Un Modelo Dinámico de Equilibrio General

(El Modelo de Ramsey)

J.C.Segura-Ortiz

Universidad de La Salle

Bogotá, D.C.

[ Esta Revisión: Mayo, 2012 ]

Intro

• Considere ahora un modelo dinámico en el que los agentes

adoptan decisiones económicas en el dominio del tiempo en

los mercados abiertos en cada � = 1,⋯ ,∞.

• El agente decide sobre su consumo actual y su consumo

futuro y por tanto, adopta decisiones de consumo, pero

también sobre cuanto ahorrar.

• Se presenta un modelo básico de dos periodos como

introducción al modelo de ahorro óptimo de Ramsey (1927)

1. Un Modelo Básico de Consumo de Dos Períodos

Considere una economía simple como la de Robinson Crusoe:

� ∄ Producción

� ∄ Dinero

� ∄ Incertidumbre

� ∄ Inventarios o formas de almacenamiento

� ∄ Gobierno

� Hay un único bien de consumo que es no producido: es una

especie de maná que cae del cielo periódicamente.

� El agente representativo vive � periodos.

1.1. Preferencias

� Existe una función de utilidad [supuesto C] que representa las

preferencias del agente sobre un conjunto de canastas

intertemporales ∙� = ���, ��,⋯ , ���. � ∙� es aditiva y separable, i.e., puede ser representada como la

suma de una serie de funciones de subutilidad en cada instante del

tiempo.

� Si las preferencias son estables en el tiempo, la función de

subutilidad es constante en el tiempo y puede sert sumada a través

del tiempo teniendo en cuenta que “la vida es ahora”, i.e., el individuo

no evalúa de la misma forma el consumo ahora y el consumo futuro.

� Ergo se debe descontar el bienestar futuro para compararlo con el

presente.

La función de utilidad, con dichas consideraciones es:

∙� = � � 11 + ��� ������

��� �� En tiempo contínuo, ó:

∙�� � 11 + ��� ����

���

Siendo � ≥ 0 la tasa de preferencias intertemporal para desocntar la

utilidad futura, ó, tasa subjetiva de descuento;

� mide la impaciencia del agente. A mayor � mayor impaciencia. Si � = 0

el agente es indiferente entre el consumo presente y el consumo futuro.

Se supondrá que ��� es como resulta en el supuesto C.

Si el consumo fuera constante en �, es decir si �� = �, ∀� y si se supone � → ∞, las preferencias pueden ser representadas por (ver Sydsaeter and

Hammond, 1996):

∙� =� � 11 + ��� ����

��� = ��"1 + # + #$ + #% +⋯& Con # = ��'( Si además � > 0, entonces # ≤ 1 mientras que:

lim�→."1 + # + #$ + #% +⋯& ≈ 11 − 11 + � =

1 + ��

∴ ∙� = 1 + �� �� < ∞

Si � = 0, la utilidad de un individuo que vive un número infinito de

periodos será infinita. Un caso poco interesante.

1.2. El Ambiente

� Robinson vive solo en una isla consumiendo lo que produce �� =3�, pues el maná es perecedero.

� Suponga que hay otras personas y que existe un mercado de bonos

reales en el que el agente puede intercambiar bienes de hoy por una

promesa de consumo de los bienes mañana.

� Individualmente, un agente puede ahorrar prestando a otros parte de

su ración de maná hoy en tanto que el endeudado para con parte de

su ración de maná de mañana.

� La sociedad como un todo no puede prestar, por lo que las deudas

siempre se pagan en cada momento del tiempo.

En este mercado de deudas cada individuo enfrenta una secuencia de

precios de consumo mañana en términos de los bienes de hoy. Sean:

� 4� el precio de los bienes de hoy en términos del bien corriente

(numeraire);

� 4� = 5657 = ��'8 el precio del consumo del bien de mañana en

términos del precio corriente; y

� 49 = : ��'8;9 donde < es la tasa de interés entre hoy y mañana,

suponiendo que < siempre es igual.

� En otro caso, para <=: 49 = ∏ : ��'8?;9=��

El problema del consumidor consiste en maximizar su utilidad

intertemporal s.a. la restricción prespuestal de que no puede consumir

más allá de lo que le permite el valor presente de su ingreso, i.e., su

dotación de maná:

� 4��� ≤���� � 4�3� + @��

���

• El agente puede resolver el problema eligiendo de una única vez la

secuencia de consumos o bien tomar decisiones secuencialmente.

Como no hay incertidumbre, los dos enfoques dan decisiones

idénticas.

• El mercado de bonos permite transferir recursos a través del tiempo,

aunque la economía como un todo no pueda hacerlo;

• Competencia perfecta: agentes price takers.

El problema queda:

maxCDEFEG7H � � 11 + ��� ����

���

sujeta a: � 4��� ≤�

��� � 4�3� + @�����

La función de Lagrange es:

Θ∙� =� � 11 + ��� ����

��� + J K@� +� 4�3� −� 4�������

���� L

F.O.C.: "��&: N��� − J4� = 0"��&: � 11 + ��

� N��� − J4� = 0"J&: @� +� 4�3� −� 4����

������� = 0

Considere una economía de dos períodos. Entonces, el problema general

queda:

Max ∙� = ��, ��� = ��� + # ��� sujeta a: �� + 4��� = @� + 3� + 4�3�

Θ. � = ��� + # ��� + J"@� + 3� + 4�3� − �� − 4���& F.O.C.:

"��&: N��� − J4� = 0"��&: # N��� − J4� = 0"J&: @� + 3� + 4�3� − �� − 4��� = 0

De las F.O.C. se derivan las condiciones estándar de equilibrio:

N��� N��� = 11 + � 14� → 1 + <1 + � = N��� N���

Gráficamente se obtiene el mismo resultado: se pueden comparar las

pendientes de la curva de indiferencia definida para ��, ��� y de la

restricción dinámica de presupuesto.

La pendiente de la Curva de Indiferencia se obtiene diferenciando

totalmente la utilidad en un vecindario en el cual la utilidad es constante:

� = N������ + 11 + � N������ = 0

∴ 11 + � N������ = − N������ → ������ = − N��� ′��� 1 + ��

La Pendiente de la Ecuación de Presupuesto:

4��� + 4��� = @� + 4�3� + 4�3�

4��� = @� + 4�3� + 4�3� − 4���

�� = @� + 4�3� + 4�3� − 4���4�

�� = @�4� + 4�4� 3� + 3� − 4�4� �� �� = �̅ − 4�4� �� → RS = RT − S + U�RV

La condición de optimalidad está caracterizada por la igualdad de

pendientes, por tanto:

− N��� ′��� 1 + �� = −1 + <� ∴ − N��� N��� = − 1 + <�1 + ��∎

� Si el mercado descuenta el futuro del mismo modo que los

individuos, entonces < = � y . � es cuasi cóncava estricta, �� = ��. � Si < > � → N��� > N��� ∴ �� > �� � Si < < � → N��� < N��� ∴ �� < ��

2. Ocio (trabajo) en la Función de Utilidad

El agente representativo vive una cantidad de períodos de

tiempo � = 1,… ,∞ en el que disfruta del consumo de

secuencia de cestas C��F���. que es un argumento para la maximización de una función de utilidad tipo C. Considere una variación que implica otro argumento de esa función es el ocio, es decir, el tiempo durante el cual el consumo se hace efectivo: �� , Y�� = ��� − ZY��

Donde necesariamente, ′∙� > 0, ′′∙� < 0, Z′∙� > 0,Z′′∙� >0 de modo que mientras el ocio genera utilidad, trabajo genera desutilidad creciente en la utilidad y de ser cierto que en la economía no hay un plato de sopa gratis,

El agente deberá financiar el consumo de las mercancías que

entran en con la venta de sus dotaciones iniciales al precio que el mercado de esa mercancía indique; suponiendo dos periodos para ilustrar esto, el agente enfrenta el siguiente balance de recursos:

�� + 1 + <�[��� ≤ \�Y� + ]�� + 1 + <�[�\�Y� + ]�� Por lo que el problema del consumidor representativo se reduce, en este caso a: Θ��, ��, Y�, Y�; J�= ��� − ZY�� + #� ��� − ZY���+ JC\�Y� + ]� − ��� + 1 + <�[�\�Y� + ]� − ���F

Con # = 1 1 + _�⁄ es un factor de descuento intertemporal y _ la tasa intertemporal de descuento. Las condiciones relevantes para el óptimo son:

abc0 = −J + ′���0 = −J1 + <�[� + # ′���0 = −J\� + Z′Y��0 = −J\�1 + <�[� + #Z′Y��

De las primeras dos condiciones se deriva la condición de Euler, o sea, 1 + <� = ′��� # ′���⁄

mientras que de las condiciones primera y tercera, y de la segunda y la última se obtienen las condiciones de equivalencia marginal para consumo y trabajo (-ocio): ′��� = Z′Y�� \�⁄ ′��� = Z′Y�� \�⁄ Estas condiciones son, en forma esquemática, las que caracterizarán la solución del modelo computable agregado. El resto de condiciones generales puede encontrarse en un texto de microeconomía avanzado como Mas-Colell et.alli (1995) o de Economía Matemática como Takayama (1985) y no se ponen aquí por considerarse conocidas.

3. La Economía y la Producción

El modelo dinámico de EG se basa en el modelo de crecimiento de Ramsey. Como en Benhabib, Rogerson and Wright (1991) y en Greenwood, Rogerson y Wright (1995) el problema consistirá en resolver una forma estocástica del problema del planeador central (Negishi):

maxDE,dE�e� f� #� �� , Y��.��� g

Donde e� es el operador de esperanza matemática, Y� es la inversa aditiva del trabajo y los demás símbolos tienen el significado ya establecido.

El planeador central maximiza esta función observando las siguientes restricciones: �� + h� ≤ 3�

3� = ijEk�lm��[l k�'� = 1 − n�k� + h� Y� + m� = 1

Donde ��es el consumo, h� la inversión,3� el producto,k�el capital,m� el trabajo (por lo tanto ahora Y�es el ocio y es creciente en él) y ijE representa la productividad multifactorial o PTF, y es una variable

aleatoria que se asume o�~h. h. �. qj; rj$�.

Además # es el factor intertemporal de descuento, n la tasa de depreciación del capital y, si se supone por el momento, que la

tecnología es de la clase Cobb-Douglas s es la fracción del producto que se destina a pagar el capital; no hay razón para pensar que la producción se efectúa bajo rendimientos crecientes. La forma paramétrica de la función de utilidad se asume: �� , Y�� = ln �� + � ln Y�

Siendo � la importancia relativa del ocio en la función de utilidad del individuo representativo. Variables de Control: consumo, ocio, inversión, trabajo y el stock de capital del siguiente periodo. El planeador central, a fin de maximizar la función objetivo, debe hallar una secuencia variables de decisión C�� , Y� , h� , m� , k�'�F���. .

Suponiendo por el momento e�o� = qj = 0 y, sin pérdida de continuidad que el gasto se financia con impuestos de suma fija, el problema puede, con estas anotaciones ponerse de la siguiente forma: max∑ #�.��� Cln �� + � ln1 − m��F sujeta a:

f�� + h� = ijEk�lm��[lk�'� = 1 − n�k� + h� La función de Lagrange asociada a este problema admite la siguiente forma: Θ∙� = #��Cln �� + � ln1 − m��F − J��v�� + h� − ijEk�lm��[lw− J$�"k�'� − 1 − n�k� − h�&�

F.O.C.: xyzyDE{ : 0 = #� :�DE[J��;x yzy9E{ : 0 = #� : [(�[9E'|6E�[l�}~E�E�9E6��;x yzy�E�6{ : 0 = −#�J$� + #�'� :J��'�ijEk�'�l[�m�'��[l + J$�1 − n�;xyzy=E{ : 0 = #�"J$� − J��&x yzy|6E{ : 0 = �� + h� − ijEk�lm��[lx yzy|�E{ : 0 = k�'� − 1 − n�k� − h� ��

���������

"�&

El sistema "�& analíticamente describe la economía modelo

#� :�DE[J��; = 0 → �DE�J�� #�'� :J��'�ijEk�'�l[�m�'��[l + J$�1 − n�; = #�J$�

#�"J$� − J��& → J$� = J��

#�'�#� :J��'�ijEk�'�l[�m�'��[l + J$�1 − n�; = J$� = J�� = 1�� # :J��'�ijEk�'�l[�m�'��[l + J$�1 − n�; = 1�� # � 1��'� ijEk�'�l[�m�'��[l + 1�� 1 − n�� = 1��