STRUKTUR STATIS TAK TENTU
Metode Clapeyron-Continuous Beam
JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS TRIBHUANA TUNGGADEWI
HARVY IRVANI ST., MT.
3/8
Defleksi
• Sebuah struktur dapat mengalami defleksi diakibatkan dari beragam simber, misalnya dari adanya beban, perubahan suhu, kesalahan pabrikasi, atau penurunan.
• Pada desain struktur diharuskan defleksinya kecil untuk menjaga integritas struktur dan untuk keamanan pengguna struktur tersebut.
• Defleksi dalam hal ini dianggap berlaku pada struktur yang memiliki material elastis linear (linear elastic material response) sehingga sebuah struktur yang dikenakan beban akan kembali ke kondisi asal yang belum terdeformasi setelah beban dilepaskan.
Defleksi
• Defleksi pada struktur disebabkan oleh beban-beban internal seperti gaya normal (N), gaya geser (V), dan bending momen (M).
• Untuk balok dan rangka kaku defleksi terbesar kebanyakan disebabkan oleh momen internal, sedangkan pada rangka batang kebanyakan disebabkan oleh gaya axial internal.
Defleksi
Defleksi – Kurva Elastisitas
Defleksi - Teori Balok Elastis
• Dua persamaan diferensial penting yang berhubungan dengan momen internal pada balok terhadap perpindahan (displacement) dan kemiringan (slope) di kurva elastisitas.
• Persamaan tersebut merupakan dasar dari metode defleksi yang diberikan pada materi ini dan oleh karena itu asumsi dan batasan yang diberikan pada penyelesaian persamaan ini harus dipahami.
Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Diberikan sebuah balok lurus yang terdeformasi secara elastis oleh beban tegak lurus sumbu x balok yang terletak pada bidang x-v dan simetris pada potongan melintang balok.
• Dengan adanya beban, deformasi balok disebabkan oleh gaya geser dalam dan bending momen.
• Jika panjang balok jauh lebih besar dari tinggi balok, deformasi terbesar disebabkan oleh bending momen.
Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Ketika momen internal M mendeformasi elemen dari sebuah balok, setiap potongan melintang tetap sebidang dan sudut yang terbentuk diantaranya disebut d .
• Busur dx yang merepresentasikan bagian dari kurva elastis berpotongan dengan sumbu netral pada setiap potongan melintang.
• Jari-jari kelengkungan busur ini didefinisikan sebagai jarak , yang diukur dari pusat kelengkunga O’ ke dx.
Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Setiap busur dari elemen selain dx terkena regangan normal.
• Sebagai contoh pada busur ds, terletak pada jarak y dari sumbu netral, maka regangan :
• Sedangkan, ds-dx=d dan ds’=(-y)d, maka:
𝜖=(𝑑 𝑠′−𝑑𝑠)
𝑑𝑠
𝜖=( 𝜌− 𝑦 ) 𝑑 𝜃−𝜌 𝑑 𝜃
𝜌 𝑑 𝜃atau 1
𝜌=− 𝜖𝑦
Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Kemiringan kurva tegangan-regangan
• Persamaan Lentur
𝑆𝑡𝑟𝑎𝑖𝑛𝜖=𝛿𝐿
Tegangan
xxx
x
x
x
Batas proporsional
Batas Elastik
Titik MulurKekuatan Patah
Kekuatan tertinggi
Kekuatan patah sebenarnya Hukum Hooke : Deformasi Aksial
𝐸=𝜎𝜖
Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)• Kombinasi dan substitusi tiga
persamaan tersebut menghasilkan:
Dengan: = jari-jari kelengkungan dari titik
spesifik kurva elastis. (1/ dirujuk sebagai kelengkungan/ curvature
M = momen internal balok
E = modulus elastisitas
I = momen inersia
1𝜌=− 𝜖
𝑦
• Kemiringan kurva tegangan-regangan
• Persamaan Lentur
𝐸=𝜎𝜖
Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Produk EI dari persamaan merujuk pada kekakuan lentur (flexural rigidity) dan nilainya selalu positif. Dengan dx = d, maka
• Jika kita memilih sumbu mengarah positif ke atas dan kita dapat mengekspresikan kelengkungan (1/) sebagai dan , dapat ditentukan kuva elastisitas balok. Pada kebanyakan buku kalkulus ditunjukkan bahwa hubunga kelengkungan adalah:
-- dilanjutkan ke slide berikutnya
Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Maka didapatkan
• Persamaan di atas adalah termasuk persamaan diferensial nonlinier orde kedua.
• Solusi berikut , memberikan bentuk eksak dari kurva elastis yang tentunya dengan asumsi defleksi karena beding momen.
-- dilanjutkan ke slide berikutnya
Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Untuk menyelesaikan masalah bilangan yang lebih besar maka dilakukan modifikasi dengan membuat simplifikasi.
• Karena slope kurva elastis dari kebanyakan struktur adalah sangat kecil, maka digunakan teori defleksi kecil (small deflection theory) dan mengasumsikan . Sehingga persamaan tersebut disederhanakan menjadi:
Teori Balok Elastis (Elastic-Beam Theory)
• Bisa juga dinyatakan bahwa dengan mengasumsikan , panjang asli balok sumbu x dan busur dari kurva elastis akan mendekati sama.
• Dengan kata lain ds = dx, sehingga:
= • Hasil ini menunjukkan bahwa kurva elastis akan hanya
dipindahkan secara vertical dan bukan horizontal.
Contoh
• RA=ql/2
• Mx = Rax - ½qx2 = ½(qlx qx2)• Persamaan differensial :• Diintegralkan menjadi
• Jika dimasukkan syarat batas x=0 y=0 akan didapat C2=0
A B
2
2
2
2 qxqlxdxydEI
1
32
64Cqxqlx
dxdyEI
21
43
2412CxCqxqlxEIy
Contoh
• Jika dimasukkan syarat batas x=1 dan y=0, akan didapat:• Didapat persamaan lenturan yang memenuhi syarat batas:
• Persamaan defleksi rotasi atau turunan pertama lenturan:
• Rotasi ujung pada x=0 dan x=1 adalah:
241224
333
1qlqlqlC
242412
343 xqlqxqlxEIy
2464
332 qlqxqlxdxdyEIEI
EIql
A 24
3
EIql
B 24
3
Metode CLAPEYRON
Pada 1857 Benoit Paul Emile Clapeyron, mempresentasikan makalahnya Comptes Rendus di hadapan French Academy untuk analisis pada balok menerus.
Sehingga dikenal dengan Metode Clapeyron
Method of Structural Analysis for Statically Indeterminate Rigid Frames. Arnulfo Luevanos Rojas. International Journal of Innovative Computing, Information and Control Volume 9, Number 5, May 2013
Metode CLAPEYRON
Pada balok menerus pada gambar di atas diketahui bahwa tumpuan A dan B tidak mendukung momen, sehingga ditinjau poin B.
Clapeyron mendekati dengan persamaan sebagai berikut:
Metode CLAPEYRON
Penggambaran bidang momen diperoleh dari superposisi:• Akibat muatan luar/ defleksi rotasi • Akibat momen peralihan
Penggambaran Bidang Momen
Tanda pada penggambaran selalu berlawanan dengan tanda pada hasil yang diperoleh dari perhitungan.
Bila tanda pada hasil perhitungan (+) maka tanda pada penggambaran bertanda (-)
Tanda-Tanda Penggambaran (Khusus Momen Peralihan)
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian
Dilihat pada tumpuan B.• Akibat muatan luar :
……. (1)
Gambar Bidang M dan D
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian• Akibat momen peralihan
……. (2)
(MA dan MC = 0, sehingga tidak menginduksi momen)
Persamaan (1) dan (2) dipersamakan:
Didapat MB = 3.760 kg.m
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian
• Batang dipisahkan secara free body
Untuk bentangan AB=4000 kg.m
Untuk bentangan BC=2250 kg.m
3760 kg.m
Momen tersebut kemudian di superposisi
Penggambaran Bidang Momen (M) dan Lintang (D)
Metode CLAPEYRON – Soal dan PenyelesaianBidang D
Metode CLAPEYRON – Soal dan PenyelesaianBidang M
4.000 kg.m 4.000 kg.m3.760 kg.m
(-)(+)
(+)
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian
Freebody Diagram
Kontrol: 3060 + 4940 + 4253 + 1747 = 14.000 kg = 2000.7 = 14.000 kg (OK)
B
4940 kg 4253 kg
MB
3060 kg 1747 kg
MB
4 4 3 3
M M
RA RB1 RB2 RC
MB M
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Dilihat pada tumpuan B, tumpuan A tidak perlu ditinjau karena MA = 0• Akibat muatan luar : +
18,4
Gambar Bidang M dan D
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2• Akibat momen peralihan
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Dilihat pada tumpuan C• Akibat muatan luar :idak ada gaya-gaya luar• Akibat momen peralihan
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Persamaan-Persamaan di Tumpuan B dipersamakan
4MB +1,33 MC = 18,4 …. (1)Persamaan-Persamaan di Tumpuan C dipersamakan
1,33MB +4,67 MC = 0 …. (2)
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Dari persamaan (1) : 14MB +4,67 MC = 64,6Dari persamaan (2) : 1,33MB +4,67 MC = 012,67MB = 64,6 MB = 5,08 tmDimasukkan ke pers (2) = 1,33 (5,08) + 4,67 MC = 0 MC = -1,45 tm
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Diperhatikan free body ABRA’ = (RB)1 = MI’ = RA(4) – 8.2 = 7,58(4) – 16 = 14,32 tmMII’ = RA(7) – 8.5 = 7,58(7) – 40 = 13,06 tmMIII’ = (RB)1 .(3) = 3,42(3) = 10,26 tmUntuk momen peralihan langsung dapat digambar sehingga hasil akhir dapat disuperposisi
Bidang M
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
Diperhatikan free body ABRA = RA’ - = 7,58 - = 7,156 tRB = (RB)1 + + + = 3,42+ + + = 4,66tRC = + + = + + = -1,058 tonRD = = = 0,242 tonDari bidang D yang tergambar, tampak bahwa Mmax terletak n di sebelah kanan A. Nilai n dapat dicari dengan perbandingan, sehingga nilai Mmax dapat ditentukan pula.
Bidang D
Metode CLAPEYRON – Soal dan Penyelesaian 2
RA
MB
7,16 t
12
RB1
MB
3,84 t
12MB
0.816
8MB
0.816 t
8MC
0,242 t
6MC
0,242 t
6
MC
8MC
8
7,58 t
5,08 / 12 = 0,42
3,42 t
5,08 / 8 = 0,635
1,45 / 8 = 0,181t
1,45 / 6 = 0,242t0,42 t
0,181 t
0,635 t 0,242 t
M M M M
Kontrol: 7,16t+3,84t+0,816t-0,816t-0,242t+0,242t = 11t (OK)
Tugas
Selesaikan :• Perhitungan Bidang Momen Akibat Perletakan• Gambar Bidang Momen Akibat Perletakan• Perhitungan Bidang Momen Akibat Pembanan• Gambar Overlay Bidang Momen Karena Pereletakan dan Pembebanan• Gambar Diagram Free Body• Gambar Bidang LintangKeterangan :• Folio Bergaris• Gambar Dalam Kertas Milimeter