Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 1
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO
Programa de maestra y doctorado en ingeniera
Maestra en Ingeniera Civil
Campo de conocimiento: Geotecnia
Proyecto final: Aplicacin del programa de ecuaciones parablicas para resolver
problemas de consolidacin con graficacin de iscronas.
Asignatura:
Matemticas aplicadas
Profesores:
M.I. Roberto Magaa del Toro
M.I. Armando Rafael Hermosillo Arteaga
Alumnos:
Espinoza Vzquez, Jess Antonio
Forero Buitrago, Diego Fernando
Lerma Tirado, Csar
Ramrez de Arellano De la Pea, Carlos Alfonso
Mxico D.F. a 05 de enero de 2015
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NDICE DE CONTENIDO
Pgina
1. INTRODUCCIN ............................................................................................... 4
2. OBJETIVO ......................................................................................................... 5
3. ANTECEDENTES ............................................................................................... 5
4. ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSOLIDACIN .............................................. 7
5. RESOLUCIN DE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSOLIDACIN
UNIDIMENSIONAL ................................................................................................... 9
6. PRUEBA DE CONSOLIDACIN ....................................................................... 13
7. CLCULO DE LOS ASENTAMIENTOS ............................................................. 15
a. MTODO DE CASAGRANDE: .......................................................................... 17
b. METODO DE TAYLOR ..................................................................................... 19
8. PROGRAMACIN EN FORTRAN ..................................................................... 20
9. RESULTADOS ................................................................................................. 24
10. CONCLUSIONES ............................................................................................. 41
11. REFERENCIAS ................................................................................................ 42
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NDICE DE IMGENES
Pgina
Imagen 1. Analoga hidromcanica de Terzaghi (Daz-Rodrguez, 2014) ................... 5
Imagen 2. Distribucin de presiones en un estrato de suelo homogneo y
compresible (Gonzlez de Vallejo, 2002). ................................................................. 6
Imagen 3. Distribucin de presiones en los tiempos t y t + dt en un elemento de
volumen sujeto a consolidacin (Jurez Badillo, 2010). ............................................ 7
Imagen 4. Esquema de un consolidmetro y la celda odomtrica que contiene el
espcimen de suelo (Daz Rodrguez, 2014 y Gonzlez de Vallejo, 2002). ........... 14
Imagen 5. Esquema para el clculo de asentamientos (Daz-Rodrguez, 2014). ...... 15
Imagen 6. Curva de compresibilidad, (Fuente propia, 2014). .................................. 16
Imagen 7. Mtodo de Casagrande para determinar Cv, (tomado de:
http://dc335.4shared.com/doc/4uxRxnhq/preview.html) ......................................... 18
Imagen 8. Mtodo de Taylor para determinar Cv (tomado de:
http://dc335.4shared.com/doc/4uxRxnhq/preview.html) ......................................... 19
Imagen 9. Diagrama de flujo................................................................................... 22
Imagen 10. Introduccin de datos con las filas descritas anteriormente: NUMITE,
PRPOINI, PRPOFIN, DELTAT, COECON, HALT y TOLER. ....................................... 25
Imagen 11. Resultados de la variacin de la presin de poro respecto al tiempo. ... 27
Imagen 12. Ejemplo de importacin de datos en Excel. .......................................... 28
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1. INTRODUCCIN
Una de las problemticas a las que frecuentemente se enfrenta la ingeniera de
cimentaciones es la que respecta a los asentamientos, cuyos mtodos de anlisis se
enfocan en predecir la magnitud y el tiempo en el que ocurrirn los mismos.
Actualmente pese a las diversas herramientas que existen para realizar un anlisis
ms detallado de las teoras establecidas, muchas estructuras presentan desplomes
a causa de asentamientos diferenciales que muchas de las veces son producto de
una errnea conceptualizacin de los fenmenos que se llevan a cabo en el suelo,
entre los que destacan la consolidacin.
La consolidacin de los suelos es un fenmeno caracterstico de los suelos finos
saturados, que se da debido a un cambio en el estado de esfuerzos que gobierna la
masa del suelo producto de la variacin de las condiciones de carga a las que
estar sometido, tal es caso del incremento de carga que induce la construccin de
un edificio o el abatimiento del nivel fretico que requerira una excavacin para
trabajar sin presencia de agua.
El fenmeno de consolidacin se caracteriza por una reduccin gradual del volumen
en el espesor del estrato en estudio debido a que se genera una expulsin de agua.
La velocidad de asentamiento producto del cambio de volumen depende de la
permeabilidad del suelo y de sus condiciones de drenaje.
Por lo tanto el objetivo de este trabajo es presentar los elementos necesarios para
estudiar dicho fenmeno, el cual, por su complejidad se limitara a desarrollar lo
relacionado con la Teora de Consolidacin Primaria de Terzaghi enfocndose a
deducir la solucin matemtica de la ecuacin diferencial que rige este fenmeno,
por medio de un mtodo numrico.
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2. OBJETIVO
Presentar una solucin de la ecuacin diferencial de consolidacin para el clculo de
iscronas mediante el lenguaje de programacin FORTRAN, utilizando el programa
de clase de resolucin de ecuaciones en derivadas parciales de tipo parablico y
graficando los resultados en una hoja de clculo de EXCEL .
3. ANTECEDENTES
El primero en estudiar el fenmeno de la consolidacin fue el ingeniero Karl Von
Terzaghi, quien present su teora en 1925 basndose en un modelo reolgico
elaborado por Kelvin, el cual consista en un resorte de elasticidad lineal y un
amortiguador de viscosidad lineal. En dicho modelo el resorte representaba la
estructura del suelo y el amortiguador al agua presente en los poros de suelo, dicha
analoga se le conoce como la analoga hidrodinmica de Terzaghi (Imagen 1)
Imagen 1. Analoga hidromcanica de Terzaghi (Daz-Rodrguez, 2014)
Segn el modelo, cuando se aplica una carga, quien la asume inicialmente es el
agua, esto genera un exceso de presin la cual se trata de disipar con la expulsin
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de agua, cuando el agua comienza a fluir, la presin empieza a ser asumida por el
resorte, la velocidad con la cual se da este intercambio de esfuerzos depende de la
velocidad de salida del agua, es decir del dimetro de la vlvula de salida, si esta es
muy pequea la disipacin del exceso de presin puede tardar mucho tiempo,
finalmente cuando la presin en el agua vuelve a ser nula toda la carga es asumida
por el resorte y la magnitud de la deformacin depende de la rigidez del mismo.
Trasladando esta analoga al suelo, quien recibe la carga inicialmente es el agua
contenida en los poros, el resorte es representado por la estructura intergranular del
suelo y la vlvula por donde escapa el agua la representa el coeficiente de
permeabilidad, como se sabe la permeabilidad est ligada al dimetro de las
partculas, por tal razn entre ms grande es el dimetro de la partcula ms rpido
se disipa el exceso de presin, por tal razn se podra considerar que la
permeabilidad es un proceso que se produce nicamente en los suelos finos.
De los prrafos anteriores se desprende que la presin en una masa de suelo
sometida a una carga no presenta una presin de poro uniforme y que esta depende
de la profundidad y del tiempo en el cual se quiera conocer su valor, as mismo el
valor del asentamiento total depender del tiempo transcurrido.
Imagen 2. Distribucin de presiones en un estrato de suelo homogneo y compresible (Gonzlez de Vallejo,
2002).
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4. ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSOLIDACIN
Considerando un elemento diferencial de volumen del estrato deformable con
espesor y rea unitaria imagen 3.
Imagen 3. Distribucin de presiones en los tiempos t y t + dt en un elemento de volumen sujeto a consolidacin
(Jurez Badillo, 2010).
Sea u la presin del agua en exceso de la hidrosttica; en la situacin indicada por el
punto 1 (tiempo t y profundidad z).
1 =
El punto 2 representa la presin en el mismo tiempo, pero a una profundidad + ,
por lo tanto:
2 = +
El punto 3 representa la presin a la misma profundidad que 1, pero en un tiempo
+ :
3 = +
Finalmente, el punto 4 representa una presin que vara en un tiempo y en una
profundidad , respecto a la presin en 1.
4 = +
+
[ +
]
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Por definicin, el gradiente hidrulico es la prdida de carga por unidad de longitud.
Entonces, en 1 el gradiente hidrulico ser:
1 =1
Anlogamente, el gradiente hidrulico en 2, representativo del existente en la cara
inferior del elemento en tiempo t, ser:
2 =1
( +
)
Aplicando la ley de Darcy, en el elemento diferencial, la cantidad neta de agua que
sale estar dada por:
=
2
2
Anlogamente el delta de volumen en funcin del cambio en la relacin de vacos y
el coeficiente de compresibilidad es igual a:
=
1 +
Recordando que el sentido matemtico del coeficiente de compresibilidad
representa la pendiente de la curva de compresibilidad, en escala natural, en el
punto de que se trate. El valor de depende de la presin actuante y no es una
constante.
Por otra parte el cambio en los esfuerzos efectivos partiendo de la ecuacin
fundamental de los suelos saturados, se obtiene que es proporcional al cambio en la
presin de agua.
= =
Por tanto el cambio de volumen V queda definido por:
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=
1 +
Igualando las ecuaciones de cambio de volumen se tiene:
2
2 =
1 +
De donde:
(1 + )
2
2=
Cuya ecuacin establece la relacin entre la presin en exceso de la hidrosttica, u,
la profundidad y el tiempo. Esta ecuacin permite conocer la distribucin de
presiones en el suelo durante un proceso de consolidacin unidimensional, con flujo
vertical. La ecuacin se conoce con el nombre de ecuacin diferencial del proceso
de consolidacin unidimensional con flujo vertical.
Para presentar de una forma ms compacta dicha ecuacin se define el coeficiente
de consolidacin:
=(1 + )
2
2=
5. RESOLUCIN DE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSOLIDACIN
UNIDIMENSIONAL
Partiendo de la ecuacin diferencial bsica de la teora de consolidacin de Terzaghi
(Das, 2008):
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=
2
2 (1)
Se realizan los siguientes cambios de variable:
Parmetro de exceso de presin de poro adimensional:
=
(2)
Parmetro de tiempo adimensional:
=
(3)
Parmetro de profundidad adimensional:
=
(4)
Tomando las ecuaciones (2), (3) y el miembro izquierdo de la ecuacin (1) se tiene:
=
(5)
De manera semejante, de las ecuaciones (2) y (3) y ahora el lado derecho de la
ecuacin (1):
2
2=
2
2
2 (6)
Igualando las ecuaciones (5) y (6):
=
2
2
2
Simplificando el trmino :
1
=2
2
2 ... (7)
Adoptando el tiempo de referencia de tal manera que =2
entonces la ecuacin
(7) ser:
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=2
2 ... (8)
El miembro izquierdo de la ecuacin (8) puede expresarse como:
=
1
(0,+ 0,) ... (9)
donde 0, y 0,+ son las presiones de poro adimensionales en el punto cero (ver
figura) a los tiempos adimensionales y + . Escribiendo:
2
2=
1
()2(1, + 3, 20,) (10)
Igualando los miembros derechos de las ecuaciones (9) y (10):
1
(0,+ 0,) =
1
()2(1, + 3, 20,)
Reacomodando:
0,+ =1()2
(1, + 3, 20,)+0, (11)
Para que la ecuacin (11) converja, y debern ser escogidos de tal manera
que
()2< 0.5
Cuando se est calculando la presin de poro en la interfaz de un estrato arcilloso y
un estrato impermeable la ecuacin (11) puede ser usada. Sin embargo, se necesita
tomar al punto 3 como espejo del punto 1 (ver figura siguiente). As, 1, = 3, ,
entonces la ecuacin (11) se convierte:
0,+ =1()2
(21, 20,)+0, (12)
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En suelos estratificados hay diversas variables involucradas como los coeficientes
de permeabilidad, los espesores de estratos y los diferentes valores del coeficiente
de consolidacin. Al momento de involucrar el exceso de presin de poro en la
interfaz de dos diferentes suelos (dos estratos de suelos arcillosos, por ejemplo), la
ecuacin (11) deber ser modificada.
Cambio en el volumen:
=
Diferencia en la tasa de flujo:
2
2
Se puede escribir:
2
2=1
2[
1()2
+2
()2] (
211 + 2
1, +22
1 + 23, 20,) (13)
Donde 1 y 2 son los coeficientes de permeabilidad en los estratos 1 y 2
respectivamente y 0,, 1, y 3, son los excesos de presin de poro al tiempo
para los puntos 1, 2 y 3 respectivamente.
Tambin, el promedio del cambio de volumen para un elemento en la frontera est
expresado mediante:
=1
2(11
+22
)1
(0,+ 0,) (14)
Donde 0, y 0,+ son los excesos de presin de poro en el punto 0 a los tiempos
y + , respectivamente. Igualando los miembros derechos de las ecuaciones (13)
y (14) se tiene:
(11
+22
)1
(0,+ 0,) =
1
()2(1 + 2) (
211 + 2
1, +22
1 + 23, 20,)
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O bien:
0,+ =
()21 + 211
+22
(21
1 + 21, +
221 + 2
3, 20,) + 0,
O bien:
0,+ =1()2
1 +21
1 +21
12
(21
1 + 21, +
221 + 2
3, 20,) + 0, (15)
Finalmente asumiendo 1
=
1
2 y combinando las ecuaciones (2), (4) y (15), se tiene:
0,+ =1 +
21
1 + (21) (
12
)
()2(
211 + 2
1, +22
1 + 23, 20,) + 0, (16)
6. PRUEBA DE CONSOLIDACIN
La prueba de consolidacin surgi de la necesidad de conocer los asentamientos
que sufrira un suelo fino saturado debido al incremento de carga que generara la
construccin de una estructura sobre este, ensayando una muestra representativa
del material bajo condiciones controladas.
Para llevar a cabo la prueba se toma una muestra de suelo inalterado y dentro de un
anillo metlico se labra un cilindro de 63.5 milmetros de dimetro y 24.5 milmetros
de altura, luego se lleva este anillo con la muestra de suelo en su interior y se coloca
sobre un consolidometro, el cual consta de un micrmetro que registra la
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deformacin de la muestra durante la prueba, un marco de carga que aplica las
cargas sobre la muestra, un brazo de palanca que multiplica la carga aplicada, un
tornillo de apoyo, un contrapeso, un recipiente donde se ubica el anillo el cual
permite sumergir la muestra con el fin de garantizar la saturacin durante toda la
prueba.
Luego de que la muestra est montada en el consolidometro se procede a la
realizacin de la prueba que consiste en la aplicacin de incrementos de carga
sobre el brazo de palanca, cada una de estas cargas se mantiene durante 24 horas
segn la norma ASTM D 24 35 y se registran lecturas de deformacin vs tiempo a
ciertos tiempo determinados por la misma norma, si se posee un equipo
instrumentado se pueden obtener todos los datos que sean necesarios. Despus de
transcurrido este tiempo se procede a incrementar la caga, por lo general la nueva
carga es el doble de la anterior.
Imagen 4. Esquema de un consolidmetro y la celda odomtrica que contiene el espcimen de suelo (Daz Rodrguez, 2014 y Gonzlez de Vallejo, 2002).
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7. CLCULO DE LOS ASENTAMIENTOS
Para conocer el asentamiento por consolidacin primaria que sufrir un estrato de
suelo se deben conocer ciertos valores que son propios de cada tipo de suelo, el
clculo del asentamiento se realiza con la ecuacin que se extrae de la siguiente
imagen.
Imagen 5. Esquema para el clculo de asentamientos (Daz-Rodrguez, 2014).
De la imagen:
1 +
=
Despejando:
=
1 +
De esta ecuacin se puede obtener el asentamiento producido por un incremento de
carga en un estrato de suelo de espesor H conociendo la relacin de vacos inicial
de campo y el cambio en la relacin de vacos producido por la carga. El
inconveniente con esta ecuacin es que no se conoce el cambio de la relacin de
vacos, por tal razn se utiliza la prueba de consolidacin
De la prueba la curva de compresibilidad, esta curva presenta los resultados de la
relacin de vacos final para diferentes incrementos de carga.
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Imagen 6. Curva de compresibilidad, (Fuente propia, 2014).
La grfica de compresibilidad se puede expresar en escala aritmtica y en escala
logartmica, para la segunda representacin se obtienen dos tramos muy bien
definidos, el tramo de recompresin y el tramo virgen, cada uno de estos tramos se
presenta con lnea recta de la cual se puede obtener la pendiente.
Conociendo los valores de incremento de carga y la pendiente de las curvas se
puede obtener la variacin de la relacin de vacos con lo que se puede calcular el
asentamiento.
= log [ +
]
Por tanto:
=
1 + log [
+
]
Cc
1
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Esta ecuacin brinda el valor total del asentamiento sufrido en un estrato de suelo
para cuando ya se ha terminado la consolidacin primaria, pero como ya se
mencion antes, este proceso puede tardar mucho tiempo y por tal razn es
necesario conocer la magnitud del asentamiento del suelo en diferentes tiempos,
para esto y basndose en la teora de Terzaghi, la cual dice que el porcentaje de
consolidacin depende de un factor tiempo Tv, Casagrande y Taylor idearon dos
mtodos alternativos para determinar el coeficiente de consolidacin Cv el cual
permite el obtener del factor tiempo Tv, basndose en las grficas de consolidacin
que se obtienen durante la prueba de consolidacin
A. MTODO DE CASAGRANDE:
Se toman los datos de deformacin y tiempo que se obtienen de la prueba de
consolidacin para cada carga aplicada y se ubican en un grfico
semilogartmico, donde en el eje de las abscisas se ubica el logaritmo del
tiempo y en las ordenadas la deformacin.
Se toma un valor de tiempo (1) en la primera parte recta de la curva y se
proyecta hasta que corta la grfica y se registra el valor de la deformacin
para ese tiempo
Se multiplica por cuatro el tiempo 1 y se proyecta este valor hasta la grfica
(2)
Se calcula la diferencia de deformaciones entre los puntos (1) y (2).
Se toma este valor y se le resta a la deformacin del punto (1) y se registra el
valor de deformacin resultante, el cual es correspondiente a la deformacin
inicial de la prueba (3)
Luego se trazan dos rectas una que proyecte la parte recta del centro de la
curva y otra que proyecte los valores de la parte final, y se hacen cortar estas
dos rectas, el punto de interseccin es el correspondiente al final de la
consolidacin primaria, se registra el valor de la deformacin (4).
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Se resta el valor de la deformacin final y el de la deformacin inicial y se
divide en dos (5), luego se busca el valor correspondiente de tiempo para esa
deformacin y all se encuentra el tiempo igual al cincuenta por ciento de la
consolidacin (6).
Finalmente se calcula el coeficiente de consolidacin con la siguiente
ecuacin
= 2
50
Donde:
Cv = Coeficiente de consolidacin
Tv = Factor tiempo para el 50% de la consolidacin
t50 = tiempo correspondiente al 50% de la consolidacin = 0.197
H2
= Altura de drenaje del estrato de suelo
Imagen 7. Mtodo de Casagrande para determinar Cv, (tomado de:
http://dc335.4shared.com/doc/4uxRxnhq/preview.html)
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B. METODO DE TAYLOR
Se toman los datos de deformacin y tiempo de la prueba de consolidacin
para un ciclo de carga, y se grafican en escala aritmtica los valores de la raz
del tiempo en el eje de las abscisas y en el eje de las ordenadas las
deformacin.
Se ubica la zona recta del inicio de la grfica y se traza una lnea recta que se
proyecta hasta un poco ms abajo del valor mximo de la deformacin (1)
Se mide el tiempo desde el cero hasta la proyeccin de la recta (2)
Se multiplica este valor por 1.15 (3) y se une el punto obtenido con el punto
inicial 0
Se ubica el valor de tiempo en el cual la lnea (4) corta la grfica, luego se
determina el tiempo t para ese punto (5), este valor es el del 90 % de la
consolidacin
Se calcula el valor del coeficiente de consolidacin con la misma ecuacin
que para el mtodo de Casagrande, solo que cambia el factor tiempo para el
del 90% de la consolidacin.
Imagen 8. Mtodo de Taylor para determinar Cv (tomado de:
http://dc335.4shared.com/doc/4uxRxnhq/preview.html)
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= 2
50
Donde:
Cv = Coeficiente de consolidacin
Tv = Factor tiempo para el 90% de la consolidacin= 0.848
t50 = tiempo correspondiente al 50% de la consolidacin
H2
= Altura de drenaje del estrato de suelo
8. PROGRAMACIN EN FORTRAN
La programacin se realiz en Microsoft Developer Studio con Fortran
PowerStation 4.0. Dentro del cdigo se han escrito instrucciones para que el
programa lea un archivo de ingreso de datos llamado DATOS.txt y para que el
mismo programa escriba los resultados en otro archivo de texto denominado
RESULTADO.txt.
Para ejecutar el programa se debe ingresar la informacin en el archivo de texto
DATOS.txt donde se capturarn 2 renglones con 7 filas de informacin. Fila a fila, la
informacin capturada es la siguiente:
Fila 1: NUMITE. Es el nmero de columnas que va a arrojar el programa.
Fila 2: PRPOINI. Esta fila contiene el valor de la presin de poro inicial que va
a tener el problema que se est ingresando.
Fila 3: PRPOFIN. Esta fila es el valor de la presin de poro final que va a tener
el problema que se est ingresando.
Fila 4: DELTAT. Este es el valor en el cual cambio su factor de tiempo, entre
menor sea este valor ms iteracin tendr el resultado y consecuentemente
mayor exactitud.
Fila 5: COECON. Valor del coeficiente de consolidacin del problema que se
quiere solucionar.
Fila 6: HALT. Este valor es el espesor efectivo.
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Fila 7: TOLER. Se introduce un valor de tolerancia entre los resultados.
Con este programa se podr obtener los resultados de la variacin de la presin de
poro con el tiempo para un estrato de suelo conocido su espesor efectivo y su
coeficiente de consolidacin.
El diagrama de flujo se muestra a continuacin.
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Imagen 9. Diagrama de flujo.
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En las siguientes figuras se muestra el cdigo en FORTRAN.
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9. RESULTADOS
A continuacin se presentan los resultados obtenidos en el programa. Se muestran
las pantallas de los archivos de texto DATOS.txt y RESULTADO.txt as como la
importacin a Excel como archivo de datos para su posterior graficacin.
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Imagen 10. Introduccin de datos con las filas descritas anteriormente: NUMITE, PRPOINI, PRPOFIN, DELTAT,
COECON, HALT y TOLER.
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Imagen 11. Resultados de la variacin de la presin de poro respecto al tiempo.
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Imagen 12. Ejemplo de importacin de datos en Excel.
0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
0.5 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
1 0 3.9583 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3.9583
1.5 0 3.3507 4.783 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4.783 3.3507
2 0 2.951 4.5298 4.9548 5 5 5 5 5 5 5 5 4.9548 4.5298 2.951
2.5 0 2.6651 4.2894 4.8757 4.9906 5 5 5 5 5 5 4.9906 4.8757 4.2894 2.6651
3 0 2.4483 4.0732 4.7775 4.9686 4.998 5 5 5 5 4.998 4.9686 4.7775 4.0732 2.4483
3.5 0 2.2768 3.8814 4.6706 4.9349 4.9923 4.9996 5 5 4.9996 4.9923 4.9349 4.6706 3.8814 2.2768
4 0 2.1367 3.7115 4.5612 4.8918 4.9819 4.9982 4.9998 4.9998 4.9982 4.9819 4.8918 4.5612 3.7115 2.1367
4.5 0 2.0197 3.5604 4.4531 4.8417 4.9665 4.9951 4.9991 4.9991 4.9951 4.9665 4.8417 4.4531 3.5604 2.0197
5 0 1.9199 3.4254 4.3481 4.7867 4.9465 4.99 4.9975 4.9975 4.99 4.9465 4.7867 4.3481 3.4254 1.9199
5.5 0 1.8336 3.304 4.2472 4.7286 4.9223 4.9825 4.9943 4.9943 4.9825 4.9223 4.7286 4.2472 3.304 1.8336
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81 0 0.2601 0.5071 0.7288 0.9139 1.0531 1.1396 1.1689 1.1689 1.1396 1.0531 0.9139 0.7288 0.5071 0.2601
81.5 0 0.2574 0.5019 0.7212 0.9043 1.0421 1.1276 1.1566 1.1566 1.1276 1.0421 0.9043 0.7212 0.5019 0.2574
82 0 0.2547 0.4966 0.7136 0.8949 1.0312 1.1159 1.1446 1.1446 1.1159 1.0312 0.8949 0.7136 0.4966 0.2547
82.5 0 0.252 0.4914 0.7062 0.8855 1.0204 1.1042 1.1326 1.1326 1.1042 1.0204 0.8855 0.7062 0.4914 0.252
83 0 0.2494 0.4863 0.6988 0.8763 1.0098 1.0927 1.1208 1.1208 1.0927 1.0098 0.8763 0.6988 0.4863 0.2494
83.5 0 0.2468 0.4812 0.6915 0.8671 0.9992 1.0813 1.1091 1.1091 1.0813 0.9992 0.8671 0.6915 0.4812 0.2468
84 0 0.2442 0.4762 0.6843 0.858 0.9888 1.07 1.0975 1.0975 1.07 0.9888 0.858 0.6843 0.4762 0.2442
84.5 0 0.2417 0.4712 0.6771 0.8491 0.9785 1.0588 1.086 1.086 1.0588 0.9785 0.8491 0.6771 0.4712 0.2417
85 0 0.2391 0.4663 0.67 0.8402 0.9682 1.0477 1.0747 1.0747 1.0477 0.9682 0.8402 0.67 0.4663 0.2391
85.5 0 0.2366 0.4614 0.663 0.8314 0.9581 1.0368 1.0634 1.0634 1.0368 0.9581 0.8314 0.663 0.4614 0.2366
86 0 0.2342 0.4566 0.6561 0.8227 0.9481 1.026 1.0523 1.0523 1.026 0.9481 0.8227 0.6561 0.4566 0.2342
86.5 0 0.2317 0.4518 0.6493 0.8142 0.9382 1.0152 1.0413 1.0413 1.0152 0.9382 0.8142 0.6493 0.4518 0.2317
87 0 0.2293 0.4471 0.6425 0.8056 0.9284 1.0046 1.0305 1.0305 1.0046 0.9284 0.8056 0.6425 0.4471 0.2293
87.5 0 0.2269 0.4424 0.6358 0.7972 0.9187 0.9941 1.0197 1.0197 0.9941 0.9187 0.7972 0.6358 0.4424 0.2269
88 0 0.2245 0.4378 0.6291 0.7889 0.9091 0.9837 1.009 1.009 0.9837 0.9091 0.7889 0.6291 0.4378 0.2245
88.5 0 0.2222 0.4332 0.6226 0.7807 0.8996 0.9735 0.9985 0.9985 0.9735 0.8996 0.7807 0.6226 0.4332 0.2222
Datos entregados por el programa
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 29
As entonces se hicieron las siguientes pruebas cambiando las variables del problema resultando en las siguientes
iscronas.
Prueba # 1
Porcentaje
del tiempo
total (%)
Tiempo
(das)
Profundidad (m)
0.00 -0.53 -1.07 -1.60 -2.13 -2.67 -3.20 -3.73 -4.27 -4.80 -5.33 -5.87 -6.40 -6.93 -7.47 -8.00
Presin de poro para diferentes tiempos (t/m2
)
1 3 0.00 2.56 4.18 4.82 4.98 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 4.98 4.82 4.18 2.56 0.00
5 13 0.00 1.27 2.41 3.34 4.02 4.45 4.69 4.77 4.77 4.69 4.45 4.02 3.34 2.41 1.27 0.00
10 26 0.00 0.89 1.72 2.47 3.07 3.52 3.80 3.89 3.89 3.80 3.52 3.07 2.47 1.72 0.89 0.00
20 52 0.00 0.53 1.04 1.49 1.87 2.16 2.34 2.40 2.40 2.34 2.16 1.87 1.49 1.04 0.53 0.00
30 78 0.00 0.33 0.64 0.91 1.15 1.32 1.43 1.47 1.47 1.43 1.32 1.15 0.91 0.64 0.33 0.00
50 129 0.00 0.12 0.24 0.35 0.44 0.50 0.55 0.56 0.56 0.55 0.50 0.44 0.35 0.24 0.12 0.00
90 232 0.00 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.08 0.08 0.08 0.08 0.07 0.06 0.05 0.03 0.02 0.00
Presin de poro inicial 5
Cv 0.1
Delta de tiempo 0.5
Altura total del estrato 8
Altura de drenaje 4
Nmero de divisiones 15
Separacin 0.5333
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Valores de la presin de poro para diferentes tiempos (t/m2)
Iscronas de presin de poro para la prueba 1
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 30
Prueba # 2
Porcentaje
del tiempo
total (%)
Tiempo
(das)
Profundidad (m)
0.00 -0.53 -1.07 -1.60 -2.13 -2.67 -3.20 -3.73 -4.27 -4.80 -5.33 -5.87 -6.40 -6.93 -7.47 -8.00
Presin de poro para diferentes tiempos (t/m2
)
1 2 0.00 1.99 3.76 4.49 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 4.49 3.76 1.99 0.00
5 6 0.00 1.18 2.29 3.18 3.90 4.35 4.64 4.70 4.70 4.64 4.35 3.90 3.18 2.29 1.18 0.00
10 11 0.00 0.87 1.69 2.41 3.02 3.46 3.74 3.83 3.83 3.74 3.46 3.02 2.41 1.69 0.87 0.00
20 21 0.00 0.53 1.04 1.49 1.87 2.15 2.33 2.39 2.39 2.33 2.15 1.87 1.49 1.04 0.53 0.00
30 31 0.00 0.33 0.64 0.93 1.16 1.34 1.45 1.49 1.49 1.45 1.34 1.16 0.93 0.64 0.33 0.00
50 52 0.00 0.12 0.24 0.34 0.43 0.49 0.53 0.55 0.55 0.53 0.49 0.43 0.34 0.24 0.12 0.00
90 93 0.00 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.08 0.08 0.08 0.08 0.07 0.06 0.05 0.03 0.02 0.00
Presin de poro inicial 5
Cv 0.25
Delta de tiempo 0.5
Altura total del estrato 8
Altura de drenaje 4
Nmero de divisiones 15
Separacin 0.5333
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Valores de la presin de poro para diferentes tiempos (tn/m2)
Iscronas de presin de poro para la prueba 1
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Valores de la presin de poro para diferentes tiempos (t/m2)
Iscronas de presin de poro para la prueba 2
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 31
Prueba # 3
Porcentaje
del tiempo
total (%)
Tiempo
(das)
Profundidad (m)
0.00 -0.80 -1.60 -2.40 -3.20 -4.00 -4.80 -5.60 -6.40 -7.20 -8.00 -8.80 -9.60 -10.40 -11.20 -12.00
Presin de poro para diferentes tiempos (t/m2
)
1 6 0.00 2.66 4.23 4.82 4.97 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 4.97 4.82 4.23 2.66 0.00
5 29 0.00 1.27 2.41 3.34 4.01 4.44 4.68 4.75 4.75 4.68 4.44 4.01 3.34 2.41 1.27 0.00
10 58 0.00 0.89 1.73 2.47 3.07 3.52 3.80 3.89 3.89 3.80 3.52 3.07 2.47 1.73 0.89 0.00
20 116 0.00 0.54 1.05 1.50 1.88 2.17 2.35 2.41 2.41 2.35 2.17 1.88 1.50 1.05 0.54 0.00
30 174 0.00 0.33 0.64 0.92 1.16 1.34 1.45 1.48 1.48 1.45 1.34 1.16 0.92 0.64 0.33 0.00
50 290 0.00 0.12 0.24 0.35 0.44 0.51 0.55 0.56 0.56 0.55 0.51 0.44 0.35 0.24 0.12 0.00
90 522 0.00 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.08 0.08 0.08 0.08 0.07 0.06 0.05 0.03 0.02 0.00
Presin de poro inicial 5
Cv 0.1
Delta de tiempo 0.5
Altura total del estrato 12
Altura de drenaje 6
Nmero de divisiones 15
Separacin 0.8
-12.00
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Valores de la presin de poro para diferentes tiempos (t/m2)
Iscronas de presin de poro para la prueba 3
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 32
Prueba # 4
Porcentaje
del tiempo
total (%)
Tiempo
(das)
Profundidad (m)
0.00 -0.80 -1.60 -2.40 -3.20 -4.00 -4.80 -5.60 -6.40 -7.20 -8.00 -8.80 -9.60 -10.40 -11.20 -12.00
Presin de poro para diferentes tiempos (t/m2
)
1 3 0.00 2.45 4.07 4.78 4.97 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 4.97 4.78 4.07 2.45 0.00
5 12 0.00 1.25 2.38 3.31 3.99 4.43 4.68 4.75 4.75 4.68 4.43 3.99 3.31 2.38 1.25 0.00
10 24 0.00 0.88 1.70 2.43 3.04 3.48 3.75 3.85 3.85 3.75 3.48 3.04 2.43 1.70 0.88 0.00
20 47 0.00 0.53 1.04 1.49 1.87 2.15 2.33 2.39 2.39 2.33 2.15 1.87 1.49 1.04 0.53 0.00
30 70 0.00 0.33 0.64 0.92 1.15 1.33 1.44 1.47 1.47 1.44 1.33 1.15 0.92 0.64 0.33 0.00
50 116 0.00 0.12 0.24 0.35 0.44 0.50 0.55 0.56 0.56 0.55 0.50 0.44 0.35 0.24 0.12 0.00
90 209 0.00 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.08 0.08 0.08 0.08 0.07 0.06 0.05 0.03 0.02 0.00
Presin de poro inicial 5
Cv 0.25
Delta de tiempo 0.5
Altura total del estrato 12
Altura de drenaje 6
Nmero de divisiones 15
Separacin 0.8
-12.00
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Valores de la presin de poro para diferentes tiempos (t/m2)
Iscronas de presin de poro para la prueba 4
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 33
Prueba # 5
Porcentaje
del tiempo
total (%)
Tiempo
(das)
Profundidad (m)
0.00 -0.53 -1.07 -1.60 -2.13 -2.67 -3.20 -3.73 -4.27 -4.80 -5.33 -5.87 -6.40 -6.93 -7.47 -8.00
Presin de poro para diferentes tiempos (t/m2
)
1 3 0.00 5.13 8.37 9.65 9.96 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 9.96 9.65 8.37 5.13 0.00
5 15 0.00 2.36 4.52 6.32 7.68 8.61 9.13 9.30 9.30 9.13 8.61 7.68 6.32 4.52 2.36 0.00
10 30 0.00 1.63 3.18 4.55 5.69 6.54 7.06 7.24 7.24 7.06 6.54 5.69 4.55 3.18 1.63 0.00
20 59 0.00 0.93 1.82 2.62 3.28 3.78 4.09 4.20 4.20 4.09 3.78 3.28 2.62 1.82 0.93 0.00
30 89 0.00 0.53 1.03 1.49 1.86 2.15 2.32 2.38 2.38 2.32 2.15 1.86 1.49 1.03 0.53 0.00
50 147 0.00 0.18 0.35 0.50 0.62 0.72 0.78 0.80 0.80 0.78 0.72 0.62 0.50 0.35 0.18 0.00
90 265 0.00 0.02 0.04 0.05 0.07 0.08 0.08 0.09 0.09 0.08 0.08 0.07 0.05 0.04 0.02 0.00
Presin de poro inicial 10
Cv 0.1
Delta de tiempo 0.5
Altura total del estrato 8
Altura de drenaje 4
Nmero de divisiones 15
Separacin 0.5333
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Valores de la presin de poro para diferentes tiempos (t/m2)
Iscronas de presin de poro para la prueba 5
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 34
Prueba # 6
Porcentaje
del tiempo
total (%)
Tiempo
(das)
Profundidad (m)
0.00 -0.53 -1.07 -1.60 -2.13 -2.67 -3.20 -3.73 -4.27 -4.80 -5.33 -5.87 -6.40 -6.93 -7.47 -8.00
Presin de poro para diferentes tiempos (t/m2
)
1 2 0.00 3.97 7.53 8.97 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 8.97 7.53 3.97 0.00
5 6 0.00 2.37 4.57 6.36 7.80 8.70 9.28 9.41 9.41 9.28 8.70 7.80 6.36 4.57 2.37 0.00
10 12 0.00 1.64 3.21 4.59 5.75 6.60 7.14 7.31 7.31 7.14 6.60 5.75 4.59 3.21 1.64 0.00
20 24 0.00 0.92 1.80 2.58 3.24 3.73 4.04 4.15 4.15 4.04 3.73 3.24 2.58 1.80 0.92 0.00
30 36 0.00 0.52 1.02 1.46 1.83 2.11 2.28 2.34 2.34 2.28 2.11 1.83 1.46 1.02 0.52 0.00
50 59 0.00 0.17 0.34 0.49 0.61 0.71 0.76 0.78 0.78 0.76 0.71 0.61 0.49 0.34 0.17 0.00
90 106 0.00 0.02 0.04 0.05 0.07 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.07 0.05 0.04 0.02 0.00
Presin de poro inicial 10
Cv 0.25
Delta de tiempo 0.5
Altura total del estrato 8
Altura de drenaje 4
Nmero de divisiones 15
Separacin 0.5333
-8.00
-7.00
-6.00
-5.00
-4.00
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Valores de la presin de poro para diferentes tiempos (t/m2)
Iscronas de presin de poro para la prueba 6
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 35
Prueba # 7
Porcentaje
del tiempo
total (%)
Tiempo
(das)
Profundidad (m)
0.00 -0.80 -1.60 -2.40 -3.20 -4.00 -4.80 -5.60 -6.40 -7.20 -8.00 -8.80 -9.60 -10.40 -11.20 -12.00
Presin de poro para diferentes tiempos (t/m2
)
1 7 0.00 4.97 8.13 9.49 9.89 9.98 10.00 10.00 10.00 10.00 9.98 9.89 9.49 8.13 4.97 0.00
5 34 0.00 2.35 4.49 6.28 7.63 8.55 9.07 9.24 9.24 9.07 8.55 7.63 6.28 4.49 2.35 0.00
10 67 0.00 1.64 3.18 4.56 5.69 6.54 7.06 7.24 7.24 7.06 6.54 5.69 4.56 3.18 1.64 0.00
20 133 0.00 0.93 1.81 2.61 3.27 3.77 4.07 4.18 4.18 4.07 3.77 3.27 2.61 1.81 0.93 0.00
30 199 0.00 0.54 1.04 1.50 1.88 2.17 2.34 2.40 2.40 2.34 2.17 1.88 1.50 1.04 0.54 0.00
50 331 0.00 0.18 0.35 0.50 0.62 0.72 0.78 0.80 0.80 0.78 0.72 0.62 0.50 0.35 0.18 0.00
90 596 0.00 0.02 0.04 0.05 0.07 0.08 0.08 0.09 0.09 0.08 0.08 0.07 0.05 0.04 0.02 0.00
Presin de poro inicial 10
Cv 0.1
Delta de tiempo 0.5
Altura total del estrato 12
Altura de drenaje 6
Nmero de divisiones 15
Separacin 0.8
-12.00
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Valores de la presin de poro para diferentes tiempos (t/m2)
Iscronas de presin de poro para la prueba 7
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 36
Prueba # 8
Porcentaje
del tiempo
total (%)
Tiempo
(das)
Profundidad (m)
0.00 -0.80 -1.60 -2.40 -3.20 -4.00 -4.80 -5.60 -6.40 -7.20 -8.00 -8.80 -9.60 -10.40 -11.20 -12.00
Presin de poro para diferentes tiempos (t/m2
)
1 3 0.00 4.90 8.15 9.56 9.94 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 9.94 9.56 8.15 4.90 0.00
5 14 0.00 2.32 4.45 6.23 7.60 8.53 9.07 9.24 9.24 9.07 8.53 7.60 6.23 4.45 2.32 0.00
10 27 0.00 1.63 3.18 4.55 5.69 6.54 7.06 7.24 7.24 7.06 6.54 5.69 4.55 3.18 1.63 0.00
20 53 0.00 0.94 1.83 2.62 3.29 3.79 4.10 4.21 4.21 4.10 3.79 3.29 2.62 1.83 0.94 0.00
30 80 0.00 0.53 1.04 1.49 1.87 2.15 2.33 2.39 2.39 2.33 2.15 1.87 1.49 1.04 0.53 0.00
50 133 0.00 0.17 0.34 0.49 0.61 0.71 0.76 0.78 0.78 0.76 0.71 0.61 0.49 0.34 0.17 0.00
90 239 0.00 0.02 0.04 0.05 0.07 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.07 0.05 0.04 0.02 0.00
Presin de poro inicial 10
Cv 0.25
Delta de tiempo 0.5
Altura total del estrato 12
Altura de drenaje 6
Nmero de divisiones 15
Separacin 0.8
-12.00
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
Pro
fun
did
ad (
m)
Valores de la presin de poro para diferentes tiempos (t/m2)
Iscronas de presin de poro para la prueba 8
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 37
A continuacin se muestra un resumen del tiempo necesario para que el exceso de
la presin de poro llegue a cero para cada uno de los estratos de suelo estudiados,
se muestra tambin una comparacin entre el tiempo calculado con el programa en
Fortran y el tiempo calculado con las ecuaciones convencionales.
Prueba
Presin de
poro inicial
(tn/m2
)
Cv
(m2
/da)
Altura del
estrato (m)
Tiempo para el 100%
de la consolidacin
(das) calculado con
Fortran
Tiempo para el
100% de la
consolidacin (das)
calculado con
ecuacin
1 5 0.1 8 257 320
2 5 0.25 8 102.5 128
3 5 0.1 12 579 720
4 5 0.25 12 231.5 288
5 10 0.1 8 294 320
6 10 0.25 8 117 128
7 10 0.1 12 661.5 720
8 10 0.25 12 264.5 288
Como se puede ver a medida que el Cv aumenta el tiempo necesario para que se
realice la consolidacin es mayor, as mismo se puede ver que la altura del estrato
juega un papel muy importante en el tiempo, finalmente se aprecia que la presin de
poro inicial presenta una leve influencia en el tiempo calculado con base en el
programa de fortran a diferencia del mtodo tradicional, ya que en este el valor inicial
de la presin de poro no influye.
Haciendo una comparacin entre los resultados hallados por el programa y los
calculados tericamente se puede apreciar que el tiempo arrojado por el programa
es menor en todos los casos evaluados, sin embargo presenta un valor muy
cercano, por lo tanto se puede asegurar que el mtodo es apropiado para obtener
informacin del comportamiento del suelo en cuanto a consolidacin se trata.
A continuacin se presentan los resultados de la presin de poro en el centro del
estrato para cada una de las iscronas elaboradas para cada prueba, los valores de
tiempo se tomaran con base al total que le tom a cada estrato para alcanzar el 100
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 38
por ciento de la consolidacin, es decir cuando la presin de poro es igual a cero,
los porcentajes de tiempo analizados son: 1, 5, 10, 20, 30, 50 y 90 por ciento.
Prueba
% de tiempo
con respecto
al 100%
Tiempo (das)
Presin de
poro en el
centro del
estrato (t/m2
)
1 1 3 5.00
2 1 2 5.00
3 1 6 5.00
4 1 3 5.00
5 1 3 10.00
6 1 2 10.00
7 1 7 10.00
8 1 3 10.00
Prueba
% de tiempo
con respecto
al 100%
Tiempo (das)
Presin de
poro en el
centro del
estrato (t/m2
)
2 5 6 4.70
3 5 29 4.75
4 5 12 4.75
1 5 13 4.77
8 5 14 9.24
7 5 34 9.24
5 5 15 9.30
6 5 6 9.41
Prueba
% de tiempo
con respecto
al 100%
Tiempo (das)
Presin de
poro en el
centro del
estrato (t/m2
)
1 10 26 3.89
2 10 11 3.83
3 10 58 3.89
4 10 24 3.85
5 10 30 7.24
6 10 12 7.31
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 39
7 10 67 7.24
8 10 27 7.24
Prueba
% de tiempo
con respecto
al 100%
Tiempo (das)
Presin de
poro en el
centro del
estrato (t/m2
)
1 20 52 2.40
2 20 21 2.39
3 20 116 2.41
4 20 47 2.39
5 20 59 4.20
6 20 24 4.15
7 20 133 4.18
8 20 53 4.21
Prueba
% de tiempo
con respecto
al 100%
Tiempo (das)
Presin de
poro en el
centro del
estrato (t/m2
)
1 30 78 1.47
2 30 31 1.49
3 30 174 1.48
4 30 70 1.47
5 30 89 2.38
6 30 36 2.34
7 30 199 2.40
8 30 80 2.39
Prueba
% de tiempo
con respecto
al 100%
Tiempo (das)
Presin de
poro en el
centro del
estrato (t/m2
)
1 50 129 0.56
2 50 52 0.55
3 50 290 0.56
4 50 116 0.56
5 50 147 0.80
6 50 59 0.78
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 40
7 50 331 0.80
8 50 133 0.78
Prueba
% de tiempo
con respecto
al 100%
Tiempo (das)
Presin de
poro en el
centro del
estrato (t/m2
)
1 90 232 0.08
2 90 93 0.08
3 90 522 0.08
4 90 209 0.08
5 90 265 0.09
6 90 106 0.08
7 90 596 0.09
8 90 239 0.08
De las tablas anteriores se puede apreciar que al cumplirse el 50% del tiempo se ha
producido ya una disipacin de ms del 90% de la presin de poro en exceso, lo
que ratifica que los datos obtenidos cumplen con la teora de la consolidacin.
Por otra parte se puede apreciar que los valores de presin de poro son similares
para los diferentes estratos estudiados, cuando se pondera el tiempo con respecto
al valor mximo obtenido.
En cuanto al tiempo necesario para que se produzca la consolidacin se evidencia
que los factores principales que intervienen son el coeficiente de consolidacin y la
altura del estrato.
Finalmente se puede asegurar que el mtodo de clculo de la consolidacin basado
en divisin numrica es aplicable y entrega muy buenos resultados del valor de la
presin de poro para diferentes tiempos.
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 41
10. CONCLUSIONES
Este programa hace uso de un programa de solucin de ecuaciones en derivadas
parciales del tipo parablico aplicado al problema de disipacin de la presin de
poro de la consolidacin unidimensional de suelos finos saturados. Se hizo uso de
los mtodos numricos y tcnicas de programacin enseadas durante el curso de
Matemticas Aplicadas.
Se pudo corroborar mediante el programa desarrollado y tambin analticamente
mediante teora clsica que los resultados son similares, validando los mismos.
Para resolver un problema de iscronas mediante la aplicacin de las ecuaciones
deducidas en el captulo de Resolucin de la ecuacin diferencial de consolidacin
unidimensional de este mismo trabajo, el ingeniero deber invertir una cantidad de
horas considerable dependiendo la magnitud del mallado, la precisin que busque
en sus clculos as como la cantidad de estratos que tenga. Por su parte, si el
mismo ingeniero sabe utilizar el programa aqu presentado e importar los datos de
texto de un archivo .txt a una hoja de clculo como aqu se hizo, bastarn unos
minutos para que pueda obtener los datos, incluso, grficamente.
La programacin de este problema en Fortran es una herramienta de gran uso en la
ingeniera porque proporciona de forma eficaz y clara soluciones para disear
estructuras en la geotecnia. Los mtodos numricos aplicados en este programa
simplifican de gran manera el lenguaje de programacin al simplificar secuencias de
operaciones.
Proyecto final de Matemticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramrez de Arellano 42
11. REFERENCIAS
Jurez, E. et. al. (2010). Mecnica de suelos tomo I. Limusa, Mxico.
Daz-Rodrguez, J. (2014). Mecnica de suelos. Trillas, Mxico.
Das, B. (2008). Advanced soil mechanics. Taylor&Francis, US.
Gonzlez de Vallejo, L. et. al. (2002). Ingeniera geolgica. Pearson, Espaa.
Luthe, R. et. al. (1981). Mtodos numricos. Limusa, Mxico.
ASTM D2435 Standart Test Methods for One-Dimensional Consolidation
Propierties of Soils Using Incremental Loading. US.
Referencia electrnica:
http://dc335.4shared.com/doc/4uxRxnhq/preview.htmla