BAB II
MATERI
A. KALKULUS
1. LIMIT FUNGSI
Konsep limit fungsi merupakan bagian yang sangat penting dalam
Kalkulus. Banyak konsep lain yang didasarkan pada konsep limit fungsi, seperti
konsep kekontinuan fungsi dan konsep turunan fungsi. Sehingga memahami
konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman
konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan.
Secara intuitif, ide dari limit fungsi f pada suatu titik c adalah L, adalah
bahwa nilai f(x) akan dekat dengan L jika x dekat dengan c.
Definisi Limit Fungsi
Misal AR. f : A R , cR. L R disebut limit dari f di c, jika untuk setiap
>0 , terdapat >0, sehingga untuk sebarang |x – c| < , x di A, maka |f(x) – L | <
.
Definisi ini seringkali disebut kriteria - dalam membuktikan limit fungsi
pada suatu titik tertentu. Inti langkah ini adalah jika diberikan sebarang > 0,
harus dapat ditemukan sehingga untuk sebarang x yang memenuhi |x – c| <
akan berakibat |f(x) – k | < jika memang benar limit fungsi f di titik c adalah L.
Selanjutnya jika L merupakan limit fungsi f di titik c, dikatakan f konvergen ke L
di titik c. Dan seringkali ditulis dalam symbol L=lim
x→cf
atau L=lim
x→cf ( x )
atau f(x)L , jika xc. Kemudian jika f tidak punya limit di titik c dikatakan f
divergen di c.
Dari definisi limit tersebut di atas kemudian muncul pertanyaan tentang
kemungkinan banyaknya nilai limit fungsi f pada suatu titik, tunggal atau bisa
lebih dari satu. Ternya limit fungsi di suatu titik ( jika ada ) haruslah tunggal ,
seperti hasil teorema berikut.
Teorema
Misal AR. f : A R , cR . Jika f punya limit di c, maka limitnya tunggal.
2
Dalam menunjukan limit suatu fungsi pada nilai yang ditunjuk dengan
dengan meggunakan criteria - memerlukan suatu teknik tertentu, walaupun pada
dasarnya adalah “hanya” menentukan besarnya yang bergantung pada besarnya
yang diberikan. Namun terdapat tipe-tipe fungsi yang harus menggunakan “trik”
tertentu dalam mendapatkan yang diinginkan. Seringkali harus disusun analisis
pendahuluan sebelum secara sistematik dilakukan langkah formalnya. Berikut
beberapa contoh cara menentukan besarnya , dari yang diberikan.
1.limx→c
k=k.
Analisis Pendahuluan: Dalam hal ini dapat dimisalkan f(x) = k dan L=k. Sehingga
untuk nilai x manapun |f(x) – k| adalah 0. Sehingga selalu lebih kecil dari
sebarang yang diberikan. Hal ini tentu memudahkan pemilihan , karena untuk
sebarang x yang memenuhi |x – c| < , untuk sebarang pilihan akan berakibat |
f(x) – k | < .
Jadi Berdasarkan criteria -, yaitu jika diambil sebarang > 0, dapat ditemukan
sehingga untuk sebarang x yang memenuhi |x – c| < akan berakibat |f(x) – k| <
. Jadi dapat disimpulkan limx→c
k=k.
2.limx→c
x=c.
Bentuk fungsi ini lebih komplek dari contoh sebelumnya, karena jika dimisalkan
f(x) = x dan L=c, maka nilai |f(x) – c | = x – c. Sehingga pilihan benar-benar
tergantung pada nilai yang diberikan, tidak bisa sebarang lagi seperti contoh
terdahulu.
Analisis Pendahuluan: Jika diberikan sebarang , dan harus ditemukan sehingga
untuk nilai berlaku x yang memenuhi |x – c| < , harus dipenuhi |f(x) – L | < .
Perhatikan nilai |f(x) – L | = |x – c|, sehingga jika dipilih =, maka jika |x – c | <
, akan berakibat |f(x) – L| < , karena |f(x) – L | = |x – c|.
Sehingga prosedur formalnya adalah sebagai berikut. Ambil >0 sebarang. Pilih
= , maka jika |x – c | < , akan berakibat |f(x) – c|< , karena |f(x) – L | = |x – c|.
3.limx→c
x2=c2
3
Perhatikan bentuk fungsi f(x) = x2 dengan L = c2 pada contoh ini, tentunya
pembuktian nilai limitnya sama dengan c2 tidak dapat dilakukan analog dengan
cara pembuktian terdahulu. Disini tampak bahwa bentuk |f(x) – L | = |x2 – c2|
bentuknya lebih rumit dibangkan dengan bentuk pada contoh terdahulu.
Perhatikan bahwa |f(x) – L | = |x2 – c2| = |x + c| |x – c|, padahal akan dicari semua
nilai x yang memenuhi |x – c| < , harus dipenuhi |f(x) – L | < . Ini tidak bias
segera dilakukan karena |f(x) – L | = |x2 – c2| , memuat factor dalam bentuk |x + c|
dan |x – c| . Cara yang termudah adalah dengan membatasi nilai |x – c| dengan
suatu nilai tertentu, kemudian kita dapatkan batas dari nilai | x + c| dan baru dicari
nilai yang membatasi nilai |x – c|.
Analisis Pendahuluan.
Ambil > 0 sebarang. Akan dicari >0 , sehingga untuk x yang memenuhi |x – c|
< , harus dipenuhi |f(x) – L | <. Sekarang batasi dahulu nilai |x – c | misalkan
kurang dari 1( boleh nilai yang lain asalkan positif ). Selanjutnya dari |x – c | <1,
diperoleh |x| |c| + 1, sehingga |x+c| |x| + |c| 2|c| + 1.
Dari sini didapatkan jika |x – c| < 1, akan dipenuhi |f(x) – L | = |x2 – c2| = |x + c| |x
– c| ( 2|c| + 1 )|x – c|. Sehingga dari bentuk terakhir ini , jika dikehendaki
bernilai kurang dari > 0 yang diberikan, dapat dipilih nilai x sehingga |x – c| <
ε2|c|+1 . Akibatnya jika dipilih
δ=inf{1 , ε2|c|+1}, maka jika |x – c | < , akan
berakibat |f(x) – L| < .
Berikut diberikan definisi operasi aljabar dua fungsi sebelum dibahas
teorema limit dari fungsi-fungsi yang telah dioperasikan secara aljabar.
Definisi
Misal AR dan fungsi-fungsi f,g terdefinisi pada A ke R. Didefinisikan jumlah
f+g, selisih f – g , dan hasil kali fg di A ke R sebagai fungsi berikut, (f+g)(x) =
f(x) + g(x), (f – g)(x) = f(x) – g(x), (fg)(x) = f(x)g(x), untuk setiap x A.
Selanjutnya jika bR , didefinisikan perkalian bf, sebagai fungsi (bf)(x) = bf(x)
4
untuk setiap xA. Akhirnya, jika h(x)0 untuk xA, didefinisikan hasilbagi f/h
sebagai fungsi ( f
h )( x )= f ( x )h( x ) untuk setiap xA.
Berdasarkan definisi ini, dapat dikaji limit dari fungsi-fungsi yang didefinisikan
tersebut.
Teorema
Misal AR dan fungsi-fungsi f,g terdefinisi pada A ke R, cR titik cluster dari A dan b R.
1. Jika limx→c
f=L dan
limx→c
g=M, maka
limx→c
( f +g)=L+M,
limx→c
( f−g )=L−M, limx→c
fg=LM,
limx→c
bf =bL
2. Jika h: AR, h(x)0 untuk setiap xA, dan limx→c
h=H 0, maka
limx→c
fg= L
H .
3.limx→c
[ f ]n=[limx→cf ]n
4.limx→c
[ f ]1n=[limx→c
f ]1n
5. Jika limx→c
f=L, maka
limx→c
|f|=|L|
6. Jika limx→c
|f|=0, maka
limx→c
f=0
7. Jika dipenuhi a f(x) b untuk setiap xA, xc, dan jika limx→c
fada
maka a limx→c
f b
8. Jika dipenuhi g(x) f(x) h(x) untuk setiap xA, xc, dan jika
L= limx→c
g=limx→c
hada maka
limx→c
f = L.
Limit di takhingga
5
Masalah lain yang muncul adalah adanya suatu fungsi yang dalam istilah
aljabar dikatakan mempunyai asimtot datar, yaitu fungsi-fungsi yang menuju
suatu bilengan real tertentu jika x menuju bilangan yang cukup besar ( x ),
seperti fungsi f(x) =
1x , jika x . Berikut definisi limitnya.
Definisi
Misal AR, f : A R.
(a) Misalkan (a,) A untuk suatu aR. Suatu bilangan real L merupakan limit
dari fungsi f jika x , dan ditulis limx→∞
f=L∈R, jika untuk setiap > 0,
terdapat bilangan asli K sedemikian sehingga untuk x > K, berlaku |f(x) – L |
< .
(b) Misalkan (-, b) A untuk suatu bR. Suatu bilangan real L merupakan limit
dari fungsi f jika x -, dan ditulislimx→∞
f=L∈R, jika untuk setiap >0,
terdapat bilangan aslik K sedemikian sehingga untuk x < K, berlaku |f(x) – L |
< .
Limit Fungsi Aljabar
Menentukan limit fungsi berbeda dengan membuktikan bahwa bilangan
yang ditunjuk merupakan limit dari suatu fungsi yang diberikan. Pada beberapa
fungsi nilai limit dapat ditentukan dengan cara menentukan nilai fungsi di titik
yang ditunjuk.(jika fungsi tersebut terdefinisi pada titik yang ditunjuk). Berikut ini
diberikan cara menentukan limit fungsi aljabar.
Menentukan Limit dengan memfaktorkan atau merasionalkan bentuk akar.
Cara ini digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar yang
berbentuk fungsi rasional yaitu f ( x )= g( x )
h (x ) pada titik c dan x-c merupakan
faktor dari fungsi g(x) maupun h(x). Bentuk fungsi f(x) dapat direduksi menjadi
fungsi yang tidak lagi memuat faktor x-c, sehingga limitnya sama dengan nilai
fungsinya.
Contoh:
6
limx→ 1
x2−1x−1
=limx→1
(x−1)( x+1)x−1
=limx→1
(x+1 )=2
Menentukan limit fungsi untuk x.
Untuk menentukan limit fungsi rasional untuk x, dapat dilakukan
dengan membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dan
menggunakan fakta bahwa lim
x→∞
1x=0 .
Sehingga,
limx→∞
x3−4 x2+73−6 x2−2 x3 =lim
x→∞
x3
x3−4 x2
x3 + 7x3
3x3 −
6 x2
x3 −2 x3
x3
=limx→∞
1−4x+ 7
x3
3x3−
6x−2
=−12
Limit Fungsi Trigonometri
Dalam menentukan limit fungsi trigonometri, salah satu hasil yang terkait dengan
limit fungsi trigonometri yang harus diingat adalah limx→0
sin xx
=1 dan
limx→0
cos(x )−1x
=0.
Hasil ini ini diperoleh dengan memperhatikan fakta bahwa:
Dengan menggunakan ketaksamaan fungsi sinus dalam trigonometri, yaitu x -
16
x3 sin(x) x untuk x0, dan x sin(x) x -
16 x3, untuk x 0, maka
diperoleh ketaksamaan x -
16 x2 (sin(x))/ x 1. untuk setiap x0. Selanjutnya
karena limx→0
(1−16
x2)=1, sehingga dapat disimpulkan bahwa
limx→0
sin (x )x
=1.
(Catatan: Beberapa buku menggunakan pendekatan sudut dalam membuktikan
masalah ini, untuk hasil limx→0
cos (x )−1x
=0 dapat dilakukan dengan langkah
serupa). Sehingga,
limx→ 0
sin 2 xx
=limy→0
sin yy
2
=2 limy→0
sin yy
=2
7
2. KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK
Dalam pembahasan tentang limit fungsi, sama sekali tidak diperhatikan
keterdefinisian fungsi yang dimaksud pada titik yang dibicarakan keberadaan
limitnya. Dengan kata lain keberadaan limit fungsi tidak tergantung pada
keterdefinisian fungsi yang dimaksud pada titik tersebut. Selanjutnya pada kajian
kekontinuan fungsi, keterdefinisian fungsi yang dimaksud pada titik yang
dibicarakan menjadi syarat utama, karena Kekontinuan suatu fungsi pada suatu
titik adalah menguji apakah limit fungsi tersebut sama dengan nilai fungsi pada
titik tersebut. Sebelum lebih jauh mengkaji karakteristik fungsi-fungsi kontinu,
berikut disajikan definisinya.
Definisi Kekontinuan fungsi pada suatu titik
Misal AR. f : A R , c A. Fungsi f dikatakan kontinu di c, jika untuk setiap
>0, terdapat > 0 sedemikian sehingga untuk setiap xA, dengan | x – c | < ,
maka |f(x)-f(c)|< .
Perhatikan bahwa dalam pembahasan kekontinuan fungsi f: AR pada titik c,
agar dipenuhi f (c )=lim
x→cf
, harus dipenuhi tiga hal yaitu (a) fungsi f harus
terdefinisi pada c, (b) limit fungsi f pada titik c ada di R, dan kedua nilai dari (a)
dan (b) sama.
1. Fungsi f(x) = k merupakan fungsi kontinu di R. Ini mudah dipahami
karena telah diketahui bahwa limx→c
f ( x)= limx→c
k=k, dan f(c) = k, untuk
sebarang c di R. Jadi f kontinu di R.
2. Fungsi f(x) = x merupakan fungsi kontinu di R. Seperti contoh diatas telah
diketahui limx→c
f ( x)=c = f(c) , untuk sebarang c di R.
3. Fungsi f(x) = x2 merupakan fungsi kontinu di R. Seperti contoh diatas telah
diketahui limx→c
f ( x)=c2 = f(c) , untuk sebarang c di R.
4. Fungsi f ( x)=1
x kontinu pada himpunan A = {xR| x>0} , tetapi tidak
kontinu di titik 0. Dari bahasan limit fungsi telah diketahui bahwa untuk
8
c A = {xR| x>0}, limx→c
1x=1
c . Sedangkan di titik 0, fungsi f(x) tidak
terdefinisikan. Jadi fungsi f ( x)=1
x tidak kontinu di 0.
3. TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA
Definisi Turunan
Misalkan I R suatu selang dan fungsi f : I R, dan cI. Bilangan real L
disebut turunan fungsi f pada titik c jika untuk setiap bilangan 0 terdapat
bilangan 0 sedemikian sehingga untuk setiap x I dengan 0 xc,
berlaku |f ( x ) −f (c )
x −c−L|<ε
.
Dalam hal ini kemudian seringkali dikatakan bahwa fungsi f differentiabel di titik
c, dan dan ditulis f’ (c) = L. Dengan pernyataan yang lain, turunan dari fungsi f di
c dinyatakan dalam bentuk limit sebagai f ' (c )= lim
x→c
f ( x )−f (c )x −c asalkan
limitnya ada.
Secara umum, notasi yang di gunakan untuk menyatakan turunan suatu
fungsi f adalah f’ atau Df. Sedangkan jika fungsi ditulis dalam bentuk y=f(x)
seringkali ditulis sebagai Dy atau
dydx . Selanjutnya dengan menggunakan definisi
limit dapat ditentukan nilai turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu.
Pandang fungsi konstan f ( x )=k , −∞<x<∞ , dengan k bilangan real. Untuk
titik c sebarang, f ( x )−f (c )
x−c= c−c
x−c=0 , x≠c
.
Akibatnya, f ' (c )=lim
x→c
f ( x )−f (c )x−c
= limx→ c
0=0.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa f’(x)=0.
Kemudian fungsi identitas f ( x )=x ,−∞<x<∞ .
Untuk titik c sebarang , f ( x )−f (c )
x−c= x−c
x−c=1
asalkan xc , akibatnya
f ' (c )=limx→c
f ( x )−f (c )x−c
=limx→ c
1=1
9
Demikian juga, misal f ( x )=x3 , −∞<x<∞ maka
Untuk titik c sebarang ,
f ( x )−f (c )x−c
= x3−c3
x−c=(x−c )( x2+xc+c2 )
x−c
= x2+xc+c2 , asalkan xc.
Akibatnya, f ' (c )= lim
x→cx2+ xc+c2=3c2
.Sehingga dapat disimpulkan
bahwa f’(x)=3x2. Akhirnya, jika f ( x )=1
x, x≠0
.
Untuk titik c sebarang,
f ( x )−f (c )x−c
=
1x−1
cx−c
=(c−x )
xc ( x−c )=− 1
xc
asalkan xc. Akibatnya, f ' ( x )= lim
x→ c− 1
xc=− 1
c2.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa f’(x)=− 1
x2.
Berikut ini teorema-teorema yang terkait dengan turunan fungsi.
Teorema
Misalkan I R suatu interval,kemudian misalkan c I ,dan fungsi -fungsi f:I R
and g : I R adalah fungsi diferensiabel pada titik c , maka berlaku :
(a) Jika R , maka fungsi f diferensiabel pada titik c, dan ( αf ) ' ( c )=αf ' (c )
(b) Fungsi jumlah f + g diferensiabel pada titik c, dan ( f +g ) ' ( c )= f ' ( c )+g ' ( c )
(c) Fungsi hasilkali fg diferensiabel pada titik c, dan
( fg ) ' ( c )= f ' ( c ) g (c )+ f (c ) g' ( c )
(d) Jika fungsi g(c) 0, maka fungsi hasil bagi f/g diferensiabel pada titik c,
dan
( fg ) (c )= f ' (c ) g ( c )−f ( c ) g' (c )
( g (c )2 )Berikut adalah rumus- rumus turunan fungsi.
1.
ddx
( ln x )=1x
10
l
P(x,f(x))
(x + h)x
Y
X
Q(x+h,f(x+h))h
g
y = f(x)
2.
ddx
( ax )=ax . ln a
3.
ddx
(e x)=ex
4.
ddx
(sin x )=cos x
5.
ddx
(cos x )=−sin x
6.
ddx
( tan x )= 1cos2 x
7.
ddx
(ctgx )=− 1sin2 x
8.
ddx
(arcsin x )=− ddx
(arccos x )=− 1√1−x2
9.
ddx
( arctgx )=− ddx
(arc cot gx )= 11+x2
Beberapa contoh Penggunaan Turunan
Perhatikan gambar berikut:
Garis l pada gambar di atas memotong kurva y = f(x) di titik P(x,f(x)) dan
Q(x+h,f(x+h). Jika titik Q bergerak sepanjang kurva mendekati P maka h
akan mendekati nol dan garis l akan menjadi garis g, yaitu garis singgung
kurva dititik P. Gradien garis l adalah f ( x+h )− f ( x )
h , sedangkan
11
gradien garis g adalah limh→0
f ( x+h )−f ( x )h . Dari pembahasan
sebelumnya limh→0
f ( x+h )− f ( x )h merupakan turunan dari fungsi f yaitu
f’(x).
Jadi gradien garis singgung kurva y =f(x) di titik (x,f(x)) adalah
f ' ( x )= limh→0
f ( x+h )− f ( x )h
Sedangkan persamaan garis singgung kurva y =f(x) di titik (a,f(a)) adalah
y− f (a )=f ' (a )( x−a ) atau y= f (a )+ f ' (a )(x−a )
Sehingga untuk menentukan persamaan garis singgung kurva
y=2 x2−4 x−5 di titik (2,-5) dapat dilakukan sebagai berikut.
Dari y= f ( x )=2 x2−4 x−5⇒ f ' (x )=4 x−4 , sehingga f ' (2)=4 .
Diperoleh persamaan garis singgung kurva di titik (2,-5) adalah y=4x-18.
Untuk membahas penerapan turunan berikut didefinisikan tentang fungsi
naik dan fungsi turun, serta teorema terkait.
Definisi Fungsi Naik
Fungsi f dikatakan naik pada interval I jika untuk setiap dua bilangan
x1 , x2 di I dengan x1<x2 berlaku f ( x1 )< f ( x2)
Definisi Fungsi Turun
Fungsi f dikatakan turun pada interval I jika untuk setiap dua bilangan
x1 , x2 di I dengan x1<x2 berlaku f ( x1 )> f ( x2)
Teorema
Misalkan I interval terbuka
1. Jika f ' ( x )>0 untuk semua x di I, maka f naik pada I
2. Jika f ' ( x )<0 untuk semua x di I, maka f turun pada I
3. Jika f ' ( x )=0 untuk semua x di I, maka f konstan pada
Berdasarkan teorema tersebut diperoleh, fungsi f ( x )=x2 naik pada
interval (0 ,∞) , karena untuk setiap x di (0 ,∞) , f ' ( x )=2 x>0 .
12
Sedangkan fungsi f ( x )=x2 turun pada interval (−∞ ,0 ) , karena untuk
setiap x di (−∞ ,0 ) , f ' ( x )=2 x<0 .
Misalkan x0 titik dalam domain f(x). Terdapat 4 keadaan yaitu:
1. f ( x )naik di x0 jika f ' ( x0)>0
2. f ( x )turun di x0 jika f ' ( x0)<0
3. f ' ( x0)=0
4. f ' ( x0) tidak ada (tak memiliki turunan di x0 )
Dalam keadaan 3 dan 4, x0 disebut sebagai titik kritis. Khusus
f ' ( x0)=0 , x0 disebut sebagai titik stasioner f(x).
Pada fungsi f ( x )=3−x2, karena f ' ( x )=0 hanya dipenuhi oleh x = 0,
maka titik kritis hanyalah 0. Tepatnya x = 0 merupakan titik stasioner f(x).
Pada fungsi f ( x )=|x|. f ' (0 ) tidak ada . Jadi x = 0 titik kritis namun
bukan titik stasioner.
Selanjutnya misal x0 titik dalam domain fungsi f(x)
a. f(x) dikatakan mempunyai maksimum mutlak di x0 jika
f ( x )≤f ( x0 ) untuk setiap x dalam domain f(x).
b. f(x) dikatakan mempunyai minimum mutlak di x0 jika
f ( x )≥f ( x0 ) untuk setiap x dalam domain f(x).
c. f(x) dikatakan mempunyai maksimum lokal (relatif) di x0 jika dan
hanya jikaf ( x )≤ f ( x0 ) untuk semua x yang dekat dengan x0 .
d. f(x) dikatakan mempunyai minimum lokal (relatif) di x0 jika dan
hanya jikaf ( x )≥ f ( x0 ) untuk semua x yang dekat dengan x0 .
Teorema:
Jika f’ dan f’’ ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang
memuat titik c, maka syarat perlu dan cukup supaya fungsi f mencapai
nilai ekstrim pada x = c adalah f’(c) = 0 dan f’’(c) ≠ 0.
13
A
B“ derivatifnya adalah”
Jika f’’(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum.
Jika f’’(c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum.
4. ANTI TURUNANPada bagian ini akan dibahas tentang konsep “anti turunan” (anti
derevatif), “integral tak tentu” dari suatu fungsi dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan teknik yang sistematik dalam menentukan suatu fungsi jika derivatifnya diketahui.
Kita telah memahami bahwa:
xxxdxd
xxdxd
xxdxd 1)1(;2)7(;cos)(sin 2
.
Jika A dan B adalah himpunan fungsi dan kita buat relasi “derivatifnya adalah” dari A ke B, maka untuk beberapa fungsi di atas dapat diillustrasikan sebagai berikut.
Dengan memperhatikan tabel di atas kita dapat mengatakan bahwa:
(1) xcos adalah derivatif dari xsin
(2) x2 adalah derivatif dari 72 x
(3) xx1
adalah derivatif dari x1
Uraian diatas secara formal dapat dinyatakan dengan definisi berikut.
Fungsi F disebut anti derivatif dari fungsi f pada suatu selang jika )()(' xfxF pada selang itu.
Perhatikan bahwa, fungsi-fungsi 2222 2,112,32,2 xxxx semuanya
merupakan anti derivatif dari karena derivatif dari setiap fungsi itu adalah .
Demikian juga untuk sebarang konstanta c, cx 22 merupakan anti derivatif dari 3
32 x
. Itu menunjukkan bahwa anti derivatif suatu fungsi tidak tunggal (lebih dari sebuah).Secara umum dinyatakan dengan teorema berikut ini.
14
Teorema Jika F (x ) anti derevatif dari , maka untuk sebarang konstanta c, F (x )+c juga anti derivatif dari f ( x ) .
Teorema Jika F (x )dan G( x )anti derevatif dari , maka G( x )=F ( x )+cuntuk suatu konstanta c.
Jika F (x ) adalah fungsi sehingga
ddx
[ F( x )]=f (x ), maka fungsi dengan bentuk
F (x )+c disebut anti derevatif dari f ( x ) dan ditulis dengan
∫ f ( x )dx=F ( x )+c ………………….(1)
Simbol ∫ dibaca “integral” dan f ( x )disebut “integran”.
Pernyataan (1) dibaca “integral tak tentu dari fx) sama dengan F (x ) ditambah c. Kata “tak tentu” menunjukkan bahwa hasilnya tak tentu (banyak fungsi yang mungkin), c disebut konstanta pengintegralan. Untuk menyederhanakan
penulisan, seringkali dx “dimasukkan” pada integran.
Contoh, ∫1 . dx ditulis dengan ∫ dx dan ∫ 1
x2dx
ditulis dengan ∫ dx
x2.
Sehingga kita dapat menulis:
∫ 4 xdx=2 x2+c , ∫cos xdx=sin x+c , ∫− 1
x √xdx= 1
√ x+c
, ∫ 4 x3 dx=x 4+c ,
∫ 12 x
dx=12
ln|x|+c, ∫ 1
2 xdx=1
2ln 1
2x+c
,∫sin 2 x dx=−1
2cos2 x+c
,
∫sin 2 x dx=−cos2 x+cRumus pengintegralan “dasar” diberikan pada tabel berikut ini.
No Derivatif Anti Derivatif
1ddx
[ x ]=1 ∫ dx=x+c
2ddx
[ ln x ]=1x( x>0) ∫ dx
x=ln|x|+c
3 ddx
[ xn+1
n+1]=xn ,(n≠−1) ∫ xn dx= 1
n+1xn+1+c
4ddx
[ sin x ]=cos x ∫cos x dx=sin x+c
5ddx
[ x ]=1 ∫sin x dx=−cos x+c
6ddx
[ ex ]=ex ∫ ex dx=e x+c
15
7x
tgxdxd
2cos1
][ ∫ 1cos2 x
dx=tgx+c
8x
ctgxdxd
2sin1][ ∫ 1
sin2 xdx=−ctgx+c
Kita ingat kembali bahwa ∫ f ( x )dx berarti anti derevatif dari f ( x ).
Dengan kata lain, ∫ f ( x )dx adalah fungsi yang derivatifnya adalah f ( x ). Dengan
demikian kita memperoleh hasil
ddx∫ f (x )dx = f ( x )
.Hasil ini membantu kita dalam membuktikan teorema berikut ini.
Teorema
(a) Jika c adalah konstanta, maka ∫ c . f ( x )dx = c∫ f ( x )dx .
(b) ∫ [ f ( x )+g( x ) ]dx=∫ f ( x )dx+∫ g( x )dx
Kita perhatikan bahwa
ddx
[ 1n+1
f ( x )n+1+c ]=n+1n+1
f ( x )n . f ' ( x )
= f ( x )n . f '( x )
Dengan demikian, ∫ f ( x )n . f ' ( x ) dx= 1
n+1f ( x )n+1+c
.
Mengingat df ( x )=f ' (x )dx , maka dapat dirumuskan
Dengan metode yang sama seperti di atas (analog), dapat dikembangkan formula yang lebih umum berikut.
No Anti Derivatif
1 ∫ dfx= f ( x )+c
2 ∫ df ( x )f (x )
= ln|f ( x )|+c
3 ∫ f ( x )n df ( x )= 1n+1
f ( x )n+1+c
4 ∫cos f ( x ) df (x )=sin f ( x )+c
5 ∫sin f ( x ) df ( x )=−cos f ( x )+c
6 ∫ e f ( x ) df ( x )=e f (x )+c
∫ f ( x )n df ( x )= 1n+1
f ( x )n+1+c ; n±−1
16
7 ∫ df ( x )cos2 f ( x )
=tgf ( x )+c
8 ∫ df ( x )sin2 f ( x )
dx=−ctgf ( x )+c
5. INTEGRAL PARSIAL
Teknik lain sebagai salah satu alternatif yang mungkin dapat dilakukan
untuk menentukan integral tak tentu adalah dengan pengintegralan parsial. Teknik
ini didasarkan pada turunan hasil kali dua fungsi.
Misalkan u=f ( x ) dan v=g( x ) , maka
ddx [ f (x ). g ( x )]=f ( x ) . g,( x )+g( x ) . f ,( x )
.Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan di atas (dan menggunakan
Teorema 1.4) kita peroleh f ( x ). g( x )=∫ f ( x ) . g ,( x )dx +∫ g ( x ). f ,(x )dx
Atau ∫ f ( x ) . g ,( x )dx= f ( x ) .g( x )−∫ g( x ) . f ,( x )dx .
Karena dv=g ,(x )dx dan du= f ,( x )dx , persamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut.
Persamaan di atas sering kita sebut dengan Rumus Integral Parsial (bagian demi
bagian).
Untuk menentukan ∫ x cos x dx , misalkan x cos x dx sebagai u dv . Salah satu
caranya adalah dengan memisalkan u=x dan dv=cos x dx . Dengan pemisalan
itu kita peroleh du=dx dan v=∫ cos x dx= sin x+c . Dengan rumus integral parsial kita peroleh,
∫ x cos x dx = x . (sin x+c )−∫ sin x dx=x . sin x + cos x +C .6. INTEGRAL TERTENTU
Konsep penting yang mengkaitkan Integral tak tentu dengan Integral tertentu
adalah suatu teorema yang seringkali disebut sebagai Teorema Dasar Kalkulus.
Teorema Dasar Kalkulus
∫u dv = u .v−∫ v du
17
X
Y
ba
y=f(x)
Misalkan fungsi f kontinu pada [a, b] dan misalkan F sebarang anti turunan dari f,
maka ∫a
b
f ( x ) dx = F (b )−F (a ).
Sehingga, ∫1
3
( x2−2 x ) dx=[ 13 x
3−x
2 ]1
3
=
23 karena f ( x )=x2−2 x kontinu pada
[1,3] dan F (x )=1
3x3−x2
anti turunan dari f.
Sedangkan ∫0
πsin x dx =[−cos x ]0
π
=2 karena f ( x )=sin x kontinu pada [0, π ] dan
anti turunan dari f adalah F (x )=−cos x .
MENENTUKAN LUAS DAERAH BIDANG
Salah satu penggunaan integral tentu adalah untuk menentukan luas daerah
bidang. Tentu tidak semua daerah bidang dapat ditentukan luasnya dengan mudah.
Pada bagian ini kita akan membahas cara menentukan luas daerah bidang yang
dibatasi oleh beberapa kurva yang diketahui atau dapat ditentukan persamaannya.
Luas daerah yang dibatasi y= f ( x ) , garis x=a , garis x=b dan sumbu
X; f ( x )≥0 untuk 0≤x≤b , adalah L=∫
a
b
f ( x )dx.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2+1 , sumbu-X, garis x=−1
dan x=2 dapat dilakukan sebagai berikut.
L=∫−1
2
y dx =∫−1
2
(x2+1)dx
18
C
B
A
m
= [ 13 x
3+x ]
−1
2
= ( 8
3+2)−(−1
3−1)=18
3=6
.
Jika f bernilai negatif pada suatu sub interval [a,b], maka luas daerah D adalah
L=∫a
b
|f ( x )|dx
Luas daerah yang dibatasi y=f ( x ) , y=g (x ),garis x=a , garis x=b dan
sumbu Y adalah L=∫
a
b
|f ( x )−g ( x )| dx
7. VOLUME BENDA PUTAR
Jika suatu daerah bidang datar diputar mengelilingi sebuah garis lurus,
maka akan terbentuk suatu benda putar. Garis tetap itu kita sebut sumbu
putar. Sebuah contoh jika daerah segitiga ABC diputar mengelilingi sisi AC maka
akan terbentuk kerucut (lihat gambar).
Jika daerah lingkaran diputar dengan sumbu garis m maka akan terbentuk torus (seperti ban).
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y= f ( x ) ,
sumbu-X, garis x=a dan garis x=b diputar mengelilingi sumbu-X adalah:
V=π∫a
b
y2 dx
19
Sehingga volume benda putar V yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh
kurva y=√x , sumbu X dan garis x=4 diputar mengelilingi sumbu X adalah,
V =∫0
4
π (√x )2 dx = π∫0
4
xdx =
π [ 12 x2 ]
0
4
=8 π
.Kemudian volume benda putar V yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh
kurva y=x3, sumbu Y dan garis y=3 diputar mengelilingi sumbu Y adalah,
V =∫0
3
π ( 3√ y )2dy = π∫03
3
y23 dy
=
π [ 35 y53 ]
0
3
=π 9 3√95
.
B. TRIGONOMETRI
Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan pada
bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga. Pada
prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan
besar sudut, Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua
buah kata yaitu trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi
(segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran. Dari arti dua kata di atas, trigonometri
dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang
perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu sudut yang
terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga
20
rr
OA
B
A
B
C
ca
bGb. 1. perbandingan trigonometri
pada trigonometri, maka segitiga itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (900)
artinya segitiga itu tidak lain adalah segitiga siku-siku.
1. SATUAN SUDUT
Sebuah sudut dihasilkan oleh putaran sebuah sinar terhadap titik pangkalnya.
Terdapat beberapa satuan untuk menyatakan besar sudut :
Derajat siksagesimal, dimana satu putaran penuh dibagi menjadi 360 bagian
yang sama. Setiap bagian disebut 10 . Sehingga satu putaran penuh = 360 0
Radian.
Satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang
panjangnya sama dengan jari-jari.
AOB = 1 rad
Hubungan radian dengan derajat
360 =
2πrr rad
= 2 rad
180 = rad
pendekatan 1 rad = 57,3.
2. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU
Gambar di samping adalah segitiga siku-siku dengan titik sudut sikunya di C.
Panjang sisi di hadapan sudut A adalah a,
panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan
panjang sisi di hadapan sudut C adalah c.
Terhadap sudut :
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut
Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa
21
ca
hipotenusa panjang A
sudut depan di siku-siku sisi panjang sin
ac
A
sudut depan di siku-siku sisi panjanghipotenusa panjang csc
y
x X
Y P(r, )
r
O
Gb.B. koordinat kutub
y
x X
YP(x,y)
O
Gb.A koordinat kartesius
Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri
terhadap sudut sebagai berikut:
1.
2.c os α=panjang sisi siku-siku di dekat (berimpit ) sudut A
panjang hipotenusa= b
c
3.tan α=panjang sisi siku-siku di depan sudut A
panjang sisi siku-siku di dekat sudut A= a
b
4.
5.sec α=panjang hipotenusa
panjang sisi siku-siku di dekat sudut A= c
b
6.cot α=panjang sisi siku-siku di dekat sudut A
panjang sisi siku-siku di depan sudut A= c
a
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:
3. KOORDINAT KARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB
Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat
kartesius adalah dengan koordinat kutub.
Pada gambar A titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam
koordinat kutub dengan P(r, ) seperti pada gambar B.
tan α=sin αcos α
cot α=cos αsin α
sec α= 1cos α
csc α= 1sin α
22
O
B
A
Y
X45O
O
B
C
Y
X30O30O
A
Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari
dengan hubungan:
cos α= xr x=r cos α sehingga koordinat kutubnya
adalah P(r cosα , rsin α )
sin α= yr y=rsin α
4. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUT ISTIMEWA
Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari
tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0, 30, 45,60, dan
90. Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45,dan 90.
Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan
lingkaran satuan x2 + y2 = 1 seperti gambar berikut ini.
a. Sudut 450
Perhatikan segitiga OAB dengan OAB= 450 ,maka :
OA=OB
OA2 + OB2 = OC2
OA2 + OA2 = r2
2OA2 = 1
OA2 = OA = = OB
Sehingga koordinat P( x,y) adalah (
b. Sudut 300
Perhatikan segitiga sama sisi yang terbentuk, yakni segitiga OAB, dan C
terletakpada AB. dengan sudut COB = 30o . Segitiga OAB adalah segitiga
sama sisi dengan r =1, CB=CA= dan OC=
12 √3
.
23
221
Sehingga P(x,y) adalah
P( 12 √3 , 1
2)
sin 30 °= 12
cos 30°= 12 √3
tan 30°= 1√3
=13 √3
Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0 30 45 60 90
sin 021 1
2 √3 1
cos 1 321 1
2 √2 12 0
tan 013 √3 1 √3
tak terdefinisi
cot tak terdefinisi √3 1
13 √3 0
Gambar grafik :
y=sin x
24
y
x X
YP(x,y)
r
1O
5. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT DI BERBAGAI KUADRAN
P adalah sembarang titik di kuadran I dengan koordinat (x,y). OP adalah
garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius,
sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai dengan 90. Perlu diketahui bahwa
OP=√ x2+ y2=r dan r 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat
didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut:
1.sin α=ordinat P
panjang OP= y
r 4. csc α=panjang OP
ordinat P= r
y
2.cos α=absis P
panjang OP= x
r 5. sec α=panjang OP
absis P= r
x
3.tan α=ordinat P
absis P= y
x 6. cot α=absis P
ordinat P= x
y
y= cos x
y= tangent x
25
Gb. titik di berbagai kuadran
y
x X
YP(x,y)
r1
O
y
x X
YP(x,y)
r
2O
y
xX
Y
r
P(x,y)
3O
y
xX
Y
r
P(x,y)
4O
Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran
II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.
Sedangkan untuk mencari besar sudut jika diketahui harga sinus, cosinus atau
perbandingan trigonometri yang lain maka kita dapat mencarinya dengan Invers
Fungsi Trigonometri
Perhatikan y = Cos x
Misalkan x = /3 maka y = Cos /3 = ½
Ini berarti untuk setiap nilai x maka nilai y adalah tunggal
Misalkan y = ½ maka x = /3 + k.360 atau
x = - (/3) + k.360
Ini berarti bahwa jika y diketahui maka ditemukan lebih dari satu nilai x
y = Cos x : bila kita ingin menyatakan x dalam y maka :
x = Sudut yang nilai Cosinusnya y
x = Arcus Cosinus y
x = Arc Cos y atau x = Cos-1 y
Jadi untuk sudut x`dalam radian,
f = {(x,y) | y = Cos x, x R} : merupakan fungsi dari R R, tetapi
f-1 = { (y,x) | x = Cos-1 y ; -1 y 1 , y R} adalah Invers dari f atau relasi
Siklometri
Bagaimana menjadikan f-1 sebagai fungsi ??
26
y
xX
Y
P(x,y)
r
(90-)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
y = x
Gb. sudut yang berelasi
O
Caranya adalah dengan membatasi daerah hasilnya.
Apabila daerah hasil relasi siklometri dibatasi maka relasi siklometri dapat
menjadi fungsi siklometri. Adapun pembatasan tersebut adalah sebagai berikut.
Fungsi Daerah Asal Daerah Hasil
x = Sin-1 y [ -1, 1]
[ - 2
, 2
]
x = Cos-1y [ -1, 1] [0, ]
x = tan-1y ( -, ) [ - 2
, 2
]
x = Cosec-1y ( -, -1] [1, )[ - 2
, 2
], x 0
x = Sec-1y ( -, -1] [1, ) [0, ] , x 2
x = Cot-1y ( -, ) (0, )
6. RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI
Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ),
(360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus,
misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan
pelurus (suplemen) untuk sudut dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50
adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70.
a. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )
Dari gambar, Titik P1 (x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat pencerminan garis y
x, sehingga diperoleh:
a. XOP = dan XOP1 = 90 -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
27
y
x X
Y
P(x,y)r
(180-)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1
O
Gb. . sudut yang berelasi
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:
1)sin (90 °−α )=
y1
r1= x
r=cosα
2)cos (90 °−α )=
x1
r1= y
r=sin α
3)tan (90 °−α )=
y1
x1= x
y=cot α
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut
dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:
b. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )
Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
titik P(x,y) akibat pencerminan
terhadap sumbu y, sehingga
1). XOP = dan XOP1 = 180 -
2). x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
1)sin (180 °−α )=
y1
r1= y
r=sin α
2)
cos180 cos
1
1rx
rx
3)tan (180°−α )=
y1
x1= y−x
=−tan α
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
a. sin (90 °−α )=cosα d. csc (90 °−α )=secα
b. cos (90 °−α )=sin α e. sec (90 °−α )=cosec α
c. tan (90 °−α )=cot α f. cot ( 90°−α )=tan α
a. sin (180−α ) °=sin α ° d. csc (180 °−α )=cscα
b. cos (180 °−α )=−cosα e. sec (180 °−α )=−sec α
c. tan (180°−α )=−tan α f. cot (180 °−α )=−cot α28
y
x X
YP(x,y)
r (180+)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1O
Gb. sudut yang berelasi
y
x
X
YP(x,y)
r(360-1)
P1(x1,y1)
r1
x1
y1O -
Gb. sudut yang berelasi
c. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )
Dari gambar di samping titik P1(x1,y1)
adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat
pencerminan terhadap garis y x,
sehingga
1). XOP = dan XOP1 = 180 +
2). x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan:
1)sin (180 °+α )=
y1
r1=− y
r=−sin α
2)cos (180 °+α )=
x1
r1=−x
r=−cos α
3)tan (180°+ α )=
y1
x1=− y−x
= yx=tan α
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
d. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )
Dari gambar di samping diketahui titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) akibat
pencerminan terhadap sumbu x, sehingga
a. XOP = dan XOP1 = -
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
maka diperoleh hubungan
a. sin (180 °+α )=−sin α d. csc (180 °+α )=−csc α
b. cos (180 °+α )=−cos α e. sec (180 °+α )=−sec α
c. tan (180°+ α )=tan α f. cot (180 °+α )=cot α
29
y
x X
Y P(x, y)
r
O
Gb. . rumus identitas
1)sin (−α )=
y1
r 1=− y
r=−sin α
2)cos (−α )=
x1
r1= x
r=cosα
3)tan (−α )=
y1
x1=− y
x=−tan α
Dari hubungan di atas diperoleh rumus:
Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 ,
misalnya sin (360 ) sin
7. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Dari gambar di samping diperoleh cos α= x
r ,sin α= y
r dan
r=√x2+ y2.Sehingga
sin2 α+cos2 α = y2
r 2 +x2
r 2
= x2+ y2
r2 =r2
r2=1
a. sin (−α )=−sin α d. csc (−α )=−csc α
b. cos (−α )=cosα e. sec (−α )=sec α
c. tan (−α )=−tan α f. cot (−α )=−cot α
sin2 +cos2 1Jadi
30
A D E B
C
G F
Begitu pun untuk :
1+tgn2 α =sec2 α1+ctgn2 α =cos ec2 α
8. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
a. Rumus cos ( + ) dan cos ( )
Pada gambar di samping diketahui
garis CD dan AF keduanya adalah garis
tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus
cos ( + ).
cos (α+β )=ADAC
AD=AC cos (α+ β )Pada segitiga sikusiku CGF
sin α=GFCF GF=CF sin α …………..(1)
Pada segitiga sikusiku AFC,
sin β=CFAC CF=AC sin β …………..(2)
cos β=AFAC AF=AC cos β …………..(3)
Pada segitiga sikusiku AEF,
cos α=AEAF AE=AF cos α …………..(4)
Dari (1) dan (2) diperoleh
GF AC sin sin
Karena DE GF maka DE AC sin sin
Dari (3) dan (4) diperoleh
AE AC cos cos
Sehingga AD AE DE
31
AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin
Jadi untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu
disubstitusikan ke rumus cos ( + ).
cos ( ) cos ( + ())
cos cos () sin sin ()
cos cos sin (sin )
cos cos + sin sin
e. Rumus sin ( + ) dan sin ( )
Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus
sebelumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan cos (90 ) sin
sin ( + ) cos (90 ( + ))
cos ((90 ) )
cos (90 ) cos + sin (90 ) sin
sin cos + cos sin
Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut
gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).
sin ( ) sin ( + ( ))
sin cos () + cos sin ()
sin cos + cos (sin )
sin cos cos sin
f. Rumus tan ( + ) dan tan ( )
Dengan mengingat tan α=sin α
cos α , maka
tan (α+β )=sin (α+β )cos (α+ β )
=sin α cos β+cos α sin βcos α cos β−sin α sin β
cos ( + ) cos cos sin sin
cos ( ) cos cos + sin sin
sin ( + ) sin cos + cos sin
sin ( ) sin cos cos sin
32
tan (α+β )=
sin α cos β+cosα sin βcosα cos βcos α cos β−sin α sin βcos α cos β
=
sin αcos α
+sin βcos β
1−sin αcosα
⋅sin βcos β
= tan α+ tan β
1− tan α tan β
Jadi
Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke
tan ( + ).
tan ( ) tan ( + ( ))
=tan α+ tan (−β )1−tan α tan (−β )
=tan α− tan ( β )1−tan α (−tan β )
= tan α− tan β1+ tan α tan β
Jadi
g. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Dari rumusrumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan
menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.
sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin
2 sin cos
cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin
cos2 sin2
Rumusrumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan
dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.
cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2
tan (α+β )= tan α+ tan β1− tan α tan β
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos2 sin2
tan (α−β )=tan α− tan β1+ tan α tan β
33
+
+
cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2
2cos2 1 1 2 sin2
Sehingga
tan 2α= tan (α+α )= tan α+ tan α
1−tan α tan α= 2 tan α
1− tan2 α
h. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan
Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut
diperoleh:
cos ( + ) cos cos sin sin
cos ( ) cos cos + sin sin
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
cos ( + ) cos cos sin sin
cos ( ) cos cos + sin sin
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut
diperoleh:
sin ( + ) sin cos + cos sin
sin ( ) sin cos cos sin
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
sin ( + ) sin cos + cos sin
1) cos 2 cos2 sin2
2) cos 2 2cos2 1
3) cos 2 1 2 sin2
tan 2α= 2 tan α1−tan2 α
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
34
sin ( ) sin cos cos sin
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
9. LUAS SEGITIGA
Dalam geometri untuk mencari luas segitiga terlebih dahulu kita harus
menentukan tinggi segitiga tersebut dan juga alasnya, kemudian digunakan
rumus bahwa
L=
Dalam pembahasan kali ini kita akan memanfaatkan aturan sinus dan aturan
cosinus untuk menghitung luas segitiga.
Perhatikan
Luas ABC=
Dengan mengganti nilai t dengan diperoleh
Dan jika t diganti dengan diperoleh
Sedangkan jika kita mengganti posisi garis tinggi segitiga misalnya dari sudut
A dan tegak lurus terhadap BC akan diperoleh rumus luas segitiga yang lain
yaitu
Rumus luas segitiga ini dimanfaatkan untuk menghitung luas segitiga yang
diketahui besarnya salah satu sudut dan dua sisi yang mengapit sudut
tersebut.
sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
35
36