7/23/2019 Slide03S
1/36
2013/9/9
T O P I C : G A U S S - S E I D E L M E T H O D
SIMULTANEOUS LINEAR EQUATIONS
7/23/2019 Slide03S
2/36
GAUSS-SEIDEL METHOD
Adalah metode ITERASI
Prosedur dasar:
- Menyelesaikan tiap persamaan linier secara aljabar untuk xi
- Membuat nilai asumsi solusi
- Selesaikan untuk tiap xidan ulangi
- Gunakan perkiraan kesalahan relatif tiap akhir iterasi untukmengecek apakah error sudah mencapai angka toleransi.
7/23/2019 Slide03S
3/36
GAUSS-SEIDEL METHOD
Kenapa?
Untuk mengatasi round-off error(kesalahan pembulatan).
Metode eliminasi seperti Gaussian Elimination and LU
Decomposition(*) rawan terhadap kesalahan pembulatan.
7/23/2019 Slide03S
4/36
GAUSS-SEIDEL METHOD
AlgorithmSistem persamaan linier
11313212111 ... bxaxaxaxa nn
2323222121 ... bxaxaxaxa n2n
nnnnnnn bxaxaxaxa ...332211
. .
. .
. . Kita mengubah sistempersamaan [A]{X}={B}untuk menyelesaikanx1
dengan persamaanpertama, menyelesaikanx2 dengan persamaankedua, dan seterusnya.
7/23/2019 Slide03S
5/36
GAUSS-SEIDEL METHOD
AlgorithmGeneral Form of each equation
11
11
11
1a
xac
x
n
jj
jj
22
21
22
2a
xac
x
j
n
jj
j
1,1
11
,11
1
nn
n
njj
jjnn
na
xac
x
nn
n
njj
jnjn
na
xac
x
1
7/23/2019 Slide03S
6/36
MENJADI:
33
2321313
3
22
3231212
2
11
3132121
1
a
xaxabx
a
xaxab
x
a
xaxabx
Now we can start the solution process bychoosing guesses for the xs. A simple way toobtain initial guesses is to assume that they arezero. These zeros can be substituted into
x1equation to calculate a newx1=b1/a11.
Untuk sistempersamaan 3x3
7/23/2019 Slide03S
7/36
7/23/2019 Slide03S
8/36
BATAS AKHIR ITERASI
New x1is substituted to calculate x2and x3. The procedure isrepeated until the convergence criterion is satisfied:
kandiperkenanbaru
i
lama
i
baru
i
ia x
xx 100
t
a
approximation error, sering digunakan, seringkali
disebut sebagai galata
bsolut.
True error, kurang berarti. digunakan Relative error,
dalam prosentase
7/23/2019 Slide03S
9/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
2.279
2.177
8.106
x
x
x
112144
1864
1525
3
2
1
Diketahui sistem persamaan
Initial Guess: asumsi nilai awal,
5
2
1
3
2
1
x
x
x
7/23/2019 Slide03S
10/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
2.279
2.177
8.106
x
x
x
112144
1864
1525
3
2
1
Tulis ulang untuk aplikasi
Gauss-Seidel
25
58.106 321
xxx
8
642.177 312
xxx
1
121442.279 213
xxx
7/23/2019 Slide03S
11/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
Masukkan nilai perkiraan awal untuk selesaikan xi
5
2
1
3
2
1
x
x
x
6720.325
)5()2(58.1061
x
8510.7
8
56720.3642.1772
x
36.155
1
8510.7126720.31442.279
3
xInitial Guess
7/23/2019 Slide03S
12/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
36.155
8510.7
6720.3
3
2
1
a
a
a
100x
xxnew
i
old
i
new
i
ia
%76.72100x6720.3
0000.16720.31
a
%47.125100x8510.7
0000.28510.72
a
%22.103100x36.155
0000.536.1553
a
Finding the absolute relative approximate error
At the end of the first iteration
The maximum absolute
relative approximate error is
125.47%
7/23/2019 Slide03S
13/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
36.155
8510.7
6720.3
3
2
1
a
a
a
Iteration #2Using
056.1225
36.1558510.758.1061
a
882.54
8
36.155056.12642.1772
a
34.798
1
882.5412056.121442.2793
a
from iteration #1
the values of aiare found:
7/23/2019 Slide03S
14/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
Hitung the absolute relative approximate error
%542.69100x056.12
6720.3056.121
a
%695.85100x
882.54
8510.7882.542
a
%54.80100x34.79836.15534.7983 a
Akhir iterasi kedua
34.798
882.54
056.12
3
2
1
a
a
a
Galat absolut terbesar
85.695%
7/23/2019 Slide03S
15/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 1
Tersukan iterasi, kita dapatkan nilai berikut.
Iteration a1 a2 a3
1
2
3
4
5
6
3.672
12.056
47.182
193.33
800.53
3322.6
72.767
67.542
74.448
75.595
75.850
75.907
-7.8510
-54.882
-255.51
-1093.4
-4577.2
-19049
125.47
85.695
78.521
76.632
76.112
75.971
-155.36
-798.34
-3448.9
-14440
-60072
-249580
103.22
80.540
76.852
76.116
75.962
75.931
%1a
%2a
%3
a
! Lho, kok?Error nya nggak berkurang?
7/23/2019 Slide03S
16/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: PITFALL
Salahnya dimana?
Contoh tadi mengilustrasikan kemungkinan kesalahan pada
Gauss-Siedel method: tidak semua sistem persamaan akan
konvergen.Is there a fix?
One class of system of equations always converges: One with a
diagonally dominant coefficient matrix.
Diagonally dominant: [A] in [A] [X] = [C] is diagonally dominant
if:
n
jj
ijaa
i1
ii
n
ijj
ijii aa1
Untuk semua i ; DAN Untuk minimal
sebuah i
7/23/2019 Slide03S
17/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: PITFALL
116123
14345
3481.52
A
1293396
55323
5634124
][
B
Diagonally dominant: Koefisien pada diagonal harus sama atau lebihbesar dari jumlah semua koefisien pada baris itu, dan minimal satu baris
harus memiliki diagonal yang lebih besar dari jumlah koefisien pada
baris itu.
Manakah matriks yang diagonally dominant?
7/23/2019 Slide03S
18/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
Sistem persamaan linier
15x-3x12x 321
283x5xx 321
7613x7x3x 321
1
0
1
3
2
1
x
x
x
Dengan asumsi nilai awal
Matriks Koefisien nya
adalah
1373351
5312
A
Akan konvergen kah?
7/23/2019 Slide03S
19/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
1373
351
5312
A
Cek apakah matriks nya diagonally dominant
43155 232122 aaa
10731313 323133 aaa
8531212 131211 aaa
Benar. Seharusnya konvergen dengan Gauss-Siedel Method
7/23/2019 Slide03S
20/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
76
28
1
1373
351
5312
3
2
1
a
a
a
1
0
1
3
2
1
x
x
x
Tulis ulang
12
531 321
xxx
5
328 312
xxx
13
7376 213
xxx
Asumsi nilai awal
50000.0
12
150311
x
9000.4
5
135.028
2
x
0923.3
13
9000.4750000.03763
x
7/23/2019 Slide03S
21/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
The absolute relative approximate error
%662.6710050000.0
0000.150000.01a
%00.1001009000.4
09000.42a
%662.671000923.3
0000.10923.33a
Galat absolut terbesar di akhir iterasi pertama adalah 100%
7/23/2019 Slide03S
22/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
8118.3
7153.3
14679.0
3
2
1
x
x
x
0923.3
9000.4
5000.0
3
2
1
x
x
x
Setelah iterasi #1
14679.0
12
0923.359000.4311
x
7153.35
0923.3314679.0282 x
8118.3
13
7153.3714679.03763
x
Masukkan nilai x pada persamaan Setelah iterasi #2
7/23/2019 Slide03S
23/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
Galat absolut dari Iterasi #2
%62.24010014679.0
50000.014679.01
a
%887.311007153.3
9000.47153.32 a
%876.181008118.3
0923.38118.33
a
Galat absolut maksimum 240.62%
Lebih besar dari iterasi #1. Is this a problem?
7/23/2019 Slide03S
24/36
GAUSS-SEIDEL METHOD: EXAMPLE 2
Ulangi iterasi, didapatkan
1a
2a
3a
Iteration a1 a2 a3
1
23
4
5
6
0.50000
0.146790.74275
0.94675
0.99177
0.99919
67.662
240.6280.23
21.547
4.5394
0.74260
4.900
3.71533.1644
3.0281
3.0034
3.0001
100.00
31.88717.409
4.5012
0.82240
0.11000
3.0923
3.81183.9708
3.9971
4.0001
4.0001
67.662
18.8764.0042
0.65798
0.07499
0.00000
4
3
1
3
2
1
x
x
x
0001.4
0001.3
99919.0
3
2
1
x
x
x
Hasil akhir Mendekati solusi sejati
7/23/2019 Slide03S
25/36
LATIHAN
1
0
1
3
2
1
x
x
x
Sistem persamaan linier
7613x7x3x321
283x5xx 321
15x-3x12x 321 With an initial guess of
7/23/2019 Slide03S
26/36
GAUSS-SEIDEL METHOD
1373
351
5312
A
The Gauss-Seidel Method can still be used
The coefficient matrix is not
diagonally dominant
5312
351
1373
A
But this is the same set of
equations used in example #2,
which did converge.
If a system of linear equations is not diagonally dominant, check to see if
rearranging the equations can form a diagonally dominant matrix.
7/23/2019 Slide03S
27/36
GAUSS-SEIDEL METHOD
Not every system of equations can be rearranged to have a
diagonally dominant coefficient matrix.
Observe the set of equations
3321 xxx
9432 321 xxx
97 321 xxx
Which equation(s) prevents this set of equation from having a
diagonally dominant coefficient matrix?
7/23/2019 Slide03S
28/36
GAUSS-SEIDEL METHOD
Summary
-Advantages of the Gauss-Seidel Method
-Algorithm for the Gauss-Seidel Method
-Pitfalls of the Gauss-Seidel Method
7/23/2019 Slide03S
29/36
GAUSS-SEIDEL METHOD
Questions?
7/23/2019 Slide03S
30/36
METODE PENYELESAIAN
Metode grafik
Eliminasi Gauss
Metode GaussJourdan
Metode GaussSeidel LU decomposition
7/23/2019 Slide03S
31/36
LU DECOMPOSITION
A=LU
Ax=bLUx=b
Define Ux=yLy=b Solve y by forward substitution
Ux=y Solve x by backward substitution
7/23/2019 Slide03S
32/36
LU DECOMPOSITION BY GAUSSIAN
ELIMINATION
)(
)(
1
)(
11
)3(
3
)3(
33
)2(
2
)2(
23
)2(
22
)1(
1
)1(
13
)1(
12
)1(
11
4,3,2,1,
3,12,11,1
2,31,3
1,2
0000
000
00
0
1
1
0
001
000100001
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
nnnn
nnn
a
aa
aa
aaaaaaa
mmmm
mmm
mm
m
A
Compact storage:The diagonal entries of L matrix are all 1s,they dont need to be stored. LU is stored in a single matrix.
There are infinitely many different ways to decompose A.Most popular one: U=Gaussian eliminated matrix
L=Multipliers used for elimination
7/23/2019 Slide03S
33/36
NEXT: SOLUSI PERSAMAAN NON
LINIER
Persamaan matematis yang sulit diselesaikandengan tangananalitis, sehingga diperlukanpenyelesaian pendekatannumerik
Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalahmatematika dengan pengoperasian hitungan,umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasiaritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan
Diselesaikan dengan algoritma (serangkaianperintah untuk menyelesaikan masalah), sehinggadiperlukan bantuan komputer untukmelaksanakannya
7/23/2019 Slide03S
34/36
SUMBER GALAT / ERROR
Kesalahan pemodelan
contoh: penggunaan hukum Newton
asumsi benda adalah partikel
Kesalahan bawaancontoh: kekeliruan dlm menyalin data
salah membaca skala
Ketidaktepatan data
Kesalahan pemotongan / penyederhanaanpersamaan(truncation error)
Kesalahan pembulatan (round-off error)
7/23/2019 Slide03S
35/36
SOLUSI PERSAMAAN NON
LINEAR1)Metode Akolade (bracketing method)/ Closed method
Metode Bagi dua (Bisection Method)Metode Regula Falsi (False Position
Method)
Metode Grafik
Keuntungan: selalu konvergen
Kerugian: relatif lambat konvergen
7/23/2019 Slide03S
36/36
SOLUSI PERSAMAAN NON
LINEAR2) Metode Terbuka
Contoh: Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration)
Metode Newton-RaphsonMetode Secant
Keuntungan: cepat konvergen
Kerugian: tidak selalu konvergen
Recommended