Математика, как проект

Онтологический верстак 12 января 2014 года

«Ротор поля наподобие дивергенции градуирует себя вдоль спина и там, внутре, обращает материю вопроса в спиритуальные электрические вихри, из коих и возникает синекдоха отвечания…»А. и Б.Стругацкие

1. Структура математики

2. Схематизация математики

субматематика

метаматематика

3. Нити счета и математика

1. Структура математикиСовременная теоретическая («чистая») математика — это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов

Вся математика есть только описание.

«Математика – это больше, чем наука, это язык (Б. Больцано)Но и «меньше, чем Знание» - это язык

В большинстве разделов математики речь идет только об обобщенном синтаксисе этого языка.

«Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания». (Д.Гильберт)

Теория доказательств — это раздел математической логики, представляющий доказательства в виде формальных математических объектов, осуществляя их анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно представляются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Таким образом, теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Вместе с теорией моделей, аксиоматической теорией множеств и теорией вычислений, теория доказательств является одним из так называемых «четырёх столпов» математики

«Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективнымЧистая математика обладает нечеловеческим свойством звёздного света – сверкающего, яркого, но холодного». (Г.Вейль)

Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это MSC 2010. Предыдущая версия — MSC 2000.

Однако, математика до сих пор не разбита на дисциплины, и в этом отношении представляет собой досциентический (в лучшем случае, схоластический) формат мышления

В сущности, термином «математика» сегодня обозначаются очень разные вещи:

(1) Описание ценного, человеческого, практического (золотое сечение, гармонический ряд, сложные проценты, симметрия, эстетика).

Математика, как ценность, гармония

«Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?»;« Математикой нужно заниматься не ради ее приложения, а во имя той духовной прибыли, которая связана с ней»;«Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само государство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться» (Платон)

«Разумеется, хорошая математика всегда красива».(П. Д. Коэн)Коэн Поль Дж. (род. 02.04.1934) - американский математик, профессор Станфордского университета. На Московском международном конгрессе (1966) ему была присуждена Международная премия Филдса за решение континуум-гипотезы, поставленной Г. КанторомК. Гёдель доказал, что континуум-гипотеза не может быть доказана на основе аксиом арифметики и теории множеств.Коэн установил, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута, исходя из того же аксиоматического построения теории множеств. Таким образом, континуум-гипотеза - первый пример утверждения, которое не может быть ни доказано, ни опровергнуто современными логическими средствами.

(2) Описание вычислимого (алгебра, решение уравнений, теория вероятностей и математическая статистика). Собственно – арифметика, математика, как ее понимают в школе, искусство счета, число и цифра.

Теория чиселТеория меры

Математика, как делание (инженерия), школьная математика

«Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива»Р. Петер, венгерский математик, известна своими работами по теории рекурсий, автор книги «Игра с бесконечностью»

(3) Описание измеримого (геометрия, как измерение земли, физическое измерение, теория ошибок измерения, математика, как основа физического знания)

Математика, как практикование, прикладная математика

«Великая книга природы написана математическими символами … Природа говорит языком математики: буквы этого языка — круги, треугольники и иные математические фигуры…Нужно измерять все измеримое и делать измеримым то, что пока не поддается измерению» (Г.Галилей)«Невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой» (Ю.Вигнер)«Цифры (числа) не управляют миром, но они показывают, как управляется мир» (И.Гете)

(4) Описание мыслимого (логика, теория доказательств, интуитивная математика, конструктивная математика)

Математика, как чистое мышление.чистая математика

«Доказательство называется строгим, если таковым его считает большинство математиков» (М. Клайн)«Чистая математика - это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим». (Б. Рассел)

(5) Описание представимого (анализ, теория функций, дифференциальная геометрия).

Математика, как язык описания объективного мира, «математика для физиков и техников»

(6) Описание непредставимого (мнимые числа, кватернионы, матричная алгебра, ТФКП)

Математика, как язык описания воображаемого мира, который может совпадать с объективным, а может не совпадать, математика для философа

«Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием» (В.Лейбниц)

(7) Описание немыслимого (рекурсии, множества, трансфинитности, высшая топология)

Трансграничная математика

«Каждый сам знает, что он понимает под множеством» (Е. Борель)

Фракталы

Классическое дерево Пифагора

Обдуваемое ветрами дерево Пифагора

Обнаженное, обдуваемое ветрами дерево Пифагора

Методы:

• Логический (когнитивный)

• Алгебраический (семантический)

• Геометрический (эйдетический)

• Диаграммный (графы, пиктограммы, коммутативные диаграммы)

2. Схематизация математики

Семь «математик» не ложатся ни в одну из базовых схематизаций, но первые четыре могут быть представлены в виде схемы D2, если только добавить к ним «нуль-математику» («математику пустоты», то есть – собственно, математическую философию)

Описание измеримого

Описание мыслимого

Позиция математикаОписание ценного

Описание вычислимого

Тогда, возможно, следует рассматривать математику, как произведение групп D2 и А1, то есть, как наложение трех плоскостей:

• онтологической плоскости (математика, описание измеримой составляющей бытийности)

• экзистенциальной плоскости (мета-математика, описание исчислимой составляющей трансценденции)

• практической или человеческой плоскости (суб-математика, описание вычислимой составляющей социальности)«Кроме трансцендентальной философии существует ещё две науки чистого разума: одна исключительно спекулятивная, а другая исключительно практическая – чистая математика и чистая мораль». (И. Кант)

Описание вычислимого

Описание ценного (гармония)

Описание мыслимого

Описание измеримого

Позиция математика

Описание представимого

Описание непредставимого

Описание немыслимого

Позиция (в) Трансфинитности

Антропный принцип

Описание дискретных систем (графы, криптография)

Описание хаоса (не-гармония)

Позиция «понимателя»

Описание сложности, организованности

Экзистенциальная плоскость Мета-математика

Онтологическая плоскость Математика

Гуманитарная плоскость Суб-математика

Описание изначального

В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Между духом и материей посредничает математика. (Хуго Штейнгаус)

Соответствие Карри — Ховарда (изоморфизм Карри — Ховарда, англ. formulae-as-types interpretation) — наблюдаемая структурная эквивалентность между математическими доказательствами и программами. Эта эквивалентность может быть формализована в виде изоморфизма между логическими системами и типизированными исчислениями.Хаскелл Карри и Уильям Ховард заметили, что построение конструктивного доказательства похоже на описание вычислений, а высказывания конструктивной логики по своей структуре схожи с типами вычисляемых выражений — программ для вычислительной машины.

3. Нити счета и математика

С1 Гармония. Гармония, музыка, музыкальный ряд, гармонический рядС2 Вычисление. Арифметические действия, Алгебраические действия, Вычислить, решить. Уравнение, тождество, неравенство, математика, алгебраС3 Ноль, пустота. Ноль, ничего, нет, пустота, началоС4 Измерение. Измерить, прибор, погрешность, точностьС5 Счет, число. Число, считать, сосчитать, один, два, три

«Знатоки математических наук пришли к верному познанию и нет ничего странного в том, что они правильно судят о свойствах всех отдельных вещей. Ибо раз они верно познали природу Вселенной, то должны были верно усмотреть и свойства отдельных вещей. И о скорости звезд, и о восходах и заходах передали они нам точные познания, о и геометрии, и о числах, и в не меньшей степени о музыке. Думается, что науки эти — родные сестры, ибо они занимаются двумя первоначальными родственными видами сущего» (Архит)«Окажись я на краю Вселенной, то есть на сфере неподвижных звёзд, мог бы я вытянуть вовне руку или палку в ней? Допущение, что не мог бы вытянуть, нелепо. Но если вытяну, тогда то, что вовне, окажется либо телом, либо местом (что совершенно безразлично). Таким образом, сколько раз не допускай границу Вселенной, всякий раз мы будем аналогичным образом подходить к ней и задавать тот же самый вопрос». (Архит)

В математике нет теории ошибок измерения Нити измерения и вычисления образуют противоречие. Кроме ошибок измерения, должны быть ошибки счета (модели)

Математики похожи на французов: чтобы вы ни сказали, они все переведут на свой собственный язык. Получится нечто противоположное. (И.Гете).

«С тех пор, как математики взялись за Теорию относительности, я сам перестал ее понимать… Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны, а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру…Математик кое-что может, но, разумеется, не то, что от него хотят получить в данный момент… Существует поразительная возможность овладеть предметом математически, не поняв существа дела». (Альберт Эйнштейн)«Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится математике настолько, что вконец запутается в бесконечных исключениях». (Ф. Клейн)

Ключевые утверждения:

«Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно…

Легкость математики основана на возможности чисто логического ее построения, трудность, отпугивающая многих, - на невозможности иного изложения.(Хуго Штейнгаус)

Семинар пришел к выводу, что нитей гармонии, по крайней мере, две, причем, одна из них отвечает за гармонию предметную (выражаемую в предметных симметриях, «золотом сечении», музыкальных рядах и т.п.), а вторая – за непредметную

Вероятно, не только симметрии, но также и противоречия и балансы, а, следовательно, и метод пиктограмм можно рассматривать, как плетение нитей гармонии.

Нас ждет гармонизация науки и гармонизация классификаций вообще (плетение С1 В)

По-видимому, именно счет является главной нитью в пряди счета . Мы учимся считать с детства, и не видим сакральности счета, его принципиальной трансфинитности, незамкнутости. Спокойно относимся к тому, что счет, предельно конкретным образом работает с предельно абстрактными объектами).

Важный вопрос: связь именования и счета, плетение С5 D

Вычисление: предельные переходы (если все члены последовательности отвечают какому-то суждению, в каких случаях предел не будет отвечать этому суждению? Возможна ли ситуация, когда при переходе от приближенных вычислений к точным существенно меняется результат?)

Что выражает математическая формула? В отличие от физической – это не Закон. А что?

Нет нити, связанной с рисованием вообще (как методом мышления), поэтому очень слабо представлены схематизации. Они возникают в моели извне. Почему?Схематизации должны быть представлены, как плетения рисования и счета, рисования и временения, рисования и именования.Возможно, нить рисования находится в пряди нитей гармонии ???

В паре «действующий из какой-то позиции», переходящий в «рефлектирующего эту позицию» оставляет на месте действующего – Тень – и это квантовый эффект, с которым нужно разбираться. А если он вылез в рефлексию и не оставил Тени, значит у него и не было позиции!

Рефлексия рождает разрывы для создания икса без икса

Теорема: позиция отбрасывает Тень. Точка зрения и мнение Тени не отбрасывает

Теорема 2: Тень отчуждается при рефлексии определенной длины