Chuyên đêChuyên đê �� 66
HoHoHoHo� vavavava� tên hotên hotên hotên ho�c sinhc sinhc sinhc sinh : -------------------------------------------
L�L�L�L��pppp : .......................
Ths. Lê V�n Đoa�n
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 1 -
M
y
x O
Chuyên đề
���
1/ Số phức và biểu diễn hình học của số phức
Số phức z a b.i= + có phần thực là a và phần ảo là b với a b, ∈ � và i2 1=− .
Do i2 1=− nên ta có i� = �1nê un = 4kinê un = 4k + 1−1nê un = 4k + 2−inê un = 4k + 3 (vơik ∈ � ) Nếu
a ca b.i c d.i
b d
=+ = + ⇔ =
(hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo)
Số phức z a b.i= + được biểu diễn bởi điểm ( )M a b; trên mặt phẳng tọa độ Oxy .
Mô đun của số phức z OM a b2 2= = +����
.
Số phức liên hợp của z a b.i= + là z a b.i= − .
2/ Các phép toán trên số phức
Cho hai số phức z a b.i1= + và z c d.i
2= +
Phép cộng : ( ) ( ) ( ) ( )z z a b.i c d.i a c b d .i1 2± = + ± + = ± + ±
Phép nhân : ( ) ( ) ( ) ( )z z a b.i c d.i a.c b.d a.d b.c .i1 2. .= + + = − + +
Phép chia : ( )( )
( )( )( )( )
( )( )a b.i a b.i c d.i a b.i c d.iz z z
z c d.i c d.i c d.i c dz z1 1 2
2 22 2 2
.
.
+ + − + −= = = =
+ + − +
3/ Giải phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai (phương trình trùng phương) vô nghiệm, nghĩa là 0∆< . Khi đó,
phương trình có nghiệm phức là b i.
xa1,2 2.
− ± ∆= .
4/ Căn bậc n của số phức
Cho số phức z a b.i= + . Hãy tìm căn bậc n của số phức z ? ( )n nz a b.i ?= + =
SỐ PHỨC
6
Đặt ( ) ( )nn nnz a b.i ω x y.i ω z x y.i a b.i = + = = + ⇒ = = + = + ∗
Khai triển( )n
x y.i+ . So sánh với( )∗ dựa vào 2 số phức bằng nhau nx y z,⇒ ⇒
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a
b ( )a b,
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 2 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
5 – Dạng lượng giác của số phức z = a + b.i
Ta có z OM a b r2 2 0= = + = >����
. Đặt a r cosφ b
φ φb r sinφ a
.tan ?
.
= ⇒ = ⇒ = =
Khi đó z a b.i= + được biểu diễn dưới dạng lượng giác là:
( )z a bi r φ i. φcos sin= + = + và được biểu diễn dưới dạng mũ là φiz a b.i r.e= + =
( φ π hay π φ π0 2≤ < − ≤ ≤ ; φsin cùng dấu với b và φ gọi là một acgumen của z )
Lúc đó:
+ Tích: ( ) ( )z .z r r φ φ i φ φ1 2 1 2 1 2 1 2
. . cos .sin = + + +
+ Thương: ( ) ( )z r
φ φ i φ φz r1 1
1 2 1 2
2 2
cos .sin = − + −
6 – Công thức Moivre và ứng dụng
Công thức Moivre: ( ) ( )n nz r φ i φ z r nφ i nφ. cos .sin . cos .sin= + ⇒ = + .
Công thức này dùng để nâng lũy thừa.
Công thức khai căn:
+ Cho dạng lượng giác của số phức ( )z r φ i. φcos sin= + (hoặc ta biến đổi).
+ Khi đó: ( )n nnφ k π φ k π
z r. φ i. φ r i.n n
2 2cos sin cos sin
+ + = + = + ;
k n0,1,2,..., 1= −
7 – Tính chất của số phức
Cho số phức z a b.i
z a b.iz a b2 2
= −= + ⇒ = +
. Khi đó:
� z z= � z.z a b2 2= + � z z z z' '+ = +
� z z z z. ' . '= � zz
z z' '= � z z z z
1 2 1 2+ ≤ +
Lưu ý: Cho số phức z a bi= + với a b, ∈ � . Khi đó:
� Để z là một số thực, điều kiện là: b 0=
� Để z là một số thực âm, điều kiện là: a
b
0
0
< =
� Để z là một số thực dương, điều kiện là: a
b
0
0
> =
� Để z là một số thuần ảo, điều kiện là: a 0= , lúc đó: z bi=
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 3 -
► Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong phần 1, 2, 4
Thí dụ 1. Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức
a/ ( ) ( )2 4 2 1 3z i i i= + + − (TN.THPT – 2011 Hệ bổ túc) ĐS: 8 6 , 10z i z= − = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/ ( ) ( )2 3
3 2 2z i i= − + + ĐS: 7 5 2z i z= − ⇒ = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ ω1 22z z= − với
11 2z i= + và
12 3z i= − (Trích đề TN.THPT – 2010 ban cơ bản)
ĐS: 3 8z i=− + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ ω1 2.z z= với
12 5z i= + và
23 4z i= − (Trích đề TN.THPT – 2010 ban nâng cao)
ĐS: 26 7z i= +
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
e/ ( )( )4 5
2 4 5 22
iz i i
i
−= − + +
+ ĐS:
93 94
5 5z i= − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
f/ 2 1
1 2 3
i iz
i i
− += −
− ĐS:
7 14
15 15z i= + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng toŸn 1Dạng toŸn 1Dạng toŸn 1Dạng toŸn 1. CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức CŸc ph˙p toŸn tr˚n số phức ¼¼¼¼ Sự bằng nhau của hai của số phứcSự bằng nhau của hai của số phứcSự bằng nhau của hai của số phứcSự bằng nhau của hai của số phức
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 4 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
g/
2
1 3 2
1 3
i iz
ii
− − = + + ĐS:
( )3 2 23.
2 2z i
−=− +
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
h/ ( ) ( ) ( )6 5 100
2 3 3 1z i i i= − + + + − ĐS: ( )503771 2 3844.z i= − +
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
i/ 2011 2012 2013z i i i= + + ĐS: 1z = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
j/ ( ) ( ) ( )2 20
1 1 1 ... 1z i i i= + + + + + + + ĐS: ( )10 102 2 1z i=− + + .
Cách 1. Sử dụng hằng đẳng thức: ( )( )n 2 3 ni i i i i i n N1 *1 1 1 ... ;−− = − + + + + + ∀ ∈
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 5 -
Cách 2. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân: ( )n
n
qS u q
q1
1. , 1
1
−= ≠
−.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
k/ ( )2012
1z i= + ĐS: 1006 10062 2z z=− ⇒ =− .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
l/ ( ) ( )2
2 1 2z i i= + − (Đại học khối A – 2010 ban cơ bản) ĐS: phần ảo là 2−
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
m/ ( )1n
z i= + với N*n ∈ thỏa ( ) ( ) ( ) 4 4
log 3 log 9 3 1n n− + + = ĐS: 8 8z i= − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
n/
3
1 3
1
iz
i
+ = + ĐS: 2 2z i= +
(Trích đề thi Đại học khối B – 2011 theo chương trình nâng cao)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 6 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Thí dụ 2. Tìm các số thực x, y thỏa:
a/ ( ) ( )1 2 1 2 1i x y i i− + + = + . ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/ ( ) ( )3
1 4 1 2 2 9i x i y i− + + + = + . ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ 3 21
x yii
i
+= +
−. ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ 3 3
3 3
x yi
i i
− −+ =
+ −. ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
e/ ( ) ( ) ( )2 2 2 214 3 3 2 4 3 2
2i x i xy y x xy y i− + + = − + − . ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 7 -
Thí dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( )2
1 2 8 1 2i i z i i z+ − = + + + . Hãy tìm phần thực
và phần ảo của số phức z
(Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D – 2009 ban cơ bản) ĐS: 2 3z i= − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( )2
2 3 4 1 3i z i z i− + + = − + . Hãy tìm phần thực và
phân ảo của số phức z (Trích đề thi Cao đẳng khối A, B, D – 2010 ban cơ bản) ĐS: 2 5z i=− +
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 5. Tìm số phức z biết: 2 0z z+ = ĐS: 0; ;z z i z i= = =−
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 6. Tìm số phức z biết: 22z z z= + ĐS:
1 1 1 10, ,
2 2 2 2z z i z i= =− − =− +
(Trích đề thi Đại học khối A – 2011, theo chương trình chuẩn)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 8 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 7. Tìm môđun của số phức z biết: ( )( ) ( )( )2 1 1 1 1 2 2z i z i i− + + + − = − .
ĐS: 2
3z = (Đại học khối A – 2011, theo chương trình nâng cao)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 8. Tìm số phức z biết: 5 3
1 0i
zz
+− − =
ĐS: 1 3z =− − hoặc 2 3z = − (Đại học khối B – 2011, ban cơ bản)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 9. Tìm số nguyên ,x y sao cho số phức z x yi= + thỏa mãn: 3 18 26z i= +
ĐS: 3; 1 3x y z i= = ⇒ = +
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 9 -
Thí dụ 10. Tìm môđun của số phức ω 2 4z i= − − với z x yi= + , ( ),x y ∈ � .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 11. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2 2z i− + = và phần ảo nhỏ hơn phần
thực 3 đơn vị. ĐS: ( )2 2 1 2z i= − − + hoặc ( )2 2 1 2z i= + − −
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 12. Tìm các số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 1 2 2z i z i+ − = − − và 1 5z − =
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
ĐS: Có hai số phức thỏa yêu cầu bài toán: 1 3z i= + hoặc 2 6
5 5z i=− −
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 10 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Thí dụ 13. Tìm z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2 2z i z z i− = − + và ( )2
2 4z z− =
ĐS: 3
3
14 .
4z i= ± +
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 14. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 12 5
8 3
z
z i
−=
− và
41
8
z
z
−=
−
ĐS: 1z i= +
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 15. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: ( )2 10z i− + = và . 25z z =
(Đại học khối B – 2009, theo chương trình chuẩn)
ĐS: 3 4z i= + hoặc 5z =
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 11 -
Thí dụ 16. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: 2z = và 2z là số thuần ảo.
(Đại học khối D – 2010) ĐS: 1 , 1 , 1 , 1z i z i z i z i= + = − =− − = − +
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 17. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời: ( )( )1 2z z i− + là số thực và 1 5z − =
ĐS: 2 , 2 2z i z i= = −
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí du 18. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 5z = và 7
1
z i
z
+
+ là số thực.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 19. Tìm số phức z sao cho 1 2 3z i z i+ − = + + và 2z i
z i
−
+ là một số thuần ảo.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 12 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của số phức z
a/ ( )( )3
1 2 1
iz
i i
+=
− + b/
1 2 3
2 4 5
i iz
i i
+ −= +
− +
c/ ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 2 1
3 2 2
i iz
i i
+ − −=
+ − + d/ ( )( )( )2 3 2 5 4z i i i= − − + −
e/ ( )3
2z i= − f/ ( ) ( )3 3
2 3z i i= + − −
i/ ( ) ( )2 9
1 1z i i= + − − j/ 3 2
1 4
i iz
i i
− += −
+
k/ 7
7
1 1
2z i
i i
= − l/ ( ) ( )
3 20131 2z i i= − + −
m/ ( ) ( )( )2
101 11 2 3 2 3
1
iz i i i
i i
+ = + − + + − + − n/
( )2010
1
1
iz
i
+=
−
o/ ( )( )1 2
1 2
i iz
i
+ −=
+ p/
21
5 3 3
1 2 3
iz
i
+ = −
q/ ( ) ( )( )( )
2
2
1 2
2 1
i iz
i i
+ −=
+ − r/
( )( )( )2 1 2 2 4
2 3
i i iz
i
− + −=
+
s/ 1 2
1 2
iz
i
+ −=
+ + t/ 2 3 20091 ...z i i i i= + + + + +
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức
a/ Tính: ( ) 3
2 2; ; ; 1z z z z z+ + . Biết rằng: 3 1
2 2z i= −
b/ Tính: ( ) ( ) ( ) ( )2 3 20
1 1 1 1 ... 1A i i i i= + + + + + + + + +
c/ Tính: 2 3 4 20131 ...B i i i i i= + + + + + +
d/ Tính: 1
2
zC
z= . Biết rằng:
13z i= − và
21 3z i= +
e/ Tính: 1 2
D z z= − . Biết rằng: 1 2
1z z= = và 1 2
3z z+ =
f/ Tính: 5 7 9 2013
4 6 8 2012
....
...
i i i iE
i i i i
+ + + +=
+ + + +
g/ Tính: ( ) ( ) ( )2 4 2012
1 1 1 ... 1F i i i= + + + + + + +
h/ Tính: ( ) ( )2012 2013
1 1G i i= − + +
i/ Tính: 2010F z= . Biết rằng: 1
1
iz
i
−=
+
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 13 -
j/ Tính: ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 8 10
16 8
1 1 1 1
1 1
1 1
i i i iG
i i
i i
− + + + + + −=
+ − + − +
k/ Tính: ( )
2
2
1
, 011
zzH z
zz
+= ≠
+ −
l/ Tính: 2
2
1
1
m miIm i m
+ +=
− + với m là tham số thực
m/ Tính: ( )
( )1 2
1 22 2 21 2 1 2
1 2
1 1 2 1 1, ; 0J z z
z z z zz z z z
= + + ≠ + + +
n/ Tính: ( ) ( )2012 20122 4K z z= − + − , biết ( ), ;z x yi x y= + ∈ � thỏa: 3 18 26z i= +
Bài 3. Tìm các số thực x, y thỏa:
a/ ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 1 1 5x y i x y i− + + = + − −
b/ ( ) ( )1 2 3 5 1 3x i y i− − = + −
c/ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 2 1x y y x i x y y x i+ + − = − + + + +
d/ ( )3 2 1 2x yi y x i+ = + + −
e/ ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 2 2 4 3x y y x i x y x y i+ + − = − + + − −
f/ ( ) ( )2 1 1 2 2 3 2x y i x y i+ + − = − + −
g/ ( ) ( )4 3 3 2 1 3x y i y x i+ + − = + + −
h/ ( ) ( )2 2 2 2x y x y i x y x y i+ + − = + + +
i/ 3 2 5 7 5x iy ix y i+ − + = +
j/ ( ) ( )2 3 4 2 5 10 2 3x iy ix y i x y i y x− + − − − = + + − − +
Bài 4. Tìm số phức z thỏa điều kiện cho trước:
a/ Tìm môđun của số phức 2 2 1 2
1 2 2 2
i iz
i i
+ += +
− −
b/ Cho số phức z x yi= + với ,x y ∈ � . Tìm 2z i− + ?
c/ Tìm số phức z thỏa: 20
1 3z iz
− = − .
d/ Tìm số phức z thỏa: 2 1 8z z i− =− − .
e/ Tìm số phức z thỏa:
4
1z i
z i
+ = − .
ĐS: 0, 1z z= = ±
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 14 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
f/ Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2 22. . 8z z z z+ + = và 2z z+ =
ĐS: 1z i= ±
g/ Cho số phức z thỏa: ( )
3
1 3.
1
iz
i
−=
−. Tìm môđun của số phức z iz+
ĐS: 8 2z iz+ = (Trích đề thi ĐH khối A – 2010 hệ nâng cao)
h/ Tìm các số phức z thỏa mãn: ( ). 3 4 3z z z z i+ − = − .
ĐS: 15 1
.2 2
z i= ± −
i/ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: 20
1 3z iz
− = − .
j/ Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) ( )4 2 21 2 1 4 1 0z z z+ + + + + + = .
k/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời: 1z = và 1z z
z z+ = .
l/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời: 1z i z− = − và 2z i z− = .
m/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời: 11
z
z i
−=
− và
31
z i
z i
−=
+.
n/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời: ( ) ( )1 2 1 2 6i z i z− + + = và ( )2
2 3 0z i z z+ − + = .
o/ Tìm các số phức z thỏa mãn đồng thời: 5z = và phần thực bằng 2 lần phần ảo.
p/ Tìm số phức z , biết 2 5z = và phần ảo bằng hai lần phần thực của nó.
q/ Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3.
r/ Tìm số phức z , biết 4z = và z là số thuần ảo.
s/ Tìm các số nguyên n để số phức:
n
1 3
1 3
iz
i
+ = − là một số thực.
t/ Cho hai số phức 1 2,z z thỏa mãn:
1 2 1 23; 3; 37z z z z= = − = . Tìm 1
2
zzz
= .
u/ Với giá trị nào của ,x y thì các số phức: 2 5
19 4 10z y xi= − − và 2 11
28 20z y i= + là liên
hợp của nhau.
v/ Tìm môđun của số phức ω z iz= + , biết rằng:
11 81 2
.1 1
i ii z
i i
+ = + − + .
w/ Tìm các số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 1 2 2z i z i+ − = − − và 1 5z − = .
x/ Tìm các số phức (nếu có) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2z i− + và 20
1 3z iz
− = − .
y/ Tìm các số phức (nếu có) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 2z = và 1 3 2z i i− + = − .
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 15 -
������������
Dạng toŸn 2Dạng toŸn 2Dạng toŸn 2Dạng toŸn 2. T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức . T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức . T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức . T˜m tập hợp điểm M biểu diễn số phức ¼¼¼¼ T˜m số phức c‚ m“đun max T˜m số phức c‚ m“đun max T˜m số phức c‚ m“đun max T˜m số phức c‚ m“đun max ¼¼¼¼ minminminmin
► Phương pháp:
1/ Tìm tập hợp biểu diễn số phức
Tìm tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức z x y.i= + là tìm hệ thức giữa mối liên hệ x và
y dựa vào kiến thức về , ,z z z và hai số phức bằng nhau.
Các mối liên hệ giữa x và y thường gặp:
� Ax By C 0+ + = ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một đường thẳng.
� ( ) ( )x a y b R2 2 2− + − = ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một đường tròn
có tâm là ( )I a b, và bán kính R.
� ( ) ( )x a y b R2 2 2− + − ≤ ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một hình tròn
có tâm là ( )I a b, và bán kính R.
� ( ) ( )R x a y b R2 22 2
1 2≤ − + − ≤ ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là những
điểm thuộc miền có hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm ( )I a b, và bán kính
lần lượt là R1 và R2.
� x y
a b
2 2
1+ = ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một Elíp có trục lớn là 2a,
trục nhỏ là 2b và tiêu cự là 2c a b2 22= − (với a b 0> > ).
� x y
a b
2 2
1− = ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một Hypebol có trục thực là
2a, trục ảo là 2b và tiêu cự là c a b2 22 2= + (với , 0a b > ).
y ax bx c2= + + ⇒ Tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức là một Parabol (P).
2/ Tìm tất cả các số phức z có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bước 1. Tìm tập hợp điểm ( )M x y, biểu diễn số phức z x y.i= + để được mối liên hệ x, y.
Bước 2. Dựa vào mối liên hệ giữa x và y ở bước 1 để tìm zmax
và zmin
.
Lưu ý: Từ điều kiện ở bước 1, ta có thể tìm z
max và z
minbằng các cách:
� Lượng giác hóa, sử dụng BĐT Bunhiacopxki: ( ) ( )( )a b c d a c b d2 2 2 2 2. .+ ≤ + + .
� Sử dụng bất đẳng thức tam giác: a b a b− ≤ − .
� Phương pháp đại số: Sử dụng BĐT Bunhiacopxki và giải hệ bất phương trình để
tìm ra: A z x y B2 2≤ = + ≤ ⇒ zmax
và zmin
.
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 16 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Thí dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a/ 2 3z z i= − + ĐS: Đường thẳng: 4 6 13x y+ = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/ ( )1z i i z− = + (Trích đề thi Đại học khối B – 2010)
ĐS: Đường tròn ( ) ( )22: 1 2C x y+ + = có tâm I(0;–1) và bán kính R 2= .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ ( )3 4 2z i− − = (Trích đề thi Đại học khối D – 2009)
ĐS: Đường tròn ( ) ( ) ( )2 2
: 3 4 4C x y− + + = có tâm I(3;–4) và bán kính R 2= .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ 3z
z i=
− ĐS: ( )
2
2 9 9:
8 64C x y
+ − = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 17 -
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
e/ 4z i z i− + + = ĐS: Elíp ( )E2 2
: 13 4
x y+ = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
f/ 1z i
z i
−=
+ ĐS: Đường thẳng 0y = ⇒ Trục thực Ox.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
g/ 2z ≤ ĐS: Hình tròn 2 2 4x y+ ≤ tâm O(0;0), bán kính R = 2.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 18 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
h/ ( )ω 1 3 2i z= + + với 1 2z − ≤ .
ĐS: Hình tròn ( ) ( )22
3 3 16x y− + − ≤ có tâm ( )I 3; 3 và bán kính R 4= .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
i/ 1 1 2z i≤ + − ≤ ĐS: Hình vành khăn có tâm I(–1;1) bán kín R1 = 1; R2 = 2.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
j/ 2 1 2z z z− = − + ĐS: Hai đường thẳng x = 0 và x = 2.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 19 -
k/ 1 2 3z z i− + − = ĐS: Hai đường thẳng song song với trục hoành 1 2y = ± .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
l/ 2 2z i z z i− = − + ĐS: Parabol ( )P2
:4
xy = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
m/ 2z là số thuần ảo ĐS: Hai đường phân giác ;y x y x= = − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
n/ z i
z i
+
− là một số thuần ảo ĐS:
2 2 1
0
x y
x
+ = ≠
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 20 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
o/ z i
z i
+
+ là số thực ĐS: Những điểm nằm trên hai trục tọa độ bỏ đi điểm A(0;1).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
p/ 3
3
z i
z i
−
+ là một số thực dương ĐS: Hai đường 0y = và 3x > .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
q/ ( )2
2 . 4z z z− = ĐS: Hypelbol ( )H 1 1
: ,y yx x
= =−
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 21 -
Thí dụ 2. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 2z i z i− − = − . Tìm số phức có môđun nhỏ
nhất ?
ĐS: 2 2z i= + với min 2 2z = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 3. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 5z i− − = . Tìm số phức có môđun lớn nhất,
môđun nhỏ nhất ?
ĐS:
min
max
5 1 2
3 5 3 6
z z i
z z i
= ⇔ = + = ⇔ = +
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 22 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 4. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 3 4 4z i− + = . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của z ?
ĐS: min 1z = và max 9z = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 5. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 3
2 32
z i− + = . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất .
ĐS: 26 3 13 78 9 13
13 26z
− −= + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 23 -
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 6. Xét số phức thỏa mãn: ( )
( ) ,1 2
i mz m
m m i
−= ∈
− −� .
a/ Tìm m để 1
.2
z z = . ĐS: 1m = ± .
b/ Tìm m để 1
4z i− ≤ . ĐS:
1 1
15 15m− ≤ ≤ .
c/ Tìm số phức z có môđun lớn nhất ? ĐS: khi max
1 0z m= = .
d/ Tìm giá trị nhỏ nhất của số thực k sao cho tồn tại m để k1z − ≤ . ĐS: k5 1
2
−= .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
z
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 24 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 7. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện ( )2 10z i− + = . Tìm số phức z có môđun nhỏ
nhất, lớn nhất (nếu có) ? ……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 25 -
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
1/ 2z < . 2/ 1 1z − ≤ .
3/ 1 1z i− − < . 4/ 1 1 2z i≤ + − ≤ .
5/ 3 1z + = . 6/ 2 2z i z z i− = − + .
7/ 2 1 3z z i z− + − = + . 8/ 2z i z+ = − .
9/ 4 4 0z i z i− + + = . 10/ 3 4z z i= − + .
11/ 4z i
z i
−=
+. 12/
5 54 2
3z z i z
+ = + .
13/ 2 1 3z z i+ = + − . 14/ . 9z z = .
15/ 2 3z i z i+ = − − . 16/ 2 2 10z z− + + = .
17/ 1 1z + < . 18/ 1 2z i< − < .
19/ 2 2 2 1i z z− = − . 20/ 2 1 2 3iz z− = + .
21/ 3 4z z+ + = . 22/ 1 2z z i− + − = .
23/ ( )k k,z
z i
+= ∈−
� . 24/ 1 2 3z z i− + − = .
25/ ( )2
2 4z z− = . 26/ 1100z
z+ = .
27/ 4 4 10z i z i− + + = . 28/ 2z i+ là số thực.
29/ 2z i− + là số thuần ảo. 30/ ( )( )2 z i z− + là số ảo tùy ý.
Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước
1/ Trong các số phức z thỏa điều kiện: 1 2 2z i− − = , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
2/ Trong các số phức z thỏa điều kiện: 2 2 1z i− + = , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất,
lớn nhất (nếu có) ? Khi đó hãy tìm số phức liên hiệp của z.
3/ Trong các số phức z thỏa điều kiện: ( )k k1
,zz
+ = ∈ � , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ
nhất, lớn nhất (nếu có) ? Khi đó hãy tìm số phức liên hiệp của z.
4/ Trong các số phức z thỏa điều kiện: 1 5
23
z i
z i
+ −=
+ −, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
5/ Trong số các số phức z thỏa điều kiện: 2 4 2z i z i− − = − . Tìm số phức z có môđun nhỏ
nhất.
6/ Trong các số phức z thỏa điều kiện: 2 3 5z i− + = . Hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 26 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Bài 3. Cho số phức ( ) ( ) 3 ,z m m i m= + − ∈ � .
a/ Tìm tham số m để biểu diễn số phức z nằm trên đường phân giác thứ hai y x=− .
b/ Tìm tham số m để biểu diễn số phức nằm trên đường hypebol ( )2
:H yx
=− .
c/ Tìm tham số m để khoảng của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ là nhỏ nhất.
Bài 4. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn lần lượt các số phức:1
4
1
iz
i=
−,
( )( )21 1 2z i i= − + và
3
2 6
3
iz
i
+=
−.
a/ Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông. b/ Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. Bài 5.
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 27 -
������������
Thí dụ 1. Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức �
a/ ( ) ( )1 2 4 5i z i i− + − = − ĐS: 3z i= − (TN.THPT – 2011 Ban cơ bản).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/ ( )4 5 2i z i− = + ĐS: 3 14
41 41z i= + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ ( ) ( )3 4 1 3 2 5i z i i+ + − = + ĐS: 7 4
5 5
iz = + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ ( ) ( )2
3 2 3i z i i− + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
e/ 1 1
3 32 2
z i i − = +
ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
f/ 2 1 3
1 2
i izi i
+ − +=
− + ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Dạng toŸn Dạng toŸn Dạng toŸn Dạng toŸn 3333. . . . Căn bậc 2 của số phức Căn bậc 2 của số phức Căn bậc 2 của số phức Căn bậc 2 của số phức ¼¼¼¼ Giải phương tr˜nh Giải phương tr˜nh Giải phương tr˜nh Giải phương tr˜nh ¼¼¼¼ hệ phương tr˜nh số phứchệ phương tr˜nh số phứchệ phương tr˜nh số phứchệ phương tr˜nh số phức
Giải phương trình bậc nhất trên � thực chất là thực hiện các phép tính cộng – trừ – nhân – chia số
phức z a bi= + kết hợp với kiến thức về z a bi= − ; z a b2 2= + và hai số phức bằng nhau.
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 28 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
g/ 3 5
2 4i
iz
+= − ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
h/ 2 2 4z z i+ = − ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
i/ 2 1 8z z i− =− − ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
j/ 2 3 1 12z z i− = − ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
k/ ( )1
2 3 02
i z i izi
− + + + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 29 -
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
l/ ( )( )5 3 0z i z+ − = ĐS: 5z i= − , 3z = .
……………………………………………………………………………………………………………
m/ ( ) ( ) ( )2
2 3 4 1 3i z i z i− + + = − + ĐS: 2 5z i=− + (CĐ khối A,B,D – 2010)
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 2. Tìm căn bậc 2 (căn bậc n của số phức z a bi= + với a b, ∈ � ).
a/ 17z =− ĐS: có một căn bậc hai là 17z i= .
……………………………………………………………………………………………………………
b/ 5 12z i=− + ĐS: Có 2 căn bậc hai củaz là 2 3i+ và 2 3i− − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Đặt ( ) ( )nn nnz a b.i ω x y.i ω z x y.i a b.i = + = = + ⇒ = = + = + ∗ .
Khai triển( )n
x y.i+ . So sánh với( )∗ dựa vào hai số phức bằng nhau nx y z,⇒ ⇒ .
Nếu n 2= , từ ( )∗ ta được hệ x y a
x y x yixy b
2 2
,2
z − = ⇒ ⇒ = + =
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 30 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
c/ 8 6z i= + ĐS: Có 2 căn bậc hai củaz là 3 i+ và 3 i− − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ 3 4z i= − ĐS: Có 2 căn bậc hai củaz là 2 i− + và2 i− .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
e/ 33 56z i= − ĐS: Có 2 căn bậc hai củaz là 7 4i− và 7 4i− + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
f/ 4 6 5.z i= + ĐS: Có 2 căn bậc hai của z là 3 5.z i= ± ± .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
g/ 1 2 6.z i=− − ĐS: Có hai căn bậc hai của z là 2 3.z i= ± ∓ .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 31 -
Thí dụ 3. Tìm căn bậc ba của các số phức sau
a/ z i= − ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
b/ 27z =− ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ 2 2z i= + ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ 18 6z i= + ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 4. Tìm căn bậc bốn của các số phức sau
a/ 2z i= − ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/ 2 12z i= − ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 32 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ 3z i= + ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ 7 24z i=− + ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
e/ 3 2 14.z i= − ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 33 -
Thí dụ 5. Giải các phương trình bậc hai – bậc bốn trùng phương với hệ số thực
a/ 22 5 4 0x x− + = ĐS: 1,2
5 7.
4 4x i= ± (TN.THPT – 2006).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/ 2 4 7 0x x− + = ĐS: 1,2
2 3x i= ± (TN.THPT – 2007 lần 1).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ 2 6 25 0x x− + = ĐS: 1,2
3 4x i= ± (TN.THPT – 2007 lần 2).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ 2 2 2 0x x− + = ĐS: 1,2
1x i= ± (TN.THPT – 2008 lần 2).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
e/ 28 4 1 0z z− + = ĐS: 1,2
1 1
4 4x i= ± (TN.THPT – 2009 – Cơ bản).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
f/ 22 6 5 0z z+ + = ĐS: 1,2
3 1
2 2x i=− ± (TN.THPT – 2010 – GDTX).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
g/ 23 2 1 0x x− + − = ĐS: 1,2
1 2
3
ix
±= .
Nếu phương trình bậc hai (phương trình trùng phương) dạng ( )ax bx c a b c a2 0, , , , 0+ + = ∈ ≠�
vô nghiệm, nghĩa là 0∆< . Khi đó, phương trình có nghiệm phức là b i.
xa1,2 2.
− ± ∆= .
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 34 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
h/ 27 3 2 0x x+ + = ĐS: 1,2
3 47
14
ix
− ±= .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
i/ 25 7 11 0x x− + = ĐS: 1,2
7 171
10
ix
±= .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
j/ 4 2 6 0z z+ − = ĐS: 1,2
2x = ± và 3,4
3x i= ± .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
k/ 4 27 10 0z z+ + = ĐS: 1,2
2x i= ± và 3,4
5x i= ± .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
l/ 2 2 0z z+ + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
m/ 2 2z z= + ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 35 -
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
n/ 3 125 0z − = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
o/ 4 16 0z + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 6. Giải các phương trình bậc hai với hệ số phức.
a/ 22 1 0z iz− + = ĐS: 1 2
1,
2z i x i= =− (TN.THPT – 2009 Nâng cao).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/ ( )24 0z i− + = ĐS:
1 23 ;z i z i= =− (TN.THPT – 2011 Nâng cao).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ 4 3 7
2z i
z iz i
− += −
− ĐS:
1 23 ; 1 2z i z i= + = + (CĐ khối A,B,D – 2009 Nâng cao).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ ( )2 1 6 3 0z i z i− + + + = ĐS: 1 21 2 ; 3z i z i= − = (CĐ khối A,B,D – 2010 Nâng cao).
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 36 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
e/ ( )2 3 4 5 1 0x i x i− + + − = ĐS: 1 22 3 ; 1x i x i= + = + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
f/ ( )2 1 2 0x i x i+ + − − = ĐS: 1 21 ; 2x x i= =− − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
g/ ( )2 8 1 63 16 0z i z i− − + − = ĐS: 1 25 12 ; 3 4z i z i= − = + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
h/ 2 4 4 0ix x i+ + − = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
i/ 2. 2 . 4 0i x i x+ − = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
j/ ( ) ( )22 3 4 3 1 0i z i z i− + − + − = ĐS: 1 2
1 51 ;
13
iz z
+= =− .
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 37 -
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
k/ ( ) ( )22 1 4 2 4 5 3 0i x i x i+ − − − − = ĐS: 1
3 5
2 2x i= − và
2
1 1
2 2x i=− − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
l/ ( )4 28 1 63 16 0z i z i− − + − = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
m/ ( )4 224 1 308 144 0z i z i− − + − = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
n/ ( )4 26 1 5 6 0z i z i+ + + + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 38 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Thí dụ 7. Giải các phương trình bậc cao trên tập số phức � .
a/ 3 23 3 63 0z z z+ + − = ĐS: 3 ; 3 2 3. ; 3 2 3.z z i z i= =− + =− − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/ ( ) ( )3 21 3 3 0z i z i z i+ + + + + = ĐS: 1 11
;2
iz i z
− ±=− =
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ ( ) ( )2
2 24 12 0z z z z+ + + − = ĐS: 1 23.
, 1 , 22
iz z z
− ±= = =− .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/
3 2
1 0z i z i z i
z i z i z i
− − − + + + = + + + ĐS: 1 , 0 , 1z z z=− = = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 39 -
e/ ( )2
2011 4 8036 4 0z i z i+ − − − + = ĐS: 2009 3 , 2009z i z i=− + =− − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
f/ ( )2
2 3 23 6 2 3 12 0z z z z z+ + + + + = ĐS: 1 5 , 3 3z i z=− ± =− ± .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
g/ 4 3 22 2 1 0z z z z− − − + = ĐS: 1 3 3 5
;2 2
iz z
− ± ±= = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
h/ ( ) ( )4 3 21 2 2 2 1 0z z z z− + + + − + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 40 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
i/ 2
4 3 1 02
zz z z− + + + = ĐS:
1 11 ;
2 2z i z i= ± =− ± .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
j/ 4 3 24 7 16 12 0z z z z− + − + = ĐS: 1 , 3 , 2z z z i= = = ± .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
k/ 4 3 26 8 16 0z z z z− + − − = ĐS: 1 , 2 , 2 2z z z i=− = = ± .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
l/ 4 3 22 6 8 8 0z z z z− + − + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
m/ ( )( )( )2 3 2 10z z z z− + + = ĐS: 1 ; 1 6z i z=− ± =− ± .
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 41 -
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
n/ ( )( )( )( )1 3 5 7 28z z z z− − + + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
o/ ( )( )( )( )2 1 1 3 2 3 18z z z z− − − + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
p/ ( ) ( )4 46 4 82z z+ + + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
q/ 5 4 3 2 1 0z z z z z+ + + + + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 42 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
r/ 6 5 4 313 14 1 0z z z z z+ − − + + = ĐS: 1 3
2 3, 2 3,2
iz z z
±=− ± = ± = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
s/ ( ) ( )2
2 2 21 3 1 2 0z z z z+ + + + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
t/ ( ) ( )4 2
2 2 2 21 10 1 9 0z z z z z z− + − − + + = ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 43 -
Thí dụ 8. Giải các phương trình sau trên tập số phức � .
a/ ( ) ( )3 22 2 5 4 10 0z i z i z i+ − + − − = . Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.
ĐS: 2 , 1 2z i z i= =− ± .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/ ( ) ( )3 22 1 4 1 8 0z i z i z i− + + + − = . Biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.
ĐS: 2 , 1 3 , 1 3z i z i z i= = + = − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ ( )3 22 5 3 3 2 1 0z z z z i− + + + + = . Biết rằng phương trình có một nghiệm thực.
ĐS: 1, 2 , 12
z z i z i=− = − = + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 44 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Thí dụ 9. Các bài toán liên quan đến tham số và định lí Viét
a/ Tìm m để phương trình: 2 3 0z mz i+ + = có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/ Trên tập số phức, hãy tìm m để phương trình bậc hai: 2 0z mz i+ + = có tổng bình phương hai nghiệm bằng 4i− .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/ Cho 1 2;z z là hai nghiệm của phương trình: ( ) ( )21 2 3 2 1 0i z i z i+ − + + − = . Không giải
phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức: 2 2 2 2 1 2
1 2 1 2 2 1
2 1
, ,z z
A z z B z z z z Cz z
= + = + = + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ Tìm các số thực b, c để phương trình 2 0z bz c+ + = nhận số phức 1z i= + làm một nghiệm của phương trình.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
e/ Cho các số phức ω ω1 21 2 , 3 4i i= + = − . Hãy xác định các số phức ( ), 0z z ≠ , đồng thời thỏa
mãn các điều kiện: ω1z là số thực và
ω2 1z= . Từ đó, lập phương trình bậc hai là các số phức đã
tìm được.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 45 -
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
f/ Cho số phức z là một nghiệm của phương trình: 2 1 0z z+ + = . Hãy rút gọn biểu thức: 2 2 2 2
2 3 4
2 2 4
1 1 1 1P z z z z
z z z z
= + + + + + + + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
g/ Cho 1 2,z z là các nghiệm của phương trình: 22 4 11 0z z− + = . Tính giá trị của biểu thức:
( )
2 2
1 2
2
1 2
z zA
z z
+=
+.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
h/ Gọi 1 2,z z là nghiệm phức của phương trình: 2 2 4 0z z+ + = . Hãy tính giá trị của biểu thức: 2 2 3
1 2 1 23A z z z z= + − + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 46 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
i/ Tìm tham số m để phương trình phức: 2 1 0z mz m+ + + = có hai nghiệm 1 2,z z thỏa mãn điều
kiện: 2 2
1 2 1 21z z z z+ = + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
j/ Tìm tham số m để phương trình phức: 2 3 5 0z mz i− + = có hai nghiệm 1 2,z z thỏa mãn điều
kiện: 3 3
1 218z z+ = .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
k/ Cho phương trình: 3 25 16 30 0z z z− + − = . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2
1 2 3A z z z= + + với
1 2 3, ,z z z là ba nghiệm của phương trình.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
l/ Cho phương trình: ( )( )2 22 2 0z i z mz m m+ − + − = . Hãy xác định điều kiện của tham số m sao
cho phương trình: Chỉ có đúng một nghiệm phức. Chỉ có đúng một nghiệm thực. Có ba nghiệm phức.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 47 -
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
m/ Giải phương trình:
2
12
7
zz
z
+ = − − . Biết rằng: 3 4z i= + là một nghiệm của phương trình.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Thí dụ 10. Giải hệ phương trình trên tập số phức � .
a/
2 1 2
3
x y i
x y i
+ = − + = −
ĐS: 5, 2x y i= =− −
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
b/
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
+ = − + = +
ĐS: 1
2
1 2
3
z i
z i
= − = +
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
c/
1 2
2 2
1 2
5 5
5 2
z z i
z z i
= − − + = − +
ĐS: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1 2; 2 ; 1 3 , 1 3 ; 2 , 2 ; 1 3 , 1 3 ; 2z z i i i i i i i i= − − − − − − − + + + − +
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 48 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
d/ 1 2 1 2
2 2
1 2
8
1
z z z z
z z
− − = + = −
ĐS: ( )1 2
5 3 3 5 3 3 3 14 3 14; ; , ;
2 2 2 2
i iz z
± + + ± =
∓ ∓.
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
e/ ( )
2 2
2 2
33
;3
0
x yxx y
x yx y
yx y
− + = + ∈ + − = +
� ĐS: ( ) ( ) ( ){ }; 2;1 , 1; 1x y = − .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 49 -
f/ ( )( )
1 2
3 3
1 2
3 1
9 1
z z i
z z i
+ = + + = −
ĐS: ( ) ( ) ( ){ }; 2 ;1 2 , 1 2 ;2x y i i i i= + + + + .
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
g/
( )
2 10
2 20
3 1 30
x yi z
x y iz
ix iy i z
+ − = − + = + − + =
ĐS:
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
h/ 1 2
1 2
1.
22 3
z z
z z
= + =
ĐS: ( )3 3 3 3
; ; , ;4 2 4 2
i i i ix y
− + + − =
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 50 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Giải các phương trình bậc nhất trên tập số phức
a/ ( )4 5 2i z i− = + b/ 2 3 7 8z i i+ = +
c/ ( ) ( )( )1 2 1 3 2 3i z i i i+ + − + = + d/ ( ) ( )3 2 4 7 2 5i z i z+ − + = −
e/ ( ) ( )2
3 2 3i z i i− + = f/ ( ) ( )1 3 4 3 7 5i z i i− + + = −
g/ ( ) ( ) ( )7 3 2 3 5 4i z i i z− + + = − h/ ( )1 3 2 4i z i z+ + = −
i/ ( )2 3 2 3 2 2i x i i− + = + j/ ( )1 2 5 62 3
zi i
i− + = −
+
k/ ( ) ( )( )3 4 4 1 2i x i i+ = + + l/ 1 1
3 32 2
z i i − = +
m/ 2 1 3
1 2
i izi i
+ − +=
− + n/ 2 2 4z z i+ = −
n/ 2 0z z− = o/ 2 0z z+ =
p/ 2
2 0z z+ = q/ 1 2z z i− = +
r/ 2z z i+ = + s/ 3z z i+ − =
t/ ( )1
2 3 02
i z i izi
− + + + = u/ ( ) ( )4 7 5 2 6i z i iz+ − − =
Bài 2. Tìm căn bậc hai của các số phức
a/ 5 12i− + b/ 40 42i− + c/ 98 18i− d/ 33 56i−
e/ 34 5i+ f/ 4 6 5i+
g/ 1 2 6i− − h/ 17 20 2i+
i/ 1 2
4 2i+ j/ 7 24i− +
Bài 3. Giải các phương trình bậc hai
a/ 23 2 0x x+ + = b/ 2 1 0x x+ + =
c/ 2 7 0x + = d/ 3 1 0x − =
e/ 2 3 1 0x x− + = f/ 23 2 0x x− + =
g/ 23 2 2 3 2 0x x− + = h/ ( )2 3 4 5 1 0x i x i− + + − =
i/ ( )2 1 2 0x i x i+ + − − = j/ ( )2 3 4 3 0x i x i− − + − =
k/ ( )2 2 2 6 8 0z i z i− − + − = l/ 2 2(1 ) 4 2 0x i x i+ + + + =
m/ 2 2(2 ) 18 4 0x i x i− − + + = n/ ( )2 8 1 63 16 0z i z i− − + − =
o/ 2 2 1 6 0z z i+ + − = p/ ( )2 5 8 0x i x i− − + − =
q/ 23 2 4 0ix x i− − + = r/ ( ) ( )22 3 4 3 1 0i z i z i− + − + − =
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 51 -
Bài 4. Giải các phương trình bậc cao
a/ 4 27 10 0z z+ + = b/ 4 2 6 0z z+ − =
c/ 4 22 3 5 0x x+ − = d/ 3 27 0z − =
e/ 42 16 0x + = f/ 5( 2) 1 0x + + =
g/ 3 64 0z i+ = h/ 3 27 0z i− =
i/ 6 37 8 0x x− − = j/
2
4 45 6 0
z i z i
z i z i
+ + − + = − −
k/ ( )( )( )25 3 3 0z i z z z+ − + + = l/ ( ) ( ) 2 22 6 2 16 0z z z z+ − + − =
m/ 2( 3 ) 6( 3 ) 13 0z i z i+ − − + − + = n/ 4 28(1 ) 63 16 0z i z i− − + − =
o/ 4 224(1 ) 308 144 0z i z i− − + − = p/ 4 26(1 ) 5 6 0z i z i+ + + + =
q/ ( ) ( )2
2 24 12 0z z z z+ + + − = r/ 3 23 3 63 0z z z+ + − =
s/ 4 3 24 7 16 12 0z z z z− + − + = t/ ( ) ( )3 21 3 3 0z i z i z i+ + + + + =
u/ 4 3 22 2 1 0z z z z− − − + = v/ 4 3 22 2 4 8 0z z z z− + + − =
x/ 4 3 26 8 16 0z z z z− + − − = y/ 3 26 30 25 0z z z+ + + =
Bài 5. Giải hệ phương trình trên tập số phức.
1.
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
+ = + + = −
2.
1 2
2 2
1 2
5 5
5 2
z z i
z z i
= − − + =− +
3.
2 1 2
3
x y i
x y i
+ = − + = −
4. 2 2
1 1 1 1
2 21 2
ix y
x y i
+ = − + = −
5.
2 2 8 8
5
x y i
x y i
+ = − + = −
6. 4
7 4
x y
xy i
+ = = +
7.
2 2
5
1 2
x y i
x y i
+ = − + = +
8.
3 3
1
2 3
x y
x y i
+ = + = − −
9.
2 2 6
1 1 2
5
x y
x y
+ =− + =
10.
3 2
1 1 17 1
26 26
x y i
ix y
+ = + + = +
11.
12 5
8 3
41
8
z
z i
z
z
− = − − = −
12.
11
31
z
z i
z i
z i
− = − − = +
13.
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
+ = + + = −
14.
1 2
2 2
1 2
. 5 5
5 2
z z i
z z i
= − − + = − +
Ths. Lê V�n Đoàn Chuyên đê � 6: Sô � ph��c
Page - 52 - ¹Cần c• b• th“ng minh§§§§º
15.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
. . 1
z z z
z z z
z z z
+ + = + + = =
16. ( )
3 5
1 2
42
1 2
0
. 1
z z
z z
+ = =
17.
2 2 4 0
2
a b ab
a b i
+ + = + =
18. 2
1
z i z
z i z
− = − = −
19.
1
3 1 2
17 1 4 2
xx y
yx y
+ = + − = +
20.
1 2
1 2
1
22 3
z z
z z
= + =
21.
( )
2 10
2 20
3 1 30
x yi z
x y iz
ix iy i z
+ − = − + = + − + =
22. 3 2
2010 2011
2 2 1 0
1 0
z z z
z z
+ + + = + + =
23. 22
2 2
4
z i z z i
z z
− = − + − =
24. 1 2
1 2
3
1 1 3
5
z z i
i
z z
+ = − + + =
Bài 6. Cho các số phức z1, z2, z3. Chứng minh rằng:
1. 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3z z z z z z z z z z z z+ + + + + = + + + + +
2. ( )( )2 2 2 2
1 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z+ + − = + +
3. ( )( )2 2 2 2
1 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z− − − = − −
4. Nếu 1 1z z c= = thì
2 22
1 2 1 24z z z z c+ + − = .
5. 2 2 2 2
2x y x y x y + + − = +
6. Chứng minh rằng: ( ) ( )
( )
510
10
1 3
1 3
i iz
i
− +=
− −
là một số thực.
7. Cho hai số phức 1z và
2z thỏa mãn: 2 2
1 2 1 2z z z z+ = . Chứng minh rằng:
1 2 1 2z z z z= = −
.
8. Cho 1 3
2 2z i=− + . Chứng minh rằng: ( )
3
1z = .
9. Chứng minh: ( ) ( ) ( )2010 2008 2006
3 1 4 1 4 1i i i i+ = + − + .
10. Chứng minh rằng: mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dưới dạng x i
x i
+
−, với x là số
thực mà ta phải xác định. 11. Cho , 'z z là hai số phức bất kỳ. Chứng minh rằng:
a) ( )' 'z z z z+ = + b) ( )' 'z z z z− = −
15 Chuyên đê � ôn Đa�i ho �c và Cao đ��ng môn Toa�n Ths. Lê V�n Đoàn
“T��ng lai ngày mai đang b�t đ�u t� ngày hôm nay…………” Page - 53 -
c) ( ). ' . 'z z z z= d) ( ), ' 0' '
z zz
z z
= ≠
e) . ' . 'z z z z= f) ( ), ' 0' '
zzz
z z= ≠
12. Cho các điểm: , ,A B C và ', ', 'A B C trong mặt phẳng biểu diễn các số phức: 1 , 2 3 , 3i i i− + + và 3 , 3 2 , 3 2i i i− + . Chứng minh rằng: hai ABC∆ và ' ' 'A B C∆ có
cùng trọng tâm. 13. Xét các điểm , ,A B C trong mặt phẳng phức, theo thứ tự biểu diễn các số phức
( )( ) 4 2 6; 1 1 2 ;1 3
i ii i
i i
+− +
− −. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông cân. Từ
đó, tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
14. Chứng minh rằng: nếu phương trình: ( ) 2 0, , ,az bz c a b c+ + = ∈ � có nghiệm phức
α ∉ � thì α cũng là nghiệm của phương trình đó. 15. Chứng minh rằng: nếu x iy+ là căn bậc hai của số phức a bi+ thì x yi− là căn bậc hai của
số phức a bi− .
Recommended