2
4.1 Konsep Turunan 4.1.1 Turunan di satu titik Definisi 4.1 Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat c. Turunan
pertama fungsi f di titik c, ditulis
didefinisikan sebagai bila limit ini ada.
Arti geometris: Perhatikan gambar disamping Kemiringan tali busur PQ adalah :
Jika x c , maka tali busur PQ akan
berubah menjadi garis singgung di ttk P
dgn kemiringan
cx
cfxfcf
cx
)()(lim)('
P(c,f (c))
Q f(x)
x
y
cx
cfxfmPQ
)()(
(c)fcx
f(c)f(x)m '
cx
lim
)(' cf
3
Jadi, arti geometris dari adalah kemiringan garis singgung kurva f di titik (c,f(c)).
Sedangkan arti fisis dari adalah laju perubahan nilai fungsi f(x) terhadap peubah x.
Notasi Lain :
Contoh Diketahui , tentukan Jawab :
)(',)(
cydx
cdf
xxf
1)(
9
1
3
1lim
33
3lim
3311
lim3
3lim3
3333
x)x(x
x
xx
x
)f(f(x))f'(
xxxx
)(' cf
)(' cf
)3('f
4
4.1.2 Turunan Sepihak
Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
bila limit ini ada.
Fungsi f dikatakan mempunyai turunan ( diferensiabel ) di c atau,
ada jika
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
cx
cfxfcf
cx
)()(
lim)('
cx
f(c)f(x)(c)f
cx
'
lim
)(' cf
)()()('dan)()( ''_
'' cfcfcfcfcf
5
Contoh : Diketahui
1,21
1,3)(
2
xx
xxxxf
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan
Jawab :a.
11
)1(lim
1lim
1
)121(3lim
1
)1()(lim)1(
1
2
1
2
11
'
x
xx
x
xx
x
xx
x
fxff
xx
xx
b.1
)121(21lim
1
)1()(lim)1(
11
'
x
x
x
fxff
xx
1)1)(1(
1lim2
1
22lim
11
xx
x
x
xxx
Jadi, f diferensiabel di x=1. .1)1(maka,1)1()1( ''' fff
)1('f
6
Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah bahwa
Perhatikan bahwa
Maka
Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
)()(lim cfxfcx
cxcxcx
cfxfcfxf
,).()()(
)()(
)()()(
)(lim)(lim cxcx
cfxfcfxf
cxcx
)(lim.)()(
lim)(lim cxcx
cfxfcf
cxcxcx
0).(')( cfcf
= f(c). Terbukti.
7
Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel
di x = 0 Jawab:
f kontinu di x = 0, karena,
f(0) = 0
dan
Selanjutnya selidiki apakah f (x) diferensiabel di x = 0 atau
0,
0,||)(
xx
xxxxf
0)(lim)(lim00
xxfxx
0lim)(lim00
xxfxx
0)(lim0
xfx
)0()(lim0
fxfx
)0()0( '' ff
1lim|0|||
lim0
)0()(lim)0(
000
'
x
x
x
x
x
fxff
xxx
.1lim|0|||
lim0
)0()(lim)0(
000
'
x
x
x
x
x
fxff
xxx
1)0()0(1 '' ff
Jadi,
Karena , maka f tidak diferensiabel di 0.
8
Contoh: Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) diferensiabel di
1 ;
Jawab : Agar fungsi f (x) diferensiabel di x=1, maka f (x) harus
kontinu di x=1 dan 1. Syarat agar f kontinu di 1 adalah : Maka
1,
1,)(
2
xax
xbxxf
)1()1( '' ff
).(lim)(lim)1(11
xfxffxx
11limlim1
2
1
ababaaxbxa
xx
1
)1(lim
1lim
1
)1()(lim)1(.2
2
1
2
11
'
x
aax
x
abx
x
fxff
xxx
21lim1
1lim
1
2
1
xx
xxx
ax
xa
x
aax
x
fxff
xxx
1
1lim
1lim
1
)1()(lim)1(
111
'
2)1()1( '' aff
.
Maka diperoleh : a = 2 dan b = 1.Agar
9
4.2 Aturan Pencarian Turunan
Fungsi Turunan Pertama Definisi 4.3 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi
turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai
atau jika h=t-x
bila limitnya ada.
Notasi lain ,bentuk dikenal
sebagai notasi Leibniz.
xxt
xftfxf
xt,
)()(lim)('
xh
xfhxfxf
h,
)()(lim)('
0
)(,,)(
,,' xfDyDdx
xdf
dx
dyy xx
dx
dy
)(' xf
10
Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :
1. Fungsi konstanta, jika f (x)=k, maka
2. Fungsi pangkat,
3. Penjumlahan fungsi :
4. Perkalian fungsi :
5. Pembagian fungsi :
dengan g(x) 0.
Rrxxr
dx
xd rr
,0;1
(x)g(x)f
dx
g(x)f(x)d ''
)()()()(
)()( '' xgxfxgxfdx
xgxfd
)(
)()()()(2
'')(
)(
xg
xgxfxgxf
dx
d xgxf
Contoh Tentukan fungsi turunan pertama dari 1
3)(
2
x
xxf
Jawab: .
)1(
16
)1(
261
)1(
)3(2)1.(1)('
22
2
22
22
22
2
x
xx
x
xxx
x
xxxxf
0)(' xf
11
4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
( Coba buktikan sendiri )!Turunan fungsi trigonometri yang lain :
1. 2.
3. 4.
Contoh: Tentukan dari Jawab:
xxfxxf cos)('sin)(
xxfxxf sin)('cos)(
x
dx
xd 2sectan
xdx
xd 2csccot
xx
dx
xdtansec
sec
xx
dx
xdcotcsc
csc
xxxf sin)( 2
).cossin2(cossin2)(' 2 xxxxxxxxxf
)(' xf
12
4.4 Aturan Rantai
Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka
Jika y = f (u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka :
Contoh: Jika Tentukan
Jawab:
dx
du
du
dy
dx
dy
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
du
dy
dx
du
1;12;3 22 xvvuuy
dx
dy
xxxvxudx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy4).1)1(2(64.)12(62.2.6 2
)1(24 2 xx
13
4.5 Turunan Tingkat Tinggi
Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
Turunan pertama
Turunan kedua
Turunan ketiga
Turunan ke-n
Contoh : Tentukan dari
Jawab : , maka
f x
df x
dx' ( )
2
2
)("dx
xfdxf
3
3
)('"dx
xfdxf
n
nn
dx
xfdxf )(
)()( )1()( xfdx
dxf nn
xxy sin4 3
xxy cos12' 2 xxy sin24''
''y
14
4.6 Turunan Fungsi Implisit
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda.
Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
Contoh:Tentukan y’ dari bentuk implisit Sin(xy) = x2 + 1 Jawab: Dx (Sinxy) = Dx(x2 + 1)
Cos(xy) Dx(xy) = 2x
Cos(xy) (y + x ) = 2x
Maka )(
)(2'
xyxCos
xyyCosxy
'y
15
4.7 Garis singgung dan garis normal
Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan kemiringan m adalah y – y0 = m( x – x0 ).
Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal.
Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal
fungsi di (2,6). Jawab :
Pers. Garis singgung Pers. Garis normal
).(1
00 xxm
yy
62 23 xxy
42.42.3)6,2('43' 22 yxxy
24)2(46 xyxy
2
1
4
16)2(
4
16 xyxy
.2
13
4
1 xy