34 ВІСНИК НБУ, ЧЕРВЕНЬ 2012

БАНКИ УКРАЇНИ

Дослідження/

Ігор ВолошинКандидат технічних наук, директор департаменту з управління фінансовими ризиками ПАТ “Кредитпромбанк”

Микита ВолошинАспірант Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”

Хеджування процентного ризику, приховане у кривих дохідності

Статтю присвячено пошуку альтернативних підходів до хеджуван-ня процентного ризику підвищення або падіння банківських депозит-них ставок, розкриттю на прикладі депозитного портфеля прихова-ного у кривих дохідності ефекту природного хеджування процентного ризику, принципам побудови таких кривих дохідності, які усувають арбітраж вкладників за строками погашення депозитів та у такий спосіб якнайповніше задовольняють інтереси як банків, так і вкладни-ків, мінімізуючи процентні витрати банківських установ та максимі-зуючи процентні доходи вкладників.

Характерною особливістю діяль-ності будь-якого банку є те, що він постійно наражається на процент-

ний ризик, пов’язаний з переоцінкою фінансових інструментів. Однією зі стратегій захисту банку від процентно-го ризику є імунізація портфеля фінан-сових інструментів, яка полягає у фор-муванні такого портфеля, в якого дю-рація (середньозважений строк потоку платежів) дорівнює часовому горизон-ту управління процентним ризиком [1]. Проте в умовах обмеженості стро-ків фінансових інструментів, що пере-бувають в обігу в Україні, такий спосіб є неприйнятним. Адже якщо горизонт управління процентним ризиком до-рівнює одному року, то за теперіш-ніх умов банк не зможе збалансувати

строковість свого портфеля депозитів шляхом залучення депозитів із термі-ном погашення більше року – просто немає достатньої пропозиції таких де-позитів на ринку. Ще одним способом захисту банку від процентного ризику є використання похідних фінансових інструментів: процентних свопів, угод щодо форвардних процентних ставок, процентних опціонів тощо [2]. Про-те поки що такий ринок в Україні не розвинутий. Тому статтю присвячено пошуку альтернативних підходів до хе-джування процентного ризику.

Для вирішення цього завдання зро-бимо низку припущень. Період управ-ління процентним ризиком банку до-рівнює одному року. Банк у цей період має змогу залучати лише два види де-позитів – короткостроковий шестимі-сячний і довгостроковий річний. Шестимісячний депозит після пога-шення повністю перевкладається на наступні шість місяців, проте за новою процентною ставкою. Всі відсотки за депозитом сплачуються наприкінці строку розміщення, вони не капіталі-зуються. За таких умов процентний ризик має лише короткостроковий де-позит, за яким через півроку процент-

на ставка може змінитися і процентні витрати банку зростуть або скоротять-ся. Натомість довгостроковий річний депозит ризику переоцінки не має, він є безризиковим, вільним від процент-ного ризику.

НОРМАЛЬНІ (ЗРОСТАЮЧІ) КРИВІ ДОХІДНОСТІ

Розглянемо виграші та втрати від-повідно вкладника і банку за умо-ви можливого зростання процент-

них ставок (див. графік). Вкладник зацікавлений мати короткостроковий

Динаміка процентних ставок

за короткостроковим депозитом

20

0.5 1.51Строк, роки

Сценарії падіння ставок

Пр

оц

ентн

а ст

авка

, % р

ічни

х

2

4

6

8

10

12

Сценарії зростання ставок

V_6_(29.5.12)-2.indd 34V_6_(29.5.12)-2.indd 34 30.05.12 15:2730.05.12 15:27

БАНКИ УКРАЇНИ

35ВІСНИК НБУ, ЧЕРВЕНЬ 2012

депозит, за яким його процентний до-хід може перевищити зафіксований на цей же період дохід від довгостро-кового депозиту. Банк навпаки, заці-кавлений у залученні довгострокового депозиту, який зафіксує його процент-ні витрати на цілий рік. При цьому іс-нує ризик того, що банк переплатить за довгостроковий депозит. Якими ж є справедливі процентні ставки за таки-ми депозитами?

Якщо ставки за коротко- та довго-строковим депозитами неузгоджені, то вкладник може проводити арбі-траж процентної ставки всередині банку, обираючи між коротко- та довгостроковим депозитами.

Щоб зацікавити вкладника розмі-щувати довгострокові річні депози-ти, банк має заплатити йому премію за довгостроковість. Ця винагорода є платою вкладнику за те, що він по-годжується розмістити депозит на тривалий, річний термін. Вона (пре-мія) убезпечує вкладника від того, що його очікування стосовно зрос-тання короткострокових процент-них ставок можуть не справдитися. Зауважимо, що ця винагорода визна-чає зростаючу (нормальну) криву до-хідності за депозитами.

З усіх можливих сценаріїв руху процентних ставок (див. графік) ви-окремимо лише такі сценарії, за яки-ми майбутня процентна ставка буде більшою за початкову, первинну про-центну ставку r0, встановлену за ко-роткостроковим депозитом. У цьому випадку банк буде змушений пере-плачувати за довгостроковим депо-зитом очікувану надбавку (відносно первинної ставки r0), що становить недисконтовану вартість купівельно-го опціону “колл” (call) [3]:

,

call ( t = 1 / 2,r0 ) = (r0

∞

∫ r − r0 )

×

×

f ( t = 1 / 2,r )× dr (1)де f(t = 1/2, r) – щільність розподілу ймовірностей процентної ставки в момент часу t = 1/2 року.

Вкладник не зможе проводити ар-бітраж між двома депозитами – ко-ротко- і довгостроковим – та отри-мувати від цього додатковий виграш, якщо їхні теперішні вартості будуть однаковими:

PVS = PVL. (2)За ставку дисконтування доцільно

обрати безризикову (вільну від про-центного ризику) проценту ставку за довгостроковим депозитом R. Тоді вартість довгострокового депозиту дорівнюватиме одиниці:

PV L =

1+ R

1+ R= 1 . (3)

Зауважимо, що ставку дисконту-вання можна обрати й відмінну від ставки R. Проте теперішня вартість довгострокового депозиту в такому ра-зі не дорівнюватиме одиниці: PVS ≠ 1.

Отже, за обраними нами сценарі-ями вартість короткострокового де-позиту буде найвищою (найгірший випадок для банку) і дорівнюватиме:

PV S = 1 =r0 ×1 / 2

(1+ R )1/ 2

+

+

( r0 + call ( t = 1 / 2,r0 ))×1 / 2

1+ R+

1

1+ R . (4)

Перший член у правій частині рів-няння (4) – це дисконтований про-центний дохід, отриманий вкладни-ком за відомою ставкою r0, другий член – процентний дохід, отриманий вкладником за новою збільшеною ставкою, третій член – дисконтована вартість депозиту.

Із рівняння (4) можна знайти таку справедливу проценту ставку R за довгостроковим депозитом, за якої теперішня вартість коротко- та довго-строкового депозитів стане однако-вою. І навпаки, за відомою довго-строковою ставкою R з рівняння (4) можна знайти справедливу коротко-строкову ставку r0.

Для того, щоб застосувати формулу (4), треба знати, як щільність розподілу ймовірностей процентної ставки f(t,r) змінюється у часі. Для цього можна скористатися різноманітними моделя-ми процентних ставок, наприклад, Ва-січека, Кокса-Інгерсолла-Росса, Рен-дельмана-Барттера та подібними [4]. Зауважимо, що для моделювання руху процентних ставок корисні як аналі-тичні, так і чисельні методи, напри-клад, метод статистичних випробувань (Монте-Карло), біноміальних дерев тощо.

У даній праці ми скористаємося моделлю Васічека [4]:

dr ( t ) = α × μ− r ( t )( ) × dt +σ × dz ( t ) , (5)де r(t) – процентна ставка за корот-костроковим депозитом;

α – швидкість повернення до се-редньої ставки;

μ – середня ставка повернення;σ – волатильність (стандартне від-

хилення) процентної ставки;z(t) – випадковий вінерівський

процес.У моделі Васічека [4] процентна

ставка за короткостроковим депозитом r(t) підкоряється закону нормального розподілу із середнім відхиленням:

m( t ) = μ+ r0 − μ( ) × e−α×t

(6)

та стандартним відхиленням:

s (t ) = σ × 1− e−2×α×t

2 ×α . (7)

Розглянемо чисельний приклад. Нехай параметри моделі Васічека та-кі: α = 0.4, μ = 9%, σ = 5%, r0 = 8%. Розв’язуючи рівняння (4), знайдемо, що процентна ставка за довгостро-ковим депозитом за таких параме-трів дорівнюватиме R = 8.86%. Наре-шті, розрахуємо і премію за довго-строковість: premium = R – r0 = 8.86% – 8% = 0.86%.

Нормальну безарбітражну криву дохідності, що хеджує процентний ризик банку від зростання процент-них ставок, наведено у таблиці 1.

Формулу (4) можна узагальнити і застосовувати до депозиту з коротши-ми строками погашення. Наприклад, для горизонту управління процент-ним ризиком терміном в один рік та для тримісячного депозиту формула (4) набуває такого вигляду:

PV S = 1 =r0 ×1 / 4

(1+ R )1/ 4+1 / 4

×

×

r0 + call ( t = i / 4,r0 )

1+ R( ) i / 4i=1

3

∑ +1

1+ R

, (8)

а для одномісячного депозиту:

PV S = 1 =r0 ×1 / 12

(1+ R )1/12+1 / 12

×

×

r0 + call ( t = i / 12 ,r0 )

1+ R( ) i /12i=1

11

∑ +1

1+ R

. (9)

Таким чином, встановлено, що зростаючі (нормальні) криві дохід-ності природно хеджують процент-ний ризик. Таке хеджування дає банку змогу зафіксувати свої майбутні про-центні витрати, позбавивши вкладни-ка можливості проводити арбітраж усередині банку, обираючи між корот-ко- та довгостроковими депозитами.

На практиці фактична крива до-хідності може відрізнятися від розра-хованої. Розглянемо такі випадки.

Перший випадок. Фактична про-центна ставка за довгостроковим де-позитом вища за розраховану (Ra > R). Банк переплачує за довгостроковий депозит. Це стимулює вкладника вно-сити кошти на довгострокові депози-ти. Банк вже реалізував процентний ризик, переплативши за довгостроко-

Таблиця 1. Зростаюча (нормальна) крива дохідності

Строк депозиту, місяців 6 12

Процентна ставка, % річних 8.0 8.86

V_6_(29.5.12)-2.indd 35V_6_(29.5.12)-2.indd 35 30.05.12 15:2730.05.12 15:27

БАНКИ УКРАЇНИ

36 ВІСНИК НБУ, ЧЕРВЕНЬ 2012

вий депозит, тобто він перехеджував процентний ризик.

Другий випадок. Фактична процент-на ставка за довгостроковим депозитом нижча за розраховану (Ra < R). Банк не-доплачує за довгостроковий депозит. Це стимулює вкладника розміщувати кошти на короткострокових депозитах. Банк наражається на процентний ри-зик, пов’язаний з переоцінкою корот-кострокових депозитів. Таким чином, банк недохеджував процентний ризик.

Чи можна виправити ситуацію? Так! Для цього у першому випадку слід, приміром, укласти договір про обмін фіксованої ставки на плаваючу (процентний своп). У другому випад-ку, навпаки, укласти договір про об-мін плаваючої ставки на фіксовану.

Зауважимо, що оскільки крива до-хідності завжди певною мірою хеджує процентний ризик, то використання похідних фінансових інструментів без врахування цього ефекту призводить до перехеджування процентного ри-зику та переплати за хедж.

ІНВЕРСНІ, АБО СПАДНІ КРИВІ ДОХІДНОСТІ

Розглянемо виграші та втрати від-повідно вкладника і банку в разі можливого падіння процентних

ставок (див. графік). Вкладник заці-кавлений мати довгостроковий де-позит, щоб зафіксувати максимальну дохідність. Банк навпаки, зацікавле-ний у залученні коштів на коротко-строковий депозит, за яким процент-ні витрати банку будуть поступово знижуватись. Ризик банку полягає в тому, що вкладник обере довго-строковий депозит. При цьому банк зафіксує високі процентні витрати на весь рік, тоді як короткострокові ставки знижуватимуться. Якими бу-дуть справедливі процентні ставки за депозитами у такому випадку?

Знову-таки, якщо процентні став-ки за коротко- та довгостроковим де-позитами неузгоджені, то вкладник може проводити арбітраж процентної ставки всередині банку, обираючи між коротко- та довгостроковим де-позитами. Щоб спонукати вкладника робити короткострокові піврічні вкладення, банк повинен знизити ставку за довгостроковим депозитом на певний дисконт. Зауважимо, що цей дисконт визначає інверсну криву дохідності за депозитами.

З усіх можливих сценаріїв руху про-центних ставок (див. графік) ви-окремимо лише такі, за якими май-

бутня процентна ставка буде меншою за початкову, первинну процентну ставку за короткостроковим депози-том r0. У цьому випадку банк буде зму-шений недоплачувати за довгостро-ковим депозитом очікуваний дисконт (відносно первинної ставки r0), що становить недисконтовану вартість опціону продажу “пут” (put) [3]:

.

put ( t = 1 / 2,r0 ) = (0

r0

∫ r0 − r )

×

×

f ( t = 1 / 2,r )× dr (10)Вкладник не зможе проводити ар-

бітраж між двома депозитами – ко-ротко- і довгостроковим – та отриму-вати від цього додатковий виграш, якщо їх теперішні вартості будуть од-наковими (див. рівняння (2)). Якщо ставкою дисконтування обрати без-ризикову (вільну від процентного ри-зику) процентну ставку за довгостро-ковим депозитом R, то вартість дов-гострокового депозиту дорівнювати-ме одиниці (див. рівняння (3)).

За обраними вище сценаріями вар-тість короткострокового депозиту бу-де найменшою і дорівнюватиме:

PV S = 1 =r0 ×1 / 2

(1+ R )1/ 2

+

+

( r0 − put ( t = 1 / 2,r0 ))×1 / 2

1+ R+

1

1+ R . (11)

Із рівняння (11) можна знайти та-ку справедливу процентну ставку R за довгостроковим депозитом, за якої теперішня вартість коротко- та довгострокового депозитів стане од-наковою. І навпаки, з рівняння (11) за відомою довгостроковою ставкою R можна знайти справедливу корот-кострокову ставку r0.

Розглянемо чисельний приклад. Нехай параметри моделі Васічека та-кі: α = 0.4, μ = 9%, σ = 5%, r0 = 8%. Розв’язавши рівняння (11), знайдемо, що процентна ставка за довгостроко-вим депозитом за таких параметрів дорівнюватиме R = 7.58%. Розрахуємо і дисконт за довгостроковість: discount = R – r0 = 7.58% – 8% = –0.42%.

Інверсну безарбітражну криву до-хідності, що захищає банк від ризиків довгострокових вкладень з фіксова-ною дохідністю, наведено в таблиці 2.

Формулу (11) можна узагальнити і застосовувати до депозиту з коротши-ми строками погашення. Наприклад, для горизонту управління процент-

ним ризиком терміном один рік та для тримісячного депозиту формула (11) набуває такого вигляду:

PV S = 1 =r0 ×1 / 4

(1+ R )1/ 4+1 / 4

×

×

r0 − put ( t = i / 4,r0 )

1+ R( ) i / 4i=1

3

∑ +1

1+ R

, (12)

а для одномісячного депозиту:

×

×

×PV S = 1 =r0 1 / 12

(1+ R )1/12+1 / 12

r0 − put ( t = i / 12 ,r0 )

1+ R( ) i /12i=1

11

∑ +1

1+ R

. (13)

Зауважимо, що формули (4, 8, 9, 11–13) придатні також для розрахун-ку справедливих процентних ставок за кредитами.

ВИСНОВКИ

Отже, у даній праці показано, що криві дохідності природно хеджу-ють процентний ризик: нормаль-

ні, тобто зростаючі криві дохідності страхують від ризику підвищення ставок, а інверсні (спадні) криві – від ризику падіння ставок. Проте зазви-чай хеджування процентного ризику виявляється або недостатнім, або над-мірним. У статті запропоновано підхід до побудови таких кривих дохідності, які хеджують ризик найбільш точно. Показано, якщо не враховувати це приховане хеджування, то за умови використання похідних фінансових інструментів процентний ризик буде завжди перехеджованим.

Наступні дослідження доцільно спрямувати на пошук такої конфігу-рації кривої дохідності, що хеджує як зростання, так і падіння процентних ставок.

❑Література1 . Ш а р п У . Ф . И н в е с т и ц и и /

У.Ф.Ша рп, Г .Дж. Александер, Дж. В.Бэй ли. – М.: Инфра-М, 1998. – 1028 с.

2. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под ред. А.А.Лобанова, А.В.Чугунова. – М.: Альпина Бизнес Букс, 2006. – 878 с.

3. Kazemi H., Schneeweis T., Gupta R. Ome ga as a Performance Measure / H.Ka ze-mi, T.Schneeweis, R.Gupta [Електрон-ний ресурс]. – Режим доступу: http://faculty.fuqua.duke.edu/~charvey/Tea ch ing/BA453_2006/Schneeweis_Omega_as_a.pdf.

4. James J., Webber N. Interest rate mo de ling / J.James, N.Webber. – Norfolk: John Wiley & Sons, Inc., 2005. – 654 p.

Таблиця 2. Інверсна крива дохідності

Строк депозиту, місяців 6 12

Процентна ставка, % річних 8.0 7.58

V_6_(29.5.12)-2.indd 36V_6_(29.5.12)-2.indd 36 30.05.12 15:2730.05.12 15:27