TUGAS PROYEK
GRADIEN
KELOMPOK VIII
Disusun oleh :
Adik Niko Heri Mukti Kusuma (5215122652)
Asmara Yoga (5215122687)
Lidya Setiawati (5215122680)
Mochammad Aldi Mauludin (5215122659)
Urfi Muthiah (5215122677)
Yusuf Syani (5215122628)
PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRONIKA
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA
2013/2014
27 Mei 2013 [M A T E M A T I K A II]
GRADIEN ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa.Berkat rahmat, nikmat, serta limpahan karunia-
Nya Makalah Proyek Gradien ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya
Penulisan makalah proyek ini sebagai sarana pemenuhan tugas mata kuliah pendidikan
matematika II, pendidikan teknik elektronika semester 098 tahun pelajaran 2013/2014
Dalam penyelesaian makalah proyek ini penulis banyak mengalami kesulitan karena kurangnya
materi yang diperoleh.Namun berkat bantuan dari berbagai pihak,akhirnya makalah ini dapat
diselesaikan.Oleh karena itu, penulis
mengucapkan terima kasih kepada
1. Dr.Ir.Rusmono sebagai Dosen Pembimbing Matematika II
2. Tim sebagai pencari informasi tambahan
Penulis menyadari makalah proyek ini masih jauh dari sempurna.Oleh karena itu,penulis
meminta kritik dan saran yang membangun makalah proyek ini menjadi lebih baik.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi yang membaca , khususnya penulis.
Jakarta,27 mei 2013
PENULIS
27 Mei 2013 [M A T E M A T I K A II]
GRADIEN iiI
DAFTAR ISI
Cover............................................................................................................................ i
Kata Pengantar........................................................................................................... ii
Daftar Isi ...................................................................................................................... iii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................ 1
1.1 Latar Belakang ........................................................................................................ 1
1.2 Perumusan Masalah ................................................................................................. 2
1.3 Tujuan ..................................................................................................................... 2
BAB II PEMBAHASAN.............................................................................................. 3
2.1 Operator Diferensial Vektor .................................................................................... 3
2.2 Definisi Gradien ...................................................................................................... 3
2.3 Contoh Soal ............................................................................................................. 7
2.4 Latihan Soal ............................................................................................................ 9
BAB III PENUTUP ..................................................................................................... 11
3.1 Kesimpulan ............................................................................................................. 11
3.2 Saran ....................................................................................................................... 11
BAB IV LAMPIRAN .................................................................................................. 13
4.2 Algoritma Program .................................................................................................. 13
4.3 Flowchart Program .................................................................................................. 14
4.4 List Program ............................................................................................................ 15
4.4 Hasil Program .......................................................................................................... 21
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di dalam perkuliahan matematika II terdapat bab yang menjelaskan mengenai
Operator Diferensial Vektor, khususnya pada bagian gradien suatu vektor. Gradien
merupakan sebuah medan skalar kontinu dan dapat di definisi pada setiap titik
(x,y,z) dalam ruang R3 .
Dalam rangka memenuhi tugas proyek di akhir perkuliahan matematika II, maka
dibuatlah suatu aplikasi untuk menyelesaikan beberapa persoalan matematika yang
secara khusus mengenai divergensi suatu vektor. Software yang digunakan dalam
pembuatan aplikasi ini adalah VISUAL BASIC. Dengan merancang algoritma dan
mengaplikasikannya pada VISUAL BASIC, kemudian di uji coba dengan
membandingkan antara hasil penghitungan manual dengan hasil output dari aplikasi
ini sehingga mendapatkan kesesuaian hasil yang sama atau valid.
Dengan dibuatnya aplikasi ini, para pengguna diharapkan dapat menggunakannya
dalam menyelesaikan persoalan gradien suatu vektor dengan lebih cepat, mudah,
dan akurat.
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 2
1.2 Perumusan Masalah
1. Apakah pengguna dapat mengerti cara membuat program ini dan sistem kerja
program ini dengan melihat informasi syntax/list program yang tersedia?
2. Apakah aplikasi ini sudah bisa membantu menyelesaikan persoalan matematika
khususnya gradien suatu vektor ?
3. Apakah aplikasi ini dapat dijadikan acuan tetap atau hanya sebatas media
pembanding antara perhitungan manual dengan perhitungan program?
1.3 Tujuan
1. Dapat mengerti pembuatan program sehingga menjadi suatu aplikasi dengan
bantuan software Visual basic, dari mulai perancangan algoritma sampai
menkonversinya menjadi suatu syntax sehingga program dapat dijalankan dan
berfungsi dengan baik.
2. Membantu menyelesaikan persoalan gradien suatu vektor dengan cara praktis dan
cepat dengan bantuan aplikasi yang dibuat dengan software Visual Basic.
3. Sebagai acuan tetap pembantu perhitungan atau sebagai media pembanding
antara hasil perhitungan manual dengan output perhitungan program komputer.
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 3
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Operator Diferensial Vektor
Operator pada diferensial vektor dituliskan dengan dan didefinisikan dengan :
=
atau
=
Operator ini disebut del atau juga nabla.
Jika (x,y,z) mendefinisikan sebuah medan skalar dan (x,y,z) mendefinisikan
sebuah medan vektor, maka , , dan x masing-masingnya masih
merupakan sebuah operator. Penggunaan operator del ini ada 3 yaitu, gradien ,
divergensi, dan curl.1
Keterangan:
: operator differensial vektor
: div
x : curl atau rot
Di bawah ini akan dijelaskan mengenai gradien.
2.2 Gradien
Analisis vektor
“Ingat bahwa gradien mengubah fungsi skalar menjadi fungsi vektor”
Maka gradien ø dituliskan dengan atau grad ø dan difenisikan dengan :
) ø
2
1 Idrus Ramli, Analisis Vektor (Jakarta: Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan, 1988),
hlm. 131. 2 Idrus Ramli, Analisis Vektor (Jakarta: Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan, 1988),
hlm. 131.
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 4
Terlihat bahwa ø merupakan sebuah medan vektor. Kadang-kadang definisi
tersebut dituliskan juga dengan :
)
Secara umum didefinisikan sebagai berikut : misalkan ø (X1, X2, ...,Xn)
mendefinisikan sebuah medan skalar yang dapat didefinisir pada setiap titik (X1,
X2, .... , Xn) dalam ruang , yang berarti :
ada, maka
gradien ø pada titik (X1,X2,...,Xn) didefinisikan dengan :
Atau dapat disederhanakan menuliskannya dengan :
3
1. SIFAT-SIFAT GRADIEN
Misalkan ø (x,y,z) dan (x,y,z) mendefinisikan sebuah medan skalar yang
dapat didefinisir pada setiap titik (x,y,z) dalam ruang , dan c adalah bilangan
rill, maka berlaku :
a.
b.
c.
3 Idrus Ramli, Analisis Vektor (Jakarta: Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan, 1988),
hlm. 132.
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 5
d. Jika ø (x,y,z) = c maka merupakan vektor normal pada permukaaan ø
(x,y,z) pada titik (x,y,z)
Bukti sifat a.
Bukti sifat b.
Bukti sifat c.
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 6
Bukti sifat d.
Misalkan adalah vektor posisi untuk setiap titik (x,y,z) pada
permukaan ø (x,y,z) = c. Misalkan x= x (t), y=y(t), dan z= z(t), maka
merupakan vektor singgung pada titik (x,y,z).
Akibat *) dan **) , maka :
Karena
merupakan vektor singgung pada sembarang titik (x,y,z) pada
permukaan tersebut, dan ø.
= 0, maka jelaslah, bahwa merupakan vektor
normal.4
4 Idrus Ramli, Analisis Vektor (Jakarta: Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan, 1988),
hlm. 133-135.
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 7
2.3 Contoh soal
Contoh soal aljabar :
1. Jika , tentukan ( grad ø ) pada titik ( 1 , 2 , 3 )!
Jawab :
Contoh soal trigonometri :
1. Jika ø (x,y,z) = sin 90 xy – cos 60yz, carilah ( grad ø ) pada titik (2,1,2)
Jawab :
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 8
Contoh soal eksponensial :
1. Misalkan = , carilah pada titik (1,2,2) !
Jawab:
=
= yz
(1,2,2) = 4 5
5 Idrus Ramli, Analisis Vektor (Jakarta: Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan Tenaga Kependidikan, 1988),
hlm. 132.
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 9
2.4 Latihan soal
Latihan soal aljabar :
1. Jika , tentukan ( grad ø ) pada titik ( 5, 6 , 5 )!
Jawab :
Latihan soal trigonometri :
1. Jika ø (x,y,z) = sin 30xy – cos 30yz, carilah ( grad ø ) pada titik ( 2 , 2 , 2 )
Jawab :
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 10
Latihan soal eksponensial :
1. Misalkan = , carilah pada titik ( 8 , 8 , 8 ) !
Jawab:
=
= yz
= ( 8 ).( 8 )
= 64
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 11
BAB III
PENUTUP
3.1 Rangkuman
Gradien adalah perkalian operator diferensial vektor dengan perkalian
skalar.
SIFAT-SIFAT GRADIEN
Misalkan ø (x,y,z) dan (x,y,z) mendefinisikan sebuah medan skalar yang
dapat didefinisir pada setiap titik (x,y,z) dalam ruang , dan c adalah bilangan
rill, maka berlaku :
a.
b.
c.
d. Jika ø (x,y,z) = c maka merupakan vektor normal pada permukaaan ø
(x,y,z) pada titik (x,y,z)
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 12
DAFTAR PUSTAKA
Ramli,Idrus.(1988).Analisis Vektor.Jakarta:Departemen Pendidikan dan Kebudayaan
Direktorat jendral Pendidikan tinggi Proyek Pengembangan Lembaga Pendidikan
Tenaga Kerja
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 13
BAB IV
LAMPIRAN
4.1. Algoritma Program
1. Start
2. Judul Program = Gradien
3. Variabel yang di gunakan = x, y, z.
4. Input nilai.
5. Input Soal.
6. Proses = Menemukan nilai x, y, dan z.
7. Hasil
8. Selesai.
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 14
4.2. Flowchart Program
Start
Deklarasi
X, y, z
Tampilkan Windows
Pembahasan
Tampilkan Contoh
Soal
Tampilkan
Latihan Soal Nilai
Proses
End
Pembahasan
Contoh Soal
Latihan Soal Ya
Kembal
i
Kembal
i
Kembal
i
Ya
Ya
Ya
Ya
Ya
Tdk
Tdk
Tdk Tdk
Tdk
Tdk
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 15
4.3. List Program
1. List menu utama Private Sub Command1_Click() Form8.Visible = True Form1.Visible = False End Sub Private Sub Command2_Click() Form1.Visible = False Form2.Visible = True End Sub Private Sub Command3_Click() Form1.Visible = False Form7.Visible = True End Sub Private Sub Command4_Click() Form1.Width = 9435 Command6.Visible = True Command4.Visible = False End Sub Private Sub Command6_Click() Form1.Width = 4770 Command6.Visible = False Command4.Visible = True End Sub 2. Contoh Soal
Private Sub Command1_Click() Form3.Visible = True End Sub Private Sub Command2_Click() Form4.Visible = True End Sub Private Sub Command3_Click() Form5.Visible = True End Sub Private Sub Command5_Click() Unload Me Form1.Visible = True End Sub
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 16
3. Daftar Soal Latihan
Private Sub Command1_Click() Form6.Visible = True End Sub Private Sub Command2_Click() Form17.Visible = True End Sub Private Sub Command3_Click() Form16.Visible = True End Sub
4. Latihan Soal Aljabar Option Explicit Dim X As Integer Dim Y As Integer Dim a As Integer Dim b As Integer Dim c As Integer Dim HSL As Long Dim I As Byte Private Sub Command1_Click() Form6.Height = 5760 Label1(0).Caption = Text4.Text Label2(0).Caption = Text5.Text Label3(0).Caption = Text6.Text Label1(1).Caption = Text4.Text Label2(1).Caption = Text5.Text Label3(1).Caption = Text6.Text Label1(2).Caption = Text4.Text Label2(2).Caption = Text5.Text Label3(2).Caption = Text6.Text Label1(3).Caption = Text4.Text Label2(3).Caption = Text5.Text Label3(3).Caption = Text6.Text Label7.Caption = (Label7.Caption * Label1(3).Caption) Label1(4).Caption = (Label1(1).Caption - 1) Label2(4).Caption = Label2(3).Caption Label3(4).Caption = Label3(3).Caption Label8.Caption = (Label8.Caption * Label2(3).Caption) Label1(5).Caption = Label1(3).Caption Label2(5).Caption = (Label2(3).Caption - 1) Label3(5).Caption = Label3(3).Caption Label9.Caption = (Label9.Caption * Label3(3).Caption) Label1(6).Caption = Label1(3).Caption Label2(6).Caption = Label2(3).Caption Label3(6).Caption = (Label3(3).Caption - 1)
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 17
Label1(7).Caption = Label1(4).Caption Label2(7).Caption = Label2(4).Caption Label3(7).Caption = Label3(4).Caption Label1(8).Caption = Label1(5).Caption Label2(8).Caption = Label2(5).Caption Label3(8).Caption = Label3(5).Caption Label1(9).Caption = Label1(6).Caption Label2(9).Caption = Label2(6).Caption Label3(9).Caption = Label3(6).Caption Label10.Caption = Label7.Caption Label14.Caption = Label8.Caption Label18.Caption = Label9.Caption Label11.Caption = Text1.Text Label12.Caption = Text2.Text Label13.Caption = Text3.Text Label15.Caption = Text1.Text Label16.Caption = Text2.Text Label17.Caption = Text3.Text Label19.Caption = Text1.Text Label20.Caption = Text2.Text Label21.Caption = Text3.Text X = Val(Label11.Caption) Y = Val(Label1(7).Caption) HSL = 1 For I = 1 To Y HSL = HSL * X a = Str(HSL) Next X = Val(Label12.Caption) Y = Val(Label2(7).Caption) HSL = 1 For I = 1 To Y HSL = HSL * X b = Str(HSL) Next X = Val(Label13.Caption) Y = Val(Label3(7).Caption) HSL = 1 For I = 1 To Y HSL = HSL * X c = Str(HSL) Next Label4.Caption = ((Label10.Caption * a) * b * c) X = Val(Label15.Caption) Y = Val(Label1(8).Caption) HSL = 1 For I = 1 To Y HSL = HSL * X a = Str(HSL) Next
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 18
X = Val(Label16.Caption) Y = Val(Label2(8).Caption) HSL = 1 For I = 1 To Y HSL = HSL * X b = Str(HSL) Next X = Val(Label17.Caption) Y = Val(Label3(8).Caption) HSL = 1 For I = 1 To Y HSL = HSL * X c = Str(HSL) Next Label5.Caption = ((Label14.Caption * a) * b * c) X = Val(Label19.Caption) Y = Val(Label1(9).Caption) HSL = 1 For I = 1 To Y HSL = HSL * X a = Str(HSL) Next X = Val(Label20.Caption) Y = Val(Label2(9).Caption) HSL = 1 For I = 1 To Y HSL = HSL * X b = Str(HSL) Next X = Val(Label21.Caption) Y = Val(Label3(9).Caption) HSL = 1 For I = 1 To Y HSL = HSL * X c = Str(HSL) Next Label6.Caption = ((Label18.Caption * a) * b * c) End Sub
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 19
5. Latihan Soal Eksponensial
Private Sub Command1_Click() Form16.Height = 4875 Label1.Caption = Text2.Text Label2.Caption = Text3.Text Label3.Caption = Text1.Text Label4.Caption = Text3.Text Label5.Caption = Text1.Text Label6.Caption = Text2.Text Label7.Caption = Text1.Text Label8.Caption = Text2.Text Label9.Caption = Text3.Text Label10.Caption = Text1.Text Label11.Caption = Text2.Text Label12.Caption = Text3.Text Label13.Caption = Text1.Text Label14.Caption = Text2.Text Label15.Caption = Text3.Text Label16.Caption = (Label1.Caption * Label2.Caption) Label18.Caption = (Label3.Caption * Label4.Caption) Label20.Caption = (Label5.Caption * Label6.Caption) Label17.Caption = (Text1.Text * Text2.Text * Text3.Text) Label19.Caption = (Text1.Text * Text2.Text * Text3.Text) Label21.Caption = (Text1.Text * Text2.Text * Text3.Text) End Sub
6. Latihan Soal – Trigonometri Dim a As Double Dim b As Double Private Sub Command1_Click() Form17.Height = 7080 Label1(0).Caption = Text1.Text Label2(0).Caption = Text2.Text Label1(1).Caption = Label1(0).Caption Label2(1).Caption = Label2(0).Caption Label1(2).Caption = Label1(0).Caption Label2(2).Caption = Label2(0).Caption Label1(3).Caption = Label1(0).Caption Label2(3).Caption = Label2(0).Caption Label1(4).Caption = Label1(0).Caption Label3.Caption = Label1(4).Caption Label1(5).Caption = Label1(0).Caption Label4.Caption = Label1(5).Caption Label2(4).Caption = Label2(0).Caption
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 20
Label5.Caption = Label2(4).Caption Label2(5).Caption = Label2(0).Caption Label6.Caption = Label2(5).Caption Label21.Caption = Label3.Caption Label22.Caption = Label1(4).Caption Label23.Caption = Label4.Caption Label24.Caption = Label1(5).Caption Label25.Caption = Label5.Caption Label26.Caption = Label2(4).Caption Label27.Caption = Label6.Caption Label28.Caption = Label2(5).Caption Label7(0).Caption = Text4.Text Label7(1).Caption = Text4.Text Label7(2).Caption = Text4.Text Label7(3).Caption = Text4.Text Label7(4).Caption = Text4.Text Label7(5).Caption = Text4.Text Label8(0).Caption = Text3.Text Label8(1).Caption = Text3.Text Label8(2).Caption = Text3.Text Label9(0).Caption = Text5.Text Label9(1).Caption = Text5.Text Label9(2).Caption = Text5.Text Label10.Caption = (Label21.Caption * Label7(0).Caption) Label11.Caption = (Label22.Caption * Label7(1).Caption * Label8(0).Caption) Label12.Caption = (Label23.Caption * Label8(1).Caption) Label13.Caption = (Label24.Caption * Label8(2).Caption * Label7(2).Caption) Label14.Caption = (Label25.Caption * Label9(0).Caption) Label15.Caption = (Label26.Caption * Label7(4).Caption * Label9(1).Caption) Label16.Caption = (Label27.Caption * Label7(3).Caption) Label17.Caption = (Label28.Caption * Label7(5).Caption * Label9(2).Caption) Label18.Caption = (Label10.Caption * Math.Cos(Label11.Caption)) Label19.Caption = ((Label12.Caption * Math.Cos(Label13.Caption)) + (Label14.Caption * Math.Sin(Label15.Caption))) Label20.Caption = (Label16.Caption * Math.Sin(Label17.Caption)) End Sub
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 21
4.4. Hasil Program
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 22
27 Mei 2013 [ M A T E M A T I K A II ]
GRADIEN 23