Skripta matematika

1 Polinomi

Zadatak 1.1 Odrediti kolicnik K i ostatak r pri dijeljenju polinoma P sa poli-nomom Q ako je

1. P (x) = x3 − 2x2 + x− 1 i Q(x) = x2 − x− 1,

2. P (x) = 2x4 + x3 − 2x2 − 3x + 2 i Q(x) = x2 + 3x + 2,

3. P (x) = x5 + 3x3 − x2 − 1 i Q(x) = x2 − x + 4,

4. P (x) = x4 + 5x3 − 3x2 + x− 6 i Q(x) = x2 + 1,

5. P (x) = x4 − 3x2 − 2 i Q(x) = x3 + x + 1,

6. P (x) = x5 − x4 + x3 − x2 + x− 1 i Q(x) = x2 + 2x− 1,

7. P (x) = x5 − x i Q(x) = x− 1.

Zadatak 1.2 Koristeci Hornerovu semu odrediti kolicnik K i ostatak r pri di-jeljenju polinoma P sa monomom Q ako je

1. P (x) = 2x3 + x2 + 4x− 5 i Q(x) = x− 1,

2. P (x) = x3 − 3x2 − 6x + 1 i Q(x) = x + 2,

3. P (x) = 4x4 − 2x3 + x2 + 2x− 6 i Q(x) = x− 8,

4. P (x) = x4 + 6x2 − 6x + 1 i Q(x) = x− 3,

5. P (x) = x4 − 3x2 + 2 i Q(x) = x + 1,

6. P (x) = x5 + x3 + x i Q(x) = x− 1,

7. P (x) = x5 − 1 i Q(x) = x− 1,

Zadatak 1.3 Odrediti ostatak pri dijeljenju polinoma P sa monomom Q akoje

1. P (x) = x3 − 2x2 + x− 2 i Q(x) = x− 3,

2. P (x) = x4 + x3 − 2x2 + x− 2 i Q(x) = x + 1,

3. P (x) = x5 + x3 − 2x i Q(x) = x + 2,

Zadatak 1.4 Polinom P pri dijeljenju sa x− 1 daje ostatak 3, a pri dijeljenjusa x− 2 ostatak 4. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P sa (x− 1)(x− 2)?

Zadatak 1.5 Polinom P pri dijeljenju sa x− 1 daje ostatak 3, a pri dijeljenjusa x + 1 ostatak 1. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P sa x2 − 1?

Zadatak 1.6 Sastaviti polinom (sa koeficijentom 1 uz najstariji clan) cije sunule

1

1. x1 = −1, x2 = 1 i x3 = 5,

2. x1 = 1, x2 = x3 = −2,

3. x1 = 3, x2 = 2 +√

3 i x3 = 2−√3,

4. x1 = −2, x2 = 1− 2i i x3 = 1 + 2i,

5. x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 i x4 = −3,

6. x1 = −1, x2 = 2, x3 =√

5 i x4 = −√5,

7. x1 = 1, x2 = 3, x3 = 2 + i i x4 = 2− i.

Zadatak 1.7 Rastaviti polinom P na faktore

1. P (x) = x3 + 2x2 − x− 2,

2. P (x) = x3 − 4x2 + x + 6,

3. P (x) = −x3 + 6x2 − 11x + 6,

4. P (x) = x3 + 4x2 − 11x + 6,

5. P (x) = x3 + x− 2,

6. P (x) = x4 + x3 − x2 + x− 2,

7. P (x) = x4 + 4x3 + 3x2 − 4x− 4,

8. P (x) = x3 − 2x2 − 7x + 2,

9. P (x) = x3 − 3x2 − 5x + 7,

10. P (x) = 2x3 + 3x2 − 11x− 6,

11. P (x) = 3x3 + x2 − 6x− 2,

12. P (x) = 2x3 − 3x2 + 6x + 4.

Zadatak 1.8 Odrediti vrijednost parametra α ∈ R tako da x1 bude jedna nulapolinoma P, pa za tako dobijenu vrijednost parametra α odrediti ostale nulepolinoma P ako je

1. P (x) = x3 + αx2 − 5x− 6 i x1 = 2,

2. P (x) = x3 + αx2 − 2x + 24 i x1 = −2.

Zadatak 1.9 Zadanu racionalnu funkciju rastaviti na parcijalne razlomke

1. R(x) = 5x+1x3+2x2−x−2 ,

2. R(x) = 2x2−8x−72x3+x2−13x+6 ,

2

3. R(x) = −2x2+5x−4x3−4x2+5x−2 ,

4. R(x) = 3x2−7x+8x3−3x2+4 ,

5. R(x) = x2−x−1x3−x2 ,

6. R(x) = 2x2+xx3−2x2+x−2 ,

7. R(x) = x2+2x−3x3+x2+3x+3 ,

8. R(x) = 4x2+x+5x3+2x−3 ,

9. R(x) = x3+x2−2x+3x2+x−2 ,

10. R(x) = 2x4−3x3+x2+5x−32x2−3x+1 .

2 Matrice i determinante

Zadatak 2.1 Izracunati αA + βB ako je

1. A =(

1 −2 40 −1 −3

), B =

( −1 3 −52 −2 0

), α = 2 i β = 3,

2. A =

2 0−1 −4

7 −31 1

, B =

1 1−2 −4−3 7−2 0

, α = 3 i β = −2,

3. A =

−1 6 −3

2 −2 10 −1 4

, B =

2 0 −21 −1 36 2 −3

, α = −2 i β = −1.

Zadatak 2.2 Izracunati (ako postoje) proizvode AB i BA ako je

1. A =

−1 1

3 −84 −2

i B =

( −2 1 2 −3−4 2 −5 −1

),

2. A =( −1 0 2

1 1 −3

)i B =

−1 1 0 2

0 2 −3 −11 2 −2 −1

,

3. A =

1 −13 2

−2 4

i B =

(0 −2 0

−1 3 0

),

4. A =(

3 −3 5)

i B =

2 −2 1−1 5 2

3 −3 2

,

3

5. A =

2−1

5

i B =

( −2 1 −5),

6. A =(

5 4−1 1

)i B =

(1 −32 −2

),

7. A =

−2 2 5

1 0 −13 −2 3

i B =

3 −2 1−5 4 −1

2 0 2

,

8. A =

−1 2 −2

1 3 10 5 2

i B =

−1 2 0

1 1 1−4 6 −2

.

Zadatak 2.3 Izracunati sljedece determinante

1.∣∣∣∣

3 −21 4

∣∣∣∣ ,

2.∣∣∣∣

x 22 x

∣∣∣∣ ,

3.∣∣∣∣

sin x cos x− cosx sin x

∣∣∣∣ ,

4.

∣∣∣∣∣∣

2 −1 33 1 1

−1 2 5

∣∣∣∣∣∣,

5.

∣∣∣∣∣∣

0 2 −31 0 −12 −2 4

∣∣∣∣∣∣,

6.

∣∣∣∣∣∣

2 1 43 −1 5

−2 2 −6

∣∣∣∣∣∣,

7.

∣∣∣∣∣∣

−3 5 62 −1 −43 −3 5

∣∣∣∣∣∣.

Zadatak 2.4 Odrediti (ako postoji) inverznu matricu zadane matrice

1. A =(

1 4−2 −7

),

2. A =( −2 −3−5 −8

),

4

3. A =(

2 −3−5 6

),

4. A =

−1 1 4−2 0 5

1 4 3

,

5. A =

1 2 −22 6 −1

−1 −1 3

,

6. A =

−2 1 −2−2 2 −7−2 −1 9

,

7. A =( −1 4

2 −8

),

8. A =

−1 2 −3

2 1 −23 4 −7

.

Zadatak 2.5 Rijesiti sljedece matricne jednacine

1.(

2 −3−5 8

)X =

(1 0 −12 3 2

),

2. X

1 −1 30 2 32 1 10

=

(1 0 −12 3 2

).

Zadatak 2.6 Izracunati rang sljedecih matrica

1. A =

−1 3 2 −21 2 −1 −22 −1 −3 0

,

2. A =

−1 2 −21 3 2−1 7 −2

,

3. A =

−2 1 0 9 −9 24 −2 0 −18 18 −42 −1 0 −9 9 −2

,

4. A =

1 a −1 22 −1 a 51 10 −6 1

(u zavisnosti od parametra a ∈ R)

5

3 Sistemi linearnih jednacina

Zadatak 3.1 Rijesiti sljedece sistema linearnih jednacina

1.2x −y = 3−3x +2y = −6

2. 2x −y = 3−4x +2y = −6

3. x −y = 2−2x +2y = −3

4.x +4y +3z = −14x +15y +17z = −105x +18y +22z = −14

R: (−2, 1,−1)

5.x −2y +2z = 44x −12y +5z = 134x −16y +3z = 11

R: (2, 0, 1)

6.x +6y −2z = −17−3x −16y +9z = 535x +28y −12z = −85

R: (−1,−2, 2)

7.x −2y +z = −22x −3y −z = −6−3x +5y +z = 9

R:(−1, 1, 1)

8.x −y +2z = 83x −2y +5z = 20x +2z = 7

R: (1,−1, 3)

9.x −2y +4z = −5−2x +5y −13z = 193x −7y +18z = −26

R: (1,−1,−2)

10.x −2y +z = −63x +2y −3z = 16x −2y +4z = −15

11.2x −y −z = 43x +4y −2z = 113x −2y +4z = 11

6

12.x +y +z = 4x +2y +3z = 8x +3y +4z = 11

13.2x +2y +2z = 03x +2y +2z = 14x −3y +4z = −14

14.3x +2y +2z = 14x −3y +2z = −84x −3y +4z = −14

15.x +2y −z = 22x −y +z = 43x +y = 6

16.x −y = 1−x +y = −1−x +z = −2

17.12x −3y −2z = −1−x −y +z = 32x −4y +2z = 8

R: (t, 2t− 1, 3t + 2), t ∈ R

18.−x −3y −z = −2x −y −z = 02x −4y −3z = −1

R: (t,−t + 1, 2t− 1), t ∈ R

19.2x −3y −z = −1−x +3y −z = 2x +3y −5z = 4

R: (2t− 1, t, t− 1), t ∈ R

20.2x −2y +3z = −4−x +y −z = 23x −3y −5z = −6

R: (t− 1, t + 1, 0), t ∈ R

21.2x +3y −z = 44x −y −2z = 1−2x −5y +z = −6

R: (t, 1, 2t− 1), t ∈ R

22.x −y −2z = 4−x +y +z = −3−2x +2y +z = −5

R: (t, t− 2,−1), t ∈ R

7

23.2x +y +z = 23x +y +z = 07x +2y +2z = 4

24.x +3y −2z = 12x +6y −4z = 3−x −3y +2z = 0

Zadatak 3.2 U zavisnosti od parametra a ∈ R rijesiti sistem linearnih jednacina

1.ax +y +z = 1x +ay +z = 1x +y +az = 1

2.ax +y +z = 12x +2ay +2z = 3x +y +az = 1

3.(a + 3)x +y −z = 1x +(a + 3)y −z = a + 2−x −y +z = 1

4.(a + 3)x −y −z = 1−x +(a + 6)y −z = a + 2x +y −z = 1

5.−x +y +z = 1−x −y +(a + 3)z = a + 2−x +(a + 6)y −z = 1

6.ax +y −z = −1x +ay +z = −1x +y +(a− 4)z = −1

7.(a− 5)x +y −z = 2x +(a− 5)y +z = 2x +y +az = 2

8.(a− 1)x +y +z = −2x +(a + 1)y +z = −1x +y +(a− 1)z = −2

9.(a + 1)x −y +z = 1−x +(a− 1)y +z = a− 1x +y −z = 1

8

4 Granicna vrijednost funkcije

Zadatak 4.1 Izracunati

1. limx→∞

3x5 − x4 + 2x3 − x2 + x− 6x4 + x3 + x2 + x + 1

,

2. limx→∞

x4

x3 − x2 + 2x− 9,

3. limx→∞

3x4 + 2x3 − x2 − x− 12x4 − x2 + 6

,

4. limx→∞

4x3 − x2 + 2x− 32x3 + x

,

5. limx→∞

x3 − x2 + x− 1x4 − 1

,

6. limx→∞

2x

x2 + 1,

7. limx→∞

(x2 + 4x + 12)3(2x− 3)4

(x2 + 2x + 2)5,

8. limx→∞

√4x− 1√

x + 2√

x + 1,

9. limx→∞

2x + 53√

8x3 + 2√

x− 1.


1. limx→2

x2 + x− 6x2 − x− 2

,

2. limx→1

x3 + x2 + x− 3x2 − 1

,

3. limx→−3

x3 − 7x + 6x3 + 3x2 + x + 3

,

4. limx→ 1

2

2x3 − 3x2 + 5x− 22x2 + 5x− 3

,

5. limx→−1

2x3 + 3x2 − 1x2 + 2x + 1

.


1. limx→0

sin 2x

3x,

9

2. limx→0

sin 3x

sin 6x,

3. limx→0

tan 3x

x,

4. limx→0

sin 3x− sin x

sin 2x,

5. limx→0

1− cosx

x2,

6. limx→0

1− cos2x

x sin x.


1. limx→∞

(x− 2x + 3

)2x

,

2. limx→∞

(x− 1x + 4

)−x

,

3. limx→∞

(x + 5x− 1

)x

,

4. limx→∞

(x + 3x− 4

) 3x4

,

5. limx→∞

(x + 4x + 2

) x−1x+1

.

5 Izvod funkcije

Zadatak 5.1 Koristeci se tablicom izvoda i pravilima diferenciranja izracunatiizvod zadane funkcije (u bilo kojoj tacki)

1. y = x3 + 2x2 − 6x + 5− 4√

x + x−2 + 3x−4,

2. y =x5

5− 2x3

3+

(1− x2

2

)2

+1x

+1

2x2+

16x3

,

3. y = 6 3√

x2 − 4 4√

x +(

1− 13√

x

)2

+84√

x− 6

3√

x,

4. y = 5x + 4,

5. y =2x

3− 4

5,

6. y =3x

2,

10

7. y =2x− 1

3,

8. y =x4 − 2x2 + 4

√x− 3

x

3x2 − 2x + 1,

9. y =x2 + 3x + 4√

x− 2x

,

10. y = (2x2 + 3x− 1)3x,

11. y = (x4 + 2x3) exp (x),

12. y = (√

x− 4√

x) log4 x,

13. y =2x− 3

5ln x,

14. y =3x− 1

3x,

15. y =log2 x

x− 1,

16. y =1 + ln x

x,

17. y =exp (x)(2x + 3)

(x + 1) ln x,

18. y =x4x

4x− 3,

19. y = 2x +(

12

)x

20. y = 2−x + 3−x

21. y = exp (−x) + exp (−2x) +√

exp (x)

22. y = x2 cos x,

23. y = x2 exp (x),

24. y = x2 cot x− x + sin x +tan x√

x,

25. y = tan x,

26. y = cot x,

27. y =cosx

1 + 2 sin x,

11

28. y =cosx

1− sin x,

29. y =√

1− x2 arcsin x,

30. y = exp (−x) arcsin x,

31. y = x arctan x,

32. y =arctanx

1 + x2,

Zadatak 5.2 Koristeci se pravilom za izvod slozene funkicje izracunati izvodzadane funkcije (u bilo kojoj tacki)

1. y = (2x− 3)12,

2. y =

√4x + 3

5,

3. y = exp (2x− 1),

4. y = exp (6x),

5. y = exp (−x),

6. y = exp(x

4

),

7. y = exp(

4x− 33

),

8. y = ln(

2x + 34

),

9. y = lnx

2,

10. y = sin (ax + b),

11. y = tanx

4,

12. y = arcsin (x + 3),

13. y = arctan ax,

14. y = (x2 + 2x− 1)14,

15. y = 4√

1− x2,

16. y =1

arctanx,

17. y = ln2 x,

12

18. y =√

cos x,

19. y = exp (− tanx),

20. y = log4 (arctan x),

21. y = sin 2x,

22. y = sinx2

2x + 1,

23. y = cos√

x,

24. y = tan x2,

25. y = arctanx

x + 1,

26. y = 4

√1 + cos2

2x

3,

27. y =√

1− sin 2x +√

1 + sin 2x,

28. y =1

(2 + cos3 2x)4,

29. y =x2 − 1√

ln 2x,

30. y = x√

x3 + 2,

31. y = lnx2

1− x2,

32. y = ln

√x + 1x− 1

,

33. y = ln(tan

(π

4+

x

2

)),

34. y = lnx2

√ax2 + bx + c

,

35. y = ln(√

x +√

x + 1 +√

x + 2),

36. y = ln(sinx +

√1 + cos 3x

),

37. y = ln 4

√sin 2x

1 + sin2 x2

,

38. y = exp (−x2),

13

39. y =√

x

x− 1exp

(√x

2

),

40. y = exp (sin 2x) + cos (2 exp (−x)),

41. y = ln[exp (ax) + x exp (−x)

],

42. y =exp (x) + exp (−x)exp (x)− exp (−x)

,

43. y = ln

√exp (ax)

exp (ax) + 1.

Zadatak 5.3 Detaljno ispitati zadanu funkciju, a zatim skicirati njen grafik

1. f(x) =x2 − 5x + 4

x− 5,

2. f(x) =(x− 3)2

x− 5,

3. f(x) =x2 − 7x + 10

x− 6,

4. f(x) =x2 − 3x

x− 4,

5. f(x) =x2 − 2x− 4

x− 4,

6. f(x) =x2 + x− 6

x2 + x,

7. f(x) =x2 + 5x

x2 + 5x + 4,

8. f(x) =x2 − x− 6x2 − x + 1

,

9. f(x) =x2 + 3x− 4x2 + 3x + 1

,

10. f(x) =x2 − 5x

x2 − 5x + 9,

11. f(x) =x2 + x

x2 + x− 6,

12. f(x) = (x− 2) exp (3x),

13. f(x) = (3− x) exp (x),

14

14. f(x) = (2x + 1) exp (2x),

15. f(x) = (3x− 2) exp (−x),

16. f(x) = (5− 2x) exp(−x

2

),

17. f(x) = x ln x,

18. f(x) = (x + 2) ln (x + 2),

19. f(x) = (3− 2x) ln (3− 2x),

20. f(x) =x

2ln x,

21. f(x) = x lnx

3.

6 Neodredeni integral

Zadatak 6.1 Izracunati sljedece neodredene integrale

1.∫

5x4dx,

2.∫

8.3x−0.17dx,

3.∫

(3x + 1) dx,

4.∫ (

x5 − 4x3 + 2x− 1)dx,

5.∫

dx

x2,

6.∫ (

3x2 − 2x +3x−√x + 2 4

√x3

)dx,

7.∫

dx7√

x5,

8.∫ (

2x

+x

2

)dx,

9.∫

3√

x 3√

xdx,

10.∫

(x− 2) (√

x + 1)x2

dx,

15

11.∫

4√

x− 8√

x5

9√

x4dx,

12.∫

3x exp (x)dx,

13.∫

5 · 4x + 4 · 5x

4xdx,

14.∫

ax

(1 +

a−x

3√

x2

)dx,

15.∫

exp (−x)(

1 +exp (x)√

x5

)dx,

16.∫

4x − 6x

12xdx,

17.∫

cos 2x

cos2 x sin2 xdx,

18.∫

dx

cos2 x sin2 x,

19.∫

tan2 xdx,

20.∫

1 + sin3 x

sin2 x,

21.∫ (

sinx

2− cos

x

2

)2

dx,

22.∫

x2

x2 + 1dx,

23.∫

x2 + 2x2 + 1

dx,

24.∫

x3 + x− 2x2 + 1

dx,

25.∫

x4

x2 + 1dx.

Zadatak 6.2 Medodom zamjene izracunati sljedece integrale

1.∫

(3x− 2)14 dx,

2.∫

4√

2x + 8,

16

3.∫

dx

7√

(3x + 5)4,

4.∫

exp (2x− 9)dx,

5.∫

exp (−x)dx,

6.∫

exp(

3x− 54

)dx,

7.∫

exp(−x

3

)dx,

8.∫

sin 2xdx,

9.∫

dx

cos2 (−x + 1),

10.∫

dx

x− a,

11.∫

dx

5x + 6,

12.∫

dx

(5x− 4)2 + 1,

13.∫

dx√−x2 + 4x− 3,

14.∫

dx√2x− x2

,

15.∫

dx

exp (−x) + exp (x),

16.∫

exp (x)dx

1 + exp (2x),

17.∫

(ax + b)n,

18.∫

dx

x2 + 4,

19.∫

dx

x2 + 6,

17

20.∫

dx√3− x2

,

Zadatak 6.3 Medodom zamjene izracunati sljedece integrale

1.∫

2xdx

x2 + 1,

2.∫

(2x− 3)dx

x2 − 3x + 6,

3.∫

tan xdx,

4.∫

cot xdx,

5.∫

sin xdx

cosx− 6,

6.∫

dx

x ln x,

7.∫

xdx

x2 − 2,

8.∫

(x2 + 1)dx

x3 + 3x− 9,

9.∫

exp (2x)dx

exp (2x)− 4,

10.∫

dx

(x2 + 1) arctan x,

11.∫

xdx

(x2 + 6)4,

12.∫

(x2 + 2)dx5√

x3 + 6x− 1,

13.∫

cosxdx

sin4 x,

14.∫

5√

x4 + 2x3 − 6(2x3 + 3x2

)dx,

15.∫ √

ln xdx

x,

16.∫

(arctanx)3 dx

1 + x2,

18

17.∫

cos4 x sinxdx,

18.∫

sin (x2 + 3)xdx,

19.∫

x2dx

cos2 x3,

20.∫

2x + arctan x

1 + x2dx,

21.∫

2x + 3√

arcsin x√1− x2

dx,

22.∫

dx

x ln4 x.

Zadatak 6.4 Metodom parcijalne integracije izracunati sljedece integrale

1.∫

x exp (x)dx,

2.∫

x sin xdx,

3.∫

(2x− 3) exp(−x

2

)dx,

4.∫ (x

2+ 4

)cos 3xdx,

5.∫

x2 sin xdx,

6.∫

(x2 + 3x− 1) cos xdx,

7.∫

(x2 − x + 4) sin 4xdx,

8.∫

x4 ln xdx,

9.∫

ln xdx4√

x3,

10.∫

ln xdx,

11.∫

arctanxdx,

19

12.∫

x arctan xdx,

13.∫

arcsin xdx,

14.∫

x · 2xdx,

15.∫

exp (2x) cos xdx,

16.∫

exp (x) sinx

2dx,

17.∫

exp(x

2

)sin 3xdx,

Zadatak 6.5 Izracunati sljedece integrale racionalnih funkcija

1.∫

dx

x2 − 1,

2.∫

4x2 + x− 6x3 − x2 − 2x

dx,

3.∫

4x2 − 9x− 1x3 − 2x2 − x + 2

dx,

4.∫

5x + 42x3 + 3x2 − 3x− 2

dx,

5.∫

x2 − 23x + 123x3 − 4x2 − 5x + 2

dx,

6.∫

3x2 − 2x− 2x3 + x2

dx,

7.∫

3x2 − 8x− 1x3 − 3x + 2

dx,

8.∫

3x2 − 2x + 8x3 − x2 + 2x− 2

dx,

9.∫

4x3 + 3x2 + 7x + 5

dx,

10.∫

x2 + 2x + 1x3 − x2 + x− 1

dx.

20

7 Odredeni integral

Zadatak 7.1 Primjenom Njutn-Lajbicove formule izracunati sljedece odredeneintegrale

1.∫ 2

0

x3dx,

2.∫ 2

1

(x2 − 2

x

)2

dx,

3.∫ π

3

0

sin xdx,

4.∫ π

4

0

cos2 xdx,

5.∫ π

3

π6

dx

cos2x,

6.∫ 9

1

√xdx,

7.∫ e2

1

dx

x,

Zadatak 7.2 Metodom zamjene ili metodom parcijalne integracije izracunatisljedece odredene integrale

1.∫ 2

0

dx

4 + x2,

2.∫ 1

0

xdx

(x2 + 1)2,

3.∫ 1

12

dx√2x− x2

,

4.∫ 1

0

exp (x)dx

1 + exp (2x),

5.∫ √

e

1

dx

x√

1− ln2 x,

6.∫ e

1

ln xdx,

7.∫ e

1

ln3 xdx,

21

8.∫ e−1

0

ln (x + 1)dx,

9.∫ 1

0

x exp (−x)dx,

10.∫ 1

0

x3 exp (2x)dx,

11.∫ π

2

0

x cosxdx,

12.∫ π

0

x2 sin xdx,

13.∫ π

4

π6

xdx

sin2 x,

14.∫ π

0

exp (x) sin xdx,

15.∫ π

2

0

exp (2x) cos xdx.

Zadatak 7.3 Izracunati povrsinu koju ogranicavaju

1. kriva y = cos x, prave x = −π

2, x =

π

2i 0x osa,

2. kriva y = x3, prave x = 0, x = 2 i 0x osa,

3. kriva y = tan x, prave x = 0, x =π

3i 0x osa.

Zadatak 7.4 Izracunati povrsinu koju ogranicavaju krive

1. y1(x) = −x2 − 2x + 1 i y2(x) = x + 3,

2. y1(x) = −x2 − 6x− 7 i y2(x) = −3x− 5,

3. y1(x) = −x2 + 4x− 5 i y2(x) = x− 3,

4. y1(x) = −x2 − 4x− 5 i y2(x) = −x− 3,

5. y1(x) = −x2 + 4 i y2(x) = x2 − 4,

6. y1(x) = x2 + 2x− 3 i y2(x) = −x2 − 2x + 3,

7. y1(x) = x2 + x− 7 i y2(x) = −2x2 − 2x + 29.

Zadatak 7.5 Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda sljedecih funkcija

1. f(x, y) = x5 + 8 3√

y − 2x2y4 +√

xy + 6,

22

2. f(x, y) = 8x− 3yx ,

3. f(x, y) = xx2+y2 ,

4. f(x, y) =√

x2 + y2,

5. f(x, y) = xy + xy ,

6. f(x, y) = xyx+y ,

7. f(x, y) = arcsin xy ,

8. f(x, y) = ln exp (x) + exp (y).

Zadatak 7.6 Odrediti ekstremne vrijednosti zadane funkcije

1. f(x, y) = 14x3 + 27xy2 − 69x− 54y,

2. f(x, y) = x2 − 5xy − y2,

3. f(x, y) = 2x2 − xy − 3y2 − 3x + 7y,

4. f(x, y) = x3 − 3xy2 + y3.

23

Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, .11.2007.

Pismeni dio ispita iz Matematike grupa B4

Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 5x2 + x + 2.

Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu AX = B (X je nepoznata matrica)

ako je A =

1 −2 −1−2 6 −3−5 15 −8

i B =

−1−5−13

.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −3y +3z = 1−3x −y +2z = 47x −5y +4z = −2

.

Zadatak 4 Izracunati determinantu

∣∣∣∣∣∣

3 a 2−1 1 1

2 −2 a

∣∣∣∣∣∣.



Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 3x2 − 3x− 2.

Zadatak 2 Rijesiti matricnu jednacinu XA = B (X je nepoznata matrica)

ako je A =

1 −2 −1−1 4 −4−1 7 −12

i B =

(0 7 −18

).

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −3y +3z = 13x −2y +z = 47x −8y +7z = 6

.


∣∣∣∣∣∣

3 −3 2a 1 12 a −3

∣∣∣∣∣∣.



Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 7x2 + 7x− 2.


ako je A =

−1 2 11 0 −6−3 5 5

i B =

(0 1 −36 −9 −13

).

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x −2y −3z = 1−2x +2y +z = 58x −6y −7z = −3

.


∣∣∣∣∣∣

4 −1 2a 1 1

−1 a −3

∣∣∣∣∣∣.



Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + x2 − 5x + 2.


ako je A =

−1 2 1−2 6 −3−1 5 −7

i B =

5 −419 −519 1

.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x −2y +2z = 1−2x +y −2z = 58x −5y +6z = −3

.


∣∣∣∣∣∣

a −1 23 1 1

−1 2 a

∣∣∣∣∣∣.


Pismeni dio ispita iz Matematike grupa A4

Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 2.


ako je A =

1 −2 −12 −2 −70 3 −8

i B =

3−1−11

.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +3y −3z = 13x +y −2z = 4−7x +5y −4z = −2

.


∣∣∣∣∣∣

3 a 2−1 1 1

2 −2 a

∣∣∣∣∣∣.



Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − x2 − 5x− 2.


ako je A =

1 −2 −11 0 −61 −3 1

i B =

( −2 7 −5).

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x +3y −3z = 1−3x +2y −z = 37x +4y −5z = −1

.


∣∣∣∣∣∣

a −3 2−2 a 1−1 2 −3

∣∣∣∣∣∣.



Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 + 5x2 + x− 2.


ako je A =

−1 2 12 −2 −7−5 7 12

i B =

(9 −13 −211 −1 −3

).

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x +3y +2z = 13x +2y −z = 57x +8y +3z = 7

.


∣∣∣∣∣∣

4 a 2a 1 1

−1 2 −3

∣∣∣∣∣∣.



Zadatak 1 Odrediti nule polinoma P (x) = 2x3 − 3x2 − 3x + 2.


ako je A =

−1 2 12 −2 −7−3 5 5

i B =

−5 −21 −3−11 −3

.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +3y +3z = 13x +y −2z = 5−7x +5y +8z = −3

.


∣∣∣∣∣∣

2 −1 a−a 1 1−1 2 5

∣∣∣∣∣∣.

Univerzitet u Sarajevu, Poljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 15.12.2007.

Drugi semestralni test iz Matematike grupa B3

Zadatak 1 Izracunati

1. limx→∞

√x2 − 1

2x− 3,

2. limx→0

(1 + 3x)12x ,

3. limx→0

3x

sin 2x.

Zadatak 2 Izracunati prvi izvod zadane funkcije

1. y =3− x

√x

3 + x√

x,

2. y =

√1− x2

1 + x2.

Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y = (x− 3) exp (x).

Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcije

y =x2 − x− 1

x + 1.

Pitanje 1 Data je funkcija y = f(x) i x = φ(t);a) navesti definiciju prve derivacije (izvoda) funkcije f(x) u zadatoj tacci x,t.j., sta je to f ′x;b) navesti kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije slozene funkcijef(x(t)), t.j. kako izgleda dy

dt;

c) ako je Df = [α, β] navesti definiciju konveksne funkcije i konkavne funkcijena segmentu [α, β].Kojom derivacijom funkcije f(x) to svojstvo utvrdjujemoi kako.




1. limx→ −1

x3 − x2 + 2

x2 − 3x− 4,

2. limx→∞

(x− 2

x + 1

)−x

,

3. limx→0

tan 5x

sin 4x.


1. y =

√x + 1√x− 1

,

2. y = arctan2x− 1

x + 1.

Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y =2x2 + x− 1

x + 2.

Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcijey = (2− x) exp (3x).

Pitanje 1 Data je funkcija y = f(x) i x = φ(t);a) navesti definiciju prvog izvoda funkcije f(x) u zadatoj tacci x, t.j., sta jeto f ′x;b) kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije slozene funkcije f(x(t)),t.j. kako izgleda dy

dt;

c) ako je Df = [α, β] navesti koji je potreban uslov da f(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki a ∈ Df = [α, β]; koji je dovoljan uslov da je u amaksimum funkcije f(x).




1. limx→∞

(x2 − 3x + 2)4(4x− 1)2

(2x2 + x + 1)5,

2. limx→∞

(x + 1

x− 6

)x−1

,

3. limx→0

sin 4x

sin 2x.


1. y =3x + 2

x2 − 2x− 3,

2. y = sin(cos

√x).

Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y =x2 − 3x + 5

x2 − 1.

Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcijey = (x− 3) ln(x− 3).

Pitanje 1 Data je funkcija y = φ(x) i x = f(t);a) navesti definiciju prvog izvoda funkcije φ(x) u zadatoj tacci x, t.j., sta jeto φ′x;b) kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije slozene funkcije φ(f(t)),t.j. kako izgleda dy

dt;

c) ako je Dφ = [α, β] navesti koji je potreban uslov da φ(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki a ∈ Dφ = [α, β]; koji je dovoljan uslov da je minimumfunkcije φ(a).


Drugi semestralni test iz Matematike grupa A3


1. limx→∞

√4x2 + 2

4x + 1,

2. limx→0

(1 + 2x)13x ,

3. limx→0

2x

sin 3x.


1. y =x√

x + 2

x√

x− 2,

2. y =

√x2 + 2

x2 − 2.

Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y = (x + 2) exp (x).


y =x2 + 5x + 5

x + 1.

Pitanje 1 Date su funkcije y = φ(x) i x = f(t);a) navesti definiciju prvog izvoda funkcije φ(x) u zadatoj tacci x, t.j., sta jeto φ′x;b) kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije kolicnika dvije funkcijeφ(t)) i f(t), t.j. kako izgleda (φ

f)′;

c) ako je Dφ = [α, β] navesti koji je potreban uslov da φ(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki a ∈ Dφ = [α, β]; koji je dovoljan uslov da je maksi-mum funkcije upravo φ(a).




1. limx→ −1

x3 + x + 2

x2 + 3x + 2,

2. limx→∞

(x− 1

x + 2

)−x

,

3. limx→0

sin 2x

tan 3x.


1. y =1−√x

1 +√

x,

2. y = arctanx− 1

2x + 1.

Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y =2x2 − x + 1

x + 3.

Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcijey = (3− x) exp (2x).

Pitanje 1 Data je funkcija y = φ(x) i x = f(t);a) navesti definiciju prvog izvoda funkcije φ(x) u zadatoj tacci x, t.j., sta jeto φ′x;b) kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije proizvoda dvije funkcijeφ(t) i f(t), t.j. kako izgleda (φf)′;c) ako je Dφ = [α, β] navesti koji je potreban uslov da φ(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki a ∈ Dφ = [α, β]; koji je dovoljan uslov da je maksi-mum funkcije φ(a).




1. limx→∞

(x− 2)4(2x2 − 4x + 5)3

(3x− 1)3(x + 1)7,

2. limx→∞

(x + 3

x− 2

)2x−1

,

3. limx→0

sin 3x

sin 4x.


1. y =2x− 1

x2 − 3x + 2,

2. y = cos(sin√

x).

Zadatak 3 Odrediti asimptote funkcije y =x2 − 2x + 2

x2 − 4.

Zadatak 4 Odrediti intervale monotonosti i ekstremne vrijednosti funkcijey = (x− 1) ln(x− 1).

Pitanje 1 Zadate su funkcije y = φ(x) i x = f(t);a) navesti definiciju prvog izvoda funkcije f(t) u zadatoj tacci t0, t.j., sta jeto f ′t0;b) kako glasi formula(pravilo) za racunanje derivacije slozene funkcije y =φ(f(t)), t.j. kako izgleda dy

dt;

c) ako je Dφ = [α, β] navesti sta je to stacionarna tacka funkcije φ(x); da limora biti ekstremna vrijednost u stacionarnoj tacki a ∈ Dφ = [α, β]; koji jedovoljan uslov da je minimum funkcije φ(x) u stacionarnoj tacki a.


Zavrsni ispit iz Matematike grupa B3

Zadatak 1 Detaljno ispitati funkciju

f(x) =x2 − 11x + 24

x + 1,

a zatim skicirati njen grafik


1. y =x−√x

1 +√

xi

2. y = sin (cos x)

Zadatak 3 Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije

f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7.




f(x) = (2− 3x) exp (x),



1.

∫dx

7√

(3x− 2)5i

2.

∫(x2 + 1) sin xdx


f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 2x− y + 2.




f(x) =x2 + 2x− 8

x2 + 2x,



1.

∫dx

cos2(3x− 2)i

2.

∫3x2 − 4x + 6

x3 − 2x2 + 6x− 5dx


f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 + 4x + 7y + 6.


Zavrsni ispit iz Matematike grupa A3


f(x) =x2 − 7x + 6

x + 3,



1. y =1−√x

x +√

xi

2. y = cos (sin x)


f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 7.




f(x) = (3− 2x) exp (x),



1.

∫dx

7√

(2x + 3)5i

2.

∫(x2 − 3) cos xdx


f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 8x− 9y + 12.




f(x) =x2 + 2x− 3

x2 + 2x,



1.

∫dx

sin2(2x + 3)i

2.

∫3x2 − 8x + 8

x3 − 4x2 + 8x− 5dx


f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 4x + 3y + 6.




f(x) =x2 − 9x + 18

x− 7,



1. y =x exp (x)

3x + 2i

2. y =

√3x− 1

x + 2


f(x) = 2x3 + 9x2 − 13.

Pitanje 1 A) Navedi pravila deriviranja za: sumu, proizvod, kolicnik,slozenu funkciju, inverznu funkciju.

B) Definirati: periodicnu funkciju, ogranicenu fukciju na nekom skupu D ineprekidnu funkciju u tacki a ∈ D

C) Ako je f(t) = 1t

sta je f ′t.




f(x) =x2 − x− 2

x− 3,



1.

∫(4x− 3)dx

3x2 − 7x + 2i

2.

∫dx

4√

(3x− 1)3


f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 2x− y + 2.

Pitanje 1 A) Kako glase osnovna pravila deriviranja za sumu, proizvod,kolicnik, slozenu funkciju, inverznu funkciju.

B) Koje su osnovne metode integracije. Napisati formulu za parcijalnuintegraciju.

C) Ako je F (t, s) = ts

sta je δFδt

a sta δFδs

.




f(x) =x2 − 3x

x− 4,



1. y =x exp (x)

2x− 3i

2. y =

√2x + 1

x− 3


f(x) = 2x3 − 15x2 + 24x + 3.

Pitanje 1 A) Navesti pet osnovnih pravila deriviranja (za: sumu, proizvod,kolicnik, slozenu funkciju, inverznu funkciju).

B) Navesti definicije: periodicne funkcije, ogranicene fukcije i neprekidnefunkcije na nekom skupu D

C) Ako je f(y) = 2y

sta je f ′y.




f(x) =x2 − 7x + 10

x− 6,



1.

∫(3x + 4)dx

2x2 + 7x + 3i

2.

∫dx

4√

(3x + 1)3


f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 6x + 7y + 16.


B) Navesti koje su osnovne metode integracije i napisati formulu zaparcijalnu integraciju.

C) Ako je f(x, y) = xy

sta je δfδx

a sta δfδy

.


Dodatni ispit iz Matematike grupa B

Zadatak 1 (20/26.667 bodova)

1. Rijesiti sistem linearnih jednacina

2x− y + z = 2x + 2y − z = 2

3x− 4y + 3z = 2

2. Neka je A =

(2 −1 10 1 −1

), B =

1 −12 −23 1

i C =

(1 −22 1

).

Izracunati AB − 2C.

Zadatak 2 (20/26.667 bodova) Odrediti izvod zadane funkcije

1. y =x− 2 cos x

sin xi

2. y = 3√

exp x− x2.

Zadatak 3 (20/26.667 bodova) Detaljno ispitati funkciju y =(x− 1)2

x− 2, a

zatim skicirati njen grafik.

Zadatak 4 (20/26.667 bodova) Izracunati

1.

∫3√

2− cos x sin xdx i

2.

∫ 1

0

exp x

1 + exp 2xdx.

Pitanje 1 (10 bodova) Kako glasi Kramerovo pravilo za rjesavanje sistemalinearnih, algebarskih jednacina?

Pitanje 2 (10 bodova) Ako je y = f(x) sta je po definiciji prva derivacijaf ′(x)?


Dodatni ispit iz Matematike grupa A

Zadatak 1 (20/26.667 bodova)

1. Rijesiti sistem linearnih jednacina

2x− y + z = 2x + 2y − z = 2

4x + 3y − z = 6

2. Neka je A =

(1 2 3−1 −2 1

), B =

2 0−1 11 −1

i C =

(2 −11 −2

).

Izracunati AB − 2C.

Zadatak 2 (20/26.667 bodova) Odrediti izvod zadane funkcije

1. y =2 sin x− x

cos xi

2. y =3√

x2 + ln x.

Zadatak 3 (20/26.667 bodova) Detaljno ispitati funkciju y =(x− 2)2

x− 3, a


Zadatak 4 (20/26.667 bodova) Izracunati

1.

∫ 3√

1− ln x

xdx i

2.

∫ π4

0

cos xdx

1 + sin2 x.

Pitanje 1 (10 bodova) Kako glasi Kramerovo pravilo za rjesavanje sistemalinearnih, algebarskih jednacina?

Pitanje 2 (10 bodova) Ako je y = f(x) sta je po definiciji prva derivacijaf ′(x)?


Naknadni ispit iz Matematike


f(x) =x2 − 7x + 10

x− 6,



1.

∫(3x + 4)dx

2x2 + 7x + 3i

2.

∫dx

4√

(3x− 1)3


f(x, y) = 2x2 + 2xy + 3y2 − 2x− y + 2.


B) Navesti koje su osnovne metode integracije i napisati formulu zaparcijalnu integraciju.

C) Ako je f(x, y) = xy

sta je δfδx

a sta δfδy

.


Naknadni ispit iz Matematike


f(x) =x2 − 3x

x− 4,



1. y =x exp (x)

2x− 3i

2. y =

√3x− 1

x + 2


f(x) = 2x3 + 9x2 − 13.

Pitanje 1 A) Navedi pravila deriviranja za: sumu, proizvod, kolicnik,slozenu funkciju, inverznu funkciju.

B) Definirati: periodicnu funkciju, ogranicenu fukciju na nekom skupu D ineprekidnu funkciju u tacki a ∈ D

C) Ako je f(t) = 1t

sta je f ′t.


Prvi semestralni test iz Matematike grupa A1

Zadatak 1 Zadane su matrice A =

1 −2 −1−2 9 10

1 −9 −12

, L =

( −1 0 12 1 −1

)

i M =

(1 −1 −2

−1 0 1

).

1. Izracunati matricu B = λL + µM, ako je λ = −2 i µ = 3.

2. Izracunati matricu A−1.

3. Rijesiti matricnu jednacinu X · A = B.

Zadatak 2 Izracunati determinantu D =

∣∣∣∣∣∣∣∣

−2 3 −3 2−3 −1 5 −4

2 0 −3 2−1 1 −2 2

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +2y −z = 8

x −3y +2z = −11−2x +3y −4z = 16

.





ako je A =

1 −2 −1−2 6 −3−5 15 −8

i B =

−1−5−13

.


.


∣∣∣∣∣∣

3 a 2−1 1 1

2 −2 a

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

1 −2 −1−1 4 −4−1 7 −12

i B =

(0 7 −18

).


.


∣∣∣∣∣∣

3 −3 2a 1 12 a −3

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

−1 2 11 0 −6−3 5 5

i B =

(0 1 −36 −9 −13

).


.


∣∣∣∣∣∣

4 −1 2a 1 1

−1 a −3

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

−1 2 1−2 6 −3−1 5 −7

i B =

5 −419 −519 1

.


.


∣∣∣∣∣∣

a −1 23 1 1

−1 2 a

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

1 −2 −12 −2 −70 3 −8

i B =

3−1−11

.


.


∣∣∣∣∣∣

3 a 2−1 1 1

2 −2 a

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

1 −2 −11 0 −61 −3 1

i B =

( −2 7 −5).


.


∣∣∣∣∣∣

a −3 2−2 a 1−1 2 −3

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

−1 2 12 −2 −7−5 7 12

i B =

(9 −13 −211 −1 −3

).


.


∣∣∣∣∣∣

4 a 2a 1 1

−1 2 −3

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

−1 2 12 −2 −7−3 5 5

i B =

−5 −21 −3−11 −3

.


.


∣∣∣∣∣∣

2 −1 a−a 1 1−1 2 5

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

1 −2 −1−2 6 −3−5 15 −8

i B =

−1−5−13

.


.


∣∣∣∣∣∣

3 a 2−1 1 1

2 −2 a

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

1 −2 −1−1 4 −4−1 7 −12

i B =

(0 7 −18

).


.


∣∣∣∣∣∣

3 −3 2a 1 12 a −3

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

−1 2 11 0 −6−3 5 5

i B =

(0 1 −36 −9 −13

).


.


∣∣∣∣∣∣

4 −1 2a 1 1

−1 a −3

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

−1 2 1−2 6 −3−1 5 −7

i B =

5 −419 −519 1

.


.


∣∣∣∣∣∣

a −1 23 1 1

−1 2 a

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

1 −2 −12 −2 −70 3 −8

i B =

3−1−11

.


.


∣∣∣∣∣∣

3 a 2−1 1 1

2 −2 a

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

1 −2 −11 0 −61 −3 1

i B =

( −2 7 −5).


.


∣∣∣∣∣∣

a −3 2−2 a 1−1 2 −3

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

−1 2 12 −2 −7−5 7 12

i B =

(9 −13 −211 −1 −3

).


.


∣∣∣∣∣∣

4 a 2a 1 1

−1 2 −3

∣∣∣∣∣∣.





ako je A =

−1 2 12 −2 −7−3 5 5

i B =

−5 −21 −3−11 −3

.


.


∣∣∣∣∣∣

2 −1 a−a 1 1−1 2 5

∣∣∣∣∣∣.


Prvi semestralni test iz Matematike grupa B1


1 2 −1−2 −2 7

1 1 −3

, L =

(2 −1 1

−1 0 2

)

i M =

( −1 1 −22 0 −1

).





∣∣∣∣∣∣∣∣

−2 −1 3 −2−3 1 −5 4−2 0 3 −2−1 3 2 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −y +2z = 8

−2x +3y −3z = −14−x +2y −4z = −13

.




−1 5 12−1 8 19

0 4 9

, L =

2 −10 −11 2

i

M =

−1 1

2 −20 1

.



3. Rijesiti matricnu jednacinu A ·X = B.


∣∣∣∣∣∣∣∣

2 3 2 13 5 3 −2

−1 −1 0 −32 4 −2 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−2x +2y +z = −4−x −3y +2z = −9−2x −3y +4z = −15

.




−1 5 12

3 −12 −290 −2 −5

, L =

−2 1

0 −1−1 2

i M =

1 −1−2 2

0 −1

.

1. Izracunati matricu B = λL + µM, ako je λ = 2 i µ = −3.




∣∣∣∣∣∣∣∣

3 5 3 2−2 −3 −2 −1−1 −1 0 −3−2 −4 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x +2y +z = −4

−2x +3y +3z = 7x +4y +2z = −2

.




−1 −3 −4

7 9 9−3 −4 −4

, L =

(1 −1 −2

−1 0 1

)

i M =

( −1 0 12 1 −1

).





∣∣∣∣∣∣∣∣

3 3 −5 2−2 −2 3 −1−1 0 1 −3−2 2 4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina2x −y +2z = −1x −2y −3z = 6

2x −4y −3z = 6.




−1 2 1−5 15 −7

2 −6 3

, L =

1 −1−2 2

0 −1

i M =

−2 1

0 −1−1 2

.





∣∣∣∣∣∣∣∣

−2 3 3 −2−1 1 2 −2−3 −1 −5 4

2 0 3 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina−x +2y +2z = 02x −4y −z = 6

−3x +3y −2z = −13.




−1 3 −2

2 −12 151 −4 4

, L =

( −1 2 −22 0 −1

)

i M =

( −2 1 2−1 0 2

).





∣∣∣∣∣∣∣∣

3 2 2 −15 3 3 −24 2 −2 1

−1 −1 0 3

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x −2y +z = −52x −2y +3z = 0x −3y +2z = −3

.




−1 −3 2

1 −2 71 2 0

, L =

1 −2−2 0

2 −1

i

M =

−2 1−1 0

2 −2

.





∣∣∣∣∣∣∣∣

−2 3 2 1−3 5 3 2−2 4 −2 −1−1 1 0 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Zadatak 3 Rijesiti sistem linearnih jednacina3x +2y +z = −32x +2y +3z = −8−x −3y −2z = 9

.



Zadatak 1 (rade svi kandidati). Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojojtacki):

1. y =2x− 1

3xln x,

2. y =√−x2 + 2x− 3.

Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti asimptote funkcije y =x2 + 1

x2 + 2x− 8.

Zadatak 3 (rade samo kandidati koji polazu “malu matematiku”). Izracunati:

1. limx→∞

2x4 − x2 + 3

4x4 + 3x3 − 2x2,

2. limx→∞

(x + 3

x− 3

)−x

.

Zadatak 4 (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”). Izracunati:

1.

∫dx

3x− 4,

2.

∫cos xdx

sin2 x + 1.

Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Navesti definiciju prve derivacije (izvoda) funkcije y = f(x) u tacki x0.B) Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvije funkcijef(x) i g(x). Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x), ako jeh(x) = f(g(φ(x))).




1. y =x2 − 3x− 2

exp (x),

2. y = 3

√2x− 1

x + 1.

Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti intervale monotonosti i ekstremne

vrijednosti funkcije y = (2x− 1) exp(−x

2

).


1. limx→∞

√4x2 − x +

√x√

x2 −√x,

2. limx→0

sin 5x

sin 2x.


1.

∫dx

(3x + 2)4,

2.

∫ 3√

ln x

xdx.

Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Definiraj prvu derivaciju (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈ (a, b).B) Navedi pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcija f(x) ig(x). Napivesti pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozene funkcijeh(t), ako je h(t) = f(g(x(t))).




1. y =−x2 + x− 2

x2 + 1,

2. y = sin (2x) · exp (−x).


vrijednosti funkcije y =1

3x3 +

1

2x2 − 2x + 6.


1. limx→∞

√16x2 + x + 2

2x + 3,

2. limx→∞

(x− 2)6 · (x2 − x + 4)4

(2x3 − x2 + x + 1)2 · (x4 − x2 + 1)2.


1.

∫cos

x

3dx,

2.

∫exp (x2 + 4x + 6) · (x + 2)dx.

Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Sta je to prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈ (a, b).B) Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcijaf(x) i φ(x). Napisati pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozenefunkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).




1. y =x− 1

x + 1exp (x),

2. y = arctan2x + 1

2.

Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti asimptote funkcije y =2x2 + 3x− 1

x + 1.


1. limx→−1

x3 − 2x2 + 3

2x2 − 3x− 5,

2. limx→0

sin 2x

x.


1.

∫dx

x2 + 6x + 10,

2.

∫(3x− 2) sin xdx.

Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Navedi sta je, po definiciji, prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(t) unekoj tacki t0 ∈ (a, b).B) Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda funkcija f(x), g(x)i φ(x) i kolicnika prve dvije. Napisati pravilo po kojem se odredjuje prvaderivacija slozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).




1. y =x + 1

x− 1exp (x),

2. y = arctan2x− 1

2.


vrijednosti funkcije y = −1

3x3 +

1

2x2 + 2x + 4.


1. limx→∞

6x− 1√9x2 + x− 1

,

2. limx→∞

(2x + 1)4 · (x2 − x− 2)5

(x2 + x + 1)3 · (x2 − 1)4.


1.

∫dx

x2 − 10x + 26,

2.

∫(2x− 3) cos xdx.

Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Navedi sta je, po definiciji, prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(t) unekoj tacki t0 ∈ (a, b).B) Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda funkcija f(x), g(x)i φ(x) i kolicnika prve dvije. Napisati pravilo po kojem se odredjuje prvaderivacija slozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).




1. y =x2 − x + 2

−x2 + 1,

2. y = cos (2x) · exp(x

2

).

Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti asimptote funkcije y =2x2 − 3x + 1

x + 1.


1. limx→1

x3 + 2x2 − 3

2x2 + 3x− 5,

2. limx→0

sin x

2x.


1.

∫sin

x

3dx,

2.

∫exp (x2 + 2x + 2) · (x + 1)dx.

Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Sta je to prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈ (a, b).B) Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcijaf(x) i φ(x). Napisati pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozenefunkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).




1. y =x2 + 2x + 3

exp (x),

2. y = 3

√2x + 1

x− 1.


vrijednosti funkcije y = (1− 2x) exp(x

2

).


1. limx→∞

6x3 − 3x2 + x− 1

2x3 + x2 − x + 4,

2. limx→∞

(x + 2

x− 4

)−x

.


1.

∫dx

2x + 5,

2.

∫sin xdx

cos2 x + 1.

Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Definiraj Prvu derivaciju (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈ (a, b).B) Navedi pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcija f(x) ig(x). Napivesti pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozene funkcijeh(t), ako je h(t) = f(g(x(t))).




1. y =3x + 1

2xln x,

2. y =√

x2 + 2x + 6.

Zadatak 2 (rade svi kandidati). Odrediti asimptote funkcije y =x2 + 1

x2 − 2x− 8.


1. limx→∞

√4x2 +

√x√

64x2 + x−√x,

2. limx→0

sin 3x

sin 4x.


1.

∫dx

4√

3x− 4,

2.

∫ln2 x

xdx.

Pitanje 1 (rade svi kandidati).A) Navesti definiciju prve derivacije (izvoda) funkcije y = f(x) u tacki x0.B) Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvije funkcijef(x) i g(x). Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x), ako jeh(x) = f(g(φ(x))).



Zadatak 1 (rade svi kandidati). Rijesiti matricnu jednacinu 2B−AX = C,

gdje je A =

1 −2 −11 −4 21 5 −12

, B =

1 −22 −1

−1 1

i C =

2 2−1 1

1 −2

i X

nepoznata matrica.

Zadatak 2 (rade svi kandidati). Detaljno ispitati funkciju

y =x2 + 7x + 10

x + 1,

a zatim skicirati njen grafik.


1. izvod funkcije y = lnsin x

2xu bilo kojoj tacki,

2. limx→∞

√9x2 − x + 2√

x2 − 3√

x.


1.

∫5x− 4

2x2 − 5x + 2dx,

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = −x2 + 4x + 1 i y2(x) = x + 1.

Pitanje 1 1. (rade svi kandidati)

Ako je matrica A formata 3 × 3, a matrica B formata 5 × 3 navedipostoje li matrice A ·B i B · A. Ako postoje, kojeg su one formata.

2. (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”)

Navesti pravilo za diferenciranje slozene funkcije y = f(g(x)) i formuluza parcijalnu integraciju.



Zadatak 1 (rade svi kandidati). Rijesiti sistem linearnih jednacina

−x +2y −z = 63x −2y +5z = −2

−2x +4y −z = 14

.


y =x2 + 5x

x2 + 5x + 6,



1. izvod funkcije y = lncos x

2xu bilo kojoj tacki,

2. limx→∞

√x2 − x + 3√16x2 + 3

√x.


1.

∫dx

9x2 + 4,

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 − 6x + 5 iy2(x) = −x2 + 6x− 5.

Pitanje 1 1. (rade svi kandidati)

Ako je matrica M formata 3 × 4, a matrica N formata 4 × 5 navedipostoje li matrice M ·N i N ·M . Ako postoje, kojeg su one formata?

2. (rade samo kandidati koji polazu “veliku matematiku”)

Navesti pravilo za diferenciranje slozene funkcije y = α(β(ϕ(x))) i for-mulu za parcijalnu integraciju.


Popravni ispit iz Matematike grupa A2

Zadatak 1 (rade svi kandidati). Rijesiti matricnu jednacinu B−XA = 2C,

gdje je A =

1 −2 −11 3 21 −14 −8

, B =

( −1 −2 11 −1 2

)i C =

( −2 1 −12 −1 2

)

i X nepoznata matrica.


y =x2 + x− 2

x− 2,



1. izvod funkcije y = arctan2x− 1

x + 3u bilo kojoj tacki,

2. limx→1

x3 − 2x + 1

x2 + 2x− 3.


1.

∫5x− 1

2x2 + x− 1dx,

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = −x2− 2x + 4 i y2(x) = x + 4.

Pitanje 1 (rade svi kandidati) Navedi sta je inverzna, a sta je to adjungo-vana matrica matrice A. Koja je formula za izracunavanje inverzne matricepreko adjungovane matrice.

Pitanje 2 (rade svi kandidati) Navedi pravila za diferenciranje zbira, razlike,proizvoda i kolicnika dvije finkcije f(x) i g(x).


Popravni ispit iz Matematike grupa A3

Zadatak 1 (rade svi kandidati). Rijesiti matricnu jednacinu AX = BC,

gdje je A =

(4 55 6

), B =

( −11

)i C =

(2 −2

)i X nepoznata ma-

trica.


y =x2 − x− 2

x− 3,



1. izvod funkcije y = exp(sin 2x) u bilo kojoj tacki,

2. limx→∞

(x + 4

x− 2

)−2x

.


1.

∫5x + 1

2x2 − x− 1dx,


Pitanje 1 (rade svi kandidati) Navedi sta je inverzna, a sta je to adjungo-vana matrica matrice X. Koja je formula za izracunavanje inverzne matricepreko adjungovane matrice.

Pitanje 2 (rade svi kandidati) Navedi pravila za diferenciranje: sume, raz-like, proizvoda i kolicnika dvije finkcije s(x) i h(x).


Popravni ispit iz Matematike grupa B2


−x +2y −z = −10−3x −2y +4z = 8

2x −5y +z = 21

.


y =x2 − 3x− 4

x2 − 3x + 2,



1. izvod funkcije y = arctanx− 2

2x + 1u bilo kojoj tacki,

2. limx→1

x3 + 3x− 4

x2 − 3x + 2.


1.

∫dx

4x2 + 9,

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 − 2x − 3 iy2(x) = −x2 + 2x + 3.

Pitanje 1 (rade svi kandidati) Sta je inverzna, a sta je to adjungovana ma-trica matrice P . Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice P−1

preko adjungovane matrice.

Pitanje 2 (rade svi kandidati) Navedi pravila za diferenciranje zbira, razlike,proizvoda i kolicnika dvije finkcije a(x) i b(x).


Popravni ispit iz Matematike grupa B3


−x +y −2z = 12x −y +z = −23x −2y +3z = −3

.


y =x2 − x

x2 − x− 6,



1. izvod funkcije y = sin(exp (2x)) u bilo kojoj tacki,

2. limx→∞

(x + 3

x− 1

)−2x

.


1.

∫dx

16x2 + 25,

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 + 6x + 5 iy2(x) = −x2 − 6x− 5.

Pitanje 1 (rade svi kandidati) Sta je inverzna, a sta je adjungovana ma-trica matrice P . Koja je formula za racunanje inverzne matrice P−1 prekoadjungovane matrice.

Pitanje 2 (rade svi kandidati) Kako glase pravila za diferenciranje zbira,razlike, proizvoda i kolicnika dvije finkcije h(x) i f(x).


Dodatni ispit iz Matematike “mala matematika”

Zadatak 1 ( 25 bodova) Zadane su matrice A =

−1 2 −2−1 −1 −43 5 13

,M =

1 −2−1 32 −3

i N =

−2 10 21 −1

.

1. Izracunati matricu B = αM + βN ako je α = −1i β = 2.

2. Izracunati A−1.

3. Rijesiti matricnu jednacinu AX = B.

Zadatak 2 (30 bodova) Deataljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 3x− 4

x + 5, a


Zadatak 3 (25 bodova) Izracunati

1. Izvod funkcije y = lnx + 2

2x− 1(u bilo kojoj tacki).

2. limx→−1

x2 − 2x2 − x + 2

x2 + 4x + 3.

Pitanje 1 (10 bodova) Ako je A matrica formata 3×4 a matrica B formata4× 8 da li su definirane matrice AB i BA. Koga je formata produkt matricakoja postoji.

Pitanje 2 (10 bodova) Navedi potreban uslov da funkcija f(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki x0. Ako je f ′(x) > 0 u nekom intervalu, kakva jefunkcija f(x) u tom intervalu.


Dodatni ispit iz Matematike “velika matematika”

Zadatak 1 (25 bodova) Zadane su matrice A =

−1 2 −21 −5 0−1 7 1

,M =

( −1 2 13 −2 3

)i N =

( −2 0 1−1 1 −1

).

1. Izracunati matricu B = αM + βN ako je α = 1i β = −2.

2. Izracunati A−1.

3. Rijesiti matricnu jednacinu XA = B.

Zadatak 2 (25 bodova) Deataljno ispitati funkciju f(x) =x2 − x− 2

x− 3, a


Zadatak 3 (20 bodova) Izracunati

1.

∫x + 2

4√

x2 + 4x + 5dx.

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y = x2 + 2x + 3 i y = 3x + 3.

Pitanje 1 (10 bodova) Da li svaka matrica ima inverznu matricu. Kojije uslov da kvadratna matrica X ima inverznu X−1. Napisati formulu zaodredjivanje matrice X−1.

Pitanje 2 (10 bodova) Navedi potrebne i dovoljne uslove da funkcija dvijepromjenljive z = f(x, y) ima lokalni ekstrem u nekoj tacki A(x0, y0).



Zadatak 1 Rijesiti jednacinu (odrediti nule odgovarajuceg polinoma)

x3 − x2 − 4x− 2 = 0.

Zadatak 2 Rijesiti sistem linearnih jednacina

x −2y −2z = −52x −3y +3z = 12−x +2y +z = 2

.

Zadatak 3 Rijesiti matricnu jednacinu X · A = B ako je

A =

1 1 −22 −1 −3

−5 2 8

i B =

( −1 1 −22 −1 1

).

Pitanje 1 a) Navesti kako se sve moze izracunavati determinanta trecegareda;b) Ako je inverzna matrica kvadratne matrice X matrica B, sta je matricaBX.

Pitanje 2 a) Navedi definiciju preslikavanja g : A 7→ A koje je bijekcija uskupu A.b) Ako je z = (x, y) i w = (u, v), sta je z + 3w, a sta 3zw.




x3 + x2 − 4x + 2 = 0.


−x +2y +z = 23x +3y +2z = 182x −2y −z = 1

.


A =

1 −2 1−5 8 2

2 −3 −1

i B =

( −1 1 −22 −1 1

).

Pitanje 1 a) Navesti kako se moze izracuni determinanta cetvrtog reda;b) Kada postoji inverzna matrica kvadratne matrice X.

Pitanje 2 a) Navedi definiciju preslikavanja g : A 7→ B koje je bijekcija izskupa A u skup B.b) Ako je z = (x, y) i w = (u, v), sta je w + 2z, a sta 2zw.




x3 − x2 − 3x− 1 = 0.


x +2y −z = 2−2x −2y +z = −5

3x −3y +2z = 12.


A =

−1 1 2−3 −2 8

2 1 −5

i B =

( −1 1 −22 −1 1

).

Pitanje 1 a) Navesti kako se izracunava determinanta cetvrtog reda;b) Ako je inverzna matrica kvadratne matrice X matrica A, sta je matricaAX i kada A postoji.

Pitanje 2 a) Navedi definiciju preslikavanja g : A 7→ B koje je injekcija izskupa A u skup B.b) Ako je z = (x, y) i w = (u, v), sta je z + w, a sta zw.




x3 − 4x2 + 3x + 2 = 0.


x −2y −z = −22x −3y −2z = −3−x −3y +2z = 0

.


A =

1 2 −11 −5 2

−2 8 −3

i B =

( −1 1 −22 −1 1

).

Pitanje 1 a) Navesti osnovne osobine determinante cetvrtog reda;b) Ako je inverzna matrica kvadratne matrice X matrica B, sta je matricaBX, a sta matrica XB.

Pitanje 2 a) Navedi definiciju preslikavanja f : X 7→ Y koje je injekcija izskupa X u skup Y .b) Ako je z = (x, y) i w = (u, v), koliko je z + w i zw.



Zadatak 1 Odrediti kolicnik K(x) i ostatak r(x) pri dijeljenju polinomaP (x) = 2x4 + x3 + 2x2 − x− 2 sa polinomom Q(x) = x2 − x− 1.


−x +y +2z = −22x −y −3z = 0

−2x −2y +3z = 9.

Zadatak 3 Rijesiti matricnu jednacinu A ·X = B ako je

A =

−1 7 −9

2 −7 81 −2 2

i B =

−1 2

1 −1−2 1

.

Pitanje 1 a) Navesti Kramerova pravila za rjesenja sistema od 3 × 3 lin-earnih algebarskih jednacina;b) Navedi definiciju preslikavanja f : X → Y .Za koje f kazemo da je bijek-cija.

Pitanje 2 a) Navesti osnovne osobine determinante petog reda;b) Ako matrica X ima determinantu jednaku nuli, sta je sa inverznom ma-tricom te matrice.



Zadatak 1 Odrediti kolicnik K(x) i ostatak r(x) pri dijeljenju polinomaP (x) = 2x4 − x3 − 2x2 + x + 3 sa polinomom Q(x) = x2 − x− 2.


x +2y −z = −8−x −3y +2z = 10−2x +3y −2z = −1

.


A =

−1 2 1

7 −7 −2−9 8 2

i B =

−1 2

1 −1−2 1

.

Pitanje 1 a) Navesti osnovne osobine determinante cetvrtog reda;b) Ako je inverzna matrica kvadratne matrice X matrica B, koja je matricaBX.

Pitanje 2 a) Kako glase Kramerova pravila za rjesenja sistema od 4 × 4linearnih algebarskih jednacina;b) Navedi trigonometrijski oblik zapisivanja kompleksnog broja z = 1 + i.



Zadatak 1 Odrediti kolicnik K(x) i ostatak r(x) pri dijeljenju polinomaP (x) = 2x4 + x3 − 2x2 + x− 3 sa polinomom Q(x) = x2 + x− 2.


−x +y −2z = 22x −y −2z = −1

−3x +2y +3z = 0.


A =

1 2 −1−2 −7 7

2 8 −9

i B =

−1 2

1 −1−2 1

.

Pitanje 1 a) Navesti osnovne osobine determinante trecega reda;b) Ako je inverzna matrica kvadratne matrice X matrica Y , koja je matricaXY .

Pitanje 2 a) Kako glase Kramerova pravila za rjesenja sistema od 3 × 3linearnih algebarskih jednacina;b) Navedi trigonometrijski oblik zapisivanja kompleksnog broja z = x + iy.



Zadatak 1 Odrediti kolicnik K(x) i ostatak r(x) pri dijeljenju polinomaP (x) = 2x4 − x3 + 3x2 − x + 4 sa polinomom Q(x) = x2 − x + 1.


x −y −2z = 22x −3y +3z = 0−x +2y −2z = −1

.


A =

1 −2 22 −7 8

−1 7 −9

i B =

−1 2

1 −1−2 1

.

Pitanje 1 a) Navesti osnovne osobine determinanti;b) Sta je inverzna matrica kvadratne matrice X i kako se ona odredjujepomocu adjungovane matrice.

Pitanje 2 a) Kako glase Kramerova pravila za rjesenja sistema linearnihalgebarskih jednacina;b) Navedi sve oblike zapisivanja kompleksnog broja z = (x, y).



Zadatak 1 Izracunati:

1. limx→0

sin 5x

3x;

2. limx→1

x3 + x2 + x− 3

2x2 − x− 1.

Zadatak 2 Odrediti asimptote funkcije

y =3x2 + 1

2x2 − x− 3.

Zadatak 3 Odrediti izvod zadane funkcije (u bilo kojoj tacki)

1. y =exp (x)(x + 1)

x− 2;

2. y =√

ln 2x.

Pitanje 1 Navesti definiciju prve derivacije (izvoda) funkcije y = f(x) utacki x0.

Pitanje 2 Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvijefunkcije f(x) i g(x). Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x),ako je h(x) = f(g(φ(x))).




1. limx→∞

(4x + 11)2(x3 + x2 − x− 1)3

(3x2 − x + 2)4(x + 9)3;

2. limx→∞

(x + 1

x− 2

)2x

.


y =2x2 + x− 1

x + 3.


1.

∫x3 + x

x4 + 2x2 − 3dx;

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2−x+1 i y2(x) = x2+4x+5.

Pitanje 1 Definiraj Prvu derivaciju (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈(a, b).

Pitanje 2 Navedi pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcijaf(x) i g(x). Napivesti pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozenefunkcije h(t), ako je h(t) = f(g(x(t))).




1. limx→0

sin 5x

sin 3x;

2. limx→−1

x3 − 2x2 − 2x + 1

2x2 + x− 1.


y = x3 + x2 − x + 1.


1. y =x− 1

(x + 2) ln x;

2. y = arctanx + 3

x− 1.

Pitanje 1 Sta je to prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈(a, b).

Pitanje 2 Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnikafunkcija f(x) i φ(x). Napisati pravilo po kojem se odredjuje prva derivacijaslozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).




1. limx→∞

8x + 34√

16x4 +√

x− 1;

2. limx→∞

(x− 1

x− 3

)−x

.


y = (−x + 3) exp (−2x).


1.

∫ √x ln xdx;

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2+x−2 i y2(x) = x2−2x−2.

Pitanje 1 Navedi sta je, po definiciji, prva derivacija (izvod) funkcije y =φ(t) u nekoj tacki t0 ∈ (a, b).

Pitanje 2 Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda funkcijaf(x), g(x) i φ(x) i kolicnika prve dvije. Napisati pravilo po kojem se odredjujeprva derivacija slozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).




1. limx→0

sin 3x

sin 2x;

2. limx→−1

x3 + 2x2 + 3x + 2

2x2 − x− 3.


y = x3 + x2 − 5x + 1.


1. y =x + 1

(x− 2) ln x;

2. y = arctanx− 3

x + 1.

Pitanje 1 Navedi sta je, po definiciji, prva derivacija (izvod) funkcije y =φ(t) u nekoj tacki t0 ∈ (a, b).

Pitanje 2 Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda funkcijaf(x), g(x) i φ(x) i kolicnika prve dvije. Napisati pravilo po kojem se odredjujeprva derivacija slozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g((x)).




1. limx→∞

3√

27x3 +√

x− 1

9x + 3;

2. limx→∞

(x + 3

x + 1

)−x

.


y = (−2x + 3) exp (−x).


1.

∫dx

x√

ln x;

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 + 2x− 2 i y2(x) = −x + 2.

Pitanje 1 Sta je to prva derivacija (izvod) funkcije y = φ(x) u tacki x0 ∈(a, b).

Pitanje 2 Navedi osnovna pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnikafunkcija f(x) i φ(x). Napisati pravilo po kojem se odredjuje prva derivacijaslozene funkcije h(x), ako je h(x) = f(g(φ(x))).




1. limx→0

sin 3x

5x;

2. limx→1

x3 − 2x2 + 3x− 2

2x2 + x− 3.


y =3x2 + 3

2x2 + 3x− 5.


1. y =exp (x)(x− 1)

x + 2;

2. y = 3√

ln 3x.

Pitanje 1 Definiraj prvu derivaciju (izvod) funkcije y = φ(t) u tacki t0 ∈(a, b).

Pitanje 2 Navedi pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika funkcijaf(x) i g(x). Napivesti pravilo po kojem se odredjuje prva derivacija slozenefunkcije h(t), ako je h(t) = f(g(x(t))).




1. limx→∞

(2x− 1)5(x3 + x2 + x + 1)2

(x2 + x + 1)4(3x− 1)3;

2. limx→∞

(x + 2

x− 1

)2x

.


y =2x2 + x− 3

x + 2.


1.

∫x2 + 1

4√

x3 + 3x− 1dx;

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 + x− 1 i y2(x) = −2x + 3.

Pitanje 1 Navesti definiciju prve derivacije (izvoda) funkcije y = f(x) utacki x0.

Pitanje 2 Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvijefunkcije f(x) i g(x). Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x),ako je h(x) = f(g(x)).


Zavrsni ispit iz Matematike grupa M1

Zadatak 1 Neka je A =

( −3 72 −5

), B =

(2 1 −3−1 1 1

)i C =

1 23 1−1 −2

.

1. Izracunati proizvod BC.

2. Rijesiti matricnu jednacinu XA = BC.

Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + x− 2

x− 2, a zatim skicirati

njen grafik.


1. izvod funkcije f(x) = exp (sin 2x) u bilo kojoj tacki;

2. limx−>∞

(x + 4

x− 2

)−2x

.

Pitanje 1 Navedi sta je inverzna, a sta je to adjungovana matrica kvadratnematrice A. Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice preko njeneadjungovane matrice adjA.

Pitanje 2 Navedi pravila za diferenciranje zbira, razlike, proizvoda i kolicnikadvije finkcije f(x) i g(x).




( −5 212 −5

), B =

(3 1 −2−1 2 2

)i C =

2 1−1 23 −2

.


2. Rijesiti matricnu jednacinu AX = BC.

Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − x− 2

x− 3, a zatim skicirati

njen grafik.


1. izvod funkcije f(x) = lnx + 2

2x− 1u bilo kojoj tacki;

2. limx−>−1

x3 − 2x2 − x + 2

x2 + 4x + 3.

Pitanje 1 Navedi sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica kvadratnematrice X. Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice X−1 prekonjene adjungovane matrice adjX.

Pitanje 2 Navedi pravila za diferenciranje zbira, razlike, proizvoda i kolicnikadvije finkcije u(x) i v(x).




(3 45 7

), B =

(3 1 −2−2 1 −1

)i C =

−1 21 −22 1

.



Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 9x + 18

x + 2, a zatim skicirati

njen grafik.


1. izvod funkcije f(x) = ln2x + 1

x− 2u bilo kojoj tacki;

2. limx−>−1

x3 − 3x2 − x + 3

x2 + 5x + 4.

Pitanje 1 Navesti sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica kvadratnematrice B. Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice B−1 prekonjene adjungovane matrice adjB.

Pitanje 2 Navedi pravila za diferenciranje zbira, razlike, proizvoda i kolicnikadvije finkcije s(x) i t(x).


Zavrsni ispit iz Matematike grupa V1


(3 −2−8 5

), B =

(1 −1 23 −1 1

)i C =

−1 21 −33 1

.



Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 5x

x2 − 5x + 6, a zatim skicirati

njen grafik.


1.

∫(3x + 4)dx

2x2 + 7x + 3;

2.

∫dx

4√

(3x + 1)3.

Pitanje 1 Navedi sta je inverzna, a sta je to adjungovana matrica matriceP . Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice P−1 preko adjungo-vane matrice.

Pitanje 2 Navedi potrebane i dovoljane uslove da finkcije s(x) i f(x, y)imaju lokalni ekstremum smax u nekoj tacki a, odnosno fmin u tacki A(a, b).




( −2 35 −8

), B =

( −1 1 32 −3 1

)i C =

1 3−1 −12 1

.




x2 + 7x + 12, a zatim skicirati

njen grafik.


1.

∫(4x− 3)dx

3x2 − 7x + 2;

2.

∫dx

4√

(3x− 1)3.

Pitanje 1 Navesti sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica matrice G.Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice G−1 preko adjungovanematrice.

Pitanje 2 Navedi potrebane i dovoljane uslove da finkcije g(x) i f(x, y)imaju lokalni ekstremum gmax u nekoj tacki a, odnosno fmin u nekoj tackiA(a, b).




(2 −5−3 7

), B =

(1 3 −12 1 −2

)i C =

2 −11 1−3 1

.



Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 5x

x2 + 5x + 6, a zatim skicirati

njen grafik.


1.

∫(5x + 1)dx

2x2 − x− 1;


Pitanje 1 Navesti sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica matrice Y .Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice Y −1 preko adjungovanematrice.

Pitanje 2 Navedi potrebane i dovoljane uslove da finkcije f(x) i g(x, y)imaju lokalni ekstremum fmax u nekoj tacki a, odnosno gmin u tacki A(a, b).




( −2 55 −12

), B =

(2 −1 31 2 −2

)i C =

3 −11 2−2 2

.



Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 3x− 4

x2 − 3x + 2, a zatim skicirati

njen grafik.


1.

∫(5x− 1)dx

2x2 + x− 1;

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = −x2− 2x + 4 i y2(x) = x + 4.

Pitanje 1 Navesti sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica matrice X.Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice X−1 preko adjungovanematrice.

Pitanje 2 Navedi potrebane i dovoljane uslove da finkcije f(x) i z = g(x, y)imaju lokalni ekstremum fmin u nekoj tacki a, odnosno gmax u tacki A(a, b).




(4 37 5

), B =

( −1 1 22 −2 1

)i C =

3 −21 1−2 −1

.




x + 1, a zatim skicirati

njen grafik.


1.

∫dx

4x2 + 9;

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = x2 − 2x− 3 i y2(x) = −x2 +2x + 3.

Pitanje 1 Navesti sta je inverzna, a sta je adjungovana matrica matrice T .Koja je formula za izracunavanje inverzne matrice T−1 preko adjungovanematrice.

Pitanje 2 Navedi potrebane i dovoljane uslove da finkcije h(x) i z = f(x, y)imaju lokalni ekstremum hmax u nekoj tacki a, odnosno fmin u tacki A(a, b).


Popravni ispit iz Matematike grupa M1


3 −1 22 3 2

−1 −7 5

i b =

−1

12

. Rijesiti matricnu

jednacinu (A− 2I) X = b, ako je I jedinicna matrica reda 3.

Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 3x

x− 1, a zatim skicirati njen

grafik.


1. izvod funkcije f(x) = arctan2x + 1

x− 1u bilo kojoj tacki;

2. limx−>∞

(x + 5

x− 3

)−x4

.

Pitanje 1 Navesti definiciju prvog i drugog izvoda funkcije y = f(x) u tackix0.Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvije funkcije f(x)i g(x).

Pitanje 2 Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x), ako jeh(x) = f(g(φ(x))).


Popravni ispit iz Matematike grupa M2


1 1 −2−2 6 −7

1 −6 12

i b =

(1 −2 1

). Rijesiti

matricnu jednacinu X (A− 2I) = b, ako je I jedinicna matrica reda 3.

Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 3x

x− 4, a zatim skicirati njen

grafik.


1. izvod funkcije f(x) = arctan2x− 1

x + 1u bilo kojoj tacki;

2. limx−>∞

(x + 4

x− 2

)−x3

.

Pitanje 1 Kako se odredjuje prva derivacija slozene funkcije h(x), ako jeh(x) = f(g(φ(x))).

Pitanje 2 Navesti definiciju prvog i drugog izvoda funkcije y = f(x) u tackix0.Navesti pravila za deriviranje sume, proizvoda i kolicnika dvije funkcije u(x)i v(x).


Popravni ispit iz Matematike grupa V1


3 4 −61 4 −32 −1 4

i b =

−1−1

2

. Rijesiti matricnu

jednacinu (A− 2I) X = b, ako je I jedinicna matrica reda 3.

Zadatak 2 Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 5x + 6

x2 − 5x, a zatim skicirati

njen grafik.


1.

∫(2x− 1) sin xdx;

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2 + 2x + 5 i y2(x) = x2 −2x + 2.

Pitanje 1 Navedi potreban uslov da funkcija f(x) ima ekstremnu vrijednostu nekoj tacki a ∈ Df .

Pitanje 2 Navesti dovoljan uslov da funkcija f(x, y) ima ekstremnu vrijed-nost u nekoj tacki A(a, b) ∈ Df .


Popravni ispit iz Matematike grupa V2


1 6 −4−1 5 −2

2 −2 3

i b =

( −1 1 2). Rijesiti

matricnu jednacinu X (A− 2I) = b, ako je I jedinicna matrica reda 3.


x2 + 5x, a zatim skicirati

njen grafik.


1.

∫(2x + 1) cos xdx;

2. povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2 − 2x + 5 i y2(x) = x2 +2x + 2.

Pitanje 1 Navedi potrebne i dovoljne uslove da funkcija f(x) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki a ∈ Df .

Pitanje 2 Navesti potreban uslov da funkcija z = f(x, y) ima ekstremnuvrijednost u nekoj tacki A(a, b) ∈ Df .


Dodatni ispit iz Matematike grupa A1

Zadatak 1 (rade svi kandidati) Neka je A =

(3 −2−4 3

), B =

( −12

), C =

(1 −2

)i X nepoznata matrica. Rijesiti matricnu jednacinu AX = BC.

Zadatak 2 (rade svi kandidati) Rijesiti sistem linearnih jednacina

2x −5y +z = 0x −y −z = −3

−x +4y −2z = −3.

Zadatak 3 (rade svi kandidati) Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 3x

x− 1,


Zadatak 4 (rade kandidati koji polazu “veliku” matematiku) Izracunati:

a)

∫x4 + 2

x2 + 1dx;

b)

∫ π

0

(x + 2) sinx

2dx.

Zadatak 5 (rade kandidati koji polazu “malu” matematiku) Izracunati:

1. izvod funkcije f(x) = ln3x + 1

5x + 2u bilo kojoj tacki;

2. limx−>∞

(x + 3

x− 1

)x2

.

Pitanje 1 (rade svi kandidati) Ako je matrica A tipa 3 × 4, a matrica ABtipa 3× 6 kojeg formata bi morala biti matrica B.

Pitanje 2 (rade svi kandidati) Date su funkcije f(t) i g(t) navedi pravila za

diferenciranje funkcija: f(t) + g(t), f(t)− g(t), f(t)g(t), f(t)g(t)

i f(g(t)).


Dodatni ispit iz Matematike grupa A2


−1 2 −1−1 5 −30 1 −1

, b =

−121

i X nepoznata matrica. Rijesiti matricnu jednacinu AX = b.


2x +y −5z = 0x −y −z = −3

−x −2y +4z = −3.

Zadatak 3 (rade svi kandidati) Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 3x− 4

x2 − 3x + 2,



a)

∫(2x− 1) sin xdx;

b) povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2 + 2x + 5 i y2(x) = x2 −2x + 2.


1. izvod funkcije f(x) =x · exp (x)


2. limx−>∞

(2x + 1)3 (x3 + 2x2 − x− 1)2

(2x2 − x− 1)3 (x− 2)3 .


Pitanje 2 (rade svi kandidati) Date su funkcije h(t) i s(t) navedi pravila za

diferenciranje funkcija: h(t) + s(t), h(t)− s(t), h(t)s(t), h(t)s(t)

i h(s(t)).


Dodatni ispit iz Matematike grupa B1


( −2 33 −4

), B =

(1−2

), C =

( −1 2)

i X nepoznata matrica. Rijesiti matricnu jednacinu XA = BC.


2x +y −4z = 3−x +y −z = −3

x +2y −5z = 0.

Zadatak 3 (rade svi kandidati) Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 − 3x

x− 4,



a)

∫x4 + 3

x2 + 1dx;

b)

∫ π

0

(x− 2) sinx

2dx.


1. izvod funkcije f(x) = ln5x− 2


2. limx−>∞

(x + 5

x− 3

)x4

.


Pitanje 2 (rade svi kandidati) Date su funkcije f(x) i φ(x) navedi pravila

za diferenciranje funkcija: f(x) + φ(x), f(x)−φ(x), f(x)φ(x), f(x)φ(x)

i f(φ(x)).


Dodatni ispit iz Matematike grupa B2


−1 −3 −11 5 20 −1 −1

, b =

( −1 2 1)

i X nepoznata matrica. Rijesiti matricnu jednacinu XA = b.


5x −y −2z = 0−x −y +z = −34x −2y −z = −3

.

Zadatak 3 (rade svi kandidati) Detaljno ispitati funkciju f(x) =x2 + 5x + 6

x2 + 5x,



a)

∫(2x + 1) cos xdx;

b) povrsinu koju ogranicavaju krive y1(x) = 2x2 − 2x + 5 i y2(x) = x2 +2x + 2.


1. izvod funkcije f(x) =2x · exp (x)

x + 1u bilo kojoj tacki;

2. limx−>∞

(2x3 − x2 + x + 1)2(x− 2)3

(2x2 − x + 1)3 (x + 1)3 .


Pitanje 2 (rade svi kandidati) Date su funkcije r(x) i h(x) navedi pravila

za diferenciranje funkcija: r(x) + h(x), r(x)− h(x), r(x)h(x), r(x)h(x)

i r(h(x)).

Univerzitet u SarajevuPoljoprivredno-prehrambeni fakultetSarajevo, 12.12.2013. godine

Prvi semestralni test izMatematike grupa A1

Zadatak 1 Koliko litara vode treba pomije�ati sa 60 l 14 %-tnog rastvoraalkohola ako µzelimo dobiti 12 %-tni rastvor alkohola?

Zadatak 2 Date su matrice A =

��1 2�1 3

�, B =

��1 2 01 1 �2

�i C =24 2 �1

0 3�1 2

35 :a) Izraµcunati proizvod BC;

b) Izraµcunati determinantu matrice A;

c) Izraµcunati inverznu matricu matrice A;

d) Rije�iti matriµcnu jednaµcinu AX = BC.

Zadatak 3 Rije�iti sistem linearnih jednaµcina

x+ y + z = 2;

2x� y + 3z = 0;

�x+ 2y + 3z = �3:

Pitanje 1 Teorija

Pitanje 2 Teorija


Prvi semestralni test izMatematike grupa A2

Zadatak 1 Odrediti realan parametar � ako se zna da je x1 = 1 nula poli-noma P (x) = 9x3 � 6x2 + �x+ 2, a onda odredi i ostale nule tog polinoma.


��1 2�1 3

�, B =

��1 2 01 1 �2

�i C =24 2 �1

0 3�1 2






x+ y + z = 2;

2x� y + 3z = 0;

�x+ 2y + 3z = �3:

Zadatak 4 Teorija

Zadatak 5 Teorija


Prvi semestralni test izMatematike grupa B1

Zadatak 1 Morska voda sadrµzi 5 % soli. Koliko litara slatke vode trebapomije�ati sa 100 l morske vode da se dobije voda sa 2 % soli?


�2 �31 �2

�, B =

�1 �2 10 1 �1

�i C =24 1 1

�2 30 �2




d) Rije�iti matriµcnu jednaµcinu XA = BC.


x� 2y + z = �3;�x+ 3y � z = 4;

3x+ y + 2z = 0:

Pitanje 1 Teorija

Pitanje 2 Teorija


Prvi semestralni test izMatematike grupa B2

Zadatak 1 Odrediti realan parametar � ako se zna da je x1 = 2 nula poli-noma P (x) = 6x3 + �x2 � 3x+ 2, a onda odredi i ostale nule tog polinoma.


�2 �31 �2

�, B =

�1 �2 10 1 �1

�i C =24 1 1

�2 30 �2






x� 2y + z = �3;�x+ 3y � z = 4;

3x+ y + 2z = 0:

Pitanje 1 Teorija

Pitanje 2 Teorija


Prvi semestralni test izMatematike grupa C1

Zadatak 1 U grupi od 15 sadnica jabuke 10 je prve klase. Odaberemo linasumice 3 sadnice, koja je vjerovatnoca da su sve odabrane sadnice prveklase?


24 1 �1 11 0 12 1 1

35, B =

24 0 �12 1�1 2

35 i C =�1 �2 3�1 0 1

�:

a) Izraµcunati proizvod BC;





x+ y + z = 3;

�2x+ 2y � 3z = �1;�x+ 3y � 2z = 2:

Pitanje 1 Teorija

Pitanje 2 Teorija


Prvi semestralni test izMatematike grupa C2

Zadatak 1 Odrediti koe�cijente a i b tako da polinom P (x) = x3 + ax2 �5x + b bude deljiv binomom x + 2, a pri deljenju sa x � 4 daje ostatak 18?Odredi i ostale nule polinoma P (x).


24 1 �1 11 0 12 1 1

35, B =

24 0 �12 1�1 2

35 i C =�1 �2 3�1 0 1

�:






x+ y + z = 3;

�2x+ 2y � 3z = �1;�x+ 3y � 2z = 2:

Pitanje 1 Teorija

Pitanje 2 Teorija


Prvi semestralni test izMatematike grupa D1

Zadatak 1 U stadu od 12 krava, 7 je visokoproduktivnih. Na sluµcajan naµcinse biraju 4 krave za muµznju. Odrediti vjerovatnocu da su sve odabrane kravevisokoproduktivne.


24 3 1 �11 1 2�1 0 1

35, B =24 1 0�1 21 �2

35 i C =��1 0 32 1 �1

�:






x+ 2y + z = 1;

�2x+ y � 3z = �2;�x+ 3y � 2z = �1:

Pitanje 1 Teorija

Pitanje 2 Teorija


Prvi semestralni test izMatematike grupa D2

Zadatak 1 Odrediti koe�cijente a i b tako da polinom P (x) = x3 + ax2 +bx+ 6 bude deljiv binomom x� 1, a pri deljenju sa x+ 3 daje ostatak �24?Odredi i ostale nule polinoma P (x).


24 3 1 �11 1 2�1 0 1

35, B =24 1 0�1 21 �2

35 i C =��1 0 32 1 �1

�:






x+ 2y + z = 1;

�2x+ y � 3z = �2;�x+ 3y � 2z = �1:

Pitanje 1 Teorija

Pitanje 2 Teorija


Drugi semestralni test izMatematike grupa A1

Zadatak 1 (6 b.) Odrediti vrijednost parametra � 2 R tako da x1 = 2 budejedna nula polinoma P (x) = x3+�x2�5x�6, pa za tako dobijenu vrijednostparametra � odrediti ostale nule polinoma P (x).

Zadatak 2 (7 b.) Odrediti de�niciono podruµcje, intervale monotonosti i ek-streme funkcije f(x) = (5� x) e2x:

Zadatak 3 (3 b. + 4 b.) Izraµcunati

a) limes limx!+1

x+px2+1

3x+1;

b) integralRx sin xdx koristeci metod parcijalne integracije:

Pitanje 1 (5 b.)

Pitanje 2 (5 b.)


Drugi semestralni test izMatematike grupa P1

Zadatak 1 (6 b.) Polinom P (x) pri djeljenju sa x� 1 daje ostatak 3, a pridjeljenju sa x+1 ostatak 1. Koliki je ostatak pri djeljenju polinoma P (x) sax2 � 1?

Zadatak 2 (7 b.) Odrediti de�niciono podruµcje, nule, znak i asimptote funkcijef(x) = x2�x�20

x�1 :

Zadatak 3 (3 b. + 4 b.) Izraµcunati

a) prvi izvod funkcije f (x) = x2 ln (2x+ 1) u proizvoljnoj taµcki iz de�ni-cionog podruµcja date funkcije;

b) integralR

xdxpx2+1

koristeci metod smjene.

Pitanje 1 (5 b.)

Pitanje 2 (5 b.)


Drugi semestralni test izMatematike grupa B1

Zadatak 1 (6 b.) Polinom P (x) = 2x3�3x2+1 rastaviti na proste faktore.

Zadatak 2 (7 b.) Odrediti de�niciono podruµcje, nule, znak i asimptote funkcijef(x) = x2+4x�5

x�5 :

Zadatak 3 (3 b. + 4 b.) Izraµcunati izvod funkcijeu bilo kojoj taµcki iz de�ni-cionog podruµcja date funkcije:

a) f(x) = xlnx;

b) f(x) = 3pex + 1:

Pitanje 1 (5 b.)

Pitanje 2 (5 b.)


Drugi semestralni test izMatematike grupa Z1

Zadatak 1 (6 b.) Odrediti sve realne nule polinoma P (x) = x4+ x3� x2+x� 2.

Zadatak 2 (7 b.) Odrediti de�niciono podruµcje, nule, znak i asimptote funkcijef(x) = x2�2x+1

x2+1:

Zadatak 3 (4 b. + 3 b.) Izraµcunati izvod funkcije u bilo kojoj taµcki iz de�ni-cionog podruµcja date funkcije:

a) f(x) =px2 + 1 lnx;

b) f(x) = x2�2xx2+1

.

Pitanje 1 (5 b.)

Pitanje 2 (5 b.)


Popravni ispit izMatematike grupa A

Zadatak 1 (10 b.) U ovisnosti o realnom parametru k diskutirati i rije�itisistem linearnih jednadµzbi

2x� y + z = 1;

�x+ 2y � 2z = �1;x+ ky � z = 0:

Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x

x2�1 :

Zadatak 3 (10 b.) Izraµcunati

a)R(2x� 1) sin 3xdx (Uputa: koristiti metod parcijalne integracije.);

b) povr�inu koju ograniµcavaju krive y1 = x2 + x+ 1 i y2 = 3 + x� x2:

Zadatak 4 (5 b.) (stari NPP) Izraµcunati limx!1

x3+x2�5x+3x3�x2�x+1 .

(novi NPP) U posudi je bilo 400 ml 6%�tnog rastvora soli. Poslije izv-jesnog vremena, uslijed isparenja, u posudi je ostalo 300 ml rastvora. Kolikije procenat soli u novom rastvoru?

Pitanje 1 (5 b.) Matrica je S = kaijka�6, a matrica T = kbjkkp�8. Podkojim se uslovima moµze odrediti matrica A = ST i matrica B = T TS?Odrediti formate matrica A i B.


Popravni ispit izMatematike grupa P

Zadatak 1 (10 b.) U ovisnosti o realnom parametru k diskutirati i rije�itisistem linearnih jednadµzbi

�2x+ y � z = 2;

x� 2y + kz = �1;�x� y + z = 1:

Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x2�1

x:


a)R

xx2�5x+6dx (Uputa: koristiti metod rastavljanja na parcijalne razlomke.);

b) povr�inu koju ograniµcavaju krive y1 = 2x2 + 1 i y2 = x2 � 3:

Zadatak 4 (5 b.) (stari NPP) Izraµcunati limx!0

e3x�1x.

(novi NPP) U posudi je bilo 400 ml 6%�tnog rastvora soli. Ako se uposudu dolije 200 ml µciste vode, koliki je procenat soli u novom rastvoru?

Pitanje 1 (5 b.) Navesti potreban uslov da funkcija z = f(x; y) ima lokalniekstremum u taµcci A(a; b). Koji je dovoljan uslov da je f(a; b) lokalni mak-simum funkcije z = f(x; y).


Popravni ispit izMatematike grupa B

Zadatak 1 (10 b.) Rije�iti sistem linearnih jednaµcina

2x� y � z = �1;�x+ 2y � 2z = 1;

x+ y � z = �1:

Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x2�7x+10

x�6 :


a) limx!+1

(3x�13x+1

)x3 ;

b) izvod u proizvoljnoj taµcki iz de�nicionog podruµcja funkcije y = xe�x2:

Zadatak 4 (5 b.) (novi NPP) Koliko litara vode treba sipati u 180 l �piri-tusa jaµcine 90% da bi se dobio �piritus jaµcine 81%?(stari NPP) Polinom P (x) = 2x4+x3� 19x2� 9x+9 rastaviti na proste

faktore.

Pitanje 1 (5 b.) Navesti potreban uslov da funkcija y = f(x) ima lokalnimaksimum u taµcci x = a. Koji je dovoljan uslov da je f(a) lokalni maksimumfunkcije f .


Popravni ispit izMatematike grupa Z


3x� y + z = �2;x+ y � 2z = 0;

�x+ y � z = 1:

Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x2+7x+10

x+1:


a) limx!+1

(3x+13x�2)

x2 ;

b) izvod u proizvoljnoj taµcki iz de�nicionog podruµcja funkcije y = x2e�3x:

Zadatak 4 (5 b.) (novi NPP) Koliko litara vode treba sipati u 90 l �piritusajaµcine 80% da bi se dobio �piritus jaµcine 60%?(stari NPP) Polinom P (x) = x4 � x3 + x2 � 3x � 6 rastaviti na proste

faktore.

Pitanje 1 (5 b.) Matrica je S = kaijka�6, a matrica T = kbjkkp�8. Podkojim se uslovima moµze odrediti matrica X = ST i matrica Y = T TS?Odrediti formate matrica X i Y .


Zavr�ni ispit izMatematike grupa B


2x� y � z = �1;�x+ 2y � 2z = 1;

x+ y � z = �1:

Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x2�7x+10

x�6 :


a) limx!+1

(3x�13x+1

)x3 ;

b) izvod u proizvoljnoj taµcki iz de�nicionog podruµcja funkcije y = xe�x2:

Zadatak 4 (5 b.) (novi NPP) Koliko litara vode treba sipati u 180 l �piri-tusa jaµcine 90% da bi se dobio �piritus jaµcine 81%?(stari NPP) Polinom P (x) = 2x4+x3� 19x2� 9x+9 rastaviti na proste

faktore.

Pitanje 1 (5 b.)


Zavr�ni ispit izMatematike grupa Z


3x� y + z = �2;x+ y � 2z = 0;

�x+ y � z = 1:

Zadatak 2 (10 b.) Precizno ispitati tok i nacrtati gra�k funkcije date saf(x) = x2+7x+10

x+1:


a) limx!+1

(3x+13x�2)

x2 ;

b) izvod u proizvoljnoj taµcki iz de�nicionog podruµcja funkcije y = x2e�3x:

Zadatak 4 (5 b.) (novi NPP) Koliko litara vode treba sipati u 90 l �piritusajaµcine 80% da bi se dobio �piritus jaµcine 60%?(stari NPP) Polinom P (x) = x4 � x3 + x2 � 3x � 6 rastaviti na proste

faktore.

Pitanje 1 (5 b.)

Documents

Skripta matematika