VŠB T h i ká i it O tVŠB - Technická univerzita OstravaVŠB Technická univerzita OstravaFakulta stavebníFakulta stavebníFakulta stavebníKatedra stavební mechaniky 228Katedra stavební mechaniky - 228y

Vý čt j d d hý h k t k í l ti ké b ž á í id ál ě ž l ti kéh h á í t iálVýpočty jednoduchých konstrukcí v plastickém oboru s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiáluVýpočty jednoduchých konstrukcí v plastickém oboru s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiáluVýpočty jednoduchých konstrukcí v plastickém oboru s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiáluStanovení trvalé deformace osově namáhaného prutu Stanovení posunutí neutrálné osy při plastizování nesymetrického průřezu s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiáluIdeálně pružno-plastický materiál Příklad 1: Stanovení trvalé deformace osově namáhaného prutu Příklad 3: Stanovení posunutí neutrálné osy při plastizování nesymetrického průřezu s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu.Ideálně pružno-plastický materiál Příklad 1: s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu. Příklad 3: Zadání: Určete polohu neutrálné osy nesymetrického průřezu tvaru T ohýbaného prutu za předpokladu:

Pracovní diagram ideálně pružno plastického materiálu v tahu i tlakus uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu.

Z dá í U č t t l d f i l éh táhl délk l kt é b lZadání: Určete polohu neutrálné osy nesymetrického průřezu tvaru T ohýbaného prutu za předpokladu:

) ál é ětí k j í h lák h j fPracovní diagram ideálně pružno-plastického materiálu v tahu i tlaku Zadání: Určete trvalou deformaci ocelového táhla délky l = 2 m, které bylo a) normálové napětí v krajních vláknech je x = fyd x = -78/174. fy x = - fy0TAH

y , yprotaženo o l = 24 mm Napětí na mezi kluzu oceli f = 235 MPa modul Vstupní údaje:

x ydb) dojde k úplnému zplastizování průřezu m

x fy

TLAKx fy

TLAK0

úsek popis TAH A Cx protaženo o l = 24 mm. Napětí na mezi kluzu oceli fy = 235 MPa, modul

ž ti t h tl k 210 000Vstupní údaje: b) dojde k úplnému zplastizování průřezu

mm TLAK TLAK42osa půlícíxúsek popis

fY A,C R P í di

pružnosti v tahu a tlaku E = 210 000 MPa. rozměry pásnice (flange) a stojiny (web) mm12ft 8 m

ál á

4osa půlící ůřmm 120fb mm8wt mm 280wh

Y-Y’ Hookův zákon fy azR Pracovní diagramp

24ly p ( g ) j y ( ) mm 12ft

Ř š í ) i ál í ál é ětí d í lák j f neutrálná78 neutrálnáposunprůřezf mm 8wt wY Y

g

012024

lŘešení: Řešení: a) maximální normálové napětí ve spodním vláknu je x = fyd Tneutrálná

osa

7

= 0 Tosa

m

posunn.o.

Y-A Plastický stav – volný Bx012,0

2000

lŘešení:

materiál ohýbaného prutu se stále chová pružně a neutrálná osa tedy prochází těžištěmT osa x = 0 T

mmn.o.

zY A ý ýnárůst deformací arctan E

B aY

2000l materiál ohýbaného prutu se stále chová pružně a neutrálná osa tedy prochází těžištěm ůř m m

nárůst deformací arctan E0 fyY

235fz Hookova průřezu.

mm 10 2620805050 ffff hthttbtS

A-B Odlehčení0 fy

0,001119235

f ylz Hookova

ák

p

m 21

mm782620805,0.5,0.

wfwwfffxT

hthttbtSzA B Odlehčení

0,001119210000Eelzákona 74 =

2mm 783360 wwff

T htbtAz

B-C Opětovné zvýšení napětí xpl el aktuální210000E

b) dojde k úplnému zplastizování průřezu 17 z d=wwff

B C Opě o é ýše apě pl el aktuální poziceplel b) dojde k úplnému zplastizování průřezu

)

z

168050ATLAKl ti ká (t lá) d f l poziceplel

neutrálná osa půlí plochu průřezu a u nesymetrických průřezů a) TAH b) TAHmm21016805,0.

AzTLAKpl … plastická (trvalá) deformacef

lb 0

neutrálná osa půlí plochu průřezu a u nesymetrických průřezů tedy dochází k jejímu posunutí

) TAH ) TAHmm 2108

d tz

pel … pružná deformace -fy b x0

0 01088100111900120tedy dochází k jejímu posunutí. x = fy x = fy

8wtY’

el … pružná deformace

0,010881001119,0012,0 elpl x y x fy

Příkl d 5 Stanovení zatížitelnosti ohýbaného nosníku obdélníko-F

pStanovení průřezového modulu obdélníkového průřezu sPříkl d 4 Příklad 5: Stanovení zatížitelnosti ohýbaného nosníku obdélníko

vého průřezu s uvažováním ideálně pružnoplastickéhoF el plmm76210 010881 2 ll St ti k čité ě áh é k t k

Stanovení průřezového modulu obdélníkového průřezu s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiáluPříklad 4: Příklad 5: vého průřezu s uvažováním ideálně pružnoplastického mm 76,210,010881.2. ll plpl Staticky neurčité osově namáhané konstrukce uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu.Příklad 4:

chování materiálu.Stat c y eu č té oso ě a á a é o st u ce

N é k t k áh é h bchování materiálu.

Z dá íStanovení maximální zatížitelnosti staticky neurčité soustavy Zadání: Určete Wy el pl pro průřez se zplastizovanými krajními čtvrtinamiNosné konstrukce namáhané ohybem Zadání : Určete maximální zatížitelnost nosníku qd [kN/m] za předpokladu:Příklad 2: Stanovení maximální zatížitelnosti staticky neurčité soustavy Zadání: Určete Wy,el,pl pro průřez se zplastizovanými krajními čtvrtinamiNosné konstrukce namáhané ohybem qd [ ] p pa) maximální normálové napětí = f

Příklad 2: dvou táhel a zavěšené tuhé desky s uvažováním ideálně 222 311 hhhh

Ř š íAnalýza normálového napětí ohýbaného nosníku s obdélníkovým průřezem a) maximální normálové napětí x = fyd

dvou táhel a zavěšené tuhé desky s uvažováním ideálně pružnoplastického chování materiálu

22 ..3..1...2..1 hbhbhhhbhbWWW plyelyplely

Řešení:ý p ý ý p

Př d kl d Id ál ě ž l ti ké h á í t iál b) dojde k zplastizování krajních čtvrtin průřezupružnoplastického chování materiálu. Průřez táhel:Zadání: ,,,, 162484426plyelyplely

Předpoklad: Ideálně pružnoplastické chování materiálu ) j p j p

c) dojde k úplnému zplastizování průřezu2ll 3 5 4Průřez táhel:Zadání:

W c) dojde k úplnému zplastizování průřezumm20 ddm 221 ll m 31 x m 52 x m 4Fx Výsledek:elyW ,stav I. Normálové napětí nedosahuje hodnoty meze kluzu fyd qd = ?

mm 2021 dd21 1 2 F

M t iál 151l F 360/S235 GPa210E 211Výsledek:lW

ely ,sta

Průběh p j y fyd qd ?

2410143AAMateriál: 15,1Mocel Fe360/S235 GPa 210E 2..11 hbW plely (platí pouze pro případplyW ,

xPrůřez Pracovní diagramPrůběh x

ba h24

21 m10.14,3 AAŘ š í

,, 48plely(p p p p pzplastizování krajních čtvrtin!!!)Průřez Pracovní diagram

maxx ba hlN

21 ,Řešení: zplastizování krajních čtvrtin!!!)

max,x

kN19864AfNMezní plastická únosnost v tahu 9461.

lN pl

stav W [m3]YtlakkN 198,64. AfN ydplMezní plastická únosnost v tahu mm 946,1AE

ppl

Shrnutí: stav Wy [m3]fyYtlak

RR lyp .AEp

b fShrnutí:fy

hRbz

Raz l bzplastizování prutu 2 NN l stav Ib

ydf21

IIh x bz bzplastizování prutu 2plNN 2 pll 2

stav I. ydf2..1 hb 2..61,0 hbII.krajní vlákna y

6l 20b 80h MP235f 151V t í úd jp p

tlak2 h 6..61,0 hb

průřezuSdMtah m 6l mm 20b mm 80h MPa 235ykf 15,10 MVstupní údaje:mm16811

xl y 4 x 11III

pSdMtahŘ š í

ymm 168,1. 11

xl pl y

h4 x 211 hb 2622910 hbIII.z M Řešení:2x hh

..48

hb ..62291,0 hb

b SdM ) i ál í ál é ětí fAE M1

h 4810

b x Wmax, a) maximální normálové napětí x = fydkN519,38..11

AElN2l1l plelRdM ,,tah1 4 21 hb 2250 hbIV.x0f

yWf

kN 519,38.11 l

lNN NN

2l1lf

p,,tah4 ..4

hb 2..25,0 hbfydf 21 lMM 352 103121 hbW MPa35204ykf

f1N plNN 2 zplastizováníz ydf 4ykf

f dfNormálové napětí v krajních vláknechydf

kde2

,max,, ..8

lqMM eldyelEd 352, m10.31,2..

6 hbW ely

MPa35,204 yydf

kN136109.. 211 pl xNxN

F1 p

azplastizování ydf

Mydf

ydx fmax,Normálové napětí v krajních vláknech kde

stav IV,max,, 8 eldyelEd , 6ely

0MkN 136,109211 plF

1M

Mstav IV.

M l 2 8 WfFx

fhbfWMM 1 2Posudek spolehlivosti 1EdMnebo elSdM

f , eld lqf

2, .

kN/970..8 ,Wf elyydF0R P í di ydydyelRdEd fhbfWMM ...

6., Posudek spolehlivosti 1

lRdMnebo xPrůřez Průběh Pracovní diagram ydx W

fmax, eldyd W

f ,

8 kN/m 97,02

,,

lf

q elyydeldx

Fx0aR Pracovní diagram 6 ,elRdM Průřez Průběh x Pracovní diagram

felyW , ely

y W ,.8 2, lx

Y1x

t II Normálové napětí v krajních vláknech dosahuje hodnoty ydf y ,

b) d jd k l ti á í k j í h čt ti ůřfYx stav II. Normálové napětí v krajních vláknech dosahuje hodnoty

kl f ůř á tál ž é h á í f Ytl k

y

A b) dojde k zplastizování krajních čtvrtin průřezufyFxmeze kluzu fyd , průřez má stále pružné chování. fytlak2A

1 11 f2 prutxP ůběh 21 lqM 352 m1039211 hbW MPa35204 ykf

f2.prut2x

xPrůřez

Průběh x Pracovní diagram l ti kýy h x ,,,, ..8

lqM pleldplelEd ,, m10.39,2..48

hbW plelyMPa35,204ydf

l Průřez Pracovní diagramf plastický y h x 8 48 0M1 t

1lydf

kloubMA lldllSd lqM 28 Wf

1.prut Ytlak plRdM ,tah1A pleldplelSd

d

lqMf ,,,, .

kN/m331..8 ,, Wf

q plelyydx0plfy

Ytlak0z f

1plelyplely

ydx WWfmax, .8

kN/m 33,12,, l

q pleldx0

fy

h0z

bydf plelyplely WW ,,,, .8 l

krajní vlákna h x by

zplastizování pl c) dojde k úplnému zplastizování průřezuzplastizování prutů 1 i 2 NN NNstav II průřezuy xzplastizování pl c) dojde k úplnému zplastizování průřezuzplastizování prutů 1 i 2plNN 1 plNN 2

stav II. pylRdMtah

1 1 ykf

pl1 pl2

elRdM ,tah 0d AN 0.dd 21 AAfAfAf ddd2..1 lqM ldlEd 352 m10.2,3..1 hbW l

MPa35,204 ykyd

ff9461l z df

0d ANA

x 0.dd 21 AAfAfAf ydA

ydA

yd ,, ..8

lqM pldplEd , m10.2,3..4

hbW ply,

0Mydf

mm 946,11 pll zb

ydf A 21 AA 8 4 0MlM 2

0b zplastizování l A A ploch průře plastickém sta pldplSd lqMf

2,, . ..8 Wf plyydmm24432

xl x0 el A1 , A2 … plochy průřezu v plastickém stavu. ppyd WW

f ,,

8 kN/m 45,12

, l

fq plyyd

pldmm 244,3.2

xl pl

llkf Neutrálná osa půlí plochu průřezu A plyply

y WW ,, .8 ,2, lq pld1x

2l1lydx fmaxNormálové napětí v krajních vláknech yk

yd

ff kde Neutrálná osa půlí plochu průřezu.

21AAA Shrnutí:NNlNN 1 NN ydx fmax,p j

Mydf

kde (u nesymetrických průřezů se při plastizování posouvá) 221 AA Shrnutí: x P í diydfkN396128.. 21 plpl xNxN

FplNN1 plNN 2

a1 EdM

M ( y ý p p p p ) 2 x Pracovní diagramy xydf

a)kN 396,128 ppFa

ddlRdEd fhbfWMM 1 2Posudek spolehlivosti 1EdMnebo Únosnost za ohybu s uvažováním plastického chování materiálu:

gy xM

a)Fx

ydydyelRdEd fhbfWMM ...6

.,Posudek spolehlivostielRdM

Únosnost za ohybu s uvažováním plastického chování materiálu:

YelRdM ,

t III6 ,elRd SSfAzfAzfAzM ddd f Yz ydfP í diF0aR

stav III. V průřezu vznikají plastické oblasti. yyydydydxplRd SSfAzfAzfAzM 21, .d..d..d.. fyydfydfx Pracovní diagramF

1xa

V průřezu vznikají plastické oblasti.

AAA 21x g

1xxPrůběh Pracovní diagram SS 0SS WfSfM 2 c)b)a)b)YFx

PrůřezPrůběh x Pracovní diagram

f yy SS 21 021 yy SS plyydyydplRd WfSfM ,1, ..2. c)b)a)b)y xfy

YF

YPrůřez

ydf yy 21 yy pyyyyp ,, yplelRdM

fy2x

fyY

tlaky

2 l SW 1.2 plastický průřezový modul [m3] zplelRd ,,

2 prut1 prut2

fytlak2 yply SW 1, .2 … plastický průřezový modul [m3]0z

ydfl ti á í

2.prut1.prutpl 2x

y x xf

zplastizovánípl 2. xpl

krajní vláknay

hx Plastická rezerva obdélníkového průřezuKonkrétně: ydf

1xplkrajní vlákna

průřezuh

Ap

t W [ 3] [kN/ ]01

průřezuM

AA A1 21hhh 1 c) ystav Wy [m3] qd [kN/m]x0

0plelRdM ,,tah1 2

11 ..1... hbhbhhAS y 6

1 2hbWc) y x y d

Výsledky numericky: 0z f11 8424y

516..4,

hbW ply 50% plRdM , a) 2 13 10-5 0 97ý y y

z b ydf l l

5,141

4, W

py 50% z fpld , a) 2,13.10 0,97

stav F [kN] N [kN] l [mm] N [kN] l [mm] xbzplastizování el,pl

22 1122 hbhbSW4..1 2, hbW ely

z ydf

Pl ti ká bdél ík éh ůřstav F [kN] N1 [kN] l1 [mm] N2 [kN] l2 [mm]

MM 22

1 ..41..

81.2.2 hbhbSW yply ..

6hb

b) 2 93 10-5 1 33Plastická rezerva obdélníkového průřezu:I 109 136 38 519 1 168 64 198 1 946 Zvyšuje-li se stále zatížení , vznikají plastické oblasti: 1 – v tahu, elRdEd MM , 1, 48yply 6 b) 2,93.10 1,33

451qI. 109,136 38,519 1,168 64,198 1,946 y j , j p ,2 – v tlaku Zbytek průřezu stále pružné chování 5145,1, pldq

50%2 v tlaku. Zbytek průřezu stále pružné chování.f d

Průřez je zplastizován, vznik tzv. plastického kloubu, únosnost v ohybu je c) 3 20 10-5 1 455,1

970

q 50%II. 128,396 64,198 1,946 64,198 3,244Bernouliho hypotéza platí i nadále, x je stále lineární. Ve vláknu A-A je

f ydj p p y j

vyčerpanác) 3,20.10 1,4597,0,eldq, , , , ,

Bernouliho hypotéza platí i nadále, x je stále lineární. Ve vláknu A A jeEx vyčerpaná.