コピュラと金融工学の新展開（？）

コピュラと金融工学の新展開第９回データマイニング+WEB 勉強会＠東京

( TokyoWebmining 9)－1st Week

－大規模解析・機械学習・クオンツ祭り－

Presenter : @teramonagi(some web services)

コピュラと金融工学の新展開（？）第９回データマイニング+WEB 勉強会＠東京

( TokyoWebmining 9)－1st Week

－大規模解析・機械学習・クオンツ祭り－

Presenter : @teramonagi(some web services)

１：コピュラって何だ？

TokyoWebmining #9(2011/01/16) 「コピュラと金融工学の新展開（？）」 Presenter : @teramonagi 3

コピュラ≒関係


コピュラ≒確率変数間の関係


確率変数間の関係≒結合分布


多変量正規分布∈結合分布


多変量正規分布って何だ？


多変量正規分布


確率変数間の関係は・・・

そうか！Σの

中に相関として入っているのか！

多変量正規分布での関係


一方、周辺分布は

（１変量）正規分布TokyoWebmining #9(2011/01/16) 「コピュラと金融工学の新展開（？）」 Presenter : @teramonagi 11

多変量正規分布

周辺分布と結合分布の関係

１変量正規分布



何らかの結合分布

関係の一般化（コピュラ！）



コピュラ


２変量結合分布の等高線

TokyoWebmining #9(2011/01/16) 「コピュラと金融工学の新展開（？）」 Presenter : @teramonagi

正規コピュラ tコピュラ

クレイトン・コピュラガンベル・コピュラ

周辺は標準正規・コピュラだけ違う14

長所：周辺分布とその関係（コピュラ）を分けてモデリングできる



短所：意味づけとか解釈が難しい

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Sklar’s Theorem

参考：wikipedia(コピュラ(統計学)-スクラーの定理)


http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%A9_(%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6)











正規コピュラ

周辺分布が正規分布の時、多変量正規分布を再現


Source Code (R)


library(copula)#ケンドールのτは全部一致（するようにした）kendallsTau(normalCopula(0.5))kendallsTau(tCopula(0.5))kendallsTau(claytonCopula(1))kendallsTau(gumbelCopula(1.5))#plotlim <- c(-3,3)marginal <- c("norm", "norm")parameter <- list(list(mean=0,sd=1), list(mean=0,sd=1))par(mfrow=c(2,2),mar=c(2,2,1,1))contour(mvdc(normalCopula(0.5), marginal,parameter),dmvdc, xlim=lim, ylim=lim)contour(mvdc(tCopula(0.5), marginal,parameter),dmvdc, xlim=lim, ylim=lim)contour(mvdc(claytonCopula(1), marginal,parameter),dmvdc, xlim=lim, ylim=lim)contour(mvdc(gumbelCopula(1.5), marginal,parameter),dmvdc, xlim=lim, ylim=lim)

※動作前にパッケージのインストールInstall.packages(“copula”)は必要。※この資料に出てくる他のコードも同様

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２：金融での応用例


２－１リターン分布のモデリング


米・独・中・日の代表的な株価指数のリターン分布


周辺分布のモデリング≒正規分布



どのコピュラが合うだろうか・・・

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T-コピュラ！


モデルパラメーターの決定


> fit.mlThe estimation is based on the maximum likelihoodand a sample of size 925.

Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)rho.1 0.7155620 0.01621145 44.139295 0.000000e+00rho.2 0.3177060 0.03710005 8.563493 0.000000e+00rho.3 0.2515627 0.03968773 6.338551 2.319365e-10rho.4 0.5159302 0.02766178 18.651374 0.000000e+00rho.5 0.4672290 0.03002338 15.562172 0.000000e+00rho.6 0.7427242 0.01413110 52.559528 0.000000e+00df 9.4838458 0.92328625 10.271837 0.000000e+00The maximized loglikelihood is 892.0507 The convergence code is 0

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計算したパラメーターを使って将来シミュレーションするんだね

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Source Code (R)


#海外の株価指数が取れるんでquantmod使うlibrary(quantmod)library(copula)#S&P500,DAX,香港ハンセン指数,NIKKEI225symbols <- c("^GSPC","^GDAXI","^HSI","^N225")#終値のみ取得用関数getClose <- function(symbol, date.from){

x <- getSymbols(symbol, auto.assign=FALSE, from=date.from)index.close <- grep("Close", colnames(x), ignore.case=TRUE)return(x[, index.close])

}#指数値のリスト、終値だけ取得data.index <- sapply(symbols,getClose,"2007-01-01")#１つのxtsへ＆欠損行削除data.index <- do.call("merge",data.index)data.index <- data.index[!apply(data.index,1,function(x)any(is.na(x))),]#リターン系列へreturn.index <- data.index / lag(data.index)-1return.index <- return.index[-1,]pairs(as.matrix(return.index))#基準化してuに倒してPLOT（周辺分布は正規だと仮定）return.index.scaled <- apply(return.index,2,scale)pairs(pnorm(return.index.scaled))#パラメーターの最尤推定dim.index <- ncol(return.index.scaled)dim.param <- dim.index*(dim.index-1)/2t.cop <- tCopula(rep(0,dim.param), dim = dim.index,dispstr = "un", df.fixed = FALSE)fit.ml <- fitCopula(t.cop, pnorm(return.index.scaled), method="ml", start=c(rep(0,dim.param),10))fit.ml

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Collateralized Debt ObligationTokyoWebmining #9(2011/01/16) 「コピュラと金融工学の新展開（？）」 Presenter : @teramonagi

２－２

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CDOって何だ？


資産

住宅AAA

AA

BB

---

シニア

メザニン

エクイティ

社債

ABS

優先劣後構造


ざっくりとした図解

貰えるお金

吹っ飛び度合い

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吹っ飛び度合いＶＳ

貰えるお金




に応じた貰えるお金を計算したい

33


貰えるお金の期待値||

損失の期待値

34

Pricing Formula


利子率（のようなもの）

35


無理

36

Approximated Pricing Formula


※ここから先の計算は参考文献[1]を追試する形

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損失の関係


a b

全体の損失

あるCDO証券の損失シニア

メザニン

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損失をモデリングする必要性

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資産間の吹っ飛び度合いの関係をコピュラで表現

40

そして


を計算41

計算結果


※参考文献[1]P109・表7の値をほぼ再現

コピュラエクイティメザニンシニアスーパーシニア正規 1,145.42 62.49 0.52 0.000t(20) 1,055.28 86.07 2.18 0.004t(6) 896.74 126.44 8.56 0.044t(3) 733.31 165.90 23.56 0.191

クレイトン 857.64 135.73 12.83 0.084

スプレッド(Sのこと) 単位:bp


42


正規コピュラが業界標準

43


金融危機時にはリスクを過小評価していた？

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Source Code - 1 (R)


library(copula)#CDOのスプレッド計算関数SpreadOfCDO <- function(copula, default.probability, maturity,recovery.rate, attachment, detachment, num.path, num.refdebt)

{#コピュラによる乱数生成。これと倒産確率を比べて倒産判定実施random.copula <- rcopula(copula,num.path)#各パスごとのデフォルト件数num.default <- rowSums(random.copula < default.probability)#債務全体の損失率loss.refdebt <- (1-recovery.rate)/num.refdebt*num.default#トランシェの損失率loss.tranche <- (pmax(loss.refdebt - attachment,0)-pmax(loss.refdebt - detachment,0))/(detachment-

attachment)#トランシェの損失率の期待値（標本ベース)expectation.loss.tranche <- sum(loss.tranche)/num.path#スプレッドspread <- -1/maturity*log(1-expectation.loss.tranche)return(spread)

}

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Source Code - 2 (R)


############### main ##############parameterNUM.PATH <- 10^5NUM.REFDEBT <- 100DEFAULT.PROBABILITY <- 0.05MATURITY <- 5RECOVERY.RATE <- 0.4#使用するコピュラオブジェクトを生成しておくCOPULA <- list(normalCopula(0.15, dim = NUM.REFDEBT),tCopula(0.15, dim = NUM.REFDEBT, df = 20),tCopula(0.15, dim = NUM.REFDEBT, df = 6),tCopula(0.15, dim = NUM.REFDEBT, df = 3),claytonCopula(0.21, dim = NUM.REFDEBT)

)#ある程度パラメーター固定したスプレッド計算関数SpreadOfCDOWithFixedParameter <- function(copula,attachment, detachment){SpreadOfCDO(copula, DEFAULT.PROBABILITY, MATURITY, RECOVERY.RATE, attachment, detachment, NUM.PATH, NUM.REFDEBT)

}result <- list()#エクイティresult[[1]] <- sapply(COPULA,SpreadOfCDOWithFixedParameter,0.0,0.06)#メザニンresult[[2]] <- sapply(COPULA,SpreadOfCDOWithFixedParameter,0.06,0.18)#シニアresult[[3]] <- sapply(COPULA,SpreadOfCDOWithFixedParameter,0.18,0.36)#スーパーシニアresult[[4]] <- sapply(COPULA,SpreadOfCDOWithFixedParameter,0.36,1)#行列&bp化result <- 10^4*do.call("cbind", result) colnames(result) <- c("エクイティ","メザニン","シニア","スーパーシニア")rownames(result) <- c("正規","t(20)","t(6)","t(3)","クレイトン")result

46

ご清聴ありがとうございました


参考

[1]・金融危機時における資産価格変動の相互依存関係：コピュラに基づく評価新谷幸平、山田哲也、吉羽要直

[2] ・CDOのプライシング・モデルとそれを用いたCDOの特性等の考察：CDOの商

品性、国内市場の概説とともに小宮清孝

[3] ・コピュラの金融実務での具体的な活用方法の解説戸坂凡展／吉羽要直


・morgueFile・ Stock.XCHNG

写真

文献

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http://www.imes.boj.or.jp/research/abstracts/japanese/kk29-3-4.html









http://www.imes.boj.or.jp/japanese/kinyu/2003/yoyaku/kk22-b2-3.html





















http://www.morguefile.com/



http://www.sxc.hu/

http://www.sxc.hu/

http://www.sxc.hu/

Economy & Finance

コピュラと金融工学の新展開（？）