx,
2.∫
x sin xdx,
3.∫
(2x− 3) exp(−x
2
)dx,
4.∫ (x
2+ 4
)cos 3xdx,
5.∫
x2 sin xdx,
6.∫
(x2 + 3x− 1) cos xdx,
7.∫
(x2 − x + 4) sin 4xdx,
8.∫
x4 ln xdx,
9.∫
ln xdx4√
x3,
10.∫
ln xdx,
11.∫
arctanxdx,
19
12.∫
x arctan xdx,
13.∫
arcsin xdx,
14.∫
x · 2xdx,
15.∫
exp (2x) cos xdx,
16.∫
exp (x) sinx
2dx,
17.∫
exp(x
2
)sin 3xdx,
Zadatak 6.5 Izracunati sljedece integrale racionalnih funkcija
1.∫
dx
x2 − 1,
2.∫
4x2 + x− 6x3 − x2 − 2x
dx,
3.∫
4x2 − 9x− 1x3 − 2x2 − x + 2
dx,
4.∫
5x + 42x3 + 3x2 − 3x− 2
dx,
5.∫
x2 − 23x + 123x3 − 4x2 − 5x + 2
dx,
6.∫
3x2 − 2x− 2x3 + x2
dx,
7.∫
3x2 − 8x− 1x3 − 3x + 2
dx,
8.∫
3x2 − 2x + 8x3 − x2 + 2x− 2
dx,
9.∫
4x3 + 3x2 + 7x + 5
dx,
10.∫
x2 + 2x + 1x3 − x2 + x− 1
dx.
20
7 Odredeni integral
Zadatak 7.1 Primjenom Njutn-Lajbicove formule izracunati sljedece odredeneintegrale
1.∫ 2
0
x3dx,
2.∫ 2
1
(x2 − 2
x
)2
dx,
3.∫ π
3
0
sin xdx,
4.∫ π
4
0
cos2 xdx,
5.∫ π
3
π6
dx
cos2x,
6.∫ 9
1
√xdx,
7.∫ e2
1
dx
x,
Zadatak 7.2 Metodom zamjene ili metodom parcijalne integracije izracunatisljedece odredene integrale
1.∫ 2
0
dx
4 + x2,
2.∫ 1
0
xdx
(x2 + 1)2,
3.∫ 1
12
dx√2x− x2
,
4.∫ 1
0
exp (x)dx
1 + exp (2x),
5.∫ √
e
1
dx
x√
1− ln2 x,
6.∫ e
1
ln xdx,
7.∫ e
1
ln3 xdx,
21
8.∫ e−1
0
ln (x + 1)dx,
9.∫ 1
0
x exp (−x)dx,
10.∫ 1
0
x3 exp (2x)dx,
11.∫ π
2
0
x cosxdx,
12.∫ π
0
x2 sin xdx,
13.∫ π
4
π6
xdx
sin2 x,
14.∫ π
0
exp (x) sin xdx,
15.∫ π
2
0
exp (2x) cos xdx.
Zadatak 7.3 Izracunati povrsinu koju ogranicavaju
1. kriva y = cos x, prave x = −π
2, x =
π
2i 0x osa,
2. kriva y = x3, prave x = 0, x = 2 i 0x osa,
3. kriva y = tan x, prave x = 0, x =π
3i 0x osa.
Zadatak 7.4 Izracunati povrsinu koju ogranicavaju krive
1. y1(x) = −x2 − 2x + 1 i y2(x) = x + 3,
2. y1(x) = −x2 − 6x− 7 i y2(x) = −3x− 5,
3. y1(x) = −x2 + 4x− 5 i y2(x) = x− 3,
4. y1(x) = −x2 − 4x− 5 i y2(x) = −x− 3,
5. y1(x) = −x2 + 4 i y2(x) = x2 − 4,
6. y1(x) = x2 + 2x− 3 i y2(x) = −x2 − 2x + 3,
7. y1(x) = x2 + x− 7 i y2(x) = −2x2 − 2x + 29.
Zadatak 7.5 Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda sljedecih funkcija
1. f(x, y) = x5 + 8 3√
y − 2x2y4 +√
xy + 6,
22
2. f(x, y) = 8x− 3yx ,
3. f(x, y) = xx2+y2 ,
4. f(x, y) =√
x2 + y2,
5. f(x, y) = xy + xy ,
6. f(x, y) = xyx+y ,
7. f(x, y) = arcsin xy ,
8. f(x, y) = ln exp (x) + exp (y).
Zadatak 7.6 Odrediti ekstremne vrijednosti zadane funkcije
1. f(x, y) = 14x3 + 27xy2 − 69x− 54y,
2. f(x, y) = x2 − 5xy − y2,
3. f(x, y) = 2x2 − xy − 3y2 − 3x + 7y,
4. f(x, y) = x3 − 3xy2 + y3.
23
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B4
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 5x2 + x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −1−2 6 −3−5 15 −8
i B =
−1−5−13
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −3y +3z = 1−3x −y +2z = 47x −5y +4z = −2
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
3 a 2−1 1 1
2 −2 a
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 3x2 − 3x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −1−1 4 −4−1 7 −12
i B =
(0 7 −18
).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −3y +3z = 13x −2y +z = 47x −8y +7z = 6
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
3 −3 2a 1 12 a −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 7x2 + 7x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 11 0 −6−3 5 5
i B =
(0 1 −36 −9 −13
).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x −2y −3z = 1−2x +2y +z = 58x −6y −7z = −3
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
4 −1 2a 1 1
−1 a −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + x2 − 5x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 1−2 6 −3−1 5 −7
i B =
5 −419 −519 1
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x −2y +2z = 1−2x +y −2z = 58x −5y +6z = −3
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
a −1 23 1 1
−1 2 a
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A4
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −12 −2 −70 3 −8
i B =
3−1−11
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +3y −3z = 13x +y −2z = 4−7x +5y −4z = −2
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
3 a 2−1 1 1
2 −2 a
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − x2 − 5x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −11 0 −61 −3 1
i B =
( −2 7 −5).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x +3y −3z = 1−3x +2y −z = 37x +4y −5z = −1
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
a −3 2−2 a 1−1 2 −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 5x2 + x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 12 −2 −7−5 7 12
i B =
(9 −13 −211 −1 −3
).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x +3y +2z = 13x +2y −z = 57x +8y +3z = 7
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
4 a 2a 1 1
−1 2 −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 12 −2 −7−3 5 5
i B =
−5 −21 −3−11 −3
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +3y +3z = 13x +y −2z = 5−7x +5y +8z = −3
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
2 −1 a−a 1 1−1 2 5
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.12.2007.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 Izracunati
1. limx→∞
√x2 − 1
2x− 3,
2. limx→0
(1 + 3x)12x ,
3. limx→0
3x
sin 2x.
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =3− x
√x
3 + x√
x,
2. y =
√1− x2
1 + x2.
Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y = (x− 3) exp (x).
Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcije
y =x2 − x− 1
x + 1.
Pitanje 1 Data je funkcija y = f(x) i x = φ(t);a) navesti definiciju prve derivacije (izvoda) funkcije f(x) u zadatoj tacci x,t.j., sta je to f ′x;b) navesti kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije slozene funkcijef(x(t)), t.j. kako izgleda dy
dt;
c) ako je Df = [α, β] navesti definiciju konveksne funkcije i konkavne funkcijena segmentu [α, β].Kojom derivacijom funkcije f(x) to svojstvo utvrdjujemoi kako.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.12.2007.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 Izracunati
1. limx→ −1
x3 − x2 + 2
x2 − 3x− 4,
2. limx→∞
(x− 2
x + 1
)−x
,
3. limx→0
tan 5x
sin 4x.
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =
√x + 1√x− 1
,
2. y = arctan2x− 1
x + 1.
Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y =2x2 + x− 1
x + 2.
Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcijey = (2− x) exp (3x).
Pitanje 1 Data je funkcija y = f(x) i x = φ(t);a) navesti definiciju prvog izvoda funkcije f(x) u zadatoj tacci x, t.j., sta jeto f ′x;b) kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije slozene funkcije f(x(t)),t.j. kako izgleda dy
dt;
c) ako je Df = [α, β] navesti koji je potreban uslov da f(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki a ∈ Df = [α, β]; koji je dovoljan uslov da je u amaksimum funkcije f(x).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.12.2007.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 Izracunati
1. limx→∞
(x2 − 3x + 2)4(4x− 1)2
(2x2 + x + 1)5,
2. limx→∞
(x + 1
x− 6
)x−1
,
3. limx→0
sin 4x
sin 2x.
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =3x + 2
x2 − 2x− 3,
2. y = sin(cos
√x).
Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y =x2 − 3x + 5
x2 − 1.
Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcijey = (x− 3) ln(x− 3).
Pitanje 1 Data je funkcija y = φ(x) i x = f(t);a) navesti definiciju prvog izvoda funkcije φ(x) u zadatoj tacci x, t.j., sta jeto φ′x;b) kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije slozene funkcije φ(f(t)),t.j. kako izgleda dy
dt;
c) ako je Dφ = [α, β] navesti koji je potreban uslov da φ(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki a ∈ Dφ = [α, β]; koji je dovoljan uslov da je minimumfunkcije φ(a).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.12.2007.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 Izracunati
1. limx→∞
√4x2 + 2
4x + 1,
2. limx→0
(1 + 2x)13x ,
3. limx→0
2x
sin 3x.
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =x√
x + 2
x√
x− 2,
2. y =
√x2 + 2
x2 − 2.
Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y = (x + 2) exp (x).
Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcije
y =x2 + 5x + 5
x + 1.
Pitanje 1 Date su funkcije y = φ(x) i x = f(t);a) navesti definiciju prvog izvoda funkcije φ(x) u zadatoj tacci x, t.j., sta jeto φ′x;b) kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije kolicnika dvije funkcijeφ(t)) i f(t), t.j. kako izgleda (φ
f)′;
c) ako je Dφ = [α, β] navesti koji je potreban uslov da φ(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki a ∈ Dφ = [α, β]; koji je dovoljan uslov da je maksi-mum funkcije upravo φ(a).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.12.2007.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 Izracunati
1. limx→ −1
x3 + x + 2
x2 + 3x + 2,
2. limx→∞
(x− 1
x + 2
)−x
,
3. limx→0
sin 2x
tan 3x.
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =1−√x
1 +√
x,
2. y = arctanx− 1
2x + 1.
Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y =2x2 − x + 1
x + 3.
Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcijey = (3− x) exp (2x).
Pitanje 1 Data je funkcija y = φ(x) i x = f(t);a) navesti definiciju prvog izvoda funkcije φ(x) u zadatoj tacci x, t.j., sta jeto φ′x;b) kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije proizvoda dvije funkcijeφ(t) i f(t), t.j. kako izgleda (φf)′;c) ako je Dφ = [α, β] navesti koji je potreban uslov da φ(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki a ∈ Dφ = [α, β]; koji je dovoljan uslov da je maksi-mum funkcije φ(a).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.12.2007.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 Izracunati
1. limx→∞
(x− 2)4(2x2 − 4x + 5)3
(3x− 1)3(x + 1)7,
2. limx→∞
(x + 3
x− 2
)2x−1
,
3. limx→0
sin 3x
sin 4x.
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =2x− 1
x2 − 3x + 2,
2. y = cos(sin√
x).
Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y =x2 − 2x + 2
x2 − 4.
Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcijey = (x− 1) ln(x− 1).
Pitanje 1 Zadate su funkcije y = φ(x) i x = f(t);a) navesti definiciju prvog izvoda funkcije f(t) u zadatoj tacci t0, t.j., sta jeto f ′t0;b) kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije slozene funkcije y =φ(f(t)), t.j. kako izgleda dy
dt;
c) ako je Dφ = [α, β] navesti sta je to stacionarna tacka funkcije φ(x); da limora biti ekstremna vrijednost u stacionarnoj tacki a ∈ Dφ = [α, β]; koji jedovoljan uslov da je minimum funkcije φ(x) u stacionarnoj tacki a.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.01.2008.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) =x2 − 11x + 24
x + 1,
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =x−√x
1 +√
xi
2. y = sin (cos x)
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.01.2008.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) = (2− 3x) exp (x),
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati
1.
∫dx
7√
(3x− 2)5i
2.
∫(x2 + 1) sin xdx
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 2x− y + 2.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.01.2008.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) =x2 + 2x− 8
x2 + 2x,
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati
1.
∫dx
cos2(3x− 2)i
2.
∫3x2 − 4x + 6
x3 − 2x2 + 6x− 5dx
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 + 4x + 7y + 6.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.01.2008.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) =x2 − 7x + 6
x + 3,
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =1−√x
x +√
xi
2. y = cos (sin x)
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 7.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.01.2008.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) = (3− 2x) exp (x),
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati
1.
∫dx
7√
(2x + 3)5i
2.
∫(x2 − 3) cos xdx
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 8x− 9y + 12.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.01.2008.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) =x2 + 2x− 3
x2 + 2x,
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati
1.
∫dx
sin2(2x + 3)i
2.
∫3x2 − 8x + 8
x3 − 4x2 + 8x− 5dx
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 4x + 3y + 6.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 09.02.2008.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) =x2 − 9x + 18
x− 7,
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =x exp (x)
3x + 2i
2. y =
√3x− 1
x + 2
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x) = 2x3 + 9x2 − 13.
Pitanje 1 A) Navedi pravila deriviranja za: sumu, proizvod, kolicnik,slozenu funkciju, inverznu funkciju.
B) Definirati: periodicnu funkciju, ogranicenu fukciju na nekom skupu D ineprekidnu funkciju u tacki a ∈ D
C) Ako je f(t) = 1t
sta je f ′t.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 09.02.2008.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) =x2 − x− 2
x− 3,
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati
1.
∫(4x− 3)dx
3x2 − 7x + 2i
2.
∫dx
4√
(3x− 1)3
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 2x− y + 2.
Pitanje 1 A) Kako glase osnovna pravila deriviranja za sumu, proizvod,kolicnik, slozenu funkciju, inverznu funkciju.
B) Koje su osnovne metode integracije. Napisati formulu za parcijalnuintegraciju.
C) Ako je F (t, s) = ts
sta je δFδt
a sta δFδs
.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 09.02.2008.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) =x2 − 3x
x− 4,
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =x exp (x)
2x− 3i
2. y =
√2x + 1
x− 3
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x) = 2x3 − 15x2 + 24x + 3.
Pitanje 1 A) Navesti pet osnovnih pravila deriviranja (za: sumu, proizvod,kolicnik, slozenu funkciju, inverznu funkciju).
B) Navesti definicije: periodicne funkcije, ogranicene fukcije i neprekidnefunkcije na nekom skupu D
C) Ako je f(y) = 2y
sta je f ′y.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 09.02.2008.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) =x2 − 7x + 10
x− 6,
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati
1.
∫(3x + 4)dx
2x2 + 7x + 3i
2.
∫dx
4√
(3x + 1)3
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 6x + 7y + 16.
Pitanje 1 A) Navesti pet osnovnih pravila deriviranja (za: sumu, proizvod,kolicnik, slozenu funkciju, inverznu funkciju).
B) Navesti koje su osnovne metode integracije i napisati formulu zaparcijalnu integraciju.
C) Ako je f(x, y) = xy
sta je δfδx
a sta δfδy
.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 05.09.2008.
Dodatni ispit iz Matematike grupa B
Zadatak 1 (20/26.667 bodova)
1. Rijesiti sistem linearnih jednacina
2x− y + z = 2x + 2y − z = 2
3x− 4y + 3z = 2
2. Neka je A =
(2 −1 10 1 −1
), B =
1 −12 −23 1
i C =
(1 −22 1
).
Izracunati AB − 2C.
Zadatak 2 (20/26.667 bodova) Odrediti izvod zadane funkcije
1. y =x− 2 cos x
sin xi
2. y = 3√
exp x− x2.
Zadatak 3 (20/26.667 bodova) Detaljno ispitati funkciju y =(x− 1)2
x− 2, a
zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 4 (20/26.667 bodova) Izracunati
1.
∫3√
2− cos x sin xdx i
2.
∫ 1
0
exp x
1 + exp 2xdx.
Pitanje 1 (10 bodova) Kako glasi Kramerovo pravilo za rjesavanje sistemalinearnih, algebarskih jednacina?
Pitanje 2 (10 bodova) Ako je y = f(x) sta je po definiciji prva derivacijaf ′(x)?
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 05.09.2008.
Dodatni ispit iz Matematike grupa A
Zadatak 1 (20/26.667 bodova)
1. Rijesiti sistem linearnih jednacina
2x− y + z = 2x + 2y − z = 2
4x + 3y − z = 6
2. Neka je A =
(1 2 3−1 −2 1
), B =
2 0−1 11 −1
i C =
(2 −11 −2
).
Izracunati AB − 2C.
Zadatak 2 (20/26.667 bodova) Odrediti izvod zadane funkcije
1. y =2 sin x− x
cos xi
2. y =3√
x2 + ln x.
Zadatak 3 (20/26.667 bodova) Detaljno ispitati funkciju y =(x− 2)2
x− 3, a
zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 4 (20/26.667 bodova) Izracunati
1.
∫ 3√
1− ln x
xdx i
2.
∫ π4
0
cos xdx
1 + sin2 x.
Pitanje 1 (10 bodova) Kako glasi Kramerovo pravilo za rjesavanje sistemalinearnih, algebarskih jednacina?
Pitanje 2 (10 bodova) Ako je y = f(x) sta je po definiciji prva derivacijaf ′(x)?
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.02.2008.
Naknadni ispit iz Matematike
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) =x2 − 7x + 10
x− 6,
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati
1.
∫(3x + 4)dx
2x2 + 7x + 3i
2.
∫dx
4√
(3x− 1)3
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 2x− y + 2.
Pitanje 1 A) Navesti pet osnovnih pravila deriviranja (za: sumu, proizvod,kolicnik, slozenu funkciju, inverznu funkciju).
B) Navesti koje su osnovne metode integracije i napisati formulu zaparcijalnu integraciju.
C) Ako je f(x, y) = xy
sta je δfδx
a sta δfδy
.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.02.2008.
Naknadni ispit iz Matematike
Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju
f(x) =x2 − 3x
x− 4,
a zatim skicirati njen grafik
Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije
1. y =x exp (x)
2x− 3i
2. y =
√3x− 1
x + 2
Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije
f(x) = 2x3 + 9x2 − 13.
Pitanje 1 A) Navedi pravila deriviranja za: sumu, proizvod, kolicnik,slozenu funkciju, inverznu funkciju.
B) Definirati: periodicnu funkciju, ogranicenu fukciju na nekom skupu D ineprekidnu funkciju u tacki a ∈ D
C) Ako je f(t) = 1t
sta je f ′t.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.11.2008.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 Zadane su matrice A =
1 −2 −1−2 9 10
1 −9 −12
, L =
( −1 0 12 1 −1
)
i M =
(1 −1 −2
−1 0 1
).
1. Izracunati matricu B = λL + µM, ako je λ = −2 i µ = 3.
2. Izracunati matricu A−1.
3. Rijesiti matricnu jednacinu X · A = B.
Zadatak 2 Izracunati determinantu D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−2 3 −3 2−3 −1 5 −4
2 0 −3 2−1 1 −2 2
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +2y −z = 8
x −3y +2z = −11−2x +3y −4z = 16
.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B4
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 5x2 + x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −1−2 6 −3−5 15 −8
i B =
−1−5−13
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −3y +3z = 1−3x −y +2z = 47x −5y +4z = −2
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
3 a 2−1 1 1
2 −2 a
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 3x2 − 3x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −1−1 4 −4−1 7 −12
i B =
(0 7 −18
).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −3y +3z = 13x −2y +z = 47x −8y +7z = 6
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
3 −3 2a 1 12 a −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 7x2 + 7x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 11 0 −6−3 5 5
i B =
(0 1 −36 −9 −13
).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x −2y −3z = 1−2x +2y +z = 58x −6y −7z = −3
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
4 −1 2a 1 1
−1 a −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + x2 − 5x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 1−2 6 −3−1 5 −7
i B =
5 −419 −519 1
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x −2y +2z = 1−2x +y −2z = 58x −5y +6z = −3
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
a −1 23 1 1
−1 2 a
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A4
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −12 −2 −70 3 −8
i B =
3−1−11
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +3y −3z = 13x +y −2z = 4−7x +5y −4z = −2
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
3 a 2−1 1 1
2 −2 a
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − x2 − 5x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −11 0 −61 −3 1
i B =
( −2 7 −5).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x +3y −3z = 1−3x +2y −z = 37x +4y −5z = −1
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
a −3 2−2 a 1−1 2 −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 5x2 + x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 12 −2 −7−5 7 12
i B =
(9 −13 −211 −1 −3
).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x +3y +2z = 13x +2y −z = 57x +8y +3z = 7
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
4 a 2a 1 1
−1 2 −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 12 −2 −7−3 5 5
i B =
−5 −21 −3−11 −3
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +3y +3z = 13x +y −2z = 5−7x +5y +8z = −3
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
2 −1 a−a 1 1−1 2 5
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B4
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 5x2 + x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −1−2 6 −3−5 15 −8
i B =
−1−5−13
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −3y +3z = 1−3x −y +2z = 47x −5y +4z = −2
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
3 a 2−1 1 1
2 −2 a
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 3x2 − 3x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −1−1 4 −4−1 7 −12
i B =
(0 7 −18
).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −3y +3z = 13x −2y +z = 47x −8y +7z = 6
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
3 −3 2a 1 12 a −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 7x2 + 7x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 11 0 −6−3 5 5
i B =
(0 1 −36 −9 −13
).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x −2y −3z = 1−2x +2y +z = 58x −6y −7z = −3
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
4 −1 2a 1 1
−1 a −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + x2 − 5x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 1−2 6 −3−1 5 −7
i B =
5 −419 −519 1
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x −2y +2z = 1−2x +y −2z = 58x −5y +6z = −3
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
a −1 23 1 1
−1 2 a
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A4
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −12 −2 −70 3 −8
i B =
3−1−11
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +3y −3z = 13x +y −2z = 4−7x +5y −4z = −2
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
3 a 2−1 1 1
2 −2 a
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − x2 − 5x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
1 −2 −11 0 −61 −3 1
i B =
( −2 7 −5).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x +3y −3z = 1−3x +2y −z = 37x +4y −5z = −1
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
a −3 2−2 a 1−1 2 −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 5x2 + x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 12 −2 −7−5 7 12
i B =
(9 −13 −211 −1 −3
).
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x +3y +2z = 13x +2y −z = 57x +8y +3z = 7
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
4 a 2a 1 1
−1 2 −3
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.
Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2.
Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)
ako je A =
−1 2 12 −2 −7−3 5 5
i B =
−5 −21 −3−11 −3
.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +3y +3z = 13x +y −2z = 5−7x +5y +8z = −3
.
Zadatak 4 Izracunati determinantu
∣∣∣∣∣∣
2 −1 a−a 1 1−1 2 5
∣∣∣∣∣∣.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.11.2008.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 Zadane su matrice A =
1 2 −1−2 −2 7
1 1 −3
, L =
(2 −1 1
−1 0 2
)
i M =
( −1 1 −22 0 −1
).
1. Izracunati matricu B = λL + µM, ako je λ = −3 i µ = 2.
2. Izracunati matricu A−1.
3. Rijesiti matricnu jednacinu X · A = B.
Zadatak 2 Izracunati determinantu D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−2 −1 3 −2−3 1 −5 4−2 0 3 −2−1 3 2 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −y +2z = 8
−2x +3y −3z = −14−x +2y −4z = −13
.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.11.2008.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 Zadane su matrice A =
−1 5 12−1 8 19
0 4 9
, L =
2 −10 −11 2
i
M =
−1 1
2 −20 1
.
1. Izracunati matricu B = λL + µM, ako je λ = −2 i µ = 3.
2. Izracunati matricu A−1.
3. Rijesiti matricnu jednacinu A ·X = B.
Zadatak 2 Izracunati determinantu D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 2 13 5 3 −2
−1 −1 0 −32 4 −2 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +2y +z = −4−x −3y +2z = −9−2x −3y +4z = −15
.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.11.2008.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 Zadane su matrice A =
−1 5 12
3 −12 −290 −2 −5
, L =
−2 1
0 −1−1 2
i M =
1 −1−2 2
0 −1
.
1. Izracunati matricu B = λL + µM, ako je λ = 2 i µ = −3.
2. Izracunati matricu A−1.
3. Rijesiti matricnu jednacinu A ·X = B.
Zadatak 2 Izracunati determinantu D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 5 3 2−2 −3 −2 −1−1 −1 0 −3−2 −4 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x +2y +z = −4
−2x +3y +3z = 7x +4y +2z = −2
.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.11.2008.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 Zadane su matrice A =
−1 −3 −4
7 9 9−3 −4 −4
, L =
(1 −1 −2
−1 0 1
)
i M =
( −1 0 12 1 −1
).
1. Izracunati matricu B = λL + µM, ako je λ = −2 i µ = 3.
2. Izracunati matricu A−1.
3. Rijesiti matricnu jednacinu X · A = B.
Zadatak 2 Izracunati determinantu D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 3 −5 2−2 −2 3 −1−1 0 1 −3−2 2 4 1
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −y +2z = −1x −2y −3z = 6
2x −4y −3z = 6.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.11.2008.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 Zadane su matrice A =
−1 2 1−5 15 −7
2 −6 3
, L =
1 −1−2 2
0 −1
i M =
−2 1
0 −1−1 2
.
1. Izracunati matricu B = λL + µM, ako je λ = 2 i µ = −3.
2. Izracunati matricu A−1.
3. Rijesiti matricnu jednacinu A ·X = B.
Zadatak 2 Izracunati determinantu D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−2 3 3 −2−1 1 2 −2−3 −1 −5 4
2 0 3 −2
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−x +2y +2z = 02x −4y −z = 6
−3x +3y −2z = −13.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.11.2008.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa A4
Zadatak 1 Zadane su matrice A =
−1 3 −2
2 −12 151 −4 4
, L =
( −1 2 −22 0 −1
)
i M =
( −2 1 2−1 0 2
).
1. Izracunati matricu B = λL + µM, ako je λ = −3 i µ = 2.
2. Izracunati matricu A−1.
3. Rijesiti matricnu jednacinu X · A = B.
Zadatak 2 Izracunati determinantu D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 2 2 −15 3 3 −24 2 −2 1
−1 −1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x −2y +z = −52x −2y +3z = 0x −3y +2z = −3
.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.11.2008.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa B4
Zadatak 1 Zadane su matrice A =
−1 −3 2
1 −2 71 2 0
, L =
1 −2−2 0
2 −1
i
M =
−2 1−1 0
2 −2
.
1. Izracunati matricu B = λL + µM, ako je λ = 3 i µ = −2.
2. Izracunati matricu A−1.
3. Rijesiti matricnu jednacinu A ·X = B.
Zadatak 2 Izracunati determinantu D =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−2 3 2 1−3 5 3 2−2 4 −2 −1−1 1 0 −3
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x +2y +z = −32x +2y +3z = −8−x −3y −2z = 9
.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.01.2009.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojojtacki):
1. y =2x− 1
3xln x,
2. y =√−x2 + 2x− 3.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti asimptote funkcije y =x2 + 1
x2 + 2x− 8.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. limx→∞
2x4 − x2 + 3
4x4 + 3x3 − 2x2,
2. limx→∞
(x + 3
x− 3
)−x
.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫dx
3x− 4,
2.
∫cos xdx
sin2 x + 1.
Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Navesti definiciju prve derivacije (izvoda) funkcije y = f(x) u tacki x0.B) Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvije funkcijef(x) i g(x). Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x), ako jeh(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.01.2009.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojojtacki):
1. y =x2 − 3x− 2
exp (x),
2. y = 3
√2x− 1
x + 1.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti intervale monotonosti i ekstremne
vrijednosti funkcije y = (2x− 1) exp(−x
2
).
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. limx→∞
√4x2 − x +
√x√
x2 −√x,
2. limx→0
sin 5x
sin 2x.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫dx
(3x + 2)4,
2.
∫ 3√
ln x
xdx.
Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Definiraj prvu derivaciju (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈ (a, b).B) Navedi pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcija f(x) ig(x). Napivesti pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozene funkcijeh(t), ako je h(t) = f(g(x(t))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.01.2009.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojojtacki):
1. y =−x2 + x− 2
x2 + 1,
2. y = sin (2x) · exp (−x).
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti intervale monotonosti i ekstremne
vrijednosti funkcije y =1
3x3 +
1
2x2 − 2x + 6.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. limx→∞
√16x2 + x + 2
2x + 3,
2. limx→∞
(x− 2)6 · (x2 − x + 4)4
(2x3 − x2 + x + 1)2 · (x4 − x2 + 1)2.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫cos
x
3dx,
2.
∫exp (x2 + 4x + 6) · (x + 2)dx.
Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Sta je to prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈ (a, b).B) Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcijaf(x) i φ(x). Napisati pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozenefunkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.01.2009.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A4
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojojtacki):
1. y =x− 1
x + 1exp (x),
2. y = arctan2x + 1
2.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti asimptote funkcije y =2x2 + 3x− 1
x + 1.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. limx→−1
x3 − 2x2 + 3
2x2 − 3x− 5,
2. limx→0
sin 2x
x.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫dx
x2 + 6x + 10,
2.
∫(3x− 2) sin xdx.
Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Navedi sta je, po definiciji, prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(t) unekoj tacki t0 ∈ (a, b).B) Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda funkcija f(x), g(x)i φ(x) i kolicnika prve dvije. Napisati pravilo po kojem se odredjuje prvaderivacija slozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.01.2009.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojojtacki):
1. y =x + 1
x− 1exp (x),
2. y = arctan2x− 1
2.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti intervale monotonosti i ekstremne
vrijednosti funkcije y = −1
3x3 +
1
2x2 + 2x + 4.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. limx→∞
6x− 1√9x2 + x− 1
,
2. limx→∞
(2x + 1)4 · (x2 − x− 2)5
(x2 + x + 1)3 · (x2 − 1)4.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫dx
x2 − 10x + 26,
2.
∫(2x− 3) cos xdx.
Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Navedi sta je, po definiciji, prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(t) unekoj tacki t0 ∈ (a, b).B) Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda funkcija f(x), g(x)i φ(x) i kolicnika prve dvije. Napisati pravilo po kojem se odredjuje prvaderivacija slozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.01.2009.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojojtacki):
1. y =x2 − x + 2
−x2 + 1,
2. y = cos (2x) · exp(x
2
).
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti asimptote funkcije y =2x2 − 3x + 1
x + 1.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. limx→1
x3 + 2x2 − 3
2x2 + 3x− 5,
2. limx→0
sin x
2x.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫sin
x
3dx,
2.
∫exp (x2 + 2x + 2) · (x + 1)dx.
Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Sta je to prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈ (a, b).B) Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcijaf(x) i φ(x). Napisati pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozenefunkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.01.2009.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojojtacki):
1. y =x2 + 2x + 3
exp (x),
2. y = 3
√2x + 1
x− 1.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti intervale monotonosti i ekstremne
vrijednosti funkcije y = (1− 2x) exp(x
2
).
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. limx→∞
6x3 − 3x2 + x− 1
2x3 + x2 − x + 4,
2. limx→∞
(x + 2
x− 4
)−x
.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫dx
2x + 5,
2.
∫sin xdx
cos2 x + 1.
Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Definiraj Prvu derivaciju (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈ (a, b).B) Navedi pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcija f(x) ig(x). Napivesti pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozene funkcijeh(t), ako je h(t) = f(g(x(t))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.01.2009.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B4
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojojtacki):
1. y =3x + 1
2xln x,
2. y =√
x2 + 2x + 6.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti asimptote funkcije y =x2 + 1
x2 − 2x− 8.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. limx→∞
√4x2 +
√x√
64x2 + x−√x,
2. limx→0
sin 3x
sin 4x.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫dx
4√
3x− 4,
2.
∫ln2 x
xdx.
Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Navesti definiciju prve derivacije (izvoda) funkcije y = f(x) u tacki x0.B) Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvije funkcijef(x) i g(x). Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x), ako jeh(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 23.01.2009.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Rijesiti matricnu jednacinu 2B−AX = C,
gdje je A =
1 −2 −11 −4 21 5 −12
, B =
1 −22 −1
−1 1
i C =
2 2−1 1
1 −2
i X
nepoznata matrica.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Detaljno ispitati funkciju
y =x2 + 7x + 10
x + 1,
a zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. izvod funkcije y = lnsin x
2xu bilo kojoj tacki,
2. limx→∞
√9x2 − x + 2√
x2 − 3√
x.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫5x− 4
2x2 − 5x + 2dx,
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = −x2 + 4x + 1 i y2(x) = x + 1.
Pitanje 1 1. (rade svi kandidati)
Ako je matrica A formata 3 × 3, a matrica B formata 5 × 3 navedipostoje li matrice A ·B i B · A. Ako postoje, kojeg su one formata.
2. (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”)
Navesti pravilo za diferenciranje slozene funkcije y = f(g(x)) i formuluza parcijalnu integraciju.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 23.01.2009.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Rijesiti sistem linearnih jednacina
−x +2y −z = 63x −2y +5z = −2
−2x +4y −z = 14
.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Detaljno ispitati funkciju
y =x2 + 5x
x2 + 5x + 6,
a zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. izvod funkcije y = lncos x
2xu bilo kojoj tacki,
2. limx→∞
√x2 − x + 3√16x2 + 3
√x.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫dx
9x2 + 4,
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 − 6x + 5 iy2(x) = −x2 + 6x− 5.
Pitanje 1 1. (rade svi kandidati)
Ako je matrica M formata 3 × 4, a matrica N formata 4 × 5 navedipostoje li matrice M ·N i N ·M . Ako postoje, kojeg su one formata?
2. (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”)
Navesti pravilo za diferenciranje slozene funkcije y = α(β(ϕ(x))) i for-mulu za parcijalnu integraciju.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.02.2009.
Popravni ispit iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Rijesiti matricnu jednacinu B−XA = 2C,
gdje je A =
1 −2 −11 3 21 −14 −8
, B =
( −1 −2 11 −1 2
)i C =
( −2 1 −12 −1 2
)
i X nepoznata matrica.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Detaljno ispitati funkciju
y =x2 + x− 2
x− 2,
a zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. izvod funkcije y = arctan2x− 1
x + 3u bilo kojoj tacki,
2. limx→1
x3 − 2x + 1
x2 + 2x− 3.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫5x− 1
2x2 + x− 1dx,
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = −x2− 2x + 4 i y2(x) = x + 4.
Pitanje 1 (rade svi kandidati) Navedi sta je inverzna, a sta je to adjungo-vana matrica matrice A. Koja je formula za izracunavanje inverzne matricepreko adjungovane matrice.
Pitanje 2 (rade svi kandidati) Navedi pravila za diferenciranje zbira, razlike,proizvoda i kolicnika dvije finkcije f(x) i g(x).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.02.2009.
Popravni ispit iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Rijesiti matricnu jednacinu AX = BC,
gdje je A =
(4 55 6
), B =
( −11
)i C =
(2 −2
)i X nepoznata ma-
trica.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Detaljno ispitati funkciju
y =x2 − x− 2
x− 3,
a zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. izvod funkcije y = exp(sin 2x) u bilo kojoj tacki,
2. limx→∞
(x + 4
x− 2
)−2x
.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫5x + 1
2x2 − x− 1dx,
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = −x2 + 2x + 4 i y2(x) = x + 2.
Pitanje 1 (rade svi kandidati) Navedi sta je inverzna, a sta je to adjungo-vana matrica matrice X. Koja je formula za izracunavanje inverzne matricepreko adjungovane matrice.
Pitanje 2 (rade svi kandidati) Navedi pravila za diferenciranje: sume, raz-like, proizvoda i kolicnika dvije finkcije s(x) i h(x).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.02.2009.
Popravni ispit iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Rijesiti sistem linearnih jednacina
−x +2y −z = −10−3x −2y +4z = 8
2x −5y +z = 21
.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Detaljno ispitati funkciju
y =x2 − 3x− 4
x2 − 3x + 2,
a zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. izvod funkcije y = arctanx− 2
2x + 1u bilo kojoj tacki,
2. limx→1
x3 + 3x− 4
x2 − 3x + 2.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫dx
4x2 + 9,
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 − 2x − 3 iy2(x) = −x2 + 2x + 3.
Pitanje 1 (rade svi kandidati) Sta je inverzna, a sta je to adjungovana ma-trica matrice P . Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice P−1
preko adjungovane matrice.
Pitanje 2 (rade svi kandidati) Navedi pravila za diferenciranje zbira, razlike,proizvoda i kolicnika dvije finkcije a(x) i b(x).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.02.2009.
Popravni ispit iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 (rade svi kandidati). Rijesiti sistem linearnih jednacina
−x +y −2z = 12x −y +z = −23x −2y +3z = −3
.
Zadatak 2 (rade svi kandidati). Detaljno ispitati funkciju
y =x2 − x
x2 − x− 6,
a zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:
1. izvod funkcije y = sin(exp (2x)) u bilo kojoj tacki,
2. limx→∞
(x + 3
x− 1
)−2x
.
Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:
1.
∫dx
16x2 + 25,
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 + 6x + 5 iy2(x) = −x2 − 6x− 5.
Pitanje 1 (rade svi kandidati) Sta je inverzna, a sta je adjungovana ma-trica matrice P . Koja je formula za racunanje inverzne matrice P−1 prekoadjungovane matrice.
Pitanje 2 (rade svi kandidati) Kako glase pravila za diferenciranje zbira,razlike, proizvoda i kolicnika dvije finkcije h(x) i f(x).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 04.09.2009.
Dodatni ispit iz Matematike “mala matematika”
Zadatak 1 ( 25 bodova) Zadane su matrice A =
−1 2 −2−1 −1 −43 5 13
,M =
1 −2−1 32 −3
i N =
−2 10 21 −1
.
1. Izracunati matricu B = αM + βN ako je α = −1i β = 2.
2. Izracunati A−1.
3. Rijesiti matricnu jednacinu AX = B.
Zadatak 2 (30 bodova) Deataljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 3x− 4
x + 5, a
zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 3 (25 bodova) Izracunati
1. Izvod funkcije y = lnx + 2
2x− 1(u bilo kojoj tacki).
2. limx→−1
x2 − 2x2 − x + 2
x2 + 4x + 3.
Pitanje 1 (10 bodova) Ako je A matrica formata 3×4 a matrica B formata4× 8 da li su definirane matrice AB i BA. Koga je formata produkt matricakoja postoji.
Pitanje 2 (10 bodova) Navedi potreban uslov da funkcija f(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki x0. Ako je f ′(x) > 0 u nekom intervalu, kakva jefunkcija f(x) u tom intervalu.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 04.09.2009.
Dodatni ispit iz Matematike “velika matematika”
Zadatak 1 (25 bodova) Zadane su matrice A =
−1 2 −21 −5 0−1 7 1
,M =
( −1 2 13 −2 3
)i N =
( −2 0 1−1 1 −1
).
1. Izracunati matricu B = αM + βN ako je α = 1i β = −2.
2. Izracunati A−1.
3. Rijesiti matricnu jednacinu XA = B.
Zadatak 2 (25 bodova) Deataljno ispitati funkciju f(x) =x2 − x− 2
x− 3, a
zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 3 (20 bodova) Izracunati
1.
∫x + 2
4√
x2 + 4x + 5dx.
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y = x2 + 2x + 3 i y = 3x + 3.
Pitanje 1 (10 bodova) Da li svaka matrica ima inverznu matricu. Kojije uslov da kvadratna matrica X ima inverznu X−1. Napisati formulu zaodredjivanje matrice X−1.
Pitanje 2 (10 bodova) Navedi potrebne i dovoljne uslove da funkcija dvijepromjenljive z = f(x, y) ima lokalni ekstrem u nekoj tacki A(x0, y0).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.12.2009.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa B4
Zadatak 1 Rijesiti jednacinu (odrediti nule odgovarajuceg polinoma)
x3 − x2 − 4x− 2 = 0.
Zadatak 2 Rijesiti sistem linearnih jednacina
x −2y −2z = −52x −3y +3z = 12−x +2y +z = 2
.
Zadatak 3 Rijesiti matricnu jednacinu X · A = B ako je
A =
1 1 −22 −1 −3
−5 2 8
i B =
( −1 1 −22 −1 1
).
Pitanje 1 a) Navesti kako se sve moze izracunavati determinanta trecegareda;b) Ako je inverzna matrica kvadratne matrice X matrica B, sta je matricaBX.
Pitanje 2 a) Navedi definiciju preslikavanja g : A 7→ A koje je bijekcija uskupu A.b) Ako je z = (x, y) i w = (u, v), sta je z + 3w, a sta 3zw.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.12.2009.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 Rijesiti jednacinu (odrediti nule odgovarajuceg polinoma)
x3 + x2 − 4x + 2 = 0.
Zadatak 2 Rijesiti sistem linearnih jednacina
−x +2y +z = 23x +3y +2z = 182x −2y −z = 1
.
Zadatak 3 Rijesiti matricnu jednacinu X · A = B ako je
A =
1 −2 1−5 8 2
2 −3 −1
i B =
( −1 1 −22 −1 1
).
Pitanje 1 a) Navesti kako se moze izracuni determinanta cetvrtog reda;b) Kada postoji inverzna matrica kvadratne matrice X.
Pitanje 2 a) Navedi definiciju preslikavanja g : A 7→ B koje je bijekcija izskupa A u skup B.b) Ako je z = (x, y) i w = (u, v), sta je w + 2z, a sta 2zw.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.12.2009.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 Rijesiti jednacinu (odrediti nule odgovarajuceg polinoma)
x3 − x2 − 3x− 1 = 0.
Zadatak 2 Rijesiti sistem linearnih jednacina
x +2y −z = 2−2x −2y +z = −5
3x −3y +2z = 12.
Zadatak 3 Rijesiti matricnu jednacinu X · A = B ako je
A =
−1 1 2−3 −2 8
2 1 −5
i B =
( −1 1 −22 −1 1
).
Pitanje 1 a) Navesti kako se izracunava determinanta cetvrtog reda;b) Ako je inverzna matrica kvadratne matrice X matrica A, sta je matricaAX i kada A postoji.
Pitanje 2 a) Navedi definiciju preslikavanja g : A 7→ B koje je injekcija izskupa A u skup B.b) Ako je z = (x, y) i w = (u, v), sta je z + w, a sta zw.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.12.2009.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 Rijesiti jednacinu (odrediti nule odgovarajuceg polinoma)
x3 − 4x2 + 3x + 2 = 0.
Zadatak 2 Rijesiti sistem linearnih jednacina
x −2y −z = −22x −3y −2z = −3−x −3y +2z = 0
.
Zadatak 3 Rijesiti matricnu jednacinu X · A = B ako je
A =
1 2 −11 −5 2
−2 8 −3
i B =
( −1 1 −22 −1 1
).
Pitanje 1 a) Navesti osnovne osobine determinante cetvrtog reda;b) Ako je inverzna matrica kvadratne matrice X matrica B, sta je matricaBX, a sta matrica XB.
Pitanje 2 a) Navedi definiciju preslikavanja f : X 7→ Y koje je injekcija izskupa X u skup Y .b) Ako je z = (x, y) i w = (u, v), koliko je z + w i zw.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.12.2009.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa A4
Zadatak 1 Odrediti kolicnik K(x) i ostatak r(x) pri dijeljenju polinomaP (x) = 2x4 + x3 + 2x2 − x− 2 sa polinomom Q(x) = x2 − x− 1.
Zadatak 2 Rijesiti sistem linearnih jednacina
−x +y +2z = −22x −y −3z = 0
−2x −2y +3z = 9.
Zadatak 3 Rijesiti matricnu jednacinu A ·X = B ako je
A =
−1 7 −9
2 −7 81 −2 2
i B =
−1 2
1 −1−2 1
.
Pitanje 1 a) Navesti Kramerova pravila za rjesenja sistema od 3 × 3 lin-earnih algebarskih jednacina;b) Navedi definiciju preslikavanja f : X → Y .Za koje f kazemo da je bijek-cija.
Pitanje 2 a) Navesti osnovne osobine determinante petog reda;b) Ako matrica X ima determinantu jednaku nuli, sta je sa inverznom ma-tricom te matrice.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.12.2009.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 Odrediti kolicnik K(x) i ostatak r(x) pri dijeljenju polinomaP (x) = 2x4 − x3 − 2x2 + x + 3 sa polinomom Q(x) = x2 − x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti sistem linearnih jednacina
x +2y −z = −8−x −3y +2z = 10−2x +3y −2z = −1
.
Zadatak 3 Rijesiti matricnu jednacinu A ·X = B ako je
A =
−1 2 1
7 −7 −2−9 8 2
i B =
−1 2
1 −1−2 1
.
Pitanje 1 a) Navesti osnovne osobine determinante cetvrtog reda;b) Ako je inverzna matrica kvadratne matrice X matrica B, koja je matricaBX.
Pitanje 2 a) Kako glase Kramerova pravila za rjesenja sistema od 4 × 4linearnih algebarskih jednacina;b) Navedi trigonometrijski oblik zapisivanja kompleksnog broja z = 1 + i.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.12.2009.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 Odrediti kolicnik K(x) i ostatak r(x) pri dijeljenju polinomaP (x) = 2x4 + x3 − 2x2 + x− 3 sa polinomom Q(x) = x2 + x− 2.
Zadatak 2 Rijesiti sistem linearnih jednacina
−x +y −2z = 22x −y −2z = −1
−3x +2y +3z = 0.
Zadatak 3 Rijesiti matricnu jednacinu A ·X = B ako je
A =
1 2 −1−2 −7 7
2 8 −9
i B =
−1 2
1 −1−2 1
.
Pitanje 1 a) Navesti osnovne osobine determinante trecega reda;b) Ako je inverzna matrica kvadratne matrice X matrica Y , koja je matricaXY .
Pitanje 2 a) Kako glase Kramerova pravila za rjesenja sistema od 3 × 3linearnih algebarskih jednacina;b) Navedi trigonometrijski oblik zapisivanja kompleksnog broja z = x + iy.
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 11.12.2009.
Prvi semestralni test iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 Odrediti kolicnik K(x) i ostatak r(x) pri dijeljenju polinomaP (x) = 2x4 − x3 + 3x2 − x + 4 sa polinomom Q(x) = x2 − x + 1.
Zadatak 2 Rijesiti sistem linearnih jednacina
x −y −2z = 22x −3y +3z = 0−x +2y −2z = −1
.
Zadatak 3 Rijesiti matricnu jednacinu A ·X = B ako je
A =
1 −2 22 −7 8
−1 7 −9
i B =
−1 2
1 −1−2 1
.
Pitanje 1 a) Navesti osnovne osobine determinanti;b) Sta je inverzna matrica kvadratne matrice X i kako se ona odredjujepomocu adjungovane matrice.
Pitanje 2 a) Kako glase Kramerova pravila za rjesenja sistema linearnihalgebarskih jednacina;b) Navedi sve oblike zapisivanja kompleksnog broja z = (x, y).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 08.01.2010.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B4
Zadatak 1 Izracunati:
1. limx→0
sin 5x
3x;
2. limx→1
x3 + x2 + x− 3
2x2 − x− 1.
Zadatak 2 Odrediti asimptote funkcije
y =3x2 + 1
2x2 − x− 3.
Zadatak 3 Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojoj tacki)
1. y =exp (x)(x + 1)
x− 2;
2. y =√
ln 2x.
Pitanje 1 Navesti definiciju prve derivacije (izvoda) funkcije y = f(x) utacki x0.
Pitanje 2 Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvijefunkcije f(x) i g(x). Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x),ako je h(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 08.01.2010.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B3
Zadatak 1 Izracunati:
1. limx→∞
(4x + 11)2(x3 + x2 − x− 1)3
(3x2 − x + 2)4(x + 9)3;
2. limx→∞
(x + 1
x− 2
)2x
.
Zadatak 2 Odrediti asimptote funkcije
y =2x2 + x− 1
x + 3.
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫x3 + x
x4 + 2x2 − 3dx;
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2−x+1 i y2(x) = x2+4x+5.
Pitanje 1 Definiraj Prvu derivaciju (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈(a, b).
Pitanje 2 Navedi pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcijaf(x) i g(x). Napivesti pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozenefunkcije h(t), ako je h(t) = f(g(x(t))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 08.01.2010.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 Izracunati:
1. limx→0
sin 5x
sin 3x;
2. limx→−1
x3 − 2x2 − 2x + 1
2x2 + x− 1.
Zadatak 2 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcije
y = x3 + x2 − x + 1.
Zadatak 3 Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojoj tacki)
1. y =x− 1
(x + 2) ln x;
2. y = arctanx + 3
x− 1.
Pitanje 1 Sta je to prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈(a, b).
Pitanje 2 Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnikafunkcija f(x) i φ(x). Napisati pravilo po kojem se odredjuje prva derivacijaslozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 08.01.2010.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 Izracunati:
1. limx→∞
8x + 34√
16x4 +√
x− 1;
2. limx→∞
(x− 1
x− 3
)−x
.
Zadatak 2 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcije
y = (−x + 3) exp (−2x).
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫ √x ln xdx;
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2+x−2 i y2(x) = x2−2x−2.
Pitanje 1 Navedi sta je, po definiciji, prva derivacija (izvod) funkcije y =φ(t) u nekoj tacki t0 ∈ (a, b).
Pitanje 2 Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda funkcijaf(x), g(x) i φ(x) i kolicnika prve dvije. Napisati pravilo po kojem se odredjujeprva derivacija slozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 08.01.2010.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A4
Zadatak 1 Izracunati:
1. limx→0
sin 3x
sin 2x;
2. limx→−1
x3 + 2x2 + 3x + 2
2x2 − x− 3.
Zadatak 2 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcije
y = x3 + x2 − 5x + 1.
Zadatak 3 Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojoj tacki)
1. y =x + 1
(x− 2) ln x;
2. y = arctanx− 3
x + 1.
Pitanje 1 Navedi sta je, po definiciji, prva derivacija (izvod) funkcije y =φ(t) u nekoj tacki t0 ∈ (a, b).
Pitanje 2 Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda funkcijaf(x), g(x) i φ(x) i kolicnika prve dvije. Napisati pravilo po kojem se odredjujeprva derivacija slozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g((x)).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 08.01.2010.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A3
Zadatak 1 Izracunati:
1. limx→∞
3√
27x3 +√
x− 1
9x + 3;
2. limx→∞
(x + 3
x + 1
)−x
.
Zadatak 2 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcije
y = (−2x + 3) exp (−x).
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫dx
x√
ln x;
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 + 2x− 2 i y2(x) = −x + 2.
Pitanje 1 Sta je to prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈(a, b).
Pitanje 2 Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnikafunkcija f(x) i φ(x). Napisati pravilo po kojem se odredjuje prva derivacijaslozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 08.01.2010.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 Izracunati:
1. limx→0
sin 3x
5x;
2. limx→1
x3 − 2x2 + 3x− 2
2x2 + x− 3.
Zadatak 2 Odrediti asimptote funkcije
y =3x2 + 3
2x2 + 3x− 5.
Zadatak 3 Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojoj tacki)
1. y =exp (x)(x− 1)
x + 2;
2. y = 3√
ln 3x.
Pitanje 1 Definiraj prvu derivaciju (izvod) funkcije y = φ(t) u tacki t0 ∈(a, b).
Pitanje 2 Navedi pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcijaf(x) i g(x). Napivesti pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozenefunkcije h(t), ako je h(t) = f(g(x(t))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 08.01.2010.
Drugi semestralni test iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 Izracunati:
1. limx→∞
(2x− 1)5(x3 + x2 + x + 1)2
(x2 + x + 1)4(3x− 1)3;
2. limx→∞
(x + 2
x− 1
)2x
.
Zadatak 2 Odrediti asimptote funkcije
y =2x2 + x− 3
x + 2.
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫x2 + 1
4√
x3 + 3x− 1dx;
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 + x− 1 i y2(x) = −2x + 3.
Pitanje 1 Navesti definiciju prve derivacije (izvoda) funkcije y = f(x) utacki x0.
Pitanje 2 Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvijefunkcije f(x) i g(x). Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x),ako je h(x) = f(g(x)).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 22.01.2010.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa M1
Zadatak 1 Neka je A =
( −3 72 −5
), B =
(2 1 −3−1 1 1
)i C =
1 23 1−1 −2
.
1. Izracunati proizvod BC.
2. Rijesiti matricnu jednacinu XA = BC.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + x− 2
x− 2, a zatim skicirati
njen grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1. izvod funkcije f(x) = exp (sin 2x) u bilo kojoj tacki;
2. limx−>∞
(x + 4
x− 2
)−2x
.
Pitanje 1 Navedi sta je inverzna, a sta je to adjungovana matrica kvadratnematrice A. Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice preko njeneadjungovane matrice adjA.
Pitanje 2 Navedi pravila za diferenciranje zbira, razlike, proizvoda i kolicnikadvije finkcije f(x) i g(x).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 22.01.2010.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa M2
Zadatak 1 Neka je A =
( −5 212 −5
), B =
(3 1 −2−1 2 2
)i C =
2 1−1 23 −2
.
1. Izracunati proizvod BC.
2. Rijesiti matricnu jednacinu AX = BC.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − x− 2
x− 3, a zatim skicirati
njen grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1. izvod funkcije f(x) = lnx + 2
2x− 1u bilo kojoj tacki;
2. limx−>−1
x3 − 2x2 − x + 2
x2 + 4x + 3.
Pitanje 1 Navedi sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica kvadratnematrice X. Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice X−1 prekonjene adjungovane matrice adjX.
Pitanje 2 Navedi pravila za diferenciranje zbira, razlike, proizvoda i kolicnikadvije finkcije u(x) i v(x).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 22.01.2010.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa M3
Zadatak 1 Neka je A =
(3 45 7
), B =
(3 1 −2−2 1 −1
)i C =
−1 21 −22 1
.
1. Izracunati proizvod BC.
2. Rijesiti matricnu jednacinu XA = BC.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 9x + 18
x + 2, a zatim skicirati
njen grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1. izvod funkcije f(x) = ln2x + 1
x− 2u bilo kojoj tacki;
2. limx−>−1
x3 − 3x2 − x + 3
x2 + 5x + 4.
Pitanje 1 Navesti sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica kvadratnematrice B. Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice B−1 prekonjene adjungovane matrice adjB.
Pitanje 2 Navedi pravila za diferenciranje zbira, razlike, proizvoda i kolicnikadvije finkcije s(x) i t(x).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 22.01.2010.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa V1
Zadatak 1 Neka je A =
(3 −2−8 5
), B =
(1 −1 23 −1 1
)i C =
−1 21 −33 1
.
1. Izracunati proizvod BC.
2. Rijesiti matricnu jednacinu XA = BC.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 5x
x2 − 5x + 6, a zatim skicirati
njen grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫(3x + 4)dx
2x2 + 7x + 3;
2.
∫dx
4√
(3x + 1)3.
Pitanje 1 Navedi sta je inverzna, a sta je to adjungovana matrica matriceP . Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice P−1 preko adjungo-vane matrice.
Pitanje 2 Navedi potrebane i dovoljane uslove da finkcije s(x) i f(x, y)imaju lokalni ekstremum smax u nekoj tacki a, odnosno fmin u tacki A(a, b).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 22.01.2010.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa V2
Zadatak 1 Neka je A =
( −2 35 −8
), B =
( −1 1 32 −3 1
)i C =
1 3−1 −12 1
.
1. Izracunati proizvod BC.
2. Rijesiti matricnu jednacinu AX = BC.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 7x + 6
x2 + 7x + 12, a zatim skicirati
njen grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫(4x− 3)dx
3x2 − 7x + 2;
2.
∫dx
4√
(3x− 1)3.
Pitanje 1 Navesti sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica matrice G.Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice G−1 preko adjungovanematrice.
Pitanje 2 Navedi potrebane i dovoljane uslove da finkcije g(x) i f(x, y)imaju lokalni ekstremum gmax u nekoj tacki a, odnosno fmin u nekoj tackiA(a, b).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 22.01.2010.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa V3
Zadatak 1 Neka je A =
(2 −5−3 7
), B =
(1 3 −12 1 −2
)i C =
2 −11 1−3 1
.
1. Izracunati proizvod BC.
2. Rijesiti matricnu jednacinu AX = BC.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 5x
x2 + 5x + 6, a zatim skicirati
njen grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫(5x + 1)dx
2x2 − x− 1;
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = −x2 + 2x + 4 i y2(x) = x + 2.
Pitanje 1 Navesti sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica matrice Y .Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice Y −1 preko adjungovanematrice.
Pitanje 2 Navedi potrebane i dovoljane uslove da finkcije f(x) i g(x, y)imaju lokalni ekstremum fmax u nekoj tacki a, odnosno gmin u tacki A(a, b).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 22.01.2010.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa V4
Zadatak 1 Neka je A =
( −2 55 −12
), B =
(2 −1 31 2 −2
)i C =
3 −11 2−2 2
.
1. Izracunati proizvod BC.
2. Rijesiti matricnu jednacinu XA = BC.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 3x− 4
x2 − 3x + 2, a zatim skicirati
njen grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫(5x− 1)dx
2x2 + x− 1;
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = −x2− 2x + 4 i y2(x) = x + 4.
Pitanje 1 Navesti sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica matrice X.Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice X−1 preko adjungovanematrice.
Pitanje 2 Navedi potrebane i dovoljane uslove da finkcije f(x) i z = g(x, y)imaju lokalni ekstremum fmin u nekoj tacki a, odnosno gmax u tacki A(a, b).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 22.01.2010.
Zavrsni ispit iz Matematike grupa V5
Zadatak 1 Neka je A =
(4 37 5
), B =
( −1 1 22 −2 1
)i C =
3 −21 1−2 −1
.
1. Izracunati proizvod BC.
2. Rijesiti matricnu jednacinu AX = BC.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 7x + 10
x + 1, a zatim skicirati
njen grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫dx
4x2 + 9;
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 − 2x− 3 i y2(x) = −x2 +2x + 3.
Pitanje 1 Navesti sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica matrice T .Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice T−1 preko adjungovanematrice.
Pitanje 2 Navedi potrebane i dovoljane uslove da finkcije h(x) i z = f(x, y)imaju lokalni ekstremum hmax u nekoj tacki a, odnosno fmin u tacki A(a, b).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.02.2010.
Popravni ispit iz Matematike grupa M1
Zadatak 1 Neka je A =
3 −1 22 3 2
−1 −7 5
i b =
−1
12
. Rijesiti matricnu
jednacinu (A− 2I) X = b, ako je I jedinicna matrica reda 3.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 3x
x− 1, a zatim skicirati njen
grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1. izvod funkcije f(x) = arctan2x + 1
x− 1u bilo kojoj tacki;
2. limx−>∞
(x + 5
x− 3
)−x4
.
Pitanje 1 Navesti definiciju prvog i drugog izvoda funkcije y = f(x) u tackix0.Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvije funkcije f(x)i g(x).
Pitanje 2 Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x), ako jeh(x) = f(g(φ(x))).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.02.2010.
Popravni ispit iz Matematike grupa M2
Zadatak 1 Neka je A =
1 1 −2−2 6 −7
1 −6 12
i b =
(1 −2 1
). Rijesiti
matricnu jednacinu X (A− 2I) = b, ako je I jedinicna matrica reda 3.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 3x
x− 4, a zatim skicirati njen
grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1. izvod funkcije f(x) = arctan2x− 1
x + 1u bilo kojoj tacki;
2. limx−>∞
(x + 4
x− 2
)−x3
.
Pitanje 1 Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x), ako jeh(x) = f(g(φ(x))).
Pitanje 2 Navesti definiciju prvog i drugog izvoda funkcije y = f(x) u tackix0.Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvije funkcije u(x)i v(x).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.02.2010.
Popravni ispit iz Matematike grupa V1
Zadatak 1 Neka je A =
3 4 −61 4 −32 −1 4
i b =
−1−1
2
. Rijesiti matricnu
jednacinu (A− 2I) X = b, ako je I jedinicna matrica reda 3.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 5x + 6
x2 − 5x, a zatim skicirati
njen grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫(2x− 1) sin xdx;
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2 + 2x + 5 i y2(x) = x2 −2x + 2.
Pitanje 1 Navedi potreban uslov da funkcija f(x) ima ekstremnu vrijednostu nekoj tacki a ∈ Df .
Pitanje 2 Navesti dovoljan uslov da funkcija f(x, y) ima ekstremnu vrijed-nost u nekoj tacki A(a, b) ∈ Df .
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.02.2010.
Popravni ispit iz Matematike grupa V2
Zadatak 1 Neka je A =
1 6 −4−1 5 −2
2 −2 3
i b =
( −1 1 2). Rijesiti
matricnu jednacinu X (A− 2I) = b, ako je I jedinicna matrica reda 3.
Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 5x + 6
x2 + 5x, a zatim skicirati
njen grafik.
Zadatak 3 Izracunati:
1.
∫(2x + 1) cos xdx;
2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2 − 2x + 5 i y2(x) = x2 +2x + 2.
Pitanje 1 Navedi potrebne i dovoljne uslove da funkcija f(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki a ∈ Df .
Pitanje 2 Navesti potreban uslov da funkcija z = f(x, y) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki A(a, b) ∈ Df .
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 17.09.2010.
Dodatni ispit iz Matematike grupa A1
Zadatak 1 (rade svi kandidati) Neka je A =
(3 −2−4 3
), B =
( −12
), C =
(1 −2
)i X nepoznata matrica. Rijesiti matricnu jednacinu AX = BC.
Zadatak 2 (rade svi kandidati) Rijesiti sistem linearnih jednacina
2x −5y +z = 0x −y −z = −3
−x +4y −2z = −3.
Zadatak 3 (rade svi kandidati) Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 3x
x− 1,
a zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 4 (rade kandidati koji polazu “veliku” matematiku) Izracunati:
a)
∫x4 + 2
x2 + 1dx;
b)
∫ π
0
(x + 2) sinx
2dx.
Zadatak 5 (rade kandidati koji polazu “malu” matematiku) Izracunati:
1. izvod funkcije f(x) = ln3x + 1
5x + 2u bilo kojoj tacki;
2. limx−>∞
(x + 3
x− 1
)x2
.
Pitanje 1 (rade svi kandidati) Ako je matrica A tipa 3 × 4, a matrica ABtipa 3× 6 kojeg formata bi morala biti matrica B.
Pitanje 2 (rade svi kandidati) Date su funkcije f(t) i g(t) navedi pravila za
diferenciranje funkcija: f(t) + g(t), f(t)− g(t), f(t)g(t), f(t)g(t)
i f(g(t)).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 17.09.2010.
Dodatni ispit iz Matematike grupa A2
Zadatak 1 (rade svi kandidati) Neka je A =
−1 2 −1−1 5 −30 1 −1
, b =
−121
i X nepoznata matrica. Rijesiti matricnu jednacinu AX = b.
Zadatak 2 (rade svi kandidati) Rijesiti sistem linearnih jednacina
2x +y −5z = 0x −y −z = −3
−x −2y +4z = −3.
Zadatak 3 (rade svi kandidati) Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 3x− 4
x2 − 3x + 2,
a zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 4 (rade kandidati koji polazu “veliku” matematiku) Izracunati:
a)
∫(2x− 1) sin xdx;
b) povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2 + 2x + 5 i y2(x) = x2 −2x + 2.
Zadatak 5 (rade kandidati koji polazu “malu” matematiku) Izracunati:
1. izvod funkcije f(x) =x · exp (x)
2x− 1u bilo kojoj tacki;
2. limx−>∞
(2x + 1)3 (x3 + 2x2 − x− 1)2
(2x2 − x− 1)3 (x− 2)3 .
Pitanje 1 (rade svi kandidati) Ako je matrica A tipa 1 × 5, a matrica ABtipa 1× 3 kojeg formata bi morala biti matrica B.
Pitanje 2 (rade svi kandidati) Date su funkcije h(t) i s(t) navedi pravila za
diferenciranje funkcija: h(t) + s(t), h(t)− s(t), h(t)s(t), h(t)s(t)
i h(s(t)).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 17.09.2010.
Dodatni ispit iz Matematike grupa B1
Zadatak 1 (rade svi kandidati) Neka je A =
( −2 33 −4
), B =
(1−2
), C =
( −1 2)
i X nepoznata matrica. Rijesiti matricnu jednacinu XA = BC.
Zadatak 2 (rade svi kandidati) Rijesiti sistem linearnih jednacina
2x +y −4z = 3−x +y −z = −3
x +2y −5z = 0.
Zadatak 3 (rade svi kandidati) Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 3x
x− 4,
a zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 4 (rade kandidati koji polazu “veliku” matematiku) Izracunati:
a)
∫x4 + 3
x2 + 1dx;
b)
∫ π
0
(x− 2) sinx
2dx.
Zadatak 5 (rade kandidati koji polazu “malu” matematiku) Izracunati:
1. izvod funkcije f(x) = ln5x− 2
3x− 1u bilo kojoj tacki;
2. limx−>∞
(x + 5
x− 3
)x4
.
Pitanje 1 (rade svi kandidati) Ako je matrica A tipa 2 × 7, a matrica ABtipa 2× 1 kojeg formata bi morala biti matrica B.
Pitanje 2 (rade svi kandidati) Date su funkcije f(x) i φ(x) navedi pravila
za diferenciranje funkcija: f(x) + φ(x), f(x)−φ(x), f(x)φ(x), f(x)φ(x)
i f(φ(x)).
Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 17.09.2010.
Dodatni ispit iz Matematike grupa B2
Zadatak 1 (rade svi kandidati) Neka je A =
−1 −3 −11 5 20 −1 −1
, b =
( −1 2 1)
i X nepoznata matrica. Rijesiti matricnu jednacinu XA = b.
Zadatak 2 (rade svi kandidati) Rijesiti sistem linearnih jednacina
5x −y −2z = 0−x −y +z = −34x −2y −z = −3
.
Zadatak 3 (rade svi kandidati) Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 5x + 6
x2 + 5x,
a zatim skicirati njen grafik.
Zadatak 4 (rade kandidati koji polazu “veliku” matematiku) Izracunati:
a)
∫(2x + 1) cos xdx;
b) povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2 − 2x + 5 i y2(x) = x2 +2x + 2.
Zadatak 5 (rade kandidati koji polazu “malu” matematiku) Izracunati:
1. izvod funkcije f(x) =2x · exp (x)
x + 1u bilo kojoj tacki;
2. limx−>∞
(2x3 − x2 + x + 1)2(x− 2)3
(2x2 − x + 1)3 (x + 1)3 .
Pitanje 1 (rade svi kandidati) Ako je matrica A tipa 6 × 3, a matrica ABtipa 6× 8 kojeg formata bi morala biti matrica B.
Pitanje 2 (rade svi kandidati) Date su funkcije r(x) i h(x) navedi pravila
za diferenciranje funkcija: r(x) + h(x), r(x)− h(x), r(x)h(x), r(x)h(x)
i r(h(x)).
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.12.2013. godine
Prvi semestralni test izMatematike grupa A1
Zadatak 1 Koliko litara vode treba pomije�ati sa 60 l 14 %-tnog rastvoraalkohola ako µzelimo dobiti 12 %-tni rastvor alkohola?
Zadatak 2 Date su matrice A =
��1 2�1 3
�, B =
��1 2 01 1 �2
�i C =24 2 �1
0 3�1 2
35 :a) Izraµcunati proizvod BC;
b) Izraµcunati determinantu matrice A;
c) Izraµcunati inverznu matricu matrice A;
d) Rije�iti matriµcnu jednaµcinu AX = BC.
Zadatak 3 Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
x+ y + z = 2;
2x� y + 3z = 0;
�x+ 2y + 3z = �3:
Pitanje 1 Teorija
Pitanje 2 Teorija
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.12.2013. godine
Prvi semestralni test izMatematike grupa A2
Zadatak 1 Odrediti realan parametar � ako se zna da je x1 = 1 nula poli-noma P (x) = 9x3 � 6x2 + �x+ 2, a onda odredi i ostale nule tog polinoma.
Zadatak 2 Date su matrice A =
��1 2�1 3
�, B =
��1 2 01 1 �2
�i C =24 2 �1
0 3�1 2
35 :a) Izraµcunati proizvod BC;
b) Izraµcunati determinantu matrice A;
c) Izraµcunati inverznu matricu matrice A;
d) Rije�iti matriµcnu jednaµcinu AX = BC.
Zadatak 3 Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
x+ y + z = 2;
2x� y + 3z = 0;
�x+ 2y + 3z = �3:
Zadatak 4 Teorija
Zadatak 5 Teorija
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.12.2013. godine
Prvi semestralni test izMatematike grupa B1
Zadatak 1 Morska voda sadrµzi 5 % soli. Koliko litara slatke vode trebapomije�ati sa 100 l morske vode da se dobije voda sa 2 % soli?
Zadatak 2 Date su matrice A =
�2 �31 �2
�, B =
�1 �2 10 1 �1
�i C =24 1 1
�2 30 �2
35 :a) Izraµcunati proizvod BC;
b) Izraµcunati determinantu matrice A;
c) Izraµcunati inverznu matricu matrice A;
d) Rije�iti matriµcnu jednaµcinu XA = BC.
Zadatak 3 Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
x� 2y + z = �3;�x+ 3y � z = 4;
3x+ y + 2z = 0:
Pitanje 1 Teorija
Pitanje 2 Teorija
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.12.2013. godine
Prvi semestralni test izMatematike grupa B2
Zadatak 1 Odrediti realan parametar � ako se zna da je x1 = 2 nula poli-noma P (x) = 6x3 + �x2 � 3x+ 2, a onda odredi i ostale nule tog polinoma.
Zadatak 2 Date su matrice A =
�2 �31 �2
�, B =
�1 �2 10 1 �1
�i C =24 1 1
�2 30 �2
35 :a) Izraµcunati proizvod BC;
b) Izraµcunati determinantu matrice A;
c) Izraµcunati inverznu matricu matrice A;
d) Rije�iti matriµcnu jednaµcinu XA = BC.
Zadatak 3 Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
x� 2y + z = �3;�x+ 3y � z = 4;
3x+ y + 2z = 0:
Pitanje 1 Teorija
Pitanje 2 Teorija
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.12.2013. godine
Prvi semestralni test izMatematike grupa C1
Zadatak 1 U grupi od 15 sadnica jabuke 10 je prve klase. Odaberemo linasumice 3 sadnice, koja je vjerovatnoca da su sve odabrane sadnice prveklase?
Zadatak 2 Date su matrice A =
24 1 �1 11 0 12 1 1
35, B =
24 0 �12 1�1 2
35 i C =�1 �2 3�1 0 1
�:
a) Izraµcunati proizvod BC;
b) Izraµcunati determinantu matrice A;
c) Izraµcunati inverznu matricu matrice A;
d) Rije�iti matriµcnu jednaµcinu AX = BC.
Zadatak 3 Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
x+ y + z = 3;
�2x+ 2y � 3z = �1;�x+ 3y � 2z = 2:
Pitanje 1 Teorija
Pitanje 2 Teorija
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.12.2013. godine
Prvi semestralni test izMatematike grupa C2
Zadatak 1 Odrediti koe�cijente a i b tako da polinom P (x) = x3 + ax2 �5x + b bude deljiv binomom x + 2, a pri deljenju sa x � 4 daje ostatak 18?Odredi i ostale nule polinoma P (x).
Zadatak 2 Date su matrice A =
24 1 �1 11 0 12 1 1
35, B =
24 0 �12 1�1 2
35 i C =�1 �2 3�1 0 1
�:
a) Izraµcunati proizvod BC;
b) Izraµcunati determinantu matrice A;
c) Izraµcunati inverznu matricu matrice A;
d) Rije�iti matriµcnu jednaµcinu AX = BC.
Zadatak 3 Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
x+ y + z = 3;
�2x+ 2y � 3z = �1;�x+ 3y � 2z = 2:
Pitanje 1 Teorija
Pitanje 2 Teorija
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.12.2013. godine
Prvi semestralni test izMatematike grupa D1
Zadatak 1 U stadu od 12 krava, 7 je visokoproduktivnih. Na sluµcajan naµcinse biraju 4 krave za muµznju. Odrediti vjerovatnocu da su sve odabrane kravevisokoproduktivne.
Zadatak 2 Date su matrice A =
24 3 1 �11 1 2�1 0 1
35, B =24 1 0�1 21 �2
35 i C =��1 0 32 1 �1
�:
a) Izraµcunati proizvod BC;
b) Izraµcunati determinantu matrice A;
c) Izraµcunati inverznu matricu matrice A;
d) Rije�iti matriµcnu jednaµcinu XA = BC.
Zadatak 3 Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
x+ 2y + z = 1;
�2x+ y � 3z = �2;�x+ 3y � 2z = �1:
Pitanje 1 Teorija
Pitanje 2 Teorija
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.12.2013. godine
Prvi semestralni test izMatematike grupa D2
Zadatak 1 Odrediti koe�cijente a i b tako da polinom P (x) = x3 + ax2 +bx+ 6 bude deljiv binomom x� 1, a pri deljenju sa x+ 3 daje ostatak �24?Odredi i ostale nule polinoma P (x).
Zadatak 2 Date su matrice A =
24 3 1 �11 1 2�1 0 1
35, B =24 1 0�1 21 �2
35 i C =��1 0 32 1 �1
�:
a) Izraµcunati proizvod BC;
b) Izraµcunati determinantu matrice A;
c) Izraµcunati inverznu matricu matrice A;
d) Rije�iti matriµcnu jednaµcinu XA = BC.
Zadatak 3 Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
x+ 2y + z = 1;
�2x+ y � 3z = �2;�x+ 3y � 2z = �1:
Pitanje 1 Teorija
Pitanje 2 Teorija
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 22.01.2014. godine
Drugi semestralni test izMatematike grupa A1
Zadatak 1 (6 b.) Odrediti vrijednost parametra � 2 R tako da x1 = 2 budejedna nula polinoma P (x) = x3+�x2�5x�6, pa za tako dobijenu vrijednostparametra � odrediti ostale nule polinoma P (x).
Zadatak 2 (7 b.) Odrediti de�niciono podruµcje, intervale monotonosti i ek-streme funkcije f(x) = (5� x) e2x:
Zadatak 3 (3 b. + 4 b.) Izraµcunati
a) limes limx!+1
x+px2+1
3x+1;
b) integralRx sin xdx koristeci metod parcijalne integracije:
Pitanje 1 (5 b.)
Pitanje 2 (5 b.)
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 22.01.2014. godine
Drugi semestralni test izMatematike grupa P1
Zadatak 1 (6 b.) Polinom P (x) pri djeljenju sa x� 1 daje ostatak 3, a pridjeljenju sa x+1 ostatak 1. Koliki je ostatak pri djeljenju polinoma P (x) sax2 � 1?
Zadatak 2 (7 b.) Odrediti de�niciono podruµcje, nule, znak i asimptote funkcijef(x) = x2�x�20
x�1 :
Zadatak 3 (3 b. + 4 b.) Izraµcunati
a) prvi izvod funkcije f (x) = x2 ln (2x+ 1) u proizvoljnoj taµcki iz de�ni-cionog podruµcja date funkcije;
b) integralR
xdxpx2+1
koristeci metod smjene.
Pitanje 1 (5 b.)
Pitanje 2 (5 b.)
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 23.01.2014. godine
Drugi semestralni test izMatematike grupa B1
Zadatak 1 (6 b.) Polinom P (x) = 2x3�3x2+1 rastaviti na proste faktore.
Zadatak 2 (7 b.) Odrediti de�niciono podruµcje, nule, znak i asimptote funkcijef(x) = x2+4x�5
x�5 :
Zadatak 3 (3 b. + 4 b.) Izraµcunati izvod funkcijeu bilo kojoj taµcki iz de�ni-cionog podruµcja date funkcije:
a) f(x) = xlnx;
b) f(x) = 3pex + 1:
Pitanje 1 (5 b.)
Pitanje 2 (5 b.)
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 23.01.2014. godine
Drugi semestralni test izMatematike grupa Z1
Zadatak 1 (6 b.) Odrediti sve realne nule polinoma P (x) = x4+ x3� x2+x� 2.
Zadatak 2 (7 b.) Odrediti de�niciono podruµcje, nule, znak i asimptote funkcijef(x) = x2�2x+1
x2+1:
Zadatak 3 (4 b. + 3 b.) Izraµcunati izvod funkcije u bilo kojoj taµcki iz de�ni-cionog podruµcja date funkcije:
a) f(x) =px2 + 1 lnx;
b) f(x) = x2�2xx2+1
.
Pitanje 1 (5 b.)
Pitanje 2 (5 b.)
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 14.02.2015. godine
Popravni ispit izMatematike grupa A
Zadatak 1 (10 b.) U ovisnosti o realnom parametru k diskutirati i rije�itisistem linearnih jednadµzbi
2x� y + z = 1;
�x+ 2y � 2z = �1;x+ ky � z = 0:
Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x
x2�1 :
Zadatak 3 (10 b.) Izraµcunati
a)R(2x� 1) sin 3xdx (Uputa: koristiti metod parcijalne integracije.);
b) povr�inu koju ograniµcavaju krive y1 = x2 + x+ 1 i y2 = 3 + x� x2:
Zadatak 4 (5 b.) (stari NPP) Izraµcunati limx!1
x3+x2�5x+3x3�x2�x+1 .
(novi NPP) U posudi je bilo 400 ml 6%�tnog rastvora soli. Poslije izv-jesnog vremena, uslijed isparenja, u posudi je ostalo 300 ml rastvora. Kolikije procenat soli u novom rastvoru?
Pitanje 1 (5 b.) Matrica je S = kaijka�6, a matrica T = kbjkkp�8. Podkojim se uslovima moµze odrediti matrica A = ST i matrica B = T TS?Odrediti formate matrica A i B.
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 14.02.2015. godine
Popravni ispit izMatematike grupa P
Zadatak 1 (10 b.) U ovisnosti o realnom parametru k diskutirati i rije�itisistem linearnih jednadµzbi
�2x+ y � z = 2;
x� 2y + kz = �1;�x� y + z = 1:
Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x2�1
x:
Zadatak 3 (10 b.) Izraµcunati
a)R
xx2�5x+6dx (Uputa: koristiti metod rastavljanja na parcijalne razlomke.);
b) povr�inu koju ograniµcavaju krive y1 = 2x2 + 1 i y2 = x2 � 3:
Zadatak 4 (5 b.) (stari NPP) Izraµcunati limx!0
e3x�1x.
(novi NPP) U posudi je bilo 400 ml 6%�tnog rastvora soli. Ako se uposudu dolije 200 ml µciste vode, koliki je procenat soli u novom rastvoru?
Pitanje 1 (5 b.) Navesti potreban uslov da funkcija z = f(x; y) ima lokalniekstremum u taµcci A(a; b). Koji je dovoljan uslov da je f(a; b) lokalni mak-simum funkcije z = f(x; y).
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 14.02.2015. godine
Popravni ispit izMatematike grupa B
Zadatak 1 (10 b.) Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
2x� y � z = �1;�x+ 2y � 2z = 1;
x+ y � z = �1:
Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x2�7x+10
x�6 :
Zadatak 3 (10 b.) Izraµcunati
a) limx!+1
(3x�13x+1
)x3 ;
b) izvod u proizvoljnoj taµcki iz de�nicionog podruµcja funkcije y = xe�x2:
Zadatak 4 (5 b.) (novi NPP) Koliko litara vode treba sipati u 180 l �piri-tusa jaµcine 90% da bi se dobio �piritus jaµcine 81%?(stari NPP) Polinom P (x) = 2x4+x3� 19x2� 9x+9 rastaviti na proste
faktore.
Pitanje 1 (5 b.) Navesti potreban uslov da funkcija y = f(x) ima lokalnimaksimum u taµcci x = a. Koji je dovoljan uslov da je f(a) lokalni maksimumfunkcije f .
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 14.02.2015. godine
Popravni ispit izMatematike grupa Z
Zadatak 1 (10 b.) Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
3x� y + z = �2;x+ y � 2z = 0;
�x+ y � z = 1:
Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x2+7x+10
x+1:
Zadatak 3 (10 b.) Izraµcunati
a) limx!+1
(3x+13x�2)
x2 ;
b) izvod u proizvoljnoj taµcki iz de�nicionog podruµcja funkcije y = x2e�3x:
Zadatak 4 (5 b.) (novi NPP) Koliko litara vode treba sipati u 90 l �piritusajaµcine 80% da bi se dobio �piritus jaµcine 60%?(stari NPP) Polinom P (x) = x4 � x3 + x2 � 3x � 6 rastaviti na proste
faktore.
Pitanje 1 (5 b.) Matrica je S = kaijka�6, a matrica T = kbjkkp�8. Podkojim se uslovima moµze odrediti matrica X = ST i matrica Y = T TS?Odrediti formate matrica X i Y .
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 14.02.2015. godine
Zavr�ni ispit izMatematike grupa B
Zadatak 1 (10 b.) Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
2x� y � z = �1;�x+ 2y � 2z = 1;
x+ y � z = �1:
Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x2�7x+10
x�6 :
Zadatak 3 (10 b.) Izraµcunati
a) limx!+1
(3x�13x+1
)x3 ;
b) izvod u proizvoljnoj taµcki iz de�nicionog podruµcja funkcije y = xe�x2:
Zadatak 4 (5 b.) (novi NPP) Koliko litara vode treba sipati u 180 l �piri-tusa jaµcine 90% da bi se dobio �piritus jaµcine 81%?(stari NPP) Polinom P (x) = 2x4+x3� 19x2� 9x+9 rastaviti na proste
faktore.
Pitanje 1 (5 b.)
Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 14.02.2015. godine
Zavr�ni ispit izMatematike grupa Z
Zadatak 1 (10 b.) Rije�iti sistem linearnih jednaµcina
3x� y + z = �2;x+ y � 2z = 0;
�x+ y � z = 1:
Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x2+7x+10
x+1:
Zadatak 3 (10 b.) Izraµcunati
a) limx!+1
(3x+13x�2)
x2 ;
b) izvod u proizvoljnoj taµcki iz de�nicionog podruµcja funkcije y = x2e�3x:
Zadatak 4 (5 b.) (novi NPP) Koliko litara vode treba sipati u 90 l �piritusajaµcine 80% da bi se dobio �piritus jaµcine 60%?(stari NPP) Polinom P (x) = x4 � x3 + x2 � 3x � 6 rastaviti na proste
faktore.
Pitanje 1 (5 b.)