Онтологический Онтологический аргумент Гёделяаргумент Гёделя

Горбатов В.В.Горбатов В.В.

Курт Гёдель (1906-1978)Курт Гёдель (1906-1978)

Австрийский логик, Австрийский логик, математик и философматематик и философ

Участвовал в работе Участвовал в работе Венского кружкаВенского кружка

В 1940 эмигрировал в В 1940 эмигрировал в США и получил работу в США и получил работу в Институте перспективных Институте перспективных исследований (Принстон)исследований (Принстон)

Умер от истощения в 1978Умер от истощения в 1978

Курт Гёдель (1906-1978)Курт Гёдель (1906-1978)

Теоремы о Теоремы о неполноте (1931)неполноте (1931)

Математическая Математическая возможность возможность путешествий во путешествий во времени (1949)времени (1949)

Онтологическое Онтологическое доказательство доказательство (1954-1955; 1970)(1954-1955; 1970)

Онтологический аргумент (1970)Онтологический аргумент (1970)

Представлен на семинаре Д.Скотта в Представлен на семинаре Д.Скотта в феврале 1970феврале 1970

Позже он говорил Моргенштерну, что Позже он говорил Моргенштерну, что хотя и удовлетворен доказательством, хотя и удовлетворен доказательством, все же сомневается, стоит ли его все же сомневается, стоит ли его публиковатьпубликовать

Доказательство стало известным в Доказательство стало известным в изложении Д.Скотта (1987); здесь изложении Д.Скотта (1987); здесь будет рассмотрен исходный вариантбудет рассмотрен исходный вариант

Обозначения:Обозначения:

P(F) - свойство F является P(F) - свойство F является позитивнымпозитивным

&, V, →, ~ - пропозициональные &, V, →, ~ - пропозициональные связкисвязки

◊ ◊ - возможно- возможно □ □ - необходимо- необходимо - квантор общности- квантор общности - квантор существования - квантор существования

ОпределенияОпределения

D1. G(x) ↔ D1. G(x) ↔ F(P(F) → F(x))F(P(F) → F(x))

– Быть Богом (G) значит обладать Быть Богом (G) значит обладать всеми позитивными свойствамивсеми позитивными свойствами**

* * «Позитивное» Гёдель трактует «Позитивное» Гёдель трактует неоднозначно – говоря о нем и как о чем-то неоднозначно – говоря о нем и как о чем-то «морально-эстетически» ценном, и как о «морально-эстетически» ценном, и как о чем-то, что, будучи полностью чем-то, что, будучи полностью проанализированным, не влечет никакого проанализированным, не влечет никакого отрицанияотрицания

ОпределенияОпределения

D2. F ess x ↔ D2. F ess x ↔ H[H(x) → □H[H(x) → □x(H(x) → F(x))]*x(H(x) → F(x))]*

– Для свойства F быть сущностью предмета х Для свойства F быть сущностью предмета х означает, что любое свойство, присущее означает, что любое свойство, присущее данному предмету, с необходимостью данному предмету, с необходимостью включается в свойство Fвключается в свойство F

* Дана Скотт добавил к этому определению конъюнкт * Дана Скотт добавил к этому определению конъюнкт F(x); в противном случае, из наличия свойства, с F(x); в противном случае, из наличия свойства, с необходимостью отсутствующего у всех объектов, необходимостью отсутствующего у всех объектов, можно было бы вывести, что оно-то и является можно было бы вывести, что оно-то и является сущностью х, а вкупе с определением сущностью х, а вкупе с определением D3D3 это это означало бы, что ни один объект не обладает означало бы, что ни один объект не обладает свойством Е (Адамс, с. 932)свойством Е (Адамс, с. 932)

ОпределенияОпределенияD3. E(x) ↔ D3. E(x) ↔ F(F ess x → □F(F ess x → □xF(x))xF(x))

– Необходимое существование (Е) присуще Необходимое существование (Е) присуще предмету х, когда из сущности х вытекает, предмету х, когда из сущности х вытекает, что необходимо найдется предмет, что необходимо найдется предмет, обладающий этой сущностьюобладающий этой сущностью**

* Легко подобрать примеры из математики, когда * Легко подобрать примеры из математики, когда существование объектов можно с необходимостью существование объектов можно с необходимостью дедуцировать из самого их определения (в рамках дедуцировать из самого их определения (в рамках имеющейся теории) имеющейся теории)

– Введение предиката Е не подпадает под кантовскую Введение предиката Е не подпадает под кантовскую критику «существование не есть реальный критику «существование не есть реальный предикат», т.к. это предикатпредикат», т.к. это предикат

фактически, второпорядковый (он определяется через фактически, второпорядковый (он определяется через второпорядковый предикат второпорядковый предикат ess)ess)

логический, а не реальныйлогический, а не реальный

АксиомыАксиомы А1. P(F) & P(Н) → Р(F&Н)А1. P(F) & P(Н) → Р(F&Н)

– конъюнкция позитивных свойств является конъюнкция позитивных свойств является позитивным свойствомпозитивным свойством

А2. ~P(F) ↔ P(~F)А2. ~P(F) ↔ P(~F)– свойство не является позитивным только свойство не является позитивным только

если позитивно его отрицание*если позитивно его отрицание*

* * Э. Андерсон ставит под сомнение принцип «позитивного Э. Андерсон ставит под сомнение принцип «позитивного исключенного третьего», подразумеваемый в А2; исключенного третьего», подразумеваемый в А2; вместе с определением вместе с определением D1D1 данная аксиома фактически данная аксиома фактически утверждает, что Богу присущие все позитивные утверждает, что Богу присущие все позитивные свойства И ТОЛЬКО онисвойства И ТОЛЬКО они

АксиомыАксиомы А3. P(F) → □P(F)А3. P(F) → □P(F)

– позитивное свойство позитивно с позитивное свойство позитивно с необходимостьюнеобходимостью**

А4. Р(E)А4. Р(E)– существование является позитивным существование является позитивным

свойствомсвойством****

** То есть граница между позитивными и То есть граница между позитивными и негативными свойствами не только негативными свойствами не только однозначна (А2), но и неизменна сквозь однозначна (А2), но и неизменна сквозь возможные миры!возможные миры!

**** Это интуитивно вполне согласуется с Это интуитивно вполне согласуется с определением Е и А3определением Е и А3

АксиомыАксиомы А5. [P(F) & □А5. [P(F) & □x(F(x) → Н(x)] → P(Н)x(F(x) → Н(x)] → P(Н)

– все, что с необходимостью следует из все, что с необходимостью следует из позитивного свойства, является позитивным позитивного свойства, является позитивным свойством (в частности, х=х - позитивное свойством (в частности, х=х - позитивное свойство, а х≠х – негативное)свойство, а х≠х – негативное)

Собственно, здесь ключ к пониманию Собственно, здесь ключ к пониманию «позитивности» у Гёделя: позитивно лишь то, что «позитивности» у Гёделя: позитивно лишь то, что (при полном анализе) не влечет никаких (при полном анализе) не влечет никаких негативных следствийнегативных следствий

Поскольку в А4 позитивность Е уже Поскольку в А4 позитивность Е уже постулирована, все позитивное должно быть постулирована, все позитивное должно быть согласуемо с Есогласуемо с Е

ДоказательствоДоказательство

Лемма 1. G(x) → G ess xЛемма 1. G(x) → G ess x– быть Богом – существенное свойство быть Богом – существенное свойство 1.1. G(x) G(x) доп.доп.2.2. F(P(F) → F(x))F(P(F) → F(x)) D1D13.3. FF((F(x) → P(F)F(x) → P(F))) (2) A2(2) A24.4. FF((F(x) → □P(F)F(x) → □P(F))) (3) A3(3) A35.5. FF((F(x) ↔ □FF(x) ↔ □F(x(x)))) ((22,4),4)6.6. G(x)G(x) → → FF((F(x) ↔ □FF(x) ↔ □F(x(x)))) ((55))7.7. xx(G(x)(G(x) → → FF((F(x) ↔ □FF(x) ↔ □F(x(x))))) ) (6)(6)8.8. FF((F(x) → F(x) → x(x(G(x) ↔ □F(x)G(x) ↔ □F(x))) (7)(7)9.9. FF((F(x) → □F(x) → □x(Fx(F(x) ↔ G(x)(x) ↔ G(x))) (8)(8)10.10. G ess xG ess x (9(9) ) D2D211.11. G(x) → G ess xG(x) → G ess x (10)(10)

ДоказательствоДоказательство

Лемма 2. G(x) → □Лемма 2. G(x) → □yG(y) yG(y) – если х является Богом, то если х является Богом, то

с необходимостью с необходимостью найдется объект, найдется объект, который является Богомкоторый является Богом

1.1. Р(E)Р(E) A4A4

2.2. G(x) → G(x) → EE(x)(x) (1) D1(1) D1

3.3. G(x) → G ess xG(x) → G ess x Лемма 1Лемма 1

4.4. EE(x) → (x) → ((G ess x → □G ess x → □xG(x))xG(x)) D3 D3

5.5. G(x) → □G(x) → □yG(y)yG(y) (2-4)(2-4)

ДоказательствоДоказательство

Лемма Лемма 33. ◊. ◊xxG(x) → ◊□G(x) → ◊□yG(y)yG(y)– Если существование Бога Если существование Бога

возможно, то возможно, что возможно, то возможно, что оно необходимооно необходимо (из леммы 2 (из леммы 2 по аксиоме □(А→В)→(◊А→◊В)по аксиоме □(А→В)→(◊А→◊В)

Лемма Лемма 44. ◊. ◊xxG(x)G(x)– Возможно, что существует Бог Возможно, что существует Бог

(из (из A1A1 и А5 доказывается, что и А5 доказывается, что понятие понятие G G логически логически непротиворечиво)непротиворечиво)

ДоказательствоДоказательство

Теорема: □Теорема: □yG(y)yG(y)– Бог необходимо Бог необходимо

существуетсуществует

1.1. ◊◊xxG(x) G(x) Лемма 4Лемма 4

2.2. ◊◊xxG(x) → ◊□G(x) → ◊□yG(y) yG(y) Лемма 3Лемма 3

3.3. ◊□◊□yG(y) → □yG(y) → □yG(y) yG(y) S5S5

4.4. □□yG(y)yG(y)