4. EconometraQuinta edicin Damodar N. Gujarati Profesor emrito
de Economa United States Military Academy, West Point Dawn C.
Porter University of Southern California Revisin tcnica: Aurora
Monroy Alarcn Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico (ITAM) Jos
Hctor Corts Fregoso Centro Universitario de Ciencias
Econmico-Administrativas (CUCEA) Universidad de Guadalajara MXICO
BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN
SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN
FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.iniii iii00_Maq. Preliminares_Gujarati.iniii
iii 12/21/09 5:28:56 PM12/21/09 5:28:56 PM
5. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos
Editor sponsor: Jess Mares Chacn Coordinadora editorial: Marcela I.
Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga Gutirrez
Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Diseo de portada:
Gemma M. Garita Ramos Traductora: Pilar Carril Villarreal
ECONOMETRA Quinta edicin Prohibida la reproduccin total o parcial
de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del
editor. DERECHOS RESERVADOS 2010, respecto a la quinta edicin en
espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A
Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de
la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,
Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara
Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN:
978-607-15-0294-0 (ISBN edicin anterior: 978-970-10-3971-7)
Traducido de la quinta edicin de Basic econometrics, by Damodar N.
Gujarati, and Dawn C. Porter Copyright 2009, 2003, 1995, 1988,
1978, published by McGraw-Hill/Irwin, Inc. All rights reserved.
0-07-337577-2 0123456789 109786543210 Impreso en Mxico Printed in
Mexico 00_Maq. Preliminares_Gujarati.iniv iv00_Maq.
Preliminares_Gujarati.iniv iv 12/21/09 5:28:57 PM12/21/09 5:28:57
PM
6. Damodar N. Gujarati Despus de ensear durante ms de 25 aos en
la City University of New York y 17 aos en el Departamento de
Ciencias Sociales de la U.S. Military Academy en West Point, Nueva
York, el doctor Gujarati es actualmente profesor emrito de economa
de la Academia. El doctor Gujarati recibi el grado de M.Com de la
Universidad de Bombay en 1960, el grado de M.B.A. de la Universidad
de Chicago en 1963 y el grado de Ph.D. de la Universidad de Chicago
en 1965. El doctor Gujarati ha publicado una gran cantidad de
trabajos en reconocidas revistas na- cionales e internacionales,
como Review of Economics and Statistics, Economic Journal, Journal
of Financial and Quantitative Analysis y Journal of Business. El
doctor Gujarati fue miembro del Consejo Editorial de Journal of
Quantitative Economics, publicacin ocial de la Sociedad Economtrica
de India. El doctor Gujarati es tambin autor de Pensions and the
New York Fis- cal Crisis (The American Enterprise Institute, 1978),
Government and Business (McGraw-Hill, 1984) y Essentials of
Econometrics (McGraw-Hill, 3a. ed., 2006). Los libros del doctor
Gujarati sobre econometra se han traducido a diversos idiomas. El
doctor Gujarati fue profesor visitante de la Universidad de
Shefeld, Inglaterra (1970- 1971), profesor visitante Fulbright en
India (1981-1982), profesor visitante en la Facultad de Ad-
ministracin de la Universidad Nacional de Singapur (1985-1986) y
profesor visitante de eco- nometra de la Universidad de Nueva Gales
del Sur, Australia (durante el verano de 1988). El doctor Gujarati
ha dictado numerosas conferencias sobre temas micro y
macroeconmicos en pases como Australia, China, Bangladesh,
Alemania, India, Israel, Mauricio y la Repblica de Corea del Sur.
Dawn C. Porter Dawn Porter ha sido profesora adjunta del
Departamento de Administracin de Operaciones de la Marshall School
of Business de la University of Southern California (USC) desde el
otoo de 2006. En la actualidad imparte clases de introduccin a la
estadstica tanto en licenciatura como en maestra en la Escuela de
Administracin. Antes de incorporarse al cuerpo docente de la USC,
de 2001 a 2006, Dawn fue profesora adjunta de la McDonough School
of Business en la Georgetown University, y antes de eso fue
profesora visitante del Departamento de Psicologa de la Graduate
School of Arts and Sciences en la New York University (NYU). En NYU
imparti diversos cursos sobre mtodos estadsticos avanzados y tambin
fue profesora de la Stern School of Business. Obtuvo su doctorado
en Estadstica en la Stern School. Las reas de inters para la
investigacin de Dawn son anlisis categrico, medidas de acuerdo,
creacin de modelos multivariados y aplicaciones en el campo de la
psicologa. Su investigacin actual examina los modelos de subasta en
internet desde una perspectiva estadstica. Ha presen- tado sus
estudios de investigacin en las conferencias de Joint Statistical
Meetings, las reuniones del Decision Sciences Institute, la
Conferencia Internacional sobre Sistemas de Informacin, varias
universidades, como la London School of Economics y NYU, as como en
diversas series de seminarios sobre comercio electrnico y
estadstica. Dawn es tambin coautora de Essentials of Business
Statistics, 2a. edicin, McGraw-Hill/Irwin, 2008. Fuera del mbito
acadmico, Dawn fue contratada como consultora en estadstica de
KPMG, Inc. Tambin trabaj como consultora en estadstica para muchas
otras empresas importantes, entre otras, Ginnie Mae, Inc., Toys R
Us Corporation, IBM, Cosmaire, Inc., y New York University (NYU)
Medical Center. Acerca de los autores 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inv v00_Maq. Preliminares_Gujarati.inv v
12/21/09 5:28:59 PM12/21/09 5:28:59 PM
7. Para Joan Gujarati, Diane Gujarati-Chesnut, Charles Chesnut
y mis nietos, Tommy y Laura Chesnut. DNG Para Judy, Lee, Brett,
Bryan, Amy y Autumn Porter. Pero muy en especial para mi adorado
padre, Terry. DCP 00_Maq. Preliminares_Gujarati.invi vi00_Maq.
Preliminares_Gujarati.invi vi 12/21/09 5:29:00 PM12/21/09 5:29:00
PM
8. Prefacio xviii Reconocimientos xxi Introduccin 1 PARTE UNO
Modelos de regresin uniecuacionales 13 1 Naturaleza del anlisis de
regresin 15 2 Anlisis de regresin con dos variables: algunas ideas
bsicas 34 3 Modelo de regresin con dos variables: problema de
estimacin 55 4 Modelo clsico de regresin lineal normal (MCRLN) 97 5
Regresin con dos variables: estimacin por intervalos y pruebas de
hiptesis 107 6 Extensiones del modelo de regresin lineal con dos
variables 147 7 Anlisis de regresin mltiple: el problema de
estimacin 188 8 Anlisis de regresin mltiple: el problema de la
inferencia 233 9 Modelos de regresin con variables dictomas 277
PARTE DOS Flexibilizacin de los supuestos del modelo clsico 315 10
Multicolinealidad: qu pasa si las regresoras estn correlacionadas?
320 11 Heteroscedasticidad: qu pasa si la varianza del error no es
constante? 365 12 Autocorrelacin: qu pasa si los trminos de error
estn correlacionados? 412 13 Creacin de modelos economtricos:
especicacin del modelo y pruebas de diagnstico 467 PARTE TRES Temas
de econometra 523 14 Modelos de regresin no lineales 525 15 Modelos
de regresin de respuesta cualitativa 541 16 Modelos de regresin con
datos de panel 591 17 Modelos economtricos dinmicos: modelos
autorregresivos y de rezagos distribuidos 617 PARTE CUATRO Modelos
de ecuaciones simultneas y econometra de series de tiempo 671 18
Modelos de ecuaciones simultneas 673 19 El problema de la
identicacin 689 20 Mtodos de ecuaciones simultneas 711 21
Econometra de series de tiempo: algunos conceptos bsicos 737 22
Econometra de series de tiempo: pronsticos 773 APNDICES A Revisin
de algunos conceptos estadsticos 801 B Nociones bsicas de lgebra
matricial 838 C Mtodo matricial para el modelo de regresin lineal
849 D Tablas estadsticas 877 E Resultados de computadora de EViews,
MINITAB, Excel y STATA 894 F Datos econmicos en la World Wide Web
900 BIBLIOGRAFA SELECTA 902 Contenido breve 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.invii vii00_Maq. Preliminares_Gujarati.invii
vii 12/21/09 5:29:00 PM12/21/09 5:29:00 PM
9. Prefacio xviii Reconocimientos xxi Introduccin 1 I.1 Qu es
la econometra? 1 I.2 Por qu una disciplina aparte? 2 I.3 Metodologa
de la econometra 2 1. Planteamiento de la teora o hiptesis 3 2.
Especicacin del modelo matemtico de consumo 3 3. Especicacin del
modelo economtrico de consumo 4 4. Obtencin de informacin 5 5.
Estimacin del modelo economtrico 5 6. Pruebas de hiptesis 7 7.
Pronstico o prediccin 8 8. Uso del modelo para nes de control o de
polticas 9 Eleccin entre modelos rivales 9 I.4 Tipos de econometra
10 I.5 Requisitos matemticos y estadsticos 11 I.6 La funcin de la
computadora 11 I.7 Lecturas sugeridas 12 PARTE UNO MODELOS DE
REGRESIN UNIECUACIONALES 13 CAPTULO 1 Naturaleza del anlisis de
regresin 15 1.1 Origen histrico del trmino regresin 15 1.2
Interpretacin moderna de la regresin 15 Ejemplos 16 1.3 Relaciones
estadsticas y relaciones deterministas 19 1.4 Regresin y causalidad
19 1.5 Regresin y correlacin 20 1.6 Terminologa y notacin 21 1.7
Naturaleza y fuentes de datos para el anlisis econmico 22 Tipos de
datos 22 Fuentes de datos 25 Precisin de los datos 27 Una
observacin sobre las escalas de medicin de las variables 27 Resumen
y conclusiones 28 Ejercicios 29 CAPTULO 2 Anlisis de regresin con
dos variables: algunas ideas bsicas 34 2.1 Ejemplo hipottico 34 2.2
Concepto de funcin de regresin poblacional (FRP) 37 2.3 Signicado
del trmino lineal 38 Linealidad en las variables 38 Linealidad en
los parmetros 38 2.4 Especicacin estocstica de la FRP 39 2.5
Importancia del trmino de perturbacin estocstica 41 2.6 Funcin de
regresin muestral (FRM) 42 2.7 Ejemplos ilustrativos 45 Resumen y
conclusiones 48 Ejercicios 48 CAPTULO 3 Modelo de regresin con dos
variables: problema de estimacin 55 3.1 Mtodo de mnimos cuadrados
ordinarios (MCO) 55 3.2 Modelo clsico de regresin lineal:
fundamentos del mtodo de mnimos cuadrados 61 Advertencia sobre
estos supuestos 68 3.3 Precisin o errores estndar de las
estimaciones de mnimos cuadrados 69 3.4 Propiedades de los
estimadores de mnimos cuadrados: teorema de Gauss-Markov 71 3.5
Coeciente de determinacin r2 : una medida de la bondad del ajuste
73 3.6 Ejemplo numrico 78 3.7 Ejemplos ilustrativos 81 3.8 Una
observacin sobre los experimentos Monte Carlo 83 Resumen y
conclusiones 84 Ejercicios 85 Apndice 3A 92 3A.1 Derivacin de
estimados de mnimos cuadrados 92 3A.2 Propiedades de linealidad e
insesgamiento de los estimadores de mnimos cuadrados 92 3A.3
Varianzas y errores estndar de los estimadores de mnimos cuadrados
93 3A.4 Covarianza entre 1 y 2 93 3A.5 Estimador de mnimos
cuadrados de 2 93 Contenido 00_Maq. Preliminares_Gujarati.inviii
viii00_Maq. Preliminares_Gujarati.inviii viii 12/21/09 5:29:00
PM12/21/09 5:29:00 PM
10. Contenido ix 3A.6 Propiedad de varianza mnima de los
estimadores de mnimos cuadrados 95 3A.7 Consistencia de los
estimadores de mnimos cuadrados 96 CAPTULO 4 Modelo clsico de
regresin lineal normal (MCRLN) 97 4.1 Distribucin de probabilidad
de las perturbaciones ui 97 4.2 Supuesto de normalidad de ui 98 Por
qu debe formularse el supuesto de normalidad? 99 4.3 Propiedades de
los estimadores de MCO segn el supuesto de normalidad 100 4.4 Mtodo
de mxima verosimilitud (MV) 102 Resumen y conclusiones 102 Apndice
4A 103 4A.1 Estimacin de mxima verosimilitud del modelo de regresin
con dos variables 103 4A.2 Estimacin de mxima verosimilitud del
gasto en alimentos en India 105 Apndice 4A Ejercicios 105 CAPTULO 5
Regresin con dos variables: estimacin por intervalos y pruebas de
hiptesis 107 5.1 Requisitos estadsticos 107 5.2 Estimacin por
intervalos: algunas ideas bsicas 108 5.3 Intervalos de conanza para
los coecientes de regresin 1 y 2 109 Intervalo de conanza para 2
109 Intervalo de conanza para 1 y 2 simultneamente 111 5.4
Intervalo de conanza para 2 111 5.5 Prueba de hiptesis: comentarios
generales 113 5.6 Pruebas de hiptesis: mtodo del intervalo de
conanza 113 Prueba bilateral o de dos colas 113 Prueba unilateral o
de una cola 115 5.7 Pruebas de hiptesis: enfoque de la prueba de
signicancia 115 Prueba de signicancia de los coecientes de
regresin: La prueba t 115 Prueba de signicancia de 2 : la prueba 2
118 5.8 Prueba de hiptesis: algunos aspectos prcticos 119 Signicado
de aceptar o rechazar una hiptesis 119 Hiptesis nula cero y regla
prctica 2t 120 Formacin de las hiptesis nula y alternativa 121
Seleccin del nivel de signicancia 121 Nivel exacto de signicancia:
Valor p 122 Signicancia estadstica y signicancia prctica 123
Eleccin entre los enfoques de intervalos de conanza y pruebas de
signicancia en las pruebas de hiptesis 124 5.9 Anlisis de regresin
y anlisis de varianza 124 5.10 Aplicacin del anlisis de regresin:
problema de prediccin 126 Prediccin media 127 Prediccin individual
128 5.11 Informe de resultados del anlisis de regresin 129 5.12
Evaluacin de los resultados del anlisis de regresin 130 Pruebas de
normalidad 130 Otras pruebas del ajuste del modelo 132 Resumen y
conclusiones 134 Ejercicios 135 Apndice 5A 143 5A.1 Distribuciones
de probabilidad relacionadas con la distribucin normal 143 5A.2
Derivacin de la ecuacin (5.3.2) 145 5A.3 Derivacin de la ecuacin
(5.9.1) 145 5A.4 Derivacin de las ecuaciones (5.10.2) y (5.10.6)
145 Varianza de la prediccin media 145 Varianza de la prediccin
individual 146 CAPTULO 6 Extensiones del modelo de regresin lineal
con dos variables 147 6.1 Regresin a travs del origen 147 r2 para
el modelo de regresin a travs del origen 150 6.2 Escalas y unidades
de medicin 154 Advertencia sobre la interpretacin 157 6.3 Regresin
sobre variables estandarizadas 157 6.4 Formas funcionales de los
modelos de regresin 159 6.5 Cmo medir la elasticidad: modelo
log-lineal 159 6.6 Modelos semilogartmicos: log-lin y lin-log 162
Cmo medir la tasa de crecimiento: modelo log-lin 162 El modelo
lin-log 164 6.7 Modelos recprocos 166 Modelo log hiprbola o
recproco logartmico 172 6.8 Eleccin de la forma funcional 172
00_Maq. Preliminares_Gujarati.inix ix00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inix ix 12/21/09 5:29:02 PM12/21/09 5:29:02
PM
11. x Contenido 6.9 Nota sobre la naturaleza del trmino de
error estocstico: trmino de error estocstico aditivo o
multiplicativo 174 Resumen y conclusiones 175 Ejercicios 176
Apndice 6A 182 6A.1 Derivacin de los estimadores de mnimos
cuadrados para la regresin a travs del origen 182 6A.2 Prueba de
que la variable estandarizada tiene media cero y varianza unitaria
183 6A.3 Logaritmos 184 6A.4 Frmulas para calcular la tasa de
crecimiento 186 6A.5 Modelo de regresin Box-Cox 187 CAPTULO 7
Anlisis de regresin mltiple: el problema de estimacin 188 7.1
Modelo con tres variables: notacin y supuestos 188 7.2
Interpretacin de la ecuacin de regresin mltiple 191 7.3 Signicado
de los coecientes de regresin parcial 191 7.4 Estimacin de MCO y MV
de los coecientes de regresin parcial 192 Estimadores de MCO 192
Varianzas y errores estndar de los estimadores de MCO 194
Propiedades de los estimadores de MCO 195 Estimadores de mxima
verosimilitud 196 7.5 El coeciente mltiple de determinacin R2 y el
coeciente mltiple de correlacin R 196 7.6 Un ejemplo ilustrativo
198 Regresin sobre variables estandarizadas 199 Efecto sobre la
variable dependiente de un cambio unitario en ms de una regresora
199 7.7 Regresin simple en el contexto de regresin mltiple:
introduccin al sesgo de especicacin 200 7.8 R2 y R2 ajustada 201
Comparacin de dos valores de R2 203 Asignacin de R2 entre
regresoras 206 El juego de maximizar R2 206 7.9 La funcin de
produccin Cobb-Douglas: ms sobre la forma funcional 207 7.10
Modelos de regresin polinomial 210 7.11 Coecientes de correlacin
parcial 213 Explicacin de los coecientes de correlacin simple y
parcial 213 Interpretacin de los coecientes de correlacin simple y
parcial 214 Resumen y conclusiones 215 Ejercicios 216 Apndice 7A
227 7A.1 Derivacin de los estimadores de MCO dados en las
ecuaciones (7.4.3) a (7.4.5) 227 7A.2 Igualdad entre los coecientes
del PIBPC en las ecuaciones (7.3.5) y (7.6.2) 229 7A.3 Derivacin de
la ecuacin (7.4.19) 229 7A.4 Estimacin de mxima verosimilitud del
modelo de regresin mltiple 230 7A.5 Listado de EViews de la funcin
de produccin Cobb Douglas de la ecuacin (7.9.4) 231 CAPTULO 8
Anlisis de regresin mltiple: el problema de la inferencia 233 8.1
Una vez ms, el supuesto de normalidad 233 8.2 Pruebas de hiptesis
en regresin mltiple: comentarios generales 234 8.3 Pruebas de
hiptesis sobre coecientes de regresin individuales 235 8.4 Prueba
de signicancia general de la regresin muestral 237 El mtodo del
anlisis de varianza en las pruebas de signicancia general de una
regresin mltiple observada: la prueba F 238 Prueba de signicancia
general de una regresin mltiple: la prueba F 240 Una relacin
importante entre R2 y F 241 Prueba de signicancia general de una
regresin mltiple en trminos de R2 242 La contribucin incremental o
marginal de una variable explicativa 243 8.5 Prueba de igualdad de
dos coecientes de regresin 246 8.6 Mnimos cuadrados restringidos:
pruebas de restriccionesde igualdades lineales 248 El enfoque de la
prueba t 249 Enfoque de la prueba F: mnimos cuadrados restringidos
249 Prueba F general 252 8.7 Prueba para la estabilidad estructural
o paramtrica de los modelos de regresin: la prueba de Chow 254 8.8
Prediccin con regresin mltiple 259 8.9 La trada de las pruebas de
hiptesis: razn de verosimilitud (RV), de Wald (W) y del
multiplicador de Lagrange (ML) 259 8.10 Prueba de la forma
funcional de la regresin: eleccin entre modelos de regresin lineal
y log-lineal 260 Resumen y conclusiones 262 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inx x00_Maq. Preliminares_Gujarati.inx x
12/21/09 5:29:02 PM12/21/09 5:29:02 PM
12. Contenido xi Ejercicios 262 Apndice 8A: Prueba de la razn
de verosimilitud (RV) 274 CAPTULO 9 Modelos de regresin con
variables dictomas 277 9.1 Naturaleza de las variables dictomas 277
9.2 Modelos ANOVA 278 Precaucin con las variables dictomas 281 9.3
Modelos ANOVA con dos variables cualitativas 283 9.4 Regresin con
una mezcla de regresoras cualitativas y cuantitativas: los modelos
ANCOVA 283 9.5 La variable dictoma alternativa a la prueba de Chow
285 9.6 Efectos de interaccin al utilizar variables dictomas 288
9.7 Uso de las variables dictomas en el anlisis estacional 290 9.8
Regresin lineal por segmentos 295 9.9 Modelos de regresin con datos
en panel 297 9.10 Algunos aspectos tcnicos de la tcnica con
variables dictomas 297 Interpretacin de variables dictomas en
regresiones semilogartmicas 297 Variables dictomas y
heteroscedasticidad 298 Variables dictomas y autocorrelacin 299 Qu
sucede si la variable dependiente es dictoma? 299 9.11 Temas para
estudio posterior 300 9.12 Ejemplo para concluir 300 Resumen y
conclusiones 304 Ejercicios 305 Apndice 9A: Regresin semilogartmica
con regresora dictoma 314 PARTE DOS FLEXIBILIZACIN DE LOS SUPUESTOS
DEL MODELO CLSICO 315 CAPTULO 10 Multicolinealidad: qu pasa si las
regresoras estn correlacionadas? 320 10.1 Naturaleza de la
multicolinealidad 321 10.2 Estimacin en presencia de
multicolinealidad perfecta 324 10.3 Estimacin en presencia de
multicolinealidad alta pero imperfecta 325 10.4 Multicolinealidad:
tanto para nada? Consecuencias tericas de la multicolinealidad 326
10.5 Consecuencias prcticas de la multicolinealidad 327 Estimadores
de MCO con varianzas y covarianzas grandes 328 Intervalos de
conanza ms amplios 330 Razones t no signicativas 330 Una R2 alta
pero pocas razones t signicativas 331 Sensibilidad de los
estimadores de MCO y sus errores estndar ante cambios pequeos en
los datos 331 Consecuencias de la micronumerosidad 332 10.6 Ejemplo
ilustrativo 332 10.7 Deteccin de la multicolinealidad 337 10.8
Medidas correctivas 342 No hacer nada 342 Procedimientos de reglas
prcticas 342 10.9 Es la multicolinealidad necesariamente mala? Quiz
no, si el objetivo es slo la prediccin 347 10.10 Ejemplo ampliado:
los datos Longley 347 Resumen y conclusiones 350 Ejercicios 351
CAPTULO 11 Heteroscedasticidad: qu pasa si la varianza del error no
es constante? 365 11.1 Naturaleza de la heteroscedasticidad 365
11.2 Estimacin por MCO en presencia de heteroscedasticidad 370 11.3
El mtodo de mnimos cuadrados generalizados (MCG) 371 Diferencia
entre MCO y MCG 373 11.4 Consecuencias de utilizar MCO en presencia
de heteroscedasticidad 374 Estimacin por MCO con
heteroscedasticidad 374 Estimacin por MCO sin heteroscedasticidad
374 Nota tcnica 376 11.5 Deteccin de la heteroscedasticidad 376
Mtodos informales 376 Mtodos formales 378 11.6 Medidas correctivas
389 Cuando se conoce 2 i: mtodo de los mnimos cuadrados ponderados
389 Cuando no se conoce 2 i 391 11.7 Ejemplos para concluir 395
11.8 Advertencia respecto de una reaccin exagerada ante la
heteroscedasticidad 400 Resumen y conclusiones 400 Ejercicios 401
Apndice 11A 409 00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxi xi00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxi xi 12/21/09 5:29:03 PM12/21/09 5:29:03
PM
13. xii Contenido 11A.1 Prueba de la ecuacin (11.2.2) 409 11A.2
Mtodo de mnimos cuadrados ponderados 409 11A.3 Prueba de que E(2 )
2 en presencia de heteroscedasticidad 410 11A.4 Errores estndar
robustos de White 411 CAPTULO 12 Autocorrelacin: qu pasa si los
trminos de error estn correlacionados? 412 12.1 Naturaleza del
problema 413 12.2 Estimacin de MCO en presencia de autocorrelacin
418 12.3 Estimador MELI en presencia de autocorrelacin 422 12.4
Consecuencias de utilizar MCO en presencia de autocorrelacin 423
Estimacin por MCO tomando en cuenta la autocorrelacin 423 Estimacin
por MCO ignorando la autocorrelacin 423 12.5 Relacin entre salarios
y productividad en el sector de negocios de Estados Unidos,
1960-2005 428 12.6 Deteccin de la autocorrelacin 429 I. Mtodo grco
429 II. Prueba de las rachas 431 III. Prueba d de Durbin-Watson 434
IV. Una prueba general de autocorrelacin: la prueba de
Breusch-Godfrey (BF) 438 Por qu tantas pruebas para la
autocorrelacin? 440 12.7 Qu hacer cuando hay autocorrelacin:
medidas correctivas 440 12.8 Especicacin incorrecta del modelo
frente a autocorrelacin pura 441 12.9 Correccin de la
autocorrelacin (pura): el mtodo de los mnimos cuadrados
generalizados (MCG) 442 Cuando se conoce 442 Cuando no se conoce
443 12.10 El mtodo Newey-West para corregir los errores estndar de
MCO 447 12.11 MCO versus MCGF y CHA 448 12.12 Otros aspectos de la
autocorrelacin 449 Variables dictomas y autocorrelacin 449 Modelos
ARCH y GARCH 449 Coexistencia de la autocorrelacin y la
heteroscedasticidad 450 12.13 Ejemplo para concluir 450 Resumen y
conclusiones 452 Ejercicios 453 Apndice 12A 466 12A.1 Prueba de que
el trmino de error vt en la ecuacin (12.1.11) est
autocorrelacionado 466 12A.2 Pruebas de las ecuaciones (12.2.3),
(12.2.4) y (12.2.5) 466 CAPTULO 13 Creacin de modelos economtricos:
especicacin del modelo y pruebas de diagnstico 467 13.1 Criterios
de seleccin del modelo 468 13.2 Tipos de errores de especicacin 468
13.3 Consecuencias de los errores de especicacin del modelo 470
Omisin de una variable relevante (subajuste de un modelo) 471
Inclusin de una variable irrelevante (sobreajuste de un modelo) 473
13.4 Pruebas de errores de especicacin 474 Deteccin de variables
innecesarias (sobreajuste de un modelo) 475 Pruebas para variables
omitidas y forma funcional incorrecta 477 13.5 Errores de medicin
482 Errores de medicin en la variable dependiente Y 482 Errores de
medicin en la variable explicativa X 483 13.6 Especicacin
incorrecta del trmino de error estocstico 486 13.7 Modelos anidados
y no anidados 487 13.8 Pruebas de hiptesis no anidadas 488 Mtodo de
discriminacin 488 Mtodo de discernimiento 488 13.9 Criterios para
la seleccin de modelos 493 El criterio R2 493 R2 ajustada 493
Criterio de informacin Akaike (CIA) 494 Criterio de informacin
Schwarz (CIS) 494 Criterio Cp de Mallows 494 Advertencia sobre los
criterios de seleccin de modelos 495 Pronstico ji cuadrada (2 ) 496
13.10 Otros temas relacionados con la creacin de modelos
economtricos 496 Valores atpicos, apalancamiento e inuencia 496
Mnimos cuadrados recursivos 498 Prueba de la falla de prediccin de
Chow 498 Datos faltantes 499 13.11 Ejemplos para concluir 500 1. Un
modelo de determinacin de salarios por hora 500 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxii xii00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxii
xii 12/21/09 5:29:04 PM12/21/09 5:29:04 PM
14. Contenido xiii 2. Funcin de consumo real de Estados Unidos,
1947-2000 505 13.12 Errores no normales y regresoras estocsticas
509 1. Qu pasa si el trmino de error no est distribuido
normalmente? 509 2. Variables explicativas estocsticas 510 13.13
Advertencia para el profesional 511 Resumen y conclusiones 512
Ejercicios 513 Apndice 13A 519 13A.1 Prueba de que E(b12) = 2 +
3b32 [ecuacin (13.3.3)] 519 13A.2 Consecuencias de la inclusin de
una variable irrelevante: propiedad de insesgamiento 520 13A.3
Prueba de la ecuacin (13.5.10) 521 13A.4 Prueba de la ecuacin
(13.6.2) 522 PARTE TRES TEMAS DE ECONOMETRA 523 CAPTULO 14 Modelos
de regresin no lineales 525 14.1 Modelos de regresin intrnsecamente
lineales e intrnsecamente no lineales 525 14.2 Estimacin de modelos
de regresin lineales y no lineales 527 14.3 Estimacin de modelos de
regresin no lineales: mtodo de ensayo y error 527 14.4 Mtodos para
estimar modelos de regresin no lineales 529 Bsqueda directa o mtodo
de ensayo y error, o de libre derivacin 529 Optimizacin directa 529
Mtodo de linealizacin iterativa 530 14.5 Ejemplos ilustrativos 530
Resumen y conclusiones 535 Ejercicios 535 Apndice 14A 537 14A.1
Derivacin de las ecuaciones (14.2.4) y (14.2.5) 537 14A.2 Mtodo de
linealizacin 537 14A.3 Aproximacin lineal de la funcin exponencial
dada en (14.2.2) 538 CAPTULO 15 Modelos de regresin de respuesta
cualitativa 541 15.1 Naturaleza de los modelos de respuesta
cualitativa 541 15.2 Modelo lineal de probabilidad (MLP) 543 No
normalidad de las perturbaciones ui 544 Varianzas heteroscedsticas
de las perturbaciones 544 No cumplimiento de 0 E(Yi|Xi) 1 545 Valor
cuestionable de R2 como medida de la bondad del ajuste 546 15.3
Aplicaciones del MLP 549 15.4 Alternativas al MLP 552 15.5 El
modelo logit 553 15.6 Estimacin del modelo logit 555 Datos de nivel
individual 556 Datos agrupados o duplicados 556 15.7 Modelo logit
agrupado (glogit): ejemplo numrico 558 Interpretacin del modelo
logit estimado 558 15.8 El modelo logit para datos no agrupados o
individuales 561 15.9 Modelo probit 566 Estimacin de probit con
datos agrupados: gprobit 567 El modelo probit para datos no
agrupados o individuales 570 Efecto marginal de un cambio unitario
en el valor de una regresora sobre los diversos modelos de regresin
571 15.10 Modelos logit y probit 571 15.11 Modelo tobit 574
Ilustracin del modelo tobit: modelo de Ray Fair para las relaciones
extramaritales 575 15.12 Creacin de modelos para datos de cuenta:
modelo de regresin de Poisson 576 15.13 Otros temas de los modelos
de regresin de respuesta cualitativa 579 Modelos ordinales logit y
probit 580 Modelos multinomiales logit y probit 580 Modelos de
duracin 580 Resumen y conclusiones 581 Ejercicios 582 Apndice 15A
589 15A.1 Estimacin de mxima verosimilitud de los modelos probit y
logit para datos individuales (no agrupados) 589 CAPTULO 16 Modelos
de regresin con datos de panel 591 16.1 Por qu datos de panel? 592
16.2 Datos de panel: un ejemplo ilustrativo 593 16.3 Modelo de
regresin con MCO agrupados o de coecientes constantes 594 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxiii xiii00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxiii xiii 12/21/09 5:29:05 PM12/21/09
5:29:05 PM
15. xiv Contenido 16.4 Modelo de mnimos cuadrados con variable
dictoma (MCVD) de efectos jos 596 Advertencia sobre el modelo de
MCVD de efectos jos 598 16.5 Estimador de efectos jos dentro del
grupo (DG) 599 16.6 Modelo de efectos aleatorios (MEFA) 602 Prueba
del multiplicador de Lagrange de Breusch y Pagan 605 16.7
Propiedades de varios estimadores 605 16.8 Modelo de efectos jos y
modelo de efectos aleatorios: algunos lineamientos 606 16.9
Regresiones con datos de panel: algunos comentarios para concluir
607 16.10 Algunos ejemplos ilustrativos 607 Resumen y conclusiones
612 Ejercicios 613 CAPTULO 17 Modelos economtricos dinmicos:
modelos autorregresivos y de rezagos distribuidos 617 17.1 El papel
del tiempo o rezago en economa 618 17.2 Razones de los rezagos 622
17.3 Estimacin de modelos de rezagos distribuidos 623 Estimacin ad
hoc de los modelos de rezagos distribuidos 623 17.4 Mtodo de Koyck
para los modelos de rezagos distribuidos 624 Mediana de los rezagos
627 Rezago medio 627 17.5 Racionalizacin del modelo de Koyck:
modelo de expectativas adaptativas 629 17.6 Otra racionalizacin del
modelo de Koyck: el modelo de ajuste de existencias o de ajuste
parcial 632 17.7 Combinacin de los modelos de expectativas
adaptativas y de ajuste parcial 634 17.8 Estimacin de modelos
autorregresivos 634 17.9 Mtodo de variables instrumentales (VI) 636
17.10 Deteccin de autocorrelacin en modelos autorregresivos: prueba
h de Durbin 637 17.11 Ejemplo numrico: demanda de dinero en Canad
de I-1979 a IV-1988 639 17.12 Ejemplos ilustrativos 642 17.13 El
mtodo de Almon para los modelos de rezagos distribuidos: rezagos
distribuidos polinomiales (RDP) o de Almon 645 17.14 Causalidad en
economa: prueba de causalidad de Granger 652 Prueba de Granger 653
Nota sobre causalidad y exogeneidad 657 Resumen y conclusiones 658
Ejercicios 659 Apndice 17A 669 17A.1 Prueba de Sargan para la
validez de los instrumentos 669 PARTE CUATRO MODELOS DE ECUACIONES
SIMULTNEASY ECONOMETRA DE SERIES DE TIEMPO 671 CAPTULO 18 Modelos
de ecuaciones simultneas 673 18.1 Naturaleza de los modelos de
ecuaciones simultneas 673 18.2 Ejemplos de modelos de ecuaciones
simultneas 674 18.3 Sesgo en las ecuaciones simultneas:
inconsistencia de los estimadores de MCO 679 18.4 Sesgo de las
ecuaciones simultneas: ejemplo numrico 682 Resumen y conclusiones
684 Ejercicios 684 CAPTULO 19 El problema de la identicacin 689
19.1 Notacin y deniciones 689 19.2 Problema de identicacin 692
Subidenticacin 692 Identicacin precisa o exacta 694
Sobreidenticacin 697 19.3 Reglas para la identicacin 699 Condicin
de orden para la identicacin 699 Condicin de rango para la
identicacin 700 19.4 Prueba de simultaneidad 703 Prueba de
especicacin de Hausman 703 19.5 Pruebas de exogeneidad 705 Resumen
y conclusiones 706 Ejercicios 706 CAPTULO 20 Mtodos de ecuaciones
simultneas 711 20.1 Enfoques para la estimacin 711 20.2 Modelos
recursivos y mnimos cuadrados ordinarios 712 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxiv xiv00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxiv
xiv 12/21/09 5:29:06 PM12/21/09 5:29:06 PM
16. Contenido xv 20.3 Estimacin de una ecuacin exactamente
identicada:el mtodo de mnimos cuadrados indirectos (MCI) 715
Ejemplo ilustrativo 715 Propiedades de los estimadores por MCI 718
20.4 Estimacin de una ecuacin sobreidenticada: mtodo de mnimos
cuadrados en dos etapas (MC2E) 718 20.5 MC2E: ejemplo numrico 721
20.6 Ejemplos ilustrativos 724 Resumen y conclusiones 730
Ejercicios 730 Apndice 20A 735 20A.1 Sesgo en los estimadores de
mnimos cuadrados indirectos 735 20A.2 Estimacin de los errores
estndar de los estimadores de MC2E 736 CAPTULO 21 Econometra de
series de tiempo: algunos conceptos bsicos 737 21.1 Repaso rpido a
una seleccin de series de tiempo econmicas de Estados Unidos 738
21.2 Conceptos fundamentales 739 21.3 Procesos estocsticos 740
Procesos estocsticos estacionarios 740 Procesos estocsticos no
estacionarios 741 21.4 Proceso estocstico de raz unitaria 744 21.5
Procesos estocsticos estacionarios en tendencia (ET) y
estacionarios en diferencias (ED) 745 21.6 Procesos estocsticos
integrados 746 Propiedades de las series integradas 747 21.7 El
fenmeno de regresin espuria 747 21.8 Pruebas de estacionariedad 748
1. Anlisis grco 749 2. Funcin de autocorrelacin (FAC) y
correlograma 749 Signicancia estadstica de los coecientes de
autocorrelacin 753 21.9 Prueba de raz unitaria 754 La prueba
Dickey-Fuller aumentada (DFA) 757 Prueba de la signicancia de ms de
un coeciente: prueba F 758 Las pruebas de raz unitaria
Phillips-Perron (PP) 758 Prueba de cambios estructurales 758 Crtica
de las pruebas de raz unitaria 759 21.10 Transformacin de las
series de tiempo no estacionarias 760 Procesos estacionarios en
diferencias 760 Procesos estacionarios en tendencia 761 21.11
Cointegracin: regresin de una serie de tiempo con raz unitaria
sobre otra serie de tiempo con raz unitaria 762 Prueba de
cointegracin 763 Cointegracin y mecanismo de correccin de errores
(MCE) 764 21.12 Algunas aplicaciones econmicas 765 Resumen y
conclusiones 768 Ejercicios 769 CAPTULO 22 Econometra de series de
tiempo: pronsticos 773 22.1 Enfoques de los pronsticos econmicos
773 Mtodos de suavizamiento exponencial 774 Modelos de regresin
uniecuacionales 774 Modelos de regresin de ecuaciones simultneas
774 Modelos ARIMA 774 Modelos VAR 775 22.2 Creacin de modelos AR,
PM y ARIMA para series de tiempo 775 Proceso autorregresivo (AR)
775 Proceso de medias mviles (MA) 776 Proceso autorregresivo y de
promedios mviles (ARMA) 776 Proceso autorregresivo integrado de
promedios mviles (ARIMA) 776 22.3 Metodologa de Box-Jenkins (BJ)
777 22.4 Identicacin 778 22.5 Estimacin del modelo ARIMA 782 22.6
Vericacin de diagnstico 782 22.7 Pronstico 782 22.8 Otros aspectos
de la metodologa BJ 784 22.9 Vectores autorregresivos (VAR) 784
Estimacin de VAR 785 Pronstico con el modelo VAR 786 VAR y
causalidad 787 Algunos problemas en la creacin de modelos VAR 788
Una aplicacin de VAR: un modelo VAR de la economa de Texas 789
22.10 Medicin de la volatilidad de las series de tiempo nancieras:
modelos ARCH y GARCH 791 Qu hacer cuando ARCH est presente? 795
Advertencia sobre la prueba d de Durbin-Watson y el efecto ARCH 796
Nota sobre el modelo GARCH 796 22.11 Ejemplos para concluir 796
Resumen y conclusiones 798 Ejercicios 799 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxv xv00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxv xv
12/21/09 5:29:07 PM12/21/09 5:29:07 PM
17. xvi Contenido APNDICE A Revisin de algunos conceptos
estadsticos 801 A.1 Operadores de sumatoria y de producto 801 A.2
Espacio muestral, puntos muestrales y sucesos 802 A.3 Probabilidad
y variables aleatorias 802 Probabilidad 802 Variables aleatorias
803 A.4 Funcin de densidad de probabilidad (FDP) 803 Funcin de
densidad de probabilidad de una variable aleatoria discreta 803
Funcin de densidad de probabilidad de una variable aleatoria
continua 804 Funciones de densidad de probabilidad conjunta 805
Funcin de densidad de probabilidad marginal 805 Independencia
estadstica 806 A.5 Caractersticas de las distribuciones de
probabilidad 808 Valor esperado 808 Propiedades de los valores
esperados 809 Varianza 810 Propiedades de la varianza 811
Covarianza 811 Propiedades de la covarianza 812 Coeciente de
correlacin 812 Esperanza condicional y varianza condicional 813
Propiedades de la esperanza y la varianza condicionales 814
Momentos superiores de las distribuciones de probabilidad 815 A.6
Algunas distribuciones de probabilidad tericas importantes 816
Distribucin normal 816 Distribucin 2 (ji cuadrada) 819 Distribucin
t de Student 820 Distribucin F 821 Distribucin binomial de
Bernoulli 822 Distribucin binomial 822 Distribucin de Poisson 823
A.7 Inferencia estadstica: estimacin 823 Estimacin puntual 823
Estimacin por intervalos 824 Mtodos de estimacin 825 Propiedades de
las muestras pequeas 826 Propiedades de las muestras grandes 828
A.8 Inferencia estadstica: pruebas de hiptesis 831 Mtodo del
intervalo de conanza 832 Mtodo de la prueba de signicancia 836
Referencias 837 APNDICE B Nociones bsicas de lgebra matricial 838
B.1 Deniciones 838 Matriz 838 Vector columna 838 Vector rengln 839
Trasposicin 839 Submatriz 839 B.2 Tipos de matrices 839 Matriz
cuadrada 839 Matriz diagonal 839 Matriz escalar 840 Matriz
identidad o unitaria 840 Matriz simtrica 840 Matriz nula 840 Vector
nulo 840 Matrices iguales 840 B.3 Operaciones matriciales 840
Adicin de matrices 840 Resta de matrices 841 Multiplicacin por
escalar 841 Multiplicacin de matrices 841 Propiedades de la
multiplicacin de matrices 842 Trasposicin de matrices 843 Inversin
de matrices 843 B.4 Determinantes 843 Clculo de un determinante 844
Propiedades de los determinantes 844 Rango de una matriz 845 Menor
846 Cofactor 846 B.5 Forma de encontrar la inversa de una matriz
cuadrada 847 B.6 Diferenciacin matricial 848 Referencias 848
APNDICE C Mtodo matricial para el modelo de regresin lineal 849 C.1
Modelo de regresin lineal con k variables 849 C.2 Supuestos del
modelo clsico de regresin lineal en notacin matricial 851 C.3
Estimacin por MCO 853 Una ilustracin 855 Matriz de
varianza-covarianza de 856 Propiedades del vector de MCO 858 C.4
Coeciente de determinacin R2 en notacin matricial 858 C.5 Matriz de
correlacin 859 00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxvi xvi00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxvi xvi 12/21/09 5:29:07 PM12/21/09 5:29:07
PM
18. Contenido xvii C.6 Pruebas de hiptesis sobre coecientes de
regresin individuales en notacin matricial 859 C.7 Prueba de
signicancia global de la regresin: anlisis de varianza en notacin
matricial 860 C.8 Pruebas de restricciones lineales: prueba F
general con notacin matricial 861 C.9 Prediccin mediante regresin
mltiple: formulacin matricial 861 Prediccin media 861 Varianza de
la prediccin media 862 Prediccin individual 862 Varianza de la
prediccin individual 862 C.10 Resumen del mtodo matricial: un
ejemplo ilustrativo 863 C.11 Mnimos cuadrados generalizados (MCG)
867 C.12 Resumen y conclusiones 868 Ejercicios 869 Apndice CA 874
CA.1 Derivacin de k ecuaciones normales o simultneas 874 CA.2
Derivacin matricial de las ecuaciones normales 875 CA.3 Matriz de
varianza-covarianza de 875 CA.4 Propiedad MELI de los estimadores
de MCO 875 APNDICE D Tablas estadsticas 877 APNDICE E Resultados de
computadora de EViews, MINITAB, Excel y STATA 894 E.1 EViews 894
E.2 MINITAB 896 E.3 Excel 897 E.4 STATA 898 E.5 Comentarios nales
898 Referencias 899 APNDICE F Datos econmicos en la World Wide Web
900 Bibliografa selecta 902 ndice de nombres 905 ndice analtico 909
00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxvii xvii00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxvii xvii 12/21/09 5:29:08 PM12/21/09
5:29:08 PM
19. Objetivo del libro La primera edicin de Econometra se
public hace treinta aos. Con el transcurso del tiempo se
registraron avances importantes en la teora y la prctica de la
econometra. En cada una de las ediciones subsiguientes trat de
incorporar los principales adelantos en el campo. La quinta edicin
contina con esta tradicin. Sin embargo, lo que no ha cambiado a lo
largo de todos estos aos es mi rme conviccin de que la econometra
puede ensearse al principiante de manera intuitiva e informativa
sin recurrir al lgebra matricial, el clculo o la estadstica, ms all
de un nivel elemental. Parte del material es inherentemente tcnico.
En ese caso, lo coloqu en el apndice correspondiente o remito al
lector a las fuentes apropiadas. Incluso entonces, trat de
simplicar el material tcnico para que el lector pueda comprenderlo
de manera intuitiva. La longevidad de este libro ha sido para m una
sorpresa muy grata, al igual que el hecho de que no slo los
estudiantes de economa y nanzas lo usan comnmente, sino tambin los
estudiantes e investigadores de otras disciplinas, como ciencias
polticas, relaciones internacio- nales, agronoma y ciencias de la
salud. La nueva edicin, con la ampliacin de los temas y las
aplicaciones concretas que presenta, ser muy til para todos estos
estudiantes. En esta edicin dediqu todava ms atencin a la
pertinencia y oportunidad de los datos reales en el texto. De
hecho, agregu unos quince ejemplos ilustrativos y ms de treinta
ejercicios al nal de los cap- tulos. Adems, actualic los datos de
aproximadamente dos docenas de ejemplos y ms de veinte ejercicios
de la edicin anterior. Aunque me encuentro en la octava dcada de mi
vida, no he perdido mi amor por la econo- metra, y me esfuerzo por
mantenerme al tanto de los principales avances en el campo. Para
ayu- darme en este empeo, me complace mucho contar ahora con la
doctora Dawn Porter, profesora adjunta de estadstica de la Marshall
School of Business de la University of Southern California, en Los
ngeles, como coautora. Ambos trabajamos mucho para llevar a buen
trmino la quinta edicin de Econometra. Caractersticas principales
de la quinta edicin Antes de explicar los cambios especcos en
diversos captulos, vale la pena destacar las siguien- tes
caractersticas de la nueva edicin: 1. Se actualizaron prcticamente
todos los datos de los ejemplos ilustrativos. 2. Se agregaron
varios ejemplos. 3. En varios captulos incluimos ejemplos nales que
ilustran los puntos tratados en el texto. 4. Se incluyen en el
libro listados de computadora relativos a varios ejemplos
concretos. La ma- yora de estos resultados se basan en EViews
(versin 6) y STATA (versin 10), as como en MINITAB (versin 15). 5.
Diversos captulos incluyen varios diagramas y grcos nuevos. 6.
Diversos captulos incluyen varios ejercicios basados en datos
nuevos. 7. Los datos de muestras pequeas se incluyen en el libro,
pero los de muestras grandes estn en el sitio web del libro con el
propsito de reducir el tamao del texto. El sitio web tambin
publicar todos los datos del libro, mismos que se actualizarn
peridicamente. Prefacio 00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxviii
xviii00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxviii xviii 12/21/09 5:29:08
PM12/21/09 5:29:08 PM
20. 8. En algunos captulos incluimos ejercicios para el aula
que requieren que los alumnos obtengan datos por su cuenta y
apliquen las distintas tcnicas que se explican en el libro. Tambin
se incluyen algunas simulaciones Monte Carlo en el libro. Cambios
especcos de la quinta edicin A continuacin se enumeran algunos
cambios que se reeren de manera especca a ciertos captulos: 1. Los
supuestos en los que se basa el modelo clsico de regresin lineal
(MCRL) que se pre- sentan en el captulo 3 ahora marcan una
distincin cuidadosa entre regresoras jas (varia- bles explicativas)
y regresoras aleatorias. Analizamos la importancia de la distincin.
2. En el apndice del captulo 6 se analizan las propiedades de los
logaritmos, las transforma- ciones Box-Cox y varias frmulas de
crecimiento. 3. El captulo 7 explica ahora no slo el efecto
marginal de una sola regresora sobre la variable dependiente, sino
tambin los efectos de cambios simultneos de todas las variables
explica- tivas en la variable dependiente. Este captulo tambin se
reorganiz con la misma estructura que los supuestos del captulo 3.
4. En el captulo 11 se presenta una comparacin de las diferentes
pruebas de heteroscedastici- dad. 5. Hay un nuevo anlisis del
efecto de las rupturas estructurales en la autocorrelacin en el
captulo 12. 6. Los nuevos temas incluidos en el captulo 13 son
datos faltantes, trmino de error no normal y regresoras
estocsticas, o aleatorias. 7. El modelo de regresin no lineal que
se analiza en el captulo 14 tiene una aplicacin con- creta de la
transformacin Box-Cox. 8. El captulo 15 contiene varios ejemplos
nuevos que ilustran el uso de los modelos logit y probit en
diversos campos. 9. Revisamos e ilustramos cuidadosamente con
varias aplicaciones el captulo 16 sobre mode- los de regresin con
datos en panel. 10. El captulo 17 incluye un anlisis ampliado de
las pruebas de causalidad de Sims y Granger. 11. En el captulo 21
se presenta un anlisis minucioso de las series de tiempo
estacionarias y no estacionarias, as como algunos problemas
relacionados con varias pruebas de estacionarie- dad. 12. El
captulo 22 incluye una exposicin de razones por las que tomar las
primeras diferencias de una serie de tiempo con el propsito de
volverla estacionaria puede no ser la estrategia ms adecuada en
algunas situaciones. Adems de estos cambios especcos, corregimos
los errores tipogrcos y de otro tipo de edi- ciones anteriores y
simplicamos los anlisis de varios temas en los diferentes captulos.
Organizacin y opciones La extensa cobertura en esta edicin
proporciona al maestro exibilidad considerable para elegir los
temas apropiados para el pblico al que se dirige. Aqu se dan
algunas sugerencias respecto a cmo podra utilizarse la obra. Curso
de un semestre para los no especialistas: Apndice A, captulos 1 al
9 y un repaso general de los captulos 10, 11 y 12 (sin las
demostraciones). Curso de un semestre para estudiantes de economa:
Apndice A y los captulos 1 al 13. Prefacio xix 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxix xix00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxix
xix 12/21/09 5:29:09 PM12/21/09 5:29:09 PM
21. Curso de dos semestres para estudiantes de
economa:ApndicesA, B y C, y captulos 1 al 22. Los captulos 14 y 16
son opcionales. Pueden omitirse algunos apndices tcnicos.
Estudiantes de maestra y posgrado e investigadores: Este libro es
un til manual de consulta de los temas principales de la
econometra. Suplementos Un sitio web muy completo contiene el
siguiente material suplementario: Datos del texto, as como datos
adicionales de conjuntos grandes a los que se hace referencia en el
libro; los autores actualizarn los datos peridicamente. Un Manual
de soluciones, preparado por Dawn Porter, proporciona las
respuestas a todas las preguntas y problemas que se presentan en el
texto. Una biblioteca de imgenes digitales que contiene todos los
grcos y guras del texto. Encontrar ms informacin en
www.mhhe.com/gujarati5e. Consulte trminos y condiciones con su
representante McGraw-Hill ms cercano. xx Prefacio 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxx xx00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxx xx
12/21/09 5:29:09 PM12/21/09 5:29:09 PM
22. Reconocimientos Desde la publicacin de la primera edicin de
este libro, en 1978, hemos recibido valiosas suge- rencias,
comentarios, crticas y consejos de muchas personas. En particular,
queremos agradecer la ayuda que recibimos de Michael McAleer, de la
Universidad de Western Australia; Peter Ken- nedy, de la
Universidad Simon Frazer en Canad; as como de Kenneth White, de la
Universidad de British Columbia; George K. Zestos, de la
Universidad Christopher Newport de Virginia y Paul Offner, de la
Universidad Georgetown de Washington, D.C. Tambin deseamos
manifestar nuestro agradecimiento a varias personas que inuyeron en
nosotros por su erudicin. Queremos agradecer especialmente a Arthur
Goldberger, de la Uni- versidad de Wisconsin, William Greene, de la
Universidad de Nueva York y al nado G. S. Mad- dala. Seguimos
agradecidos con los revisores que aportaron su invaluable
conocimiento, crticas y sugerencias a las ediciones anteriores de
este texto: Michael A. Grove, de la Universidad de Oregon; Harumi
Ito, de la Universidad Brown; Han Kim, de la Universidad de South
Dakota; Phanindra V. Wunnava, del Middlebury College y Andrew
Paizis, de la City University of New York. Diversos autores
inuyeron en la preparacin de este texto. En particular, estamos
agradeci- dos con los siguientes: Chandan Mukherjee, director del
Centro de Estudios de Desarrollo, de Trivandrum, India; Howard
White y Marc Wuyts, del Instituto de Estudios Sociales de Holanda;
Badi H. Baltagi, de la Universidad Texas A&M; B. Bhaskara Rao,
de la Universidad de Nueva Gales del Sur, Australia; R. Carter
Hill, de la Universidad de Louisiana; William E. Grifths, de la
Universidad de Nueva Inglaterra; George G. Judge, de la Universidad
de California en Berke- ley; Marno Verbeek, del Centro de Estudios
Econmicos, de KU Leuven; Jeffrey Wooldridge, de la Universidad
Estatal de Michigan; Kerry Patterson, de la Universidad de Reading,
Inglaterra; Francis X. Diebold, de la Escuela Wharton,
perteneciente a la Universidad de Pensilvania; Woj- ciech W.
Charemza y Derek F. Deadman, de la Universidad de Leicester,
Inglaterra, y Gary Koop, de la Universidad de Glasgow. Varios
comentarios y sugerencias muy valiosos que proporcionaron los
revisores de la cuarta edicin mejoraron en gran medida esta edicin.
Queremos expresar nuestro agradecimiento a los siguientes: Valerie
Bencivenga Universidad de Texas, Austin Andrew Economopoulos
Ursinus College Eric Eide Universidad BrighamYoung Gary Ferrier
Universidad de Arkansas, Fayetteville David Garman Universidad
Tufts David Harris Benedictine College Don Holley Universidad
Estatal Boise George Jakubson Universidad de Cornell Bruce Johnson
Centre College of Kentucky Duke Kao Universidad de Syracuse Gary
Krueger Macalester College Subal Kumbhakar Universidad Binghamton
Tae-Hwy Lee Universidad de California, Riverside Solaiman Miah
Universidad Estatal de West Virginia Fabio Milani Universidad de
California, Irvine Helen Naughton Universidad de Oregon Solomon
Smith Universidad Langston Kay Strong Universidad Estatal Bowling
Green Derek Tittle Instituto Tecnolgico de Georgia Tiemen Woutersen
Universidad Johns Hopkins 00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxxi
xxi00_Maq. Preliminares_Gujarati.inxxi xxi 12/21/09 5:29:09
PM12/21/09 5:29:09 PM
23. Deseamos dar las gracias a los estudiantes y maestros de
todo el mundo que no slo han uti- lizado este libro, sino que se
han comunicado con nosotros en cuanto a diversos aspectos de la
obra. Por su ayuda tras bambalinas en McGraw-Hill, estamos
agradecidos con Douglas Reiner, Noelle Fox y Anne Hilbert. Por
ltimo, pero no por eso menos importante, el doctor Gujarati desea
dar las gracias a sus hijas, Joan y Diane, por su constante apoyo y
aliento en la preparacin de sta y las anteriores ediciones. Damodar
N. Gujarati Dawn C. Porter xxii Reconocimientos 00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxxii xxii00_Maq.
Preliminares_Gujarati.inxxii xxii 12/21/09 5:29:10 PM12/21/09
5:29:10 PM
24. Introduccin I.1 Qu es la econometra? En trminos literales
econometra signica medicin econmica. Sin embargo, si bien es cierto
que la medicin es una parte importante de la econometra, el alcance
de esta disciplina es mucho ms amplio, como se deduce de las
siguientes citas: La econometra, resultado de cierta perspectiva
sobre el papel que desempea la economa, consiste en la aplicacin de
la estadstica matemtica a los datos econmicos para dar soporte
emprico a los modelos construidos por la economa matemtica y
obtener resultados numricos.1 . . . la econometra puede denirse
como el anlisis cuantitativo de fenmenos econmicos reales, basados
en el desarrollo simultneo de la teora y la observacin,
relacionados mediante mtodos apropiados de inferencia.2 La
econometra se dene como la ciencia social en la cual las
herramientas de la teora econmica, las matemticas y la inferencia
estadstica se aplican al anlisis de los fenmenos econmicos.3 La
econometra tiene que ver con la determinacin emprica de las leyes
econmicas.4 El arte del econometrista consiste en encontrar un
conjunto de supuestos lo bastante especcos y realistas para que le
permitan aprovechar de la mejor manera los datos con que cuenta.5
Los econometristas son una ayuda decisiva en el esfuerzo por
disipar la mala imagen pblica de la economa (cuantitativa o de otro
tipo) considerada como una materia en la cual se abren cajas vacas,
suponiendo la existencia de abrelatas, para revelar un contenido
que diez economistas interpretarn de 11 maneras diferentes.6 El
mtodo de la investigacin economtrica busca en esencia una conjuncin
entre la teora econ- mica y la medicin real, con la teora y la
tcnica de la inferencia estadstica como puente.7 1 Gerhard Tintner,
Methodology of Mathematical Economics and Econometrics, The
University of Chicago Press, Chicago, 1968, p. 74. 2 P.A.
Samuelson, T.C. Koopmans y J.R.N. Stone, Report of the Evaluative
Committee for Econometrica, Econometrica, vol. 22, nm. 2, abril de
1954, pp. 141-146. 3 Arthur S. Goldberger, Econometric Theory, John
Wiley & Sons, Nueva York, 1964, p. 1. 4 H. Theil, Principles of
Econometrics, John Wiley & Sons, Nueva York, 1971, p. 1. 5 E.
Malinvaud, Statistical Methods of Econometrics, Rand McNally,
Chicago, 1966, p. 514. 6 Adrian C. Darnell y J. Lynne Evans, The
Limits of Econometrics, Edward Elgar, Hants, Inglaterra, 1990, p.
54. 7 T. Haavelmo, The Probability Approach in Econometrics,
suplemento de Econometrica, vol. 12, 1944, prefacio, p. iii.
01_Maq. Introduccion_Gujarati.in1 101_Maq.
Introduccion_Gujarati.in1 1 12/19/09 10:58:04 PM12/19/09 10:58:04
PM
25. 2 Introduccin I.2 Por qu una disciplina aparte? Como
indican las deniciones anteriores, la econometra es una amalgama de
teora econmica, economa matemtica, estadstica econmica y estadstica
matemtica. Aun as, la materia me- rece un estudio separado por las
siguientes razones. La teora econmica hace armaciones o formula
hiptesis de naturaleza sobre todo cuali- tativa. Por ejemplo, la
teora microeconmica establece que, si no intervienen otros
factores, se espera que la reduccin del precio de un bien aumente
la cantidad demandada de ese bien. As, la teora econmica postula
una relacin negativa o inversa entre el precio y la cantidad deman-
dada de un bien. Pero la teora por s sola no proporciona medida
numrica alguna de la relacin entre los dos; no dice cunto aumentar
o se reducir la cantidad como resultado de un cambio determinado en
el precio del bien. El trabajo del econometrista es proporcionar
tales estimacio- nes numricas. En otras palabras, la econometra da
contenido emprico a gran parte de la teora econmica. El inters
principal de la economa matemtica es expresar la teora econmica en
una forma matemtica (ecuaciones) sin preocuparse por la capacidad
de medicin o de vericacin emp- rica de la teora. La econometra,
como ya apuntamos, se interesa sobre todo en la vericacin emprica
de la teora econmica. Como veremos, el econometrista suele emplear
ecuaciones matemticas, propuestas por el economista matemtico, pero
las expresa de forma que se presten para la prueba emprica. Y esta
conversin de ecuaciones matemticas en ecuaciones econom- tricas
requiere una gran dosis de ingenio y destreza. La estadstica
econmica se relaciona en primer lugar con la recopilacin,
procesamiento y presentacin de cifras econmicas en forma de grcos y
tablas. ste es el trabajo del estadstico econmico, cuya actividad
principal consiste en recopilar cifras sobre el producto nacional
bruto (PNB), empleo, desempleo, precios, etc. Los datos as reunidos
constituyen la materia prima del trabajo economtrico. Pero el
estadstico econmico no va ms all de la recoleccin de informa- cin,
pues no le conciernen las cifras recopiladas para probar las teoras
econmicas. Sin duda, es el econometrista quien se ocupa de realizar
esta labor. Aunque la estadstica matemtica proporciona muchas
herramientas para esta ciencia, el eco- nometrista a menudo
necesita mtodos especiales por la naturaleza nica de la mayora de
las cifras econmicas, pues no se generan como resultado de un
experimento controlado. El econo- metrista, como el meteorlogo,
suele depender de cifras que no controla directamente. Como observa
Spanos, acertadamente: En econometra, el que construye el modelo a
menudo se enfrenta a datos provenientes de la obser- vacin ms que
de la experimentacin. Esto tiene dos implicaciones importantes para
la creacin emprica de modelos en econometra. Primero, se requiere
que quien elabore modelos domine muy distintas habilidades en
comparacin con las que se necesitan para analizar los datos
experimenta- les Segundo, la separacin de quien recopila los datos
y el analista exige que quien elabora mode- los se familiarice por
completo con la naturaleza y la estructura de los datos en
cuestin.8 I.3 Metodologa de la econometra Cmo proceden los
econometristas en el anlisis de un problema econmico? Es decir, cul
es su metodologa? Aunque existen diversas escuelas de pensamiento
sobre metodologa eco- nomtrica, aqu presentaremos la metodologa
tradicional o clsica, que an predomina en la investigacin emprica
en economa y en las ciencias sociales y del comportamiento.9 8 Aris
Spanos, Probability Theory and Statistical Inference: Econometric
Modeling with Observational Data, Cam- bridge University Press,
Reino Unido, 1999, p. 21. 9 Hay un anlisis ilustrativo, si bien
avanzado, de los mtodos economtricos en David F. Hendry, Dynamic
Econometrics, Oxford University Press, Nueva York, 1995. Vase
tambin Aris Spanos, op. cit. 01_Maq. Introduccion_Gujarati.in2
201_Maq. Introduccion_Gujarati.in2 2 12/19/09 10:58:04 PM12/19/09
10:58:04 PM
26. I.3 Metodologa de la econometra 3 En trminos generales, la
metodologa economtrica tradicional se ajusta a los siguientes li-
neamientos: 1. Planteamiento de la teora o de la hiptesis. 2.
Especicacin del modelo matemtico de la teora. 3. Especicacin del
modelo economtrico o estadstico de la teora. 4. Obtencin de datos.
5. Estimacin de los parmetros del modelo economtrico. 6. Pruebas de
hiptesis. 7. Pronstico o prediccin. 8. Utilizacin del modelo para
nes de control o de polticas. Para ilustrar estos pasos,
consideremos la conocida teora keynesiana de consumo. 1.
Planteamiento de la teora o hiptesis Keynes plantea: La ley
psicolgica fundamental consiste en que los hombres [y las mujeres],
como regla general y en promedio, estn dispuestos a incrementar su
consumo a medida que aumenta su ingreso, pero no en la misma cuanta
del aumento en su ingreso.10 En pocas palabras, Keynes postula que
la propensin marginal a consumir (PMC), es decir, la tasa de cambio
del consumo generado por una unidad (digamos, un dlar) de cambio en
el ingreso, es mayor que cero pero menor que uno. 2. Especicacin
del modelo matemtico de consumo A pesar de haber postulado una
relacin positiva entre el consumo y el ingreso, Keynes no espe-
cica la forma precisa de la relacin funcional entre ambas cosas.
Por simplicidad, un economista matemtico puede proponer la
siguiente forma de la funcin keynesiana de consumo: Y 1 + 2 X 0
< 2 < 1 (I.3.1) donde Y = gasto de consumo y X = ingreso, y
donde 1 y 2, conocidos como los parmetros del modelo, son,
respectivamente, los coecientes del intercepto y de la pendiente.
El coeciente de la pendiente 2 mide la PMC. En la gura I.1 se
presenta geomtricamente la ecuacin (I.3.1). Esta ecuacin plantea
que el consumo est relacionado linealmente con el ingreso, y es un
ejemplo de un modelo matemtico de la relacin entre consumo e
ingreso, lla- mada en economa funcin consumo. Un modelo es
simplemente un conjunto de ecuaciones matemticas. Si el modelo
tiene una sola ecuacin, como en el ejemplo anterior, se denomina
modelo uniecuacional, mientras que si tiene ms de una ecuacin, se
conoce como modelo multiecuacional (consideraremos ms adelante este
tipo de modelos). En la ecuacin (I.3.1), la variable que aparece al
lado izquierdo del signo de la igualdad se llama variable
dependiente, y la(s) variable(s) del lado derecho se llama(n)
variable(s) independiente(s), o explicativa(s). As, en la funcin
keynesiana de consumo, la ecuacin (I.3.1), el consumo (gasto) es la
variable dependiente, y el ingreso, la explicativa. 10 John Maynard
Keynes, The General Theory of Employment, Interest and Money,
Harcourt Brace Jovanovich, Nueva York, 1936, p. 96. 01_Maq.
Introduccion_Gujarati.in3 301_Maq. Introduccion_Gujarati.in3 3
12/19/09 10:58:05 PM12/19/09 10:58:05 PM
27. 4 Introduccin 3. Especicacin del modelo economtrico de
consumo El modelo puramente matemtico de la funcin de consumo dado
en la ecuacin (I.3.1) es de inters limitado para el econometrista,
pues supone una relacin exacta o determinista entre el consumo y el
ingreso. Pero las relaciones entre las variables econmicas suelen
ser inexactas. As, si furamos a obtener informacin sobre gasto de
consumo e ingreso disponible (es decir, despus de impuestos) de una
muestra de, por ejemplo, 500 familias estadounidenses y gracar
estos datos, con el gasto de consumo en el eje vertical y en el eje
horizontal el ingreso disponi- ble, no esperaramos que las 500
observaciones quedaran exactamente sobre la lnea recta de la
ecuacin (I.3.1) porque, adems del ingreso, otras variables afectan
el gasto de consumo, como el tamao de la familia, las edades de sus
miembros, su religin, etctera. Para dar cabida a relaciones
inexactas entre las variables econmicas, el econometrista modi-
cara la funcin determinista de consumo en la ecuacin (I.3.1) de la
siguiente manera: Y 1 + 2 X + u (I.3.2) donde u, conocida como
trmino de perturbacin o de error, es una variable aleatoria (esto-
cstica) con propiedades probabilsticas bien denidas. El trmino de
perturbacin u representa todos los factores que afectan el consumo
pero que no se consideran en el modelo en forma explcita. La
ecuacin (I.3.2) es un ejemplo de un modelo economtrico. Ms
tcnicamente, dicha ecuacin es un ejemplo de un modelo de regresin
lineal, el principal inters de este libro. La funcin economtrica de
consumo plantea como hiptesis que la variable dependiente Y (con-
sumo) est relacionada linealmente con la variable explicativa X
(ingreso), pero que la relacin entre las dos no es exacta: est
sujeta a variaciones individuales. El modelo economtrico de la
funcin de consumo se representa grcamente como aparece en la gura
I.2. FIGURA I.1 Funcin keynesiana de consumo. Gastodeconsumo X
Ingreso 1 2 = PMC 1 Y 01_Maq. Introduccion_Gujarati.in4 401_Maq.
Introduccion_Gujarati.in4 4 12/19/09 10:58:05 PM12/19/09 10:58:05
PM
28. I.3 Metodologa de la econometra 5 4. Obtencin de informacin
Para estimar el modelo economtrico dado en la ecuacin (I.3.2), esto
es, para obtener los valores numricos de 1 y 2, son necesarios los
datos. Aunque tendremos ms que decir en el siguiente captulo sobre
la importancia crucial de los datos para el anlisis econmico, por
el momento observemos unas cifras relacionadas con la economa de
Estados Unidos de 1960 a 2005, que se presentan en la tabla I.1. La
variable Y en esta tabla es el gasto de consumo personal (GCP)
agregado (para la economa en su conjunto), y la variable X, el
producto interno bruto (PIB), una medida del ingreso agregado,
ambos medidos en miles de millones de dlares de 2000. Por
consiguiente, los datos estn en trminos reales, es decir, se
midieron en precios constantes (2000). Estos datos se gracaron en
la gura I.3 (cf. gura I.2). Por el momento, haga caso omiso de la
recta trazada en la gura. 5. Estimacin del modelo economtrico Ahora
que tenemos los datos, la siguiente labor es estimar los parmetros
de la funcin consumo. La estimacin numrica de los parmetros da
contenido emprico a la funcin consumo. En el captulo 3 explicaremos
el mecanismo real para estimar los parmetros. Por el momento, note
que la tcnica estadstica conocida como anlisis de regresin es la
herramienta principal para obtener las estimaciones. Con esta
tcnica y los datos de la tabla I.1 obtuvimos los siguientes va-
lores estimados de 1 y 2, a saber, 299.5913 y 0.7218. As, la funcin
consumo estimada es Yt 299.5913 + 0.7218Xt (I.3.3) El acento
circunejo (sombrero) sobre Y indica que es un valor estimado.11 En
la gura I.3 se muestra la funcin consumo estimada (es decir, la
lnea de regresin). 11 Por convencin, un acento circunejo (sombrero)
sobre una variable o parmetro indica que es un valor estimado.
FIGURA I.2 Modelo economtrico de la funcin keynesiana de consumo.
Gastodeconsumo X Y Ingreso u 01_Maq. Introduccion_Gujarati.in5
501_Maq. Introduccion_Gujarati.in5 5 12/19/09 10:58:06 PM12/19/09
10:58:06 PM
29. 6 Introduccin TABLA I.1 Datos sobre Y (gasto de consumo
personal) y X (producto interno bruto, 1960-2005), en miles de
millones de dlares de 2000 Fuente: Economic Report of the
President, 2007, tabla B-2, p. 230. Ao (GCP Y) PIB(X)
8.10524.79510691 0.06523.03611691 2.51721.11712691 0.43826.18713691
6.89924.88814691 1.19137.70025691 1.99338.12126691 6.48430.58127691
7.25635.01328691 4.56734.69329691 9.17739.15420791 6.89835.54521791
0.50143.10722791 5.14348.33823791 6.91343.21824791 2.11349.67825791
9.04545.53036791 5.05741.46137791 0.51051.30338791 4.37154.38339791
7.16151.47330891 7.19252.22431891 3.98153.07432891 8.32456.86633891
6.31853.36834891 7.35060.46045891 6.36269.82246891 1.57468.96347891
7.24769.64548891 4.18960.57649891 5.21173.07740991 5.00174.87741991
6.63378.43942991 7.23578.99053991 5.53877.09254991 7.13085.33455991
9.82384.91656991 5.30788.13857991 9.66098.52168991 3.07496.83469991
0.71894.93760002 7.09894.01961002 8.840013.99072002
0.103013.59273002 5.307011.77574002 6.840112.14875002 01_Maq.
Introduccion_Gujarati.in6 601_Maq. Introduccion_Gujarati.in6 6
12/19/09 10:58:06 PM12/19/09 10:58:06 PM
30. I.3 Metodologa de la econometra 7 Como se aprecia en la
gura I.3, la lnea de regresin se ajusta bien a los datos, pues los
puntos que corresponden a los datos estn muy cercanos a ella. En
esta grca vemos que de 1960 a 2005 el coeciente de la pendiente (es
decir, la PMC) fue de alrededor de 0.72, lo que indica que para el
periodo muestral un incremento de un dlar en el ingreso real
produjo, en promedio, un incremento cercano a 72 centavos en el
gasto de consumo real.12 Decimos en promedio porque la relacin
entre consumo e ingreso es inexacta; como se deduce de la gura I.3,
no todos los puntos correspondientes a los datos estn exactamente
en la recta de regresin. Con palabras sen- cillas, podemos decir
que, de acuerdo con los datos, el promedio o media del gasto de
consumo aument alrededor de 72 centavos por cada dlar de incremento
en el ingreso real. 6. Pruebas de hiptesis En el supuesto de que el
modelo ajustado sea una aproximacin razonablemente buena de la
realidad, tenemos que establecer criterios apropiados para
comprobar si los valores estimados obtenidos en una ecuacin como la
(I.3.3), por ejemplo, concuerdan con las expectativas de la teora
que estamos probando. De acuerdo con los economistas positivos,
como Milton Fried- man, una teora o hiptesis no vericable mediante
la evidencia emprica no puede ser admisible como parte de la
investigacin cientca.13 Como ya sealamos, Keynes esperaba que la
PMC fuera positiva pero menor que 1. En el ejemplo observamos que
la PMC es alrededor de 0.72. Pero antes de aceptar este resultado
como conrmacin de la teora keynesiana de consumo, debemos averiguar
si esta estimacin est lo 12 No se preocupe aqu por la forma como se
obtuvieron estos valores; como veremos en el captulo 3, el mtodo
estadstico de mnimos cuadrados produjo estos valores estimados.
Asimismo, por el momento no se preocupe por el valor negativo del
intercepto. 13 Vase Milton Friedman, The Methodology of Positive
Economics, Essays in Positive Economics, Univer- sity of Chicago
Press, Chicago, 1953. FIGURA I.3 Gasto de consumo perso- nal (Y) en
relacin con el PIB (X ), 1960-2005, en miles de millones de dla-
res de 2000. 12 00010 0008 0006 0004 000 PIB (X) 2 000 1 000 2 000
3 000 4 000GCP(Y) 8 000 7 000 6 000 5 000 01_Maq.
Introduccion_Gujarati.in7 701_Maq. Introduccion_Gujarati.in7 7
12/19/09 10:58:06 PM12/19/09 10:58:06 PM
31. 8 Introduccin bastante abajo de la unidad para convencernos
de que no se trata de un suceso debido al azar o de una
peculiaridad de los datos. En otras palabras, es 0.72
estadsticamente menor que 1? Si lo es, puede apoyar la teora de
Keynes. Tal conrmacin o refutacin de las teoras econmicas con
fundamento en la evidencia mues- tral se basa en una rama de la
teora estadstica conocida como inferencia estadstica (pruebas de
hiptesis). A lo largo de este libro veremos cmo realizar en la
prctica este proceso de in- ferencia. 7. Pronstico o prediccin Si
el modelo escogido no refuta la hiptesis o la teora en
consideracin, servir para predecir el (los) valor(es) futuro(s) de
la variable dependiente Y, o de pronstico, con base en el (los)
valor(es) futuro(s) conocido(s) o esperado(s) de la variable
explicativa, o predictora, X. Para ilustrarlo, suponga que queremos
predecir la media del gasto de consumo para 2006. El valor del PIB
para 2006 fue de 11 319.4 millones de dlares.14 Colocamos esta
cifra del PIB en el lado derecho de la ecuacin (I.3.3) y obtenemos:
Y2006 299.5913 + 0.7218 (11 319.4) 7 870.7516 (I.3.4) o casi 7 870
millones de dlares. Por tanto, con ese valor del PIB, la media o el
promedio del gasto de consumo previsto es de alrededor de 7 870
millones de dlares. El valor real del gasto de consumo registrado
en 2006 fue de 8 044 millones de dlares. El modelo estimado
(I.3.3), por tanto, subpredijo el gasto de consumo real por casi
174 000 millones de dlares. Se dira que el error de prediccin es de
aproximadamente 174 000 millones de dlares, que representa alre-
dedor de 1.5% del valor real del PIB para 2006. Cuando analicemos a
profundidad el modelo de regresin lineal en los siguientes
captulos, trataremos de averiguar si un error de esa naturaleza es
pequeo o grande. Pero lo que ahora importa es observar que tales
errores de prediccin son inevitables, dada la naturaleza estadstica
del anlisis. Existe otro uso del modelo estimado (I.3.3). Suponga
que el presidente decide proponer una reduccin del impuesto sobre
la renta. Cul ser el efecto de dicha poltica en el ingreso y por
consiguiente en el gasto de consumo, y a nal de cuentas en el
empleo? Suponga que como resultado de estos cambios de poltica se
incrementa el gasto en inversin. Cul ser el efecto en la economa?
De acuerdo con la teora macroeconmica, el cambio en el ingreso
generado por un cambio equivalente a un dlar, por ejemplo, en el
gasto en inversin est dado por el multiplicador del ingreso (M), el
cual se dene como M 1 1 PMC (I.3.5) Si utilizamos la PMC de 0.72
obtenida en la ecuacin (I.3.3), este multiplicador se convierte en
M = 3.57. Es decir, un aumento (o reduccin) de un dlar en la
inversin al nal generar un in- cremento (o reduccin) de ms de tres
veces en el ingreso; advierta que el multiplicador demora algn
tiempo en actuar. El valor crtico en este clculo es la PMC, pues M
depende de l. Y este valor estimado de la PMC se obtiene de modelos
de regresin como el de la ecuacin (I.3.3). As, un valor estimado
cuantitativo de la PMC proporciona informacin valiosa para nes de
polticas pblicas. Al co- nocer la PMC, se puede predecir el curso
futuro del ingreso, el gasto de consumo y el empleo que sigue a un
cambio en las polticas scales del gobierno. 14 Haba datos
disponibles sobre el GCP y el PIB para 2006, pero los omitimos a
propsito con el objeto de ilustrar el tema que estudiamos en esta
seccin. Como veremos en los captulos subsiguientes, es buena idea
guardar parte de los datos con el objeto de averiguar cmo predicen
el modelo ajustado las observaciones ajenas a la muestra. 01_Maq.
Introduccion_Gujarati.in8 801_Maq. Introduccion_Gujarati.in8 8
12/19/09 10:58:07 PM12/19/09 10:58:07 PM
32. I.3 Metodologa de la econometra 9 8. Uso del modelo para
nes de control o de polticas Suponga que tenemos la funcin
keynesiana de consumo estimada dada en (I.3.3). Suponga adems que
el gobierno considera que un nivel de gasto de aproximadamente 8
750 (miles de millones de dlares de 2000) mantendr la tasa de
desempleo en su nivel actual de cerca de 4.2 por ciento (estimacin
para principios del 2006). Qu nivel de ingreso garantizar la
cantidad de gasto de consumo jado como meta? Si los resultados de
la regresin dados en la ecuacin (I.3.3) parecen razonables, la
aritmtica simple mostrar que 8 750 = 299.5913 + 0.7218(PIB2006)
(I.3.6) que da X = 12 537, aproximadamente. Es decir, un nivel de
ingresos de alrededor de 12 537 (miles de millones) de dlares, con
una PMC de cerca de 0.72, producir un gasto aproximado de 8 750
millones de dlares. Como indican estos clculos, un modelo estimado
sirve para nes de control o de polticas p- blicas. Mediante una
mezcla apropiada de poltica scal y monetaria, el gobierno puede
manejar la variable de control X para producir el nivel deseado de
la variable objetivo Y. La gura I.4 resume la anatoma de la creacin
de los modelos economtricos clsicos. Eleccin entre modelos rivales
Cuando una dependencia gubernamental (digamos, el Departamento de
Comercio de Estados Unidos) recopila datos econmicos, como los de
la tabla I.1, no necesariamente tiene una teora econmica en mente.
Por tanto, cmo sabe en realidad que los datos respaldan la teora
keyne- siana de consumo? Se debe acaso a que la funcin consumo
keynesiana (es decir, la lnea de re- gresin) de la gura I.3 se
aproxima mucho a los puntos reales que representan a los datos? Ser
posible que otro modelo (teora) de consumo se ajuste igual de bien
a los datos? Por ejemplo, FIGURA I.4 Anatoma de la creacin de
modelos economtri- cos. Estimacin del modelo economtrico Modelo
economtrico de la teora Teora econmica Datos Pronstico o prediccin
Uso del modelo para fines de control o de polticas Pruebas de
hiptesis Modelo matemtico de la teora 01_Maq.
Introduccion_Gujarati.in9 901_Maq. Introduccion_Gujarati.in9 9
12/19/09 10:58:07 PM12/19/09 10:58:07 PM
33. 10 Introduccin Milton Friedman elabor un modelo de consumo,
la hiptesis de ingreso permanente.15 Robert Hall tambin cre un
modelo de consumo, llamado hiptesis del ciclo de vida del ingreso
perma- nente.16 Alguno o ambos modelos pueden tambin ajustarse a
los datos de la tabla I.1? En resumen, la interrogante con que se
enfrenta en la prctica un investigador es: cmo elegir entre modelos
o hiptesis que compiten entre s, dado un fenmeno determinado, como
la rela- cin entre consumo e ingreso? Como observa Miller: Ningn
encuentro con los datos signica un paso adelante hacia la conrmacin
genuina, a menos que la hiptesis se las arregle mejor con esos
datos que algn rival natural. . . . Lo que fortalece aqu a una
hiptesis es una victoria que, al mismo tiempo, es una derrota para
una posible rival.17 Entonces, cmo elegir entre los varios modelos
o hiptesis en disputa? Aqu Clive Granger da un consejo que vale la
pena:18 Me gustara proponer que en el futuro, cuando a uno se le
presente una nueva teora o modelo emp- rico, se plantee las
siguientes preguntas: i) Qu propsito tiene? Qu tipo de decisiones
econmicas ayuda a tomar? ii) Existe alguna evidencia presente que
me permita evaluar su calidad en comparacin con teoras o modelos
alternos? Pienso que si se les da la debida atencin a estos
planteamientos se fortalecer la investigacin y el anlisis
econmicos. Conforme avancemos en este libro, saldrn al paso
diversas hiptesis que compiten entre s y que tratan de explicar
varios fenmenos econmicos. Por ejemplo, los estudiantes de economa
conocen ya el concepto de la funcin produccin, que representa
bsicamente una relacin entre la produccin y los insumos (capital y
trabajo). En la bibliografa, dos funciones produccin muy conocidas
son la de Cobb-Douglas y la de elasticidad constante de sustitucin.
Con los datos de produccin e insumos tendremos que averiguar cul de
las dos funciones produccin, si acaso alguna lo hace, se ajusta
bien a los datos. La metodologa economtrica clsica, consistente en
los ocho pasos que acabamos de presen- tar, es neutral en el
sentido de que sirve para probar cualquiera de estas hiptesis
rivales. Es posible elaborar una metodologa lo bastante amplia para
abarcar hiptesis contendientes? La respuesta implica un tema
polmico e intrincado que analizaremos en el captulo 13, tras en-
tender la teora economtrica necesaria. I.4 Tipos de econometra Como
deja entrever el esquema de clasicacin en la gura I.5, la
econometra se divide en dos amplias categoras: econometra terica y
econometra aplicada. En cada categora se puede tratar la materia
segn la tradicin clsica o la bayesiana. En este libro destacamos el
enfoque clsico. Para el enfoque bayesiano, el lector puede
consultar las referencias al nal del captulo. 15 Milton Friedman, A
Theory of Consumption Function, Princeton University Press,
Princeton, Nueva Jersey, 1957. 16 R. Hall, Stochastics Implications
of the Life Cycle Permanent Income Hypothesis: Theory and Evidence,
Journal of Political Economy, 1978, vol. 86, pp. 971-987. 17 R.W.
Miller, Fact and Method: Explanation, Conrmation, and Reality in
the Nature and Social Sciences, Prin- ceton University Press,
Princeton, Nueva Jersey, 1978, p. 176. 18 Clive W.J. Granger,
Empirical Modeling in Economics, Cambridge University Press, Gran
Bretaa, 1999, p. 58. 01_Maq. Introduccion_Gujarati.in10 1001_Maq.
Introduccion_Gujarati.in10 10 12/19/09 10:58:07 PM12/19/09 10:58:07
PM
34. La econometra terica se relaciona con la elaboracin de
mtodos apropiados para medir las relaciones econmicas especicadas
por los modelos economtricos. En este aspecto, la eco- nometra se
apoya en gran medida en la estadstica matemtica. Por ejemplo, un
mtodo muy popular en este libro es el de mnimos cuadrados. La
econometra terica debe expresar los supuestos de este mtodo, sus
propiedades y lo que les sucede cuando no se cumplen uno o ms de
los supuestos del mtodo. En la econometra aplicada utilizamos
herramientas de la econometra terica para estudiar algunos campos
especiales de la economa y los negocios, como la funcin de
produccin, la funcin de inversin, las funciones de demanda y de
oferta, la teora de portafolio, etctera. Este libro se reere en
gran parte al desarrollo de los mtodos economtricos, sus supuestos,
usos y limitaciones. Ilustramos estos mtodos con ejemplos en
diversas reas de la economa y los negocios. Pero ste no es un libro
de econometra aplicada en el sentido de que investigue a fondo un
campo particular de aplicacin econmica. Para esa labor existen
textos especializados. Al nal de esta obra proporcionamos
referencias de algunos de ellos. I.5 Requisitos matemticos y
estadsticos A pesar de que este libro est escrito en un nivel
elemental, el autor supone que el lector conoce los conceptos
bsicos de la estimacin estadstica y las pruebas de hiptesis. Sin
embargo, para quienes deseen refrescar sus conocimientos, en el
apndiceA se ofrece una revisin amplia pero no tcnica de los
conceptos estadsticos bsicos de esta obra. Respecto de las
matemticas, es deseable, aunque no esencial, estar ms o menos al da
con las nociones de clculo diferencial. Si bien la mayora de los
textos universitarios de econometra emplea con libertad el lgebra
ma- tricial, deseo aclarar que este libro no la requiere. Sostengo
la rme conviccin de que las ideas fundamentales de econometra
pueden transmitirse sin lgebra matricial. Sin embargo, para el
benecio del estudiante amigo de las matemticas, el apndice C resume
la teora de regresin bsica en notacin matricial. Para estos
estudiantes, el apndice B proporciona un resumen su- cinto de los
principales resultados del lgebra matricial. I.6 La funcin de la
computadora El anlisis de regresin, herramienta de uso diario de la
econometra, no sera posible hoy en da sin la computadora y el
software estadstico. (Cranme, yo crec en la generacin de la regla
de clculo.) Por fortuna, ya existen muchos paquetes de regresin
excelentes, tanto para las computadoras centrales (mainframe) como
para las microcomputadoras, y con el tiempo la lista crece. Los
paquetes de software de regresin, como ET, LIMDEP, SHAZAM, MICRO
TSP, MINITAB, EVIEWS, SAS, SPSS, BMD, STATA, Microt y PcGive tienen
la mayora de las tcnicas economtricas y las pruebas analizadas en
este libro. FIGURA I.5 Categoras de la econo- metra. Econometra
Terica Clsica Bayesiana Aplicada Clsica Bayesiana I.6 La funcin de
la computadora 11 01_Maq. Introduccion_Gujarati.in11 1101_Maq.
Introduccion_Gujarati.in11 11 12/19/09 10:58:08 PM12/19/09 10:58:08
PM
35. 12 Introduccin En esta obra ocasionalmente pediremos al
lector realizar experimentos Monte Carlo con uno o ms paquetes
estadsticos. Los experimentos Monte Carlo son ejercicios divertidos
que capa- citarn al lector para apreciar las propiedades de
diversos mtodos estadsticos analizados en este libro. Detallaremos
sobre los experimentos Monte Carlo en las secciones pertinentes.
I.7 Lecturas sugeridas El tema de la metodologa economtrica es
vasto y controvertido. Para los interesados en este tema, sugiero
los siguientes libros: Neil de Marchi y Christopher Gilbert, eds.,
History and Methodology of Econometrics, Oxford University Press,
NuevaYork, 1989. En esta coleccin de lecturas se analizan los
primeros traba- jos sobre metodologa economtrica. El anlisis se
extiende al mtodo britnico de la econome- tra relacionado con
cifras de series de tiempo, es decir, datos recopilados a travs de
un periodo determinado. Wojciech W. Charemza y Derek F. Deadman,
New Directions in Econometric Practice: Gene- ral to Specic
Modelling, Cointegration and Vector Autoregression, Edward Elgar,
Hants, Ingla- terra, 1997. Los autores critican el mtodo
tradicional de la econometra y dan una exposicin detallada de
nuevos enfoques a la metodologa economtrica. Adrian C. Darnell y J.
Lynne Evans, The Limits of Econometrics, Edward Elgar, Hants,
Ingla- terra, 1990. Este libro presenta un anlisis, en cierta
medida equilibrado, de los diversos enfo- ques metodolgicos a la
econometra, con una renovada delidad a la metodologa economtrica
tradicional. Mary S. Morgan, The History of Econometric Ideas,
Cambridge University Press, NuevaYork, 1990. La autora proporciona
una perspectiva histrica excelente sobre la teora y la prctica de
la econometra, con un anlisis a fondo de las primeras
contribuciones de Haavelmo (Premio Nobel de Economa 1990) a la
econometra. Con el mismo espritu, David F. Hendry y Mary S. Morgan
antologaron escritos seminales para la econometra en The Foundation
of Econometric Analisis, Cambridge University Press, Gran Bretaa,
1995, con el objeto de mostrar la evolucin de las ideas
economtricas a travs del tiempo. David Colander y Reuven Brenner,
eds., Educating Economists, University of Michigan Press, Ann
Arbor, Michigan, 1992. El texto presenta un punto de vista crtico,
en ocasiones agnstico, de la enseanza y prctica de la economa. Para
consultar sobre los temas de estadstica y econometra bayesianas,
los siguientes libros pueden ser tiles: John H. Dey, Data in Doubt,
Basil Blackwell, Oxford, University Press, Ingla- terra, 1985;
Peter M. Lee, Bayesian Statistics: An Introduction, Oxford
University Press, Inglate- rra, 1989; y Dale J. Porier,
Intermediate Statistics and Econometrics: A Comparative Approach,
MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1995. Una referencia avanzada
es Arnold Zellner, An Introduction to Bayesian Inference in
Econometrics, John Wiley & Sons, NuevaYork, 1971. Otro libro de
consulta avanzada es Palgrave Handbook of Econometrics. Volumen I.
Econometric Theory, Terence C. Mills y Kerry Patterson, eds.,
Palgrave Macmillan, Nueva York, 2007. 01_Maq.
Introduccion_Gujarati.in12 1201_Maq. Introduccion_Gujarati.in12 12
12/19/09 10:58:08 PM12/19/09 10:58:08 PM
36. Captulo 1 Naturaleza del anlisis de regresin 13 1 Parte
Modelos de regresin uniecuacionales En la parte 1 de este texto se
presentan los modelos de regresin uniecuacionales. En estos mo-
delos se expresa una variable, llamada dependiente, como funcin
lineal de una o ms variables, llamadas explicativas. En modelos de
este tipo se supone que si existen relaciones causales entre las
variables dependientes y las explicativas, stas van en una sola
direccin: de las variables explicativas a la variable dependiente.
En el captulo 1 se hace una exposicin relacionada con la
interpretacin, tanto histrica como moderna, del trmino regresin y
se ilustran las diferencias entre las dos interpretaciones con
diversos ejemplos tomados de la economa y de otros campos. En el
captulo 2 se presentan algunos conceptos fundamentales del anlisis
de regresin con ayuda del modelo de regresin lineal con dos
variables, en el cual la variable dependiente se ex- presa como
funcin lineal de una sola variable explicativa. En el captulo 3
contina el manejo del modelo con dos variables y se introduce lo
que se conoce como el modelo clsico de regresin lineal, que tiene
diversos supuestos simplicado- res. Con estos supuestos se presenta
el mtodo de mnimos cuadrados ordinarios (MCO) para estimar los
parmetros del modelo de regresin con dos variables. La aplicacin
del mtodo de MCO es sencilla y tiene algunas propiedades
estadsticas muy convenientes. En el captulo 4 se introduce el
modelo clsico de regresin lineal normal (de dos variables), modelo
que supone que la variable aleatoria dependiente sigue una
distribucin de probabilidad normal. Con este supuesto los
estimadores MCO obtenidos en el captulo 3 adquieren algunas
propiedades estadsticas ms slidas que las de los modelos clsicos de
regresin lineal no nor- males. Estas propiedades permiten la
inferencia estadstica y, en particular, las pruebas de hip- tesis.
El captulo 5 se dedica a las pruebas de hiptesis, y se pretende
averiguar si los coecientes de regresin estimados son compatibles
con los valores hipotticos de tales coecientes, valo- res
hipotticos sugeridos por la teora y/o por el trabajo emprico
previo. En el captulo 6 se consideran algunas extensiones del
modelo de regresin con dos variables. En particular, se analizan
temas como: 1) regresin a travs del origen, 2) escalas y unidades
de medicin, y 3) formas funcionales de modelos de regresin, como
doblelogartmicos, semiloga- rtmicos y recprocos. En el captulo 7 se
considera el modelo de regresin mltiple, en el cual hay ms de una
va- riable explicativa, y se muestra cmo se extiende el mtodo MCO
para estimar los parmetros de tales modelos. 02_Maq. Cap.
01_Gujarati 1302_Maq. Cap. 01_Gujarati 13 12/19/09 10:59:41
PM12/19/09 10:59:41 PM
37. 14 Parte Uno Modelos de regresin uniecuacionales En el
captulo 8 se amplan los conceptos del captulo 5 al modelo de
regresin mltiple y se sealan algunas complicaciones propias de
diversas variables explicativas. El captulo 9, que trata sobre
variables explicativas dictomas o cualitativas, concluye la pri-
mera parte del texto. Este captulo destaca que no todas las
variables explicativas necesitan ser cuantitativas (por ejemplo, en
escala de razn). Variables como gnero, raza, religin, nacionali-
dad y lugar de residencia no son cuanticables de manera directa, si
bien desempean un valioso papel en la explicacin de muchos fenmenos
econmicos. 02_Maq. Cap. 01_Gujarati 1402_Maq. Cap. 01_Gujarati 14
12/19/09 10:59:41 PM12/19/09 10:59:41 PM
38. Como se mencion en la introduccin, la regresin es una
herramienta fundamental de la econo- metra; en este captulo se
considera muy brevemente la naturaleza de este instrumento. 1.1
Origen histrico del trmino regresin Francis Galton acu el trmino
regresin. En un famoso ensayo, Galton plante que, a pesar de la
tendencia de los padres de estatura alta a procrear hijos altos y
los padres de estatura baja, hijos bajos, la estatura promedio de
los nios de padres de una estatura determinada tenda a despla-
zarse, o regresar, a la estatura promedio de la poblacin total.1 En
otras palabras, la estatura de los hijos de padres inusualmente
altos o inusualmente bajos tiende a dirigirse a la estatura pro-
medio de la poblacin. La ley de regresin universal de Galton fue
conrmada por su amigo Karl Pearson, quien reuni ms de mil registros
de estaturas de miembros de grupos familiares.2 Pearson descubri
que la estatura promedio de los hijos de un grupo de padres de
estatura alta era menor que la estatura de sus padres, y que la
estatura promedio de los hijos de un grupo de padres de estatura
baja era mayor que la estatura de sus padres; es decir, se trata de
un fenmeno mediante el cual los hijos altos e hijos bajos regresan
por igual a la estatura promedio de todos los dems. En palabras de
Galton, se trata de una regresin a la mediocridad. 1.2
Interpretacin moderna de la regresin La interpretacin moderna de la
regresin es, sin embargo, muy diferente. En trminos generales, se
arma que: El anlisis de regresin trata del estudio de la
dependencia de una variable (variable dependiente) respecto de una
o ms variables (variables explicativas) con el objetivo de estimar
o predecir la media o valor promedio poblacional de la primera en
trminos de los valores conocidos o jos (en muestras repetidas) de
las segundas. Captulo Naturaleza del anlisis de regresin 1 Francis
Galton, Family Likeness in Stature, Proceedings of Royal Society,
Londres, vol. 40, 1886, pp. 42-72. 2 K. Pearson y A. Lee, On the
Laws of Inheritance, Biometrika, vol. 2, noviembre de 1903, pp.
357-462. 1 02_Maq. Cap. 01_Gujarati 1502_Maq. Cap. 01_Gujarati 15
12/19/09 10:59:42 PM12/19/09 10:59:42 PM
39. 16 Parte Uno Modelos de regresin uniecuacionales La
importancia trascendental de este enfoque del anlisis de regresin
se ver claramente sobre la marcha, pero algunos ejemplos sencillos
aclararn este concepto bsico. Ejemplos 1. Considere de nuevo la ley
de regresin universal de Galton. A l le interesaba averiguar las
razones de la estabilidad en la distribucin de estaturas dentro de
una poblacin. En el enfoque moderno, la preocupacin no es esta
explicacin, sino averiguar cmo cambia la estatura pro- medio de los
hijos dada la estatura de los padres. En otras palabras, lo que
interesa es predecir la estatura promedio de los hijos a partir de
la estatura de sus padres. Para ver cmo hacerlo, considere la gura
1.1, que corresponde a un diagrama de dispersin. La gura muestra la
distribucin de las estaturas de los hijos en una poblacin
hipottica, correspondiente al conjunto de valores dados o jos de
las estaturas de los padres. Observe que, para cualquier estatura
de un padre, existe un rango (distribucin) de estaturas de los
hijos. Sin embargo, observe tambin que, a pesar de la variabilidad
de la estatura de los hijos conforme al valor de la estatura de los
padres, la estatura promedio de los hijos aumenta, por lo general,
en la medida en que lo hace la estatura de los padres. Para
demostrar esto con claridad, las cruces dentro de los crculos en la
- gura indican la estatura promedio de los hijos que corresponde a
una estatura